Estimation de la densité spectrale d'un champ aléatoire stationnaire continu par échantillonnage poissonnien

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Estimation de la densité spectrale d’un champ aléatoire stationnaire continu par échantillonnage poissonnien

Kouadio Simplice Kouakou, Dominique Dehay

To cite this version:

Kouadio Simplice Kouakou, Dominique Dehay. Estimation de la densité spectrale d’un champ aléa-

toire stationnaire continu par échantillonnage poissonnien. 41èmes Journées de Statistique, SFdS,

Bordeaux, May 2009, Bordeaux, France, France. �inria-00386743�

Estimation de la densit´ e spectrale d’un champ al´ eatoire stationnaire continu par ´ echantillonnage

poissonnien

Simplice Kouadio KOUAKOU, Dominique DEHAY

Universit´ e de Rennes 2 -Haute Bretagne, Equipe de Statistique IRMAR Place du Recteur Henry Le Moal, CS 24307, 35043 Rennes cedex

R´ esum´ e: Dans ce papier, nous ´ etudions l’estimation de la densit´ e spectrale d’un champ al´ eatoire stationnaire continu ` a l’aide d’un ´ echantillonnage poissonnien. Sous certaines conditions de r´ egularit´ e sur les cumulants d’un tel champ, nous construisons un estimateur de sa densit´ e spectrale et nous ´ etablissons la consistance en moyenne quadratique et la normalit´ e asymptotique de celui-ci.

Abstract: In this paper we study the estimation of the spectral density function of a continuous station- ary random field from Poisson sampling. Under regularity conditions on the cumulants of the field we establish the quadratic consistency and the asymptotic normality of the spectral density estimator.

Mots-cl´ es: Estimation, densit´ e spectrale, champ al´ eatoire stationnaire, ´ echantillonnage poissonnien, con- sistance en moyenne quadratique, biais, normalit´ e asymptotique.

1 Introduction

On consid` ere un champ al´ eatoire stationnaire centr´ e ` a valeurs r´ eelles X = {X(s, t) : s, t ∈ R} , de moments d’ordre 2 finis et de fonction de covariance continue C X : (u, v) 7→ E{X (s, t)X(s + u, t + v)} ∈ L 1 (R ² ).

On se propose d’estimer sa densit´ e spectrale f X (λ, α) = _(2π) ¹ 2

R

R ² C X (u, v)e ^−iλu e ^−iαv dudv, ` a partir d’observations discr` etes {X (τ k , ν j ) : k ≥ 1, j ≥ 1}, o` u {τ k } et {ν j } sont des processus de Poisson. Ce probl` eme a ´ et´ e ´ etudi´ e par Lii et Masry (1994) pour des processus stationnaires index´ es par R. Nous adoptons leur m´ ethode au cas bi-dimensionnel.

Notre papier se pr´ esente comme suit. Dans la section 2, nous ´ etudions le probl` eme d’´ echantillonnage du champ X. Ensuite, dans la section 3, nous d´ efinissons un estimateur de f X (λ, α), et dans la section 4, nous ´ etablissons respectivement la consistance en moyenne quadratique et la normalit´ e asymptotique de cet estimateur.

2 Pr´ eliminaires et Hypoth` eses

Soient τ et ν deux processus de Poisson ind´ ependants entre eux, et ind´ ependants du champ X. Soit N 1

(resp. N 2 ) le processus de comptage associ´ e ` a τ (resp. ν) et β 1 = E{N 1 (]0; 1])} (resp. β 2 = E{N 2 (]0; 1])}) l’intensit´ e moyenne du processus τ (resp. ν).

Soit Z le processus ´ echantillonn´ e d´ efini par : Z(s + ds, t + dt) = X (s, t)N 1 (s + ds)N 2 (t + dt) et µ Z la

mesure σ-finie d´ efinie par : µ Z (du, dv)dsdt = Cov{Z(s +ds, t+dt), Z(s +u+du, t + v +dv)}, o` u N 1 (s +ds)

est le nombre de τ k dans ]s, s + ds] et N 2 (t + dt) le nombre de ν j dans ]t, t + dt].

La densit´ e spectrale, not´ ee f Z (λ, α), du processus Z est d´ efinie par : f Z (λ, α) = 1

(2π) ² Z

R ²

e ^−iλu e ^−iαv µ Z (du, dv).

