Plan de la présentation 1

(1)

Chap 1 : Introduction aux SA & outils mathématiques

Physique & Contrôle des Systèmes

Asservissement des systèmes linéaires à temps continu

Plan de la présentation 1

4 2

Exemple et structure d’un Système Asservi – Qualités d’un asservissement

Transformée de Laplace : Un outil indispensable pour l’étude des asservissements

6 Modélisation & représentation classique d’un asservissement 3

Système linéaire du 1

^er

& 2

^nd

ordre : réponse temporelle & harmonique Le cas important des systèmes linéaires

5 Retour sur la construction des diagrammes de Bode : Un outil essentiel !

(2)

Les systèmes asservis : Introduction 1

Processus Physique Système

Commande Grandeur de sortie

Système, processus : Dispositif réalisant une fonction dont la grandeur de sortie évolue de façon plus ou moins maitrisé par l’entrée de commande.

Exemple :

Sans information sur la grandeur de sortie, il n’y a aucune certitude sur l’état de la sortie par rapport à la grandeur de commande

On appelle alors un système asservi, un système dont la commande est réglé à partir des observations de la sortie et de la consigne préalablement fixée.

Un système asservi est donc un système bouclé possédant une rétro action de la sortie sur

(3)

+ -

Consigne

Structure d’un système asservi 1

Erreur

Mesure CAPTEUR

CORRECTEUR

Grandeur asservie

Commande PROCESSUS

(a asservir) Structure générale

Exemples : Asservissement de vitesse, de position, de température….

Perturbations

COMPARATEUR

(Soustracteur)

(4)

Les qualités d’un asservissement : Rapidité 1

Rapidité : Il s’agit de la vitesse à laquelle répond le système vers son état stable

lorsqu’il est soumis à une réponse indicielle. On caractérise son temps de réponse tr à 5%, c’est-à-dire le temps à partir duquel la sortie reste comprise entre 95% & 105%

de la valeur finale.

t Consigne

Sortie cas n°1 Sortie cas n°2

trep2 0

100%

105%

95%

(5)

Les qualités d’un asservissement : Stabilité 1

Consigne

Sortie stable

Sortie instable

t

Stabilité : Il s’agit de l’aptitude d’un système à évoluer vers une sortie

constante (stable) lorsqu’on applique en entrée un échelon.

La stabilité des systèmes bouclés est un point essentiel dans l’étude des

systèmes asservis (voir Chap1.2).

En électronique des télécoms (SEI), l’instabilité d’un système peut être mis à

profit pour réaliser des oscillateurs. Dans le

cadre du module PCS nous chercherons le

plus souvent à rendre un système stable !

(6)

Les qualités d’un asservissement : Précision 1

Précision : Il s’agit de la capacité d’un système à suivre les variations d’entrée en toute circonstances. On caractérise la précision par l’erreur qui existe (ou non) entre la sortie et la consigne.

Erreur de précision

t Sortie système

précis

Sortie système peu précis

Consigne

(7)

Que représente un système linéaire ? 2

Définition : Un système est dit linéaire s’il vérifie le principe de superposition

SL

e(t) s(t)

e1 e2

s1 s2

Lorsque e(t) = α .e1+ β .e2

S est linéaire ssi s(t) = α .s1+ β .s2

Exemple de systèmes linéaire/non linéaire

e s

s=k.e

e s

s=|e|

e s

Contexte : Dans le cadre du module PCS/S3 nous allons rencontrer de

nombreux systèmes à asservir que l’on suppose linéaire.

(8)

Propriété 1 : Si le système linéaire est stationnaire ( c ’est à dire son comportement n ’évolue pas au cours du temps ), alors on peut décrire ce système par une équation différentielle à coefficients constants entre l ’entrée et la sortie.

Propriété 2 : L ’association de systèmes linéaires est un système linéaire

SL1 SL2 SLi

SL1 SL2

L ’ordre du système correspond alors à l ’ordre n (n ≥ k) de l ’équation différentielle.

