Multiplication 1

Produit de deux quotients

Pour multiplier des nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Pour tous nombres

a

,

b

,

c

et

d,

où

b

et

d

sont non nuls :

a b

^×

c d

⁼

a

×

c b

×

d

Remarque : Si

b

= 1, la formule devient

a

×

c d

⁼

a

×

c d

^.

Cette formule permet de calculer la fraction d'une quantité (voir exemple 2).

Exemple 1 : A = − 35×39

33×80 On détermine le signe du résultat.

A = − 7×5×13×3

11×3×2×5×8 On cherche des facteurs communs.

A = − 7×13

11×2×8 On simplifie.

A = − 91

176 On calcule.

Exemple 2 :

Dans une classe de 28 élèves, les deux septièmes des élèves ont choisi l'option Latin.

Le nombre d'élèves ayant choisi cette option est égal à 2

7×28=2×28

7 =2×4×7

7 =8 élèves.

Produit en croix

Pour tous nombres

a

,

b

,

c

et

d,

où

b

et

d

sont non nuls : si

a

b

⁼

c

d

^alors

a

×

d

=

b

×

c

Exemple 1 :

Pour savoir si les fractions 7 13et 6

11sont égales, on calcule les produits en croix 7 × 11 et 6 × 13.

Si ces fractions étaient égales, alors les produits en croix seraient égaux.

Comme ils ne le sont pas, ces fractions ne sont pas égales.

Pour tous nombres

a

,

b

,

c

et

d,

où

b

et

d

sont non nuls : si

a

×

d

=

b

×

c

alors

a

b

⁼

c d

Exemple 2 :

On cherche le nombre

x

vérifiant l'égalité364 156=

x

33.

D'après la propriété 1, on en déduit que 364 × 33 = 156 ×

x

, c'est-à-dire : 156 ×

x

= 12 012.

On en déduit aussi que

x

=12 012 156 =77.

On a donc l'égalité 364 156=77

33.

Fractions : multiplication et division • N3

A

¹⁷

B

⁴⁸

Propriété 1

Propriété 2 Propriété

Multiplication

1

39

Inverse d'un quotient

• Tout nombre

x

non nul admet un inverse (noté

x

^{− 1}) qui est le nombre1

x

^.

• Tout quotient

a

b

^{, avec}

a

et

b

non nuls, admet un inverse qui est le nombre

b a

^.

Démonstration : Soit un quotient

a

b

^{, avec}

a

et

b

non nuls.

Comme

a b

^×

b a

⁼

a

×

b

b

×

a

⁼1, les nombres

a b

^et

b

a

sont inverses l'un de l'autre.

Exemple :

L'inverse du quotient−5 13 est 13

−5=−13 5 .

Division de deux quotients

Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.

Pour tous nombres

a

,

b

,

c

et

d

où

b

,

c

et

d

sont non nuls :

a b

^÷

c d

⁼

a b

^×

d c

^ou

a b c d

=

a b

^×

d c

Exemple 1 : Exemple 2 :

C =−8 7 ÷ 5

−3 D =

− 32 21

−48

−35 C = 



⁸7÷5

3



On détermine le signe du résultat. D = −

32 21 48 35 C =8

7×3

5 On multiplie par l'inverse du deuxième quotient. D = −32 21×35

48 C =8×3

7×5 On multiplie les fractions sans oublier de simplifier. D = −8×2×2×7×5 7×3×3×2×8 C =24

35 On calcule. D = −10

9

N3 • Fractions : multiplication et division

40

A

⁵¹

B

⁵⁸

Propriété

Division

2

Propriété

152 40

152