HAL Id: jpa-00249568
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Submitted on 1 Jan 1997
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Modélisation et incertitude : comparison de deux méthodes pour l’estimation de la confiance des résultats
des modèles numériques
P. Aude, P. Depecker, G. Krauss
To cite this version:
P. Aude, P. Depecker, G. Krauss. Modélisation et incertitude : comparison de deux méthodes pour l’estimation de la confiance des résultats des modèles numériques. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1997, 7 (1), pp.179-193. �10.1051/jp3:1997118�. �jpa-00249568�
Mod41isation et incertitude : comparaison de deux m4thodes pour l'estimation de la confiance des r4sultats des modAles num4riques
P. Aude, P. Depecker (*) et G. Krauss
Centre de Thermique de Lyon (CETHIL), iquipe Thermique Bitiment, INSA de Lyon,
20 avenue A. Einstein, 69621 Villeurbanne, France
(Regu le 21 ddcembre 1995, rdvisd le 22 mar 1996, acceptd le 7 octobre 1996)
PACS.44. Heat transfer, thermal and thermodynamic processes PACS.02.70.Lq Monte-Carlo and statistical methods
R4sum4. Le problAme ddvelopp6 dans ce texte est celui de l'estimation de l'incertitude associde aux r6sultats produits par les codes de simulation num6rique des systAmes physiques,
induite par les incertitudes des donn6es d'entrde. Dans la premiAre partie, les auteurs posent le problAme g6ndral et ddcrivent briAvernent les mdthodes utihsdes pour calculer l'amplitude
du domaine d'incertitude. Ils pr6sentent deux mdthodes types, l'une probabihste, la mdthode de
Monte-Carlo, l'autre ddterministe, l'analyse dilfdrentielle aux dilfdrences finies. Dans la deuxiAme
partie, deux exemples de modAles de comportement thermique de locaux de bitiments sent
utilis6s pour mettre en 6vidence les avantages et les inconv6nients des deux mdthodes Ces
modAles sent des fractions extraites de grands modAles, permettant de simplifier la pr6sentation
des mdthodes proposdes. Pour le premier, les 6changes therrniques sent d6coup16s et on ne traite pas la convection, ce qui conduit h la r6solution d'un systAme hn6aire des radiosit6s de dimension
10 Les auteurs montrent ainsi que l'incertitude relative de la norme du vecteur des radiosit6s est
de l'orde de 19 %, pour des incertitudes de donndes expdrimentales usueues. Pour le second, les
dchanges sent couplds et le modAle est fortement
non hndaire. Les incertitudes obtenues pour les tempdratures de surface des parois du local 6tudid sent de l'ordre de 3 %. Les auteurs confluent
en faveur de l'analyse dilfdrentielle, nettement plus 6conome en temps de calcul et permettant d'identifier les entries sensibles agissant de maniAre pr6ponddrante sur l'incertitude des sorties.
N6anmoins, on souhgne, pour cette m6thode, la n6cessit6 d'entrer dons le formalisme du code de calcul. Globalement, les auteurs concluent h
une relative supdriontd de l'analyse dilfdrentieue,
en particulier dans le cas des grands codes dent l'exploitation en Monte-Carlo serait prohibitive
en temps de calcul.
Abstract. The problem developed and analyzed in this paper is that of the estimation of
the uncertainty associated with the results obtained by numerical simulation codes of physical systems induced from input data. In the first section,
a general problem is developed and the authors describe briefly the methods used to calculate the uncertainty domain. They present two classic methods, one is
a probability method, the Monte-Carlo method; the other, a determinist method, a differential analysis with finite differences In the second section, two examples of models of thermal behaviour of building are used to underline the advantages and the drawbacks of both methods. These models are extracted fractions of larger models allowing
a simplified presentation of the methods proposed. The authors determine the uncertainty domains on out-
puts simultaneously with the two methods. They show that the obtained domain by differential analysis is lightly pessimistic, but very near to those of the Monte-Carlo method, in the case
(*) Auteur auquel doit Atre adress6e la correspondance
© Les #ditions de Physique 1997
of first model, linear, like m the case of second, highly nonlinear. The differential analysis is
clearly more economical in calculation time and makes it possible to identify sensitive data with
significant bearing on output uncertainty Nevertheless, it is emphasized that for this method it is essential to enter into the calculation code formalism. Globally. the authors conclude that
a relative superiority of the differential analysis exists, particularly in the case of large codes where Monte-Carlo use would be prohibitive in calculation time
1. Position du problkme dtud14
1. I. LE PROBL(ME G#N(RAL. NOUS Considdrons un modlie de Comportement d'Un Systlme
physique, classiquement caractArisA par ses donnAes D, reprAsentA par la fonction ~P, et ses
sorties S Les donnAes D peuvent se dAcomposer en deux familles E et C telles que D
= (E, C)
les entrAes, not4es E
= (ei, e2,
....,
en)
les paramAtres de contr61e, notAs C
= (cl, c2, cm).