Propriétés des systèmes linéaires 2

) t ( e . dt b

) t ( . de b ...

dt ) t ( e . d

dt b ) t ( e . d b ) t ( s . dt a

) t ( . ds a ...

dt ) t ( s . d

dt a ) t ( s . d

a

1 0

1 k 1 k 1 k k

k k 0

1 1 n 1 n 1 n n

n

+

⁻ ⁻ ₋

+ + + = +

⁻ ⁻ ₋

+ + +

(9)

Transformée de Laplace : Un outil indispensable 3

Etude de la réponse temporelle d’un système linéaire PROCESSUS

Système linéaire

e(t) s(t)

p : variable de Laplace

⇒ Résolution d’équation différentielle

La transformée de Laplace est un outil permettant de résoudre les équations diff 1 - Description

physique d’un système :

équation différentielle

2- Application de la transformée de Laplace

3- Décomposition en forme type

4- Solution du système par

transformation de Laplace inverse (tableau)

dt (.)

d (.) × p (.) × j ω

(10)

Transformée de Laplace : Les fondamentaux 3

Définition Table des transformées de Laplace usuelle

Théorème de la valeur finale

) p ( p.S lim

) t ( s

lim =

) p ( S )

t ( s

→ TL

∞ ∫

= − 0

pt s ( t ) dt e

) p ( S

p : variable de Laplace complexe p=a+jb

(Intégrale sous réserve

de convergence)

(11)

Transformée de Laplace : Exemple électrique 3

C R

e(t) s(t)

i i

) t ( s ) t ( i.

R ) t (

e = +

dt ) t ( C ds )

t (

i = ⋅

) t ( dt s

) t ( . ds RC )

t (

e = +

R

i

Traduction du système linéaire sous la forme d’une fonction de transfert

RCp 1

1 +

E(p) S(p)

e(t)=Eo.u(t)

u(t) : fonction échelon u(t)=1 pour t>0

u(t)=0 pour t<0 Eo

Résolution du système en présence d’un échelon en entrée

Résolution du système en présence d’une rampe en entrée e(t)=K.t.u(t)

K

t

(12)

Transformée de Laplace : Exemple électromécanique 3

Moteur à courant continu + Charge

U(t)

i(t)

Ω (t)

Hyp : inductance de l’induit négligeable

E(t)

r

Equation électrique

Equation mécanique

Equations électromécanique

) t ( E ) t ( i.

r ) t (

U = +

) t ( . f ) t ( dt Cem

) t (

J d Ω = − Ω

) t ( . k ) t (

E = Ω Cem ( t ) = k i. ( t )

U(p) Ω (p)

Cem : Couple électromécanique

f : Coefficient de frottements visqueux

Modélisation

(13)

Les systèmes linéaires : les formes canoniques passe bas 4

c 1 p

1 p

. 1

) 1 p ( T

+ ω τ =

= +

2 2

o p o

m p 2 1

) 1 p ( T

+ ω

⋅ ω +

=

Cas très fréquent

1

^er

ordre passe bas 2

^nd

ordre passe bas

τ

ω c

m ω o

E(p) S(p)

T(p)

e(t)=Eo.u(t)

Eo s(t)

?

t t

(14)

Retour sur les systèmes linéaires du 1 ^er ordre passe bas 4

Exemple : circuit RC

) t ( st s

) t ( . ds )

t (

e = τ + τ = RC

( ^s ⁽ ⁰ ⁾ ^s ⁽ ⁾ ) ^. ^exp ^t ^s ⁽ ⁾

) t (

s  + ∞



 



 −

∞

− +

= τ

) 0 ( s +

) ( s ∞

fc 35 , 2 0

, 2

tr

¹⁰^%⁻⁹⁰^%

= τ = ^ts

⁵^%

= ³ ^. τ ^tp = ⁰ ^, ⁷ τ

Si e(t) est un échelon d ’amplitude 1V Pour un système du premier ordre soumis à une entrée

échelon la réponse est de la forme générale

représente la valeur prise par la sortie juste après la variation de l ’entrée représente la valeur prise par la sortie en régime asymptotique

τ est la constante de temps du système

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Réponse indicielle

t/ τ

C R

e(t) s(t)

(15)

Retour sur les systèmes linéaires du 2 ^nd ordre passe bas 4

0 1 o p

m p 2

o

1

₂

2

⋅ + =

+ ω ω ⋅

( ^m ¹ )

o

4

₂

2

⋅ −

=

∆ ω

1 m

o o

m

p

¹^,²

= − ω ± ω ⋅

²

−

o p

⁰

= − ω Équation caractéristique d’un 2nd ordre :

Calcul du discriminant :