Nous d´ eduisons que, f X (λ, α) = _β 2 ¹

1 β ² ₂ f Z (λ, α) − _2πβ ¹ 2

1 β ₂ f Z ₁ (λ) − _2πβ ¹

1 β ² ₂ f Z ₂ (α) + _(2π) 2 ¹ β 1 β 2 C X (0, 0), o` u f Z ₁ (λ) = ^{β 1 C}

^X

_2π ^(0,0) + β ₁ ² f _X ⁽¹⁾ (λ), f Z ₂ (α) = ^{β 2 C}

^X

_2π ^(0,0) + β ₂ ² f _X ⁽²⁾ (α),

f _X ⁽¹⁾ (λ) = _2π ¹ R

R C X (u, 0)e ^−iλu du et f _X ⁽²⁾ (α) = _2π ¹ R

R C X (0, v)e ^−iαv dv.

Les hypoth` eses

Hypoth` ese 2.1 Soit W une fonction r´ eelle continue, paire et positive, satisfaisant les conditions suivantes : W ∈ L ₁ ∩ L _∞ , R

R W (λ)dλ = 1 et w(u) := R

R W (λ)e ^iλu dλ ∈ L ₁ . Hypoth` ese 2.2 Soit K ≥ 2. Pour tout k = 2, ..., K, et tout j = 1, ..., k − 1,

Z

R ^2k−2

(1 + |u j |)(1 + |v j |)

C _X ^(k) ((u 1 ; v 1 ), (u 2 ; v 2 ), ..., (u _k−1 ; v _k−1 ))

du 1 ...du _k−1 dv 1 ...dv _k−1 < +∞, o` u C _X ^(k) est le cumulant d’ordre k de X.

3 D´ efinition de l’estimateur de la densit´ e spectrale

Un estimateur de la densit´ e spectrale f _X (λ, α) est d´ efini comme suit : f b _X (λ, α) = 1

β ₁ ² β ₂ ² f b _Z (λ, α) − 1 2πβ ₁ ² β 2

f b _{Z 1} (λ) − 1

2πβ 1 β ₂ ² f b _{Z 2} (α) + 1 (2π) ² β 1 β 2

C b _X (0, 0), o` u

C b X (0, 0) = 1 β 1 β 2 T 1 T 2

Z T ₁ 0

Z T ₂ 0

X ² (s, t)N 1 (s + ds)N 2 (t + dt), f b Z (λ, α) =

Z

R ²

W T ₁ (λ − u)W T ₂ (α − v)I T ₁ ,T ₂ (u, v)dudv, f b Z 1 (λ) =

Z

R

W T 1 (λ − u)I _T ⁽¹⁾

1 ,T ₂ (u)du, f b Z 2 (α) = Z

R

W T 2 (α − v)I _T ⁽²⁾

1 ,T ₂ (v)dv, I _T ⁽¹⁾

1 ,T ₂ (λ) = 1

2πβ ₂ T ₁ T ₂ Z T ₂

0

|d Z,T ₁ (λ, t)| ² N 2 (t + dt), I _T ⁽²⁾

1 ,T ₂ (α) = 1 2πβ ₁ T ₁ T ₂

Z T ₁ 0

|d Z,T ₂ (s, α)| ² N 1 (s + ds),

I T ₁ ,T ₂ (λ, α) = 1 (2π) ² T 1 T 2

Z T ₁ 0

Z T ₂ 0

X(s, t)e ^−iλs e ^−itα N 1 (s + ds)N 2 (t + dt)

2

d Z,T ₁ (λ, t) = Z T 1

0

X(s, t)e ^−iλs N 1 (s + ds), d Z,T ₂ (s, α) = Z T 2

0

X(s, t)e ^−iαt N 2 (t + dt) W _T

_j

(u) = 1

b T

_j

W u

b T

_j

, avec b _T

_j

→ 0 lorsque T _j → ∞.

A partir des observations {X(τ k , ν _j )} _1≤k≤N(T

1 ),1≤j≤N (T 2 ) , l’estimateur de la densit´ e spectrale s’´ ecrit sous la forme :

f b X (λ, α) = 1 (2π) ² T 1 T 2 β ₁ ² β ₂ ²

N (T 1 )

X

k=1,k6=m N (T 2 )

X

j=1,j6=n N (T 1 )

X

m=1 N(T 2 )

X

n=1

X (τ k , ν j )X (τ m , ν n )e ^−iλ(τ

^k

^−τ

^m

⁾ e ^−iα(ν

^j

^−ν

ⁿ

⁾

×w [b _{T 1} (τ _k − τ _m )] w [b _{T 2} (ν _j − ν _n )] .

