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Submitted on 1 Jan 1968
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RADIATION COHÉRENTE ET RADIATION INCOHÉRENTE
J. Yvon
To cite this version:
J. Yvon. RADIATION COHÉRENTE ET RADIATION INCOHÉRENTE. Journal de Physique Col- loques, 1968, 29 (C3), pp.C3-156-C3-160. �10.1051/jphyscol:1968337�. �jpa-00213575�
RADIATION COHÉRENTE ET RADIATION INCOHERENTE
par J. YVON
Faculté des Sciences, 9, quai Saint-Bernard, Paris 5"
Résumé. - Dans le cadre d'une étude entreprise pour adapter la théorie quantique du rayon- nement aux problèmes posés par la présence d'un milieu matériel macroscopique, on procède à l'analyse du rayonnement par la méthode des cumulants. On distingue aisément la radiation cohérente et les composantes incohérentes. L'essentiel de la radiation incohérente est représentée par le potentiel tenseur, généralisation du potentiel vecteur, dont on détaille les propriétés générales soit du point de vue quantique, soit du point de vue classique.
Abstract. - In the process of studying the quantum theory of radiation we have analyzed the structure of the electromagnetic field in terms of cumulants. One can easily separate the coherent radiation from the incoherent background. The main part of the incoherent radiation is described in terms of a (( tensor potential)), which generalizes the usual vector potential. We present its general properties, from the classical and the quantum point of view.
1 . L'objectif. - Les interactions du rayonnement électromagnétique et des systèmes simples, particules isolées, atomes, ont fait l'objet d'études systéma- tiques qui relèvent d'une doctrine générale et qui s'appelle l'électro-dynamique quantique.
Le cas où la matière est constituée par un système macroscopique n'a pas fait I'objet de travaux aussi complets. 11 m'a semblé qu'il y avait là place pour des études utiles. 11 s'agit, je précise, de travaux où le système macroscopique est analysé d'un point de vue microscopique et qui relèvent par conséquent de la mécanique statistique.
II existe entre le cas des systèmes simples et le cas des systèmes complexes une sérieuse difftrence pra- tique : dans le premier cas, des particules étant envoyées
Nous utiliserons les unités naturelles : la constante de Planck, diviséc par 2 ir, la vitesse de la lumière, la constante de Boltzmann sont prises égales à l'unité.
Le seul étalon qui subsiste est l'étalon de longueur.
L'état du système est décrit à chaque instant par un opérateur densité D. Celui-ci évolue en fonction du temps suivant l'équation de Von Neumann
ou H est i'hamiltonien du système. A toute observable correspond un opérateur G dont la valeur moyenne est donnée à chaque instant par un calcul de trace :
< G > = Tr GD. (2)
à la rencontre les unes des autres, ce qu'on recherche
Mais, dans les lignes qui suivent, la dynamique res- principalement c'est la nature et l'état des particules
tera au second plan. Ce que je désire essentiellement issues de la rencontre. Les problèmes sont dominés exposer, ce sont des procéd6s pour décrire par les relations entre l'état initial et l'état final. Dans
rayonnement et pour en faire I,analyse.
le second cas, il convient de suivre pas à pas et de
Un sujet voisin a fait I'objet d'études magistrales
en quelque récentes (R. 1. Glauber [2] L. Mandel et Wolf (31).
ment et celle de la matière. Ces études portent essentiellement sur la théorie des L'essai dont certains aspects vont être présentés mesures ne visent pas à l'étude du rayon- est non relativiste. Le champ électromagnétique est nement à l'intérieur de la source et leurs besoins ne décrit dans la jauge de Coulomb le champ électro- sont pas exactement ceux qui se manifesteront ici. Le magnétique est divise en une composante qui est lecteur ne s'étonnera pas de trouver des dissemblances purement Clectrostatique et une autre composante et des
qui dérive d'un potentiel vecteur de divergence nulle. -
Celle-ci sera seule quantifiée. 2. Analyse du rayonnement. - Le système est
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1968337
RADIATION COHÉRENTE ET RADIATION INCOHÉRENTE C 3 - 157
décrit dans un cube de volume V . Il est soumis aux conditions cycliques. On définit dans ce volume les ondes électromagnétiques élémentaires par leur poten- tiel vecteur :
Ui =
(6)
Yi E, exp i(ki. x) .k i est le vecteur d'onde, E, la polarisation que nous supposons rectiligne. Le vecteur k i est soumis aux conditions cycliques. L'indice i est polyvalent et caractérise à la fois le vecteur d'onde et la polarisation.
Le terme d'onde est un peu abusif puisqu'ici le temps ne figure pas.
A chaque onde on fait correspondre une espèce de photons. Les photons sont donc caractérisés par l'indice i, qui ne donne aucun renseignement sur la fréquence. Cette présentation peut paraître artificielle.