∆ >0 ⇒ m>1 : 2 racines réelles

∆ <0 ⇒ m<1 : 2 racines complexes conjuguées

∆ =0 ⇒ m=1 : 1 racine double

2 2 ,

1

m o j o 1 m

p = − ω ± ω ⋅ −

2

o 1 p

) 1 j ( T

 

 



 + ω

= ω

 

 



 + ω

⋅

 

 



 + ω

=

2 1 p

1 1 p

) 1 p ( T

2 2

o p o

m p 2 1 ) 1 j ( T

+ ω + ω

= ω Réécriture de la fonction de transfert :

m>1 m=1 m<1

(16)

Expression des réponses indicielles pour m>0 4

( ) ( )

( ^exp ^t ^exp ^t )

1 1 ) t (

s

2 1. 1 2.

2

1

ω ω ω ω

ω

ω − ^⋅ ⁻ ⁻ ⁻

+

=

 

 



 + −

= o m m

²

1

ω

ω ^



 



 − −

= o m m

²

1

2

ω

( ¹ ô ^. ^t ) êxp( ô ^. ^t ⁾

1 ) t (

s = − + ω ⋅ − ω

( ^ω ^ϕ )

ω

⋅ +

− ⋅

−

= e

⁻

sin . t

m 1 1 1

) t (

s

m o.t p

2

p

= ω o ⋅ 1 − m

2

ω ϕ ⁼ ^arccos( ^m ⁾

• m>1 : Régime apériodique

• m<1 : Régime pseudo-périodique

• m=1 : Régime critique

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Réponse indicielle

m=0.2

m=1

m=2

(17)

Caractérisation de la réponse indicielle 4

0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

tpic

t D%

100%

Tp

Réponse indicielle m<1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

α

1-α

_%

Réponse indicielle m>1

0 5 10 15 20 25 30

tr5%. ω o Temps de réponse à 5%

 

 



 − −

= ⋅

1 m m

o tr 3

2

% 5

ω

Tp

p

2 π

ω =

m

2

1 2 o

tpic Tp

−

= ⋅

= ω

π

 





 





−

= −

m

2

1 exp m . 100

%

D π

 





 





= −

+1 2

n n

m 1

m exp 2

D

D π

(18)

Diagramme de Bode : Principe 5

1 2 5 10 20 50 100 200 500 1k

f

log(f) Gain (dB) et/ou Phase (degré ou radian)

Principe : Il s’agit d’une représentation très utilisée en électronique permettant de tracer le gain (dB) et l’argument (ou phase) d’une fonction de transfert en fonction de la fréquence.

Pour l’axe de la fréquence on choisit une échelle logarithmique permettant d’obtenir une représentation compacte pour une grande dynamique.

« papier semi-log »

Hendrik Wade Bode

(19)

Diagramme de Bode : Tracé asymptotique & réel 5

c 1 p

) 1 p ( T

+ ω

= ^{Gain (dB)}

Phase

ω c 10. ω c ω

0,1. ω c

ω c 10. ω c

ω

(20)

Diagramme de Bode : Intérêt majeur 5

Le diagramme de Bode permet de fournir une indication sur la réponse fréquentielle d’un filtre pour une très grande dynamique.

L’intérêt majeur réside dans sa construction : Une fonction de transfert se décompose

traditionnellement en produit de fonction de transfert élémentaires (ou canoniques). Le tracé du diagramme de Bode est alors obtenu en effectuant une somme graphique de chaque gain et chaque phase (ou argument) des fonctions de transferts élémentaires composant la fonction de transfert du système étudié.

) p ( T ) p ( T ) p ( T )

p (

T = ₁ ⋅ ₂ ⋅ ₃

( ^T ⁽ ^j ⁾ ) ²⁰ ^log ( ^T ⁽ ^j ⁾ ) ²⁰ ^log ( ^T ⁽ ^j ⁾ ) ²⁰ ^log ( ^T ⁽ ^j ⁾ )

log 20

G _dB = ⋅ ω = ⋅ ₁ ω + ⋅ ₂ ω + ⋅ ₃ ω

) j ( T ) j ( T ) j ( T )

j (

T ω = ₁ ω ⋅ ₂ ω ⋅ ₃ ω Exemple : Fonction de transfert sous la forme d’un produit de fonction de transfert élémentaire