4 Propri´ et´ es de l’estimateur

4.1 Consistance en moyenne quadratique

Th´ eor` eme 4.1 On suppose que X est un champ al´ eatoire stationnaire centr´ e ` a valeurs r´ eelles dont la fonction d’autocovariance C _X ∈ L ₁ (R ² ) satisfait les conditions suivantes : uC _X (u, 0), vC _X (0, v) ∈ L ₁ (R).

Alors, l’estimateur f b _X (λ, α) de la densit´ e spectrale est asymptotiquement sans biais.

Corollaire 4.1 On suppose les hypoth` eses du th´ eor` eme 4.1 satisfaites.

Soit N un entier naturel non nul tel que : (i) u ^k v ^N C _X (u, v) ∈ L ₁ R ²

, u ^N v ^p C _X (u, v) ∈ L ₁ R ²

, pour k, p = 0, 1, ..., N, (ii) w(.) est N -fois diff´ erentiable, avec w ^(N) (.) born´ ee et continue.

Alors,

E n

f b X (λ, α) o

= f X (λ, α) + X

(k,p)∈Λ

^∗_N

(ib T ₁ ) ^k (ib T ₂ ) ^p w ^(k) (0)w ^(p) (0) k!p!

∂ ^k+p

(∂x) ^k (∂y) ^p f X (λ, α) +o b ^N _{T 1}

+ o b ^N _{T 2} + O

1 T 1

+ O

1 T 2

, o` u Λ ^∗ _N = [0, ..., N] × [0, ..., N ] \ {(0, 0)}.

Comme w ⁽¹⁾ (0) = 0, le biais de f b X (λ, α) s’´ ecrit : biais n

f b _X (λ, α) o

= − b ² _T

1 w ⁽²⁾ (0) 2

∂ ²

∂x ² f _X (λ, α) − b ² _T

2 w ⁽²⁾ (0) 2

∂ ²

∂y ² f _X (λ, α) + b ² _T

1 b ² _T

2 [w ⁽²⁾ (0)] ² 4

∂ ⁴

(∂x) ² (∂y) ² f _X (λ, α) +o b ² _{T 1}

+ o b ² _{T 2} + O

1 T ₁

+ O

1 T ₂

.

Th´ eor` eme 4.2 On suppose les hypoth` eses 2.1 et 2.2 satisfaites avec K = 4, et b T

_j

→ 0 tel que T j b T

_j

→ ∞ (j = 1, 2). Alors, pour tous λ 1 , λ 2 , α 1 , α 2 , on a :

Cov n

f b _X (λ ₁ , α ₁ ), f b _X (λ ₂ , α ₂ ) o

= (2π) ²

T ₁ T ₂ b _{T 1} b _{T 2} β ₁ ⁴ β ⁴ ₂ f _Z ² (λ ₁ , α ₁ ) [δ _{λ 1 ,λ 2} δ _{α 1 ,α 2} + δ _{λ 1 ,−λ 2} δ _{α 1 ,−α 2} ] Z

R

W ² (u)du ²

+ 1

2πβ ₁ ⁴ β ₂ ³ T 1 T 2 b T ₁

f _Z ² ₁ (λ 1 ) × (δ λ ₁ ,λ ₂ + δ λ ₁ ,−λ 2 ) × Z

R

W ² (u)du

+ 1

2πβ ₁ ³ β ₂ ⁴ T 1 T 2 b T ₂

f _Z ²

2 (α ₁ ) × (δ _{α 1 ,α 2} + δ _{α 1 ,−α 2} ) × Z

R

W ² (u)du +O

1 T 1

+ O

1 T 2

+ o

1 T 1 T 2 b T ₁ b T ₂

+ O 1

T 1 T 2

p b T ₁ b T ₂

! .

4.2 Normalit´ e asymptotique

On pose C o (R ⁺ , ]0; 1[) = {g ∈ C(R ⁺ ) : 0 < g < 1, lim x→+∞ g(x) = 0}, o` u C(R ⁺ ) est l’ensemble des fonc- tions r´ eelles continues et d´ efinies sur R ⁺ = [0; +∞[.

