3 Suites numériques

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Remarque 25. Grâce au théorème de Thales, si le triangle ABC est rectangle en B alors on obtient : cos^��BAC^� = AB

AC = côté adjacent hypoténuse sin^��BAC^� = BC

AC = côté opposé hypoténuse

A partir de la définition sur le cercle trigonométrique on obtient aussi le formulaire suivant.

2.15. Propriété – Formulaire trigonométrique.

Pour tous réelsx ety on a les identités suivantes :

cos(π−x) =−cos(x); sin(π−x) = sin(x);

cos(π+x) =−cos(x); sin(π+x) =−sin(x);

cos^�π 2 −x

�= sin(x); sin^�π 2 −x

�= cos(x);

cos^�π 2 +x

�=−sin(x); sin^�π 2 +x

�= cos(x);

cos(x+y) = cos(x) cos(y)−sin(x) sin(y);

sin(x+y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y);

et en particulier :

cos(2x) = 2 cos(x)²−1; sin(2x) = 2 sin(x) cos(x).

Définition 28. La fonction tangente, notée tan, est définie pour tous les réels x dans R \

�_π

2 +kπ:k∈Z^� (c’est-à-dire les réels x qui ne sont pas de la forme ^π₂ +kπ avec k entier relatif) par la formule

tan(x) = sin(x) cos(x) Le graphe de la fonction tangente est :

x y

−^3π₂ −π −^π₂ 0 ^π₂ π 3π 2

y= tan(x)

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Remarque 26. On déduit des formules de la remarque 25 que si le triangle ABC est rectangle en B alors :

tan^��BAC^� = BC

AB = côté opposé côté adjacent

3 Suites numériques

3.1 Introduction

Définition 29. Une suite numérique est une famille de nombres réels indexée par l’ensemble des entiers naturels.

Notation 10. La suite(x_n)_n∈N, qu’on peut aussi écrire(x_n)_n≥0, est la suite dont le premier terme est x₀, le deuxième terme estx₁,et cetera...

La notation (yn)n≥1 désigne la suite (xn)n≥0 dont le terme de rangn estxn =y_n+1.

Remarque 27. Mathématiquement, on peut considérer qu’une suite (x_n)_n∈N est la fonction numé- rique f définie surN qui associe à l’entier nle nombrex_n, c’est-à-diref :

� N → R n �→ x_n .