L'exploitation du modkle ~P peut Atre reprAsentAe symboliquement de la maniAre suivante :
i
D
= (E, C) - th60rique - S = ~P(D).
~P
Les donnAes D peuvent Atre
soit mesurAes, dans le cas des caractAristiques physiques et gAomAtriques du systAme,
soit calculAes, lorsque le modAle traite d'une sAquence de calcul en utilisant des donnAes provenant de la s6quence de calcul prAc4dente.
Dans chacun de ces cas, les donn4es sont entach4es d'une incertitude l14e h leur mesure ou leur (valuation. Si So repr4sente la sortie correspondant aux donn4es de base Do
= (Eo, Co), on
sail qu'elle sera calcu14e avec une incertitude AS l14e h cello des donn4es. Nous nous int4ressons donc h la dAtermination de la perturbation AS associAe aux incertitudes connues des donnAes
AD
t
D + ~D
= (E + AE, C + AC - thAorique - S + ~S
= ~P(D + AD).
~P
L'Avaluation de £hS est une information importante pour les utilisateurs d'un code de calcul, qui doivent pouvoir indiquer l'intervalle de confiance des rAsultats obtenus. Nous nous proposons de prAsenter in deux m6thodes d'estimation de la confiance ~S.
1.2. DESCRIPTION Du PROBLLME THLORIQUE. ConsidArons un modbie dont on peut re-
grouper les sorties dans le vecteur S. Cc vecteur peut s'exprimer sous la forme d'une relation lin4aire ou non-lin4aire des entr4es du modAle E et C par la relation 11)
s = ~jE, c) 11)
oh S = (si, s2,
...,
sq) est le vecteur des sorties, E
= (cl, e2,
...,
en) le vecteur des entr4es, et C = (<.1, c2,
.., cm le vecteur des paramAtres de contr61e, de dimensions respectivement q, n et
m. La fonction ~P est suppos4e connue analytiquement, num4riquement ou expArimentalement.
Le problAme de l'4valuation de l'incertitude consiste donc it 4vaiuer l'incidence. sur les compo-
santes de la sortie S, des perturbations connues sur les AlAments de E et de C. Dans cc but,
nous devons caractAriser les fluctuations sur les donnAes. I chaque composante
e~ et c~, nous
associons un intervalle de variation
c~ E [c~ Ac~,c~ + zhc~j ' °~ ~ ~'' ~ °~ '~~'
Ii s'agit ensuite de d4terminer un domaine d'incertitude sur les sorties sj
sj E [sj ~lsj, sj + Asjj, oh j
= I,..., q.
La variable de sortie sj pout [ire consid4r6e comme une fonction Fj (j~A~~ composante de ~P) d4finie sur le pavA de R"e ~"C ([ei Aei, cl + hell *...* (en zhen, en + hen])*([ci Aci, cl +
Aci)*...*(cm zhcm, cm + Acmj) dont les fluctuations d6terminent le domaine d'incertitude. Si
nous nous plagons dans un cas 414mentaire de dimension 2 par commodit4, la r6ponse est une surface. Le domaine d'incertitude est, dans le cas le plus g4n4ral, un hypervolume de dimension q. On cherchera donc h locahser dans cc domaine la combinaison optimale conduisant h la
variation d'amplitude maximale de la rAponse S.
DAterminer ce domaine revient aiors h rechercher les bornes de Fj sur cc pav4. On se ramAne donc h un problAme de recherche d'eztrema sons contramtes mdgahtds quo l'on traite h l'aide des relations de Kfihn et Tficker.