Th´ eor` eme 4.3 On suppose que les hypoth` eses du th´ eor` eme 4.2 sont satisfaites et que T ₁ 7→ b _{T 1} , T ₂ 7→ b _{T 2} ∈ C _o (R ⁺ , ]0; 1[) telles que c ₁ T ₁ + c ₂ T ₂ = o

1 b

_T

₁ b

_T

₂

, pour tous r´ eels positifs c ₁ , c ₂ . Alors, pour tous λ 1 , λ 2 , α 1 , α 2 , on a :

T 1 T 2 b T ₁ b T ₂ Cov n

f b X (λ 1 , α 1 ), f b X (λ 2 , α 2 ) o

= (2π) ²

β ₁ ⁴ β ₂ ⁴ f _Z ² (λ 1 , α 1 ) [δ λ ₁ ,λ ₂ δ α ₁ ,α ₂ + δ λ ₁ ,−λ 2 δ α ₁ ,−α 2 ]

× Z

R

W ² (u)du ²

+ o(1) + O p b T ₁ b T ₂

. (4.1)

Th´ eor` eme 4.4 On suppose que les hypoth` eses du th´ eor` eme 4.3 sont satisfaites et que pour j = 1, 2, b _T

_j

= O

T _j ^−γ

^j

, avec ¹ ₂ < γ _j < 1. Alors, les variables n

(T ₁ T ₂ b _{T 1} b _{T 2} ) ^{1 2} n

f c _X (λ _i , α _i ) − E n

f c _X (λ _i , α _i ) oo ⁿ

i=1

o

sont conjointement, asymptotiquement normales de moyenne nulle et de covariances donn´ ees par (4.1).

Remarques :

• Pour b T

_j

= O T _j ^−γ

^j

, j = 1, 2, on a : c 1 T 1 +c 2 T 2 = o

1 b

T

1 b

T

2

si et seulement si T

1−γ 1

γ

2

1 << T 2 << T

γ

1 1−γ 2

1 .

• Si w ⁽²⁾ (0) = 0, alors le th´ eor` eme 4.4 de normalit´ e asymptotique est encore valable lorsque l’on remplace E n

f c _X (λ _i , α _i ) o

par f _X (λ _i , α _i ).

5 Discussion et exemple

(i) On suppose les hypoth` eses du corollaire 4.1 satisfaites pour N ≥ 2. Alors la vitesse de convergence de l’estimateur de la densit´ e spectrale est : T ₁ ^{γ 1 −1} T ₂ ^{γ 2 −1} .

(ii) Si f b _X,C (λ, α) est l’estimateur classique de f _X (λ, α) pour les observations {X (s, t) : 0 ≤ s ≤ T ₁ , 0 ≤ t ≤ T ₂ }, alors f b X,C (λ, α) a le mˆ eme biais que f b X (λ, α) et sa variance est (Parzen, 1967) :

V ar n

f b X,C (λ, α) o

= (2π) ² T 1 T 2 b T ₁ b T ₂

f _X ² (λ, α) (1 + δ 0,λ δ 0,α ) Z

R

W ² (u)du 2

+ o

1 T 1 T 2 b T ₁ b T ₂

+ O 1

T 1 T 2

p b T 1 b T 2

! . En remarquant que V _P (λ, α) := _{β 4} ¹

1 β ₂ ⁴ f _Z ² (λ, α) > f _X ² (λ, α), pour tout (λ, α), la comparaison en moyenne quadratique de ces deux estimateurs peut ˆ etre faite ` a l’aide du coefficient d’approximation :

K(λ, α) := V P (λ, α) − f _X ² (λ, α) V _P (λ, α) . Il est clair que 0 < K (λ, α) < 1, pour tout (λ, α).

Comme exemple, consid´ erons le champ : X (s, t) = X 1 (s)X 2 (t), o` u X 1 et X 2 sont deux processus station- naires centr´ es ind´ ependants, de fonctions d’autocovariance respectives C 1 (u) = σ ₁ ² e ^{−ρ 1 |u|} et

C 2 (v) = σ ₂ ² e ^{−ρ 2 |v|} , avec ρ 1 > 0, ρ 2 > 0. On v´ erifie que : f X (λ, α) = ρ 1 ρ 2 σ ₁ ² σ ² ₂

π ² (ρ ² ₁ + λ ² )(ρ ² ₂ + α ² ) , V P (λ, α) = σ 1 σ 2

π

4 ρ 1 ρ 2

(ρ ² ₁ + λ ² )(ρ ² ₂ + α ² ) + 1 4β ₁ β ₂ + 1

2

ρ 1

β ₂ (ρ ² ₁ + λ ² ) + ρ 2

β ₁ (ρ ² ₂ + α ² ) ²

, et que V P (λ, α) > f _X ² (λ, α).