Elle est en fait justifiée par la présence de la matière.
Cette présence enlève toute signification à la relation fréquence-longueur d'onde qui est valable pour le vide. C'est l'objet ultérieur des relations de dispersion de préciser, quand la matière est homogène, les liens qui peuvent exister entre longueur d'onde et fréquence.
De plus, il faut bien voir qu'en présence de matière hétérogène, les ondes planes elles-mêmes ne sont pas réalistes. Qu'on imagine par exemple la présence d'un prisme de verre au beau milieu du système ! Les ondes planes sont néanmoins une bonne base de départ.
A chaque espèce de photon correspond un opérateur de création a: et un opérateur d'annihilation a,. Nous rangerons souvent ces opérateurs en une seule collec- tion a,, l'indice oc pouvant être un i ou un i+. En général, les opérateurs a, et a, commutent entre eux, sauf dans le cas suivant :
qui est caractéristique des bosons.
L'état du rayonnement à un instant donné, est entièrement défini par un opérateur densité DR qui est la trace partielle de l'opérateur densité D du sys- tème global sur la matièie :
DR = TM D . ( 5 )
Etant donné un produit quelconque d'opérateurs de création ou d'annihilation
a , a, a, a, (6)
il lui correspond une moyenne
A,,,, = < a , a p a , a , > = TR a , a , a , a , D R . ( 7 ) Ces moyennes sont des nombres, généralement complexes, qui ne dépendent que d u temps.
La connaissance de l'ensemble des AaSya équivaut
Zi la coiinaissance de l'opérateur densité du rayonne- ment. C'est à l'aide de ces moyennes que nous décri- rons les phénomènes dynamiques. On notera que ces moyennes sont surabondantes puisqu'elles sont loin d'être indépendantes. Nous nous débarrasserons sans difficulté de cette complication.
L'ensemble de nos moyennes semble très lourd à manier. Une méthode d'approximation, qui est la mkthode des cumulants [l] va nous permettre une rapide décantation. On introduit les quantités sui- vantes :
Capy = Aagy - Aap Ay -
- A,, A, - AB, A, + 2 A, Ag AY
etc...
Réciproquement :
On démontre que les C sont indépendants de l'ordre des indices, à l'exception des cumulants à deux indices.
Pour ceux-ci la relation
est presque générale, à l'exception du cas où ci et P
sont deux indices adjoints. Dans ce cas il vient :
Ce sont ces seules quantités qui portent le poids de la relation (4) dans la représentation du rayonnement à l'aide des cumulants.
Lorsqu'on remplace dans un cumulant tous les indices par les indices adjoints, on fait paraître la quantité complexe conjuguée. Notamment :
Dans le vide A, évolue suivant la formule suivante :
ce qui fait paraître une fréquence, en valeur absolue :
associée à chaque sorte de photons. C'est évidemment l'exemple le plus simple possible d'une relation de dis- persion.
Aux A i on associe un potentiel vecteur, de divergence nulle
A = C (Ai Ui + A* UT) .
i
(15)
De ce potentiel vecteur dérivent le champ magnétique
B = rot A (16)
et le champ électrique de rayonnement
Si on ajoute à ce champ électrique Ic champ élec- trostatique, on obtient un ensemble champ électri- que + champ magnétique qui vérifie cxactement les équations de Maxwell, les sources du champ étant la densité électrique et la densité du courant. Il faut noter ici que la densité de courant, notion claire de l'électrodynamique classique, ne s'écrit pas sans quelques soins quand o n se réfère à la théorie quan- tique du rayonnemcnt.
II est naturcl de dire que le potenticl vecteur A représente la radiation cohérente. II ne faut attacher à ce terme aucune idée a priori de monochromaticité.
La connaissance du champ cohérent est équivalente à celle des A,. 11 est clair que ces quantités ne repré- sentent pas tout le rayonnement, puisque celui-ci ne peut être entièrement décrit que par l'ensemble des CEP?. 11 est naturel de dire que l'ensemble des cumu- lants à plus d'un indice représente la radiation inco- hérente.
Lorsque le rayonnement est en équilibre thermique dans le vide, ou peut-être avec juste assez de matière pour assurer la thermalisation, il n'y a aucune radiation cohérente. Les seuls cumulants non nuls sont Ics
Les premiers sont donnés par la formule de Planck
Ils représentent le nombre moyen de photons pré- sents sur l'onde i.
En présence de matière, la situation n'est plus la même. En particulier, il peut exister une aimantation spontanée, un champ magnttique e t par conséquent
un potentiel vecteur non identiquement nul. Notre manière de voir les choses a la particularité d'incor- porer des champs magnétiques statiques dans le cadre de la radiation cohérente.