2. Ddtermination du domaine d'incertitude du vecteur de sorties S
On ne pout pas se contenter, en g4n4ral, de r4sultats issus de modAles de plus en plus complexes
et dAtaillAs. On souhaite aussi Avaluer l'intervalle de confiance assoc16 h ces r4sultats, compte
tenu des incertitudes et/ou des approximations num4riques. Plusieurs m4thodes ont dAjhAtA dA-
veloppAes en ce sens. Pour Avaluer l'elfet des erreurs numAriques (erreurs de troncature, erreurs
de calculs principalement introduites par des nombres trAs proches) la mAthode CESTAC [1,2j peut Atre utilisAe. Cet algorithme, congu au dApart comme critAre d'arrAt dans le calcul itAratif de gradients, s'utilise Agalement dans l'estimation de l'influence des erreurs d'arrondis sur les
r4sultats de simulation. Pour prendre en compte simultan4ment les incertitudes associ4es aux donn4es d'entr4e, CESTAC pout Atre coup14e avec la m4thode de Monte-Carlo.
Parmi les m6thodes adaptAes h l'Atude des entr6es incertaines, on peut citer l'approche dite
it erreur bornde. Elle a pour objectif de caract4riser l'ensemble des valeurs des donn4es accep-
tables au sens oh les incertitudes associAes sont comprises entre des bornes donnAes a priori.
Plusieurs proc4dures ont 4t4 propos4es simultan4ment, et on pout trouver une prAsentation
de l'ensemble de ces algorithmes dans la r6f4rence [3j. On peut citer l'aigorithme de Milanese et Belforte [4j qui caicule les intervalles d'incertitude par programmation linAaire, et I'OBE
(Outer Bounding Ellipsoid) [5j, dAveloppA depuis quelques annAes. Cependant ces diverses ml- thodes ne concernent que les modAles linAaires. L'analyse stochastique [6j est en revanche un
algorithme d'analyse d'incertitude compatible avec les modAles non-linAaires. Ii repose sur un
bruitage diff4rent h chaque pas de temps de l'ensembles des donnAes incertaines. Sa mise en
ceuvre demeure complexe.
Dans ce texte, nous pr4sentons deux m6thodes, l'une d4terministe, l'autre probabiliste faciles
h mettre en ceuvre dans les codes de calcul et compatibles avec les modAles lin4aires et non
linAaires.
2. I. MLTHODE DE L'ANALYSE DIFFLRENTIELLE. Deux situations peuvent se prAsenter pour le traitement du problAme
La fonction ~P ne possAde pas de singularitA sur le domaine de fluctuation des donnAes.
On procAde aiors h une analyse au premier ordre de chaque sortie s~. Si la fonction ~P est diffArentiable au point considArA, on a
~~~
"
j~ ~~~ ~~ '~ a~k
J=i ~CJ ~
~~ f ~c~
~"~ ~
(2)
oh n, m sont les nombres d'entr4es et de paramAtres perturb4s. F~ correspond h l'expression
de ~P relative h la sortie s~ consid4r4e.
Si la fonction ~P pr4sente une ou des singularit4s, it est n4cessaire de proc4der h une 4tude
au cas par cas, selon la nature de la singularit4.
2.1.1. #valuation des d4riv4es partielles. Le calcul des d4riv4es partielles pout Atre mend de plusieurs maniAres, en fonction de la complexit4 du modAle 4tudi4. Le cas id4al est celui pour
lequel on pout 4crire analytiquement ces d4riv4es premiAres. En d4signant par S le vecteur de sortie d'un systAme d'4quations, 4ventuellement non-lin4aires, on doit r6soudre
f(b,s~,...,s~;ai..am)
= 0 (3)
avec b = ~~,
a~ regroupant les paramAtres de contr61e et entr4es du systAme. Los s~.
....,
sJ, ....s~
at
repr4sentent les d4rivAes d'espace d'ordre n,..