La figure 1 illustre l’´ ecart relatif en moyenne quadratique des estimateurs f b X,C (λ, α) et f b X (λ, α) pour ρ 1 = ρ 2 = π, σ 1 = σ 2 = 1, (λ, α) ∈ [−10; 10] ² et 3 valeurs respectives (0.4, 0.5), (1, 5) et (7, 9) de (β 1 , β 2 ).

Elle montre aussi que l’on a une meilleure approximation de la densit´ e spectrale f X (λ, α), lorsque les intensit´ es moyennes β 1 et β 2 ont de grandes valeurs.

Annexe

Preuve du th´ eor` eme 4.1

Grˆ ace ` a l’hypoth` ese 2.2, nous montrons que : E (I T ₁ ,T ₂ (λ, α)) = 1

(2π) ² T ₁ T ₂

(2π) ² T 1 T 2 f Z (λ, α) + O(1)

= f Z (λ, α) + O 1

T ₁ T ₂

.

Nous montrons aussi que : E n

f b Z ₁ (λ) o

= Z

R

W (u)f Z ₁ (λ − b T ₁ u)du + O 1

T 1

, E n

f b Z ₂ (α) o

= Z

R

W (v)f Z ₂ (α − b T ₂ v)dv + O 1

T 2

, E n

C b X (0, 0) o

= 1

β 1 β 2 T 1 T 2

Z T ₁ 0

Z T ₂ 0

C X (0, 0)β 1 β 2 dsdt = C X (0, 0).

Le r´ esultat s’obtient en utilisant le th´ eor` eme de convergence domin´ ee.

Preuve du corollaire 4.1

En r´ e´ ecrivant E n

f b X (λ, α) o

, on obtient E n

f b _X (λ, α) o

= 1

(2π) ² Z

R ²

e ^−iλr e ^−iαl w(b _{T 1} r)w(b _{T 2} l)C _X (r, l)drdl + O 1

T 1

+ O

1 T 2

. Le r´ esultat s’obtient en d´ eveloppant w(t) en s´ eries de Taylor avec reste int´ egral.

Preuve du th´ eor` eme 4.2

Cov n

f b _X (λ ₁ , α ₁ ), f b _X (λ ₂ , α ₂ ) o

= P 16 i=1 J _i , o` u J 1 = 1

β ⁴ ₁ β ⁴ ₂ Cov n

f b Z (λ 1 , α 1 ), f b Z (λ 2 , α 2 ) o

= (2π) ²

T 1 T 2 b T ₁ b T ₂ β ⁴ ₁ β ⁴ ₂ f _Z ² (λ 1 , α 1 ) [δ λ ₁ ,λ ₂ δ α ₁ ,α ₂ + δ λ ₁ ,−λ 2 δ α ₁ ,−α 2 ] Z

R

W ² (u)du 2

+ o

1 T 1 T 2 b T ₁ b T ₂

+ O

1 T 1 T 2

,

J 6 = 1

(2π) ² β ⁴ ₁ β ₂ ² Cov n

f b Z ₁ (λ 1 ), f b Z ₁ (λ 2 ) o

= 1

2πβ ₁ ⁴ β ₂ ³ T 1 T 2 b T ₁

f _Z ² ₁ (λ 1 ) × (δ λ 1 ,λ 2 + δ λ 1 ,−λ 2 ) × Z

R

W ² (u)du + o 1

T 1 T 2 b T ₁

+ O

1 T 1 T 2

+ O

1 T 2

,

J 11 = 1

(2π) ² β ² ₁ β ₂ ⁴ Cov n

f b Z 2 (α 1 ), f b Z 2 (α 2 ) o

= 1

2πβ ₁ ³ β ₂ ⁴ T 1 T 2 b T ₂

f _Z ²

2 (α ₁ ) × (δ _{α 1 ,α 2} + δ _{α 1 ,−α 2} ) × Z

R

W ² (u)du + o 1

T 1 T 2 b T ₂

+ O

1 T 1 T 2

+ O

1 T 1

J ₁₆ = 1

(2π) ⁴ β ² ₁ β ₂ ² V ar

C b _X (0, 0)