Quoi qu'il en soit, il est tentant d'admettre, au moins pour une première exploration du sujet, que les cumulants d'ordre supérieur ne jouent que rarement un rôle très important et qu'une connaissance conve- nable du champ de rayonnement est obtenue par l'étude prioritaire des A, et des Cap
3. Le potentiel tenseur. - Les cumulants à deux indices ne sont pas symétriques. Nous introduisons ici des grandeurs qui présentent cette qualité. Nous poserons en général
à l'exception du cas où les deux indices sont adjoints l'un de l'autre. Dans ce cas particulier, nous poserons :
Ceci fait, de même que nous avons associé une fonction d u point courant, le potentiel vecteur aux A,, nous associerons également une fonction analogue aux BEP Nous poserons :
La grandeur ainsi introduite est un tenseur.
Elle dépend de deux points, qui sont indépendants et éventuellement du temps. Elle est réelle, symétrique et doublement à divergence nulle. L a symétrie s'ex- prime par la relation suivante :
11 est naturel de baptiser cette quantité du nom de potentiel tenseur. On peut toujours se représenter le potentiel tenseur comme un mélange d'ondes cohérentes
sous la forme
les A , formant une suite réelle orthogonale mais non normalisée. II faut noter ici que la notion orthodoxe de mélange ne comporte que des signes +. 11 est
probable néanmoins que la présence de signes négatifs est assez exceptionnelle.
Assurément dans le vide e t très probablement également dans les milieux idéalement transparents,
RADIATION COHÉRENTE ET RADIATION INCOHÉRENTE C 3 - 159 les ondes du mélange se propagent exactement comme
la vraie radiation cohérente. 11 en va sans doute de même vis-à-vis des miroirs parfaits. Justifier entière- ment ces affirmations constitue un sérieux programme de recherche théorique, mais on voit bien qu'au cas où elles seraient fausses, on ne comprendrait plus rien au fonctionnement des instruments d'optique.
Penser à l'optique, c'est se restreindre à un certain domaine de fréquences. En fait dans notre description du rayonnement, il n'y a aucune prescription de ce genre. Les radio-fréquences sont aussi bien impliquées que les fréquences optiques et on passe sans transition d'un domaine à l'autre. Ce n'est pas le cas dans les exposés de l'optique qui sont dominés par la notion de photon parce que celui-ci n'est qu'un souvenir encombrant pour les radio-électriciens. Mais ici, le photon est passé à l'estompe et se laisse aisément oublier. C'est que les méthodes employées diminuent d'entrée de jeu les problèmes de la catastrophe infra- rouge qui sont propres à l'électrodynamique quanti- que traditionnelle.
Les opticiens se sont contentés pendant longtemps de manipuler des radiations incohérentes. L'idéal des radio-électriciens et le matériel qu'ils utilisent les ont portés à s'occuper en priorité des phénomènes cohérents. Pour eux, l'incohérence c'est du bruit. La notion de potentiel tenseur permet d'analyser ce bruit.
Au moins pour l'essentiel, puisqu'ellc néglige les cumulants d'ordre supérieur.
Revenons maintenant aux longueurs d'onde plus courtes et ayons ilne pensée pour les astrophysiciens.
La propagation du rayonnement naturel dans les ambiances stellaires ne laisse guère de place à la radiation cohérente. Je voudrais montrer comment le potentiel tenseur doit être transformé pour s'ajuster aux problèmes d'astrophysique.
Jusqu'à présent nous avons prêté peu d'attention aux problèmes dynamiques. 11 nous suffirait de savoir que la dynamique était entièrement régie par I'équa- tion (1). C'est que nous avons procédé à des opérations de caractère statistique qui n'intéressaient qu'un seul instant à la fois. Cette démarche nous a conduit à un potentiel tenseur qui n'est fonction que d'un seul temps. Il y a là une disparité entre le temps et l'espace et il convient d'imaginer une généralisation
où à cllaque point de l'espace est associé un temps particulier. Naturellement cette nouvelle grandeur doit se confondre avec l'ancienne lorsque t' = t . Ce qu'il faut, c'est que les équations de la dynamique se laissent découpler de manière que B,, soit défini
sans ambiguïté pour tout couple t , t ' . Ce découplement est sûrement possible lorsqu'on néglige les corrélations entre la matière et le rayonnement, mais il est proba- blement possible dans tous les cas puisque I'équation générale d'évolution se laisse elle-même découpler.