, j, ..I. Sa diff4rentiation donne, en introduisant
comme nouvelle solution du problAme la fonction de sensibilitA de sortie x =
~~
le systAme da~
~~
suivant [7j
~
~
~~ ~ ~
~
~
~ ~~
~
~~~
Ces 4quations de sensibilit4 de sortie permettent l'4tude des sensibilit4s de l'ensemble des sorties
au paramAtre oh h l'entrAe observAe. On peut procAder ainsi lorsque les AlAments de l'Aquation (4) sont facilement accessibles. Cependant cette possibilitA est peu courante en raison, soit de la trop grande complexit4 des 4quations, soit de la forme non explicite du modAle (modAle num4rique ou exp4rimental ...). De plus, l'utilisation de cette m4thode oblige h de nombreuses
modifications du modAle th40rique permettant d'atteindre les d4riv4es. Cola reste difficilement r4alisable sur des modAles complexes. Ii reste alors la possibilit4 de recourir h des calculs
approch4s h l'aide de la m4thode aux diff6rences finies. Chaque d4riv4e partielle est 4valu4e h l'aide de la relation suivante
avec,
e = lo,...,0,ej, o,...oj~'
oh e est (gal h une foible perturbation (devantl) h la j~+~~ position, et nul partout ailleurs Pour un sch4ma du premier ordre, ej est choisi proche de la limite de la pr4cision machine,
soit de l'ordre de 10~~. Pour
m paramAtres et n entr4es perturb4s, it faut (m + n) (valuations de ~P plus le cas de base non perturb4. Donc pour chaque sortie s~, As~ demande In + m + I)
calculs.
2.1.2. Le cas particulier des systAmes liJJ4aires. Consid4rons les systAmes ou parties de
systAmes physiques repr4sent4s par la forme matricielle AX
= B, oh A est une matrice carr4e de dimension n x n, et les vecteurs X et B sont de dimension n. Nous cherchons I construire un encadrement des fluctuations du vecteur des sorties X, avec l'hypothAse d'une analyse h l'ordre
un. Nous d4signerons par le symbole b la perturbation d'un terme du systAme. On obtient
(A + bA)(X + bX) = B + bB (6)
et AX + AbX + bAX m B + bB, en n6gligeant les termes de second ordre de type bA bX.
En diff4renciant la solution X
= A~~B, nous obtenons, pour la ligne k
n
dXk =
~ ap~~dbj
j=1
et, pour l'4criture des (carts
n
AXk "
~ )a[~ Abj.
J=i
De mAme, en diff4renciant l'4quation (6), en tenant compte des perturbations des termes de la matrice A, on obtient, pour les (carts
~xk
= [ l~bJa()~~,~ Aa~«).j«) (7)
i ~i
,
2.2. MLTHODE DE MONTE-CARLO. Dons ie cas de la mAthode de Monte-Carlo, une densitA de piobabilit6 Pjk caract4rise toutes les entr4es incertaines du modAle. Pour chaque simulation,
une valeur est s41ectionn4e a14atoirement pour chacune des entr4es incertaines, et toutes les entr4es sont perturb4es simultan4ment. Cette m4thode permet amsi de prendre en compte les diverses interactions agissant entre toutes les entr6es. Les r4sultats sont m4moris4s, et le
processus est r4initialis4, en utilisant un jeu d'entr4es unique et diff4rent h chaque op4ration.
L'incertitude totale des r4sultats de simulations peut s'exprimer h l'aide de l'4cart type
SD(Pj)
N 1/2
~~l~J~ "
jN
i)
11
©k l~l~~~l~)j
~~~
k=I
oh k est l'indice d'une simulation et N le nombre total de simulations, m(Pj) la moyenne des valeurs de la sortie. Une estimation de SD Peut Atre d4duite aprAs chaque simulation et la pr4cision de cette estimation peut se d4terminer en exploitant une distribution du X~ Pour
calculer un intervalle de confiance autour de SD (8]. La pr4cision d4pend seulement du nombre de simulations effectu6es, comme le montre la relation (8). Le principal inconv4nient est que la
sensibilit4 des sorties rapport4e aux variations individuelles de chaque paramAtre ne sont pas
accessibles, puisque les entr4es varient toutes simultan4ment.
3. Application h deux modAles simples de transfert thermique
3.1. MODkLE D'tCHANGES RADIATIFS ENTRE UN LMETTEUR ET soN ENCEINTE. Le but
poursuivi est de d4terminer la puissance d'4mission d'un panneau radiant "vers l'avant", c'est-
h-dire vers la piAce dons laquelle ii est implant4, g4n4ralement contre une paroi. Cette puissance
est obtenue indirectement par la mesure interm4diaire des temp4ratures des surfaces de l'en- ceinte dont on d6duit les radiosit4s. La d4termination de la puissance "vers l'arriAre" est connue, et ne sera pas trait4e ici.