= O 1

T 1 T 2

et, grˆ ace ` a l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz et le fait que W T

_j

∈ L 1 , J ₂ = O

1 T ₁ T ₂ √

b

_T

₁ b

_T

₂

, J ₃ = O

1 T ₁ T ₂ √

b

_T

₁ b

_T

₂

, J ₄ = O

1 T ₁ T ₂ √

b

_T

₁ b

_T

₂

, J ₅ = O

1 T ₁ T ₂ √

b

_T

₁ b

_T

₂

, J 7 = O

1 T ₁ T ₂ √

b

_T

₁ b

_T

₂

, J 8 = O

1 T ₁ T ₂ √

b

_T

₁

, J 9 = O

1 T ₁ T ₂ √

b

_T

₁ b

_T

₂

, J 10 = O

1 T ₁ T ₂ √

b

_T

₁ b

_T

₂

, J 12 = O

1 T 1 T 2

√ b

T

2

, J 13 = O

1 T 1 T 2

√ b

T

1 b

T

2

, J 14 = O

1 T 1 T 2

√ b

T

1

, J 15 = O

1 T 1 T 2

√ b

T

2

.

Preuve du th´ eor` eme 4.3

Pour prouver ce th´ eor` eme, il suffit de remarquer que 1

2πβ ₁ ⁴ β ₂ ³ T ₁ T ₂ b _{T 1} f _Z ² ₁ (λ 1 ) × (δ λ ₁ ,λ ₂ + δ λ ₁ ,−λ 2 ) × Z

R

W ² (u)du = o

1 T ₁ T ₂ b _{T 1} b _{T 2}

,

1 2πβ ³ ₁ β ₂ ⁴ T 1 T 2 b T ₂

f _Z ² ₂ (α 1 ) × (δ α ₁ ,α ₂ + δ α ₁ ,−α 2 ) × Z

R

W ² (u)du = o

1 T 1 T 2 b T ₁ b T ₂

, et que pour tous r´ eels positifs c 1 , c 2 , on a ^{c 1 T} _T ^{1 +c 2 T 2}

1 T 2 = o

1 T 1 T 2 b

T

1 b

T

2

, car c 1 T 1 + c 2 T 2 = o

1 b

T

1 b

T

2

.

Preuve du th´ eor` eme 4.4

On v´ erifie que : Cov n

f b Z

_j

(λ), f b Z

_j

(α) o

= O

1 T ₁ T ₂ b

_Tj

, pour j = 1, 2. Donc pour montrer ce th´ eor` eme, il suffit de montrer que tous les cumulants crois´ es d’ordre k ≥ 3 de n p

T 1 T 2 b T ₁ b T ₂ f b Z (λ j , α j ) o

j=1,...,k

tendent vers z´ ero lorsque T ₁ , T ₂ → ∞.

En utilisant les ´ etapes de la preuve du th´ eor` eme 4.1 de Lii et Masry (1994) nous obtenons, pour k ≥ 3 (T 1 T 2 b T ₁ b T ₂ )

^k

² Cum n

f b Z (λ 1 , α 1 ), ..., f b Z (λ k , α k ) o

= O

(T ₁ T ₂ ) ¹⁻

^k

² + O

b _{T 1} b _T2 T 1 T 2

^k

₂ −1

+ O 1

T 1 T 2

^k

₂ −1

(b _{T 1} b _{T 2} )

^k

^{2 −2} ln T ₁ ln T ₂

!

+ ... + O (ln T ₁ ln T ₂ ) ^k−2 (T 1 T 2 b T 1 b T 2 )

^k

^{2 −1}

! ,

qui tend vers z´ ero, car b T

_j

= O T _j ^−γ

^j

et ¹ ₂ < γ j < 1.

Bibliographie

[1] K.S. Lii, E. Masry (1994) Spectral estimation of continuous-time stationary processes from random sampling. Stochastic Processes and their Applications 52, pp. 39 − 64.

[2] E. Parzen (1967) Time Series Analysis Papers. Holden-Day, San Fransisco.

lambda alpha

v

lambda alpha

u

lambda alpha

y

Figure 1: Coefficient d’approximation K pour 3 valeurs de (β 1 , β 2 ).