Dans un milieu fortement désordonné le tenseur (24) tend rapidement vers zéro lorsque :
augmentent. II est alors naturel de procéder à une transformation de Fourier comme il est d'usage lorsqu'on veut passer d'une description quantique à une description classique, suivant l'exemple donné par Wigner. Ici la transformation porte à la fois sur I'espace et sur le temps. On posera :
D = - 1
1
B,, exp i ( k . X - or) dl[ d r . (27)x y (2 n)4
Le nouveau tenseur D,, est complexe. II jouit des propriétés générales suivantes :
Les composantes diagonales de ce tenseur sont réelles, non nécessairement positives et paires en k et o. Les propriétés de divergence nulle du tenseur B se répercutent sur le nouveau tenseur (équations à lire tensoriellement) :
Quant aux équations d'évolution nous nous conten- terons de les écrire pour le cas du vide :
L'équation (30) est l'équation de propagation.
L'équation (31) est le substitut de l'équation de dis- persion. Mais ce n'est pas une équation de dispersion, il n'y a plus de relation précise entre la fréquence et la longueur d'onde. Toutefois, il faut d'énormes
variations spatio-temporelles de notre tenseur pour que la relation du vide :
devienne franchement inexacte.
Le tenseur ll,, décrit d'autre part l'état de polari- sation de la lumière. Pour se rapprocher des problèmes habituellement envisagés dans le calcul de transfert de la radiation, il faut simplifier le schéma rigoureux en supposant que le rayonnement est, en chaque point, à peu près isotrope et à peu près symétrique par rapport à un plan quelconque passant par ce point.
Dans un milieu matériel, peu transparent, les phéno- mènes d'émission, d'absorption et de diffusion se chargent d'engendrer une telle situation.
4. La théorie semi-classique. - Comme le remar- que Glauber, la théorie (( semi-classique 1) est victime d'une terminologie fâcheuse, si du moins on prend le mot classique dans le sens de non quantique.
En efïet, la théorie semi-classique se déduit de la théorie exacte par les opérations suivantes qui n'éli- minent pas la constante de Planck :
10 On néglige les corrélations entre la matière et le rayonnement, ce qui se traduit par l'équation suivante :
20 On néglige toute radiation incohérente, ce qui supprime en particulier l'émission spontanée, qui est un acte incohérent.
Précisons que ces opérations, qui sont clairement définies, n'aboutissent pas tout à fait au formalisme traditionnel. L'état de la matière n'est pas un état pur, mais un mélange, cet état n'est pas représenté par une fonction d'onde mais par l'opérateur densité précité.
La matière évolue donc suivant l'équation
où H' est l'hamiltonien semi-classique. La théorie semi-classique est commode pour traiter avec une bonne approximation les phénomènes où la radiation cohérente est dominante.
La limite non quantique de la théorie semi-classique est familière aux théoriciens des milieux ionisés. On consuItera par exemple l'ouvrage de Ginzburg [4].
5. Conclusion. - Dans un milieu où l'on désire décrire intégralement le champ électromagnétique.
celui-ci doit se traiter comme un être aléatoire. Cette nature aléatoire est incluse dès les principes dans la théorie quantique du rayonnement.
A partir de cette théorie, en vue de dégager les notions de radiation cohérente et de radiation inco- hérente, il convient d'adopter une description de la radiation qui donne le pas à la description ondulatoire sur la description corpusculaire.
Je note d'ailleurs, sans y insister, que même dans l'étude des systèmes simples cette attitude n'est peut- être pas méprisable : après tout il suffit de mettre un électron dans le vide pour en faire un milieu dispersif.
La description ondulatoire est très proche d'une description classique. A ce sujet un commentaire historique est intéressant : la théorie de Maxwell est une théorie où la matière est traitée d'un point de vue macroscopique. Elle ne pouvait incorporer sans remaniements les phénomènes aléatoires. Elle ne connaissait que la radiation cohérente. La nécessité de raisonner sur la cohérence et l'incohérence n'est apparue aux radio-électriciens que récemment, pos- térieurement à la création de la théorie quantique.
Si leurs besoins s'étaient manifestés plus tôt, ils auraient pu développer pour leur usage une théorie aléatoire du rayonnement électromagnétique qui eût été de structure entièrement classique. L'avance que la théorie quantique a prise dans le domaine nous permet d'économiser des frais d'imagination et de demander à la théorie quantique de répondre à toutes les questions.
Le résultat est que l'analyse du rayonnement est pratiquement la même de part et d'autre. Les problè- mes classiques et les problèmes quantiques ne se séparent sérieusement que lorsqu'il s'agit de traiter des interactions avec la matière.
Bibliographie
[l] La méthode des cumulants est rappelée dans l'ouvrage intitulé (( Les corrélations et i'entropie )) (J. YVON, Dunod éd., Paris, 1966).
[2] GLAUBER (R. J.), dans (( Optique et électronique quan- tiques >) (Les Houches, Gordon and Breach, 1965).
[3] MANDEL (L.) et WOLF (E.), Rev. Mod. Physics, 1965, 37, 231.
[4] GINZBURG (V. L.), Propagation of Electromagnetic Waves in Plasma (Gordon and Breach, 1961).