Cette m4thode d'Atude des 4metteurs concerne uniquement les lames radiantes planes (4pais-
seur n4gligeable) et conduit h l'4valuation de la puissance radiative P L'4metteur pouvant Atre consid4r4 comme toujours proche du plan YZ, on peut 4crire (Fig. I)
P = Pav + Par
= (Puiss. avant) + (Puiss. arriAre)
oh Pav est le flux net 4valu6 h l'aide de la relation g4n4rale :
~ l £g
4tablie pour une surface grise et dilfusante i, le milieu s4parant cette surface des autres surfaces de l'enceinte, est suppos4 parfaitement transparent. Si ER d4signe l'4metteur radiant, on a :
Pav = l~~l[[i~0T'R JER>
oh ao
" 5, 68 x 10~~ W m~~K~~, constante de Stephan-Boltzmann, T la temp4rature absolue
de la surface (hi, J la radiosit4 de la surface (W m~~), S l'aire de la surface (m~) et e l'4missivit4 globale et h4misph4rique de la surface. La radiosit4 JER ne peut Atre dAtermin4e
que par l'4vaiuation complAte de tous les (changes radiatifs dons l'enceinte. JER est alors l'une des composantes du vecteur radiosit4 J
J=jJiJ2;..j...Jn)~'
solution du systAme lin4aire Al
= B
j=n
i = 1 ~[bij (I ei)Fij)Jj
=
eiaoT)
j=i
Vi,
j=I
n
orme de Si vers Sj. Le systAme matriciel a
une imension de 10 x 10. Les autres onn4es
du roblAme
sont : e~ = 0,9 pour i = 1, ..., 10
et1 # 4, e4 =
273[1] + [22,1;
22,1; 81,4; 2,1;18,8;18, 2;18,8;18, 8] oh
Ill
est le cteur itaire.
Les de contr01e sont les 4missivit4s e~ et les ntr4es sont les T~. Ces
randeurs sont esurAes avec les ncertitudes suivantes :
£1 " £~(exp * 4,5 X 10 ~, Tg " Tg(exp * 0,2 i~.
Le tableau 1r4sume les r4sultats obtenus par la m4thode de Monte-Carlo et l'analyse dif- f4rentielle par di1f4rences finies. La figure 2 pr4sente la superposition de l'encadrement par di1f4rences finies et de l'ellipsoide de confiance correspondante. Elle ne regroupe que quelques exemples, l'ensemble des r4sultats obtenus pour chaque composante n'4tant pas pr4sent6 pour plus de concision. On peut y comparer les encadrements des deux m4thodes. La m6thode de
l'analyse di1f4rentielle par diff4rences finies conduit h une estimation du domaine d'incertitude
Emetteur
want
~
~
z z z
j fj fj
~
~~/ ~ ~ ~~~ j~ ~~~
x x ~x
dx
Fig. I. Schdma de principe du dispositif exp6rimental utilis6 pour l'6valuation de la puissance de l'dmetteur radiant ER.
[Sketch of the experimental apparatus used for the evaluation of the radiant emitter RE heat flux-j
Tableau I. Incertitudes assocides d chaque composante de J, calculdes par dijfirences jimes (DF) et Monte-Carlo (MC).
[Uncertainties associated with each component of J calculated by finite differences (FD) and Monte-Carlo (MC).]
Composantes Valeurs non Incertitudes Incertitudes Incertitudes Incertitudes
J perturbdes estim6es par DF en % estim6es par MC en %
Ji 429,0 +43,4 +10.1 +39,0 +9,1
J2 428,8 +43,2 ~10,0 +39,3 ~9,2
J3 428,9 ~43,8 ~10,2 +38,8 ~9,0
J4 862,1 ~62,1 ~7,2 ~71,4 ~8,3
Js 429,0 ~43,6 ~10,1 ~39,7 ~9,2
J6 412,7 ~48,3 ~ll,7 ~5,5 ~ll,0
J7 410,4 ~43,0 ~10,5 ~36,7 ~8,9
J8 412,8 ~48,1 ~ll,7 ~46.I ~ll,2
Jg 411,7 ~42,8 ~10,4 ~36,6 ~8,9
Lo 417,5 ~43,2 +10,3 +37,7 +9,0
