L3 GC
Durée de l’épreuve : 3 heures Barème indicatif : 2+7+6+5
Contrôle de Mathématiques, 8 Avril 2016
Les documents sont interdits à l’exception d’une feuille A5, manuscrite, au choix de l’étudiant. L’utilisation ou la consulta- tion de téléphone est formellement interdite, les calculatrices et les téléphones doivent être rangés et éteints.
Exercice 1 : Courbes et surfaces
Déterminer−→n un vecteur normal enA= (1,2,−1)à la surface d’équationx2+ 2xz+y2+ 3z3= 0.
Déterminer une équation du plan tangent enA= (1,2,−1)à la surface d’équationx2+ 2xz+y2+ 3z3 = 0.
Exercice 2 : Intégration
1. On appelle courbe de LissajouΓ, la courbe paramétrée parϕ(t) = (2 sintcost,sint)pourtcompris entre 0 etπ.
Étudier les variations de2 sintcostet sint sur[0;π]. Déterminer des vecteurs tangents à Γ en(0,0),(1,
√2 2 )et (0,1). ReprésenterΓ, on noteLle domaine entouré par la courbe de LissajouΓ.
SoitDun domaine du plan on appelle moment quadratique par rapport à l’axe desxla grandeurI =RR
Dy2dxdy,et moment quadratique par rapport à l’origine la grandeurJ =RR
Dx2+y2dxdy.
2. CalculerI1le moment quadratique par rapport à l’axe desxdu carré K={(x, y)∈R2/−1≤x≤1,−1≤y≤1}.
3. CalculerJ1 le moment quadratique par rapport à l’origine deD={(x, y)∈R2/x2+y2 ≤2ety ≥0}.
4. CalculerI3le moment quadratique par rapport à l’axe desxdu triangleT de sommet(−1,0),(0,1),(1,0).
5. CalculerI4 le moment quadratique par rapport à l’axe desxdeL. On pourra utiliser la formule de Green Riemann, ainsi que l’égalitéRπ
0 sin3t cos2tdt= 154 .
Exercice 3 : EDP
Résoudre les équations différentielles suivantes : 1. (E1) :y0(t) + 2ty(t) =t
2. (E2) :2y00(t) + 7y0(t)−4y(t) = 18te2t 3. (E3) :y0(t) +y(t)2−y(t) = 2
Exercice 4 : Dérivées partielles
On dit qu’un champ scalaire deR2a la propriété(P)si :
∀x, y, t∈R, Φ(x+t, y+ 2t) =etΦ(x, y)
1. Montrer queΨ(x, y) =e13(x+y)a la propriété(P).
2. Résoudre l’équation aux dérivées partielles(E):
∀x, y∈R, ∂Φ
∂x(x, y) + 2∂Φ
∂y(x, y) = Φ(x, y)
3. Montrer que toute solution de l’EDP(E)a la propriété(P).
4. SoitΦun champ qui a la propriété(P), montrer en explicitant bien bien vos calculs que
∀x, y∈R, ∂Φ
∂x(x, y) + 2∂Φ
∂y(x, y) = Φ(x, y) 5. Déterminer l’ensemble des champs scalaires ayant la propriété(P).
6. Déterminer un champ scalaire ayant la propriété(P)qui vérifie∀a∈R,χ(a,−a) =a2
