L3 SPI
Durée de l’épreuve : 2 heures Barème indicatif : 3+8+4+6
Contrôle de Mathématiques, 14 février 2011
Les documents sont interdits à l’exception d’une feuille A4, manuscrite, au choix de l’étudiant. L’utilisation ou la consul- tation de téléphone est formellement interdite, les calculatrices et les téléphones doivent être rangés et éteints.
Exercice 1 : Cours
SoitΦun champ scalaire deR3, énoncer et démontrer la formule donnant le rotationnel du gradient deΦ.
Exercice 2 :
SoientΦ(x, y, z) =x4+x2y2+y2−z2+ 1,Σla surface d’équationΦ = 0,M0 = (1,1,2),N0 = (√1
2,√1
2,√ 2), ϕ(t) = (cost,sint,√
2)etCle cercle paramétré parϕ,C={ϕ(t)/t∈R}.
1. Montrer queM0∈Σpuis déterminer une équation du plan tangent àΣenM0, notéΠ0. 2. Déterminer une base orthonormale du planΠ0.
3. Déterminer le centre et le rayon du cercleC. 4. Montrer queC ⊂Σ.
5. Montrer queN0∈ C.
6. Déterminer un vecteur tangent−→u àCenN0. 7. −→u appartient-il au plan tangent àΣenN0?
8. (∗)Existe-t-il une droite passant par le pointM0 qui soit incluse dansΣ?
Exercice 3 :
On rappelle la formule donnant le gradient en coordonnées polaires : gradΦ = ∂Φ
∂r
−
→ur+ 1 r
∂Φ
∂θ
−
→uθ 1. Déterminer le gradient du champ scalaire donner parΦ(x, y) =p
x2+y2arctan2 y
x
, il est conseillé de donner le résultat en coordonnées polaires.
2. Représenter au pointM0= (1,1)les vecteurs−→uret−→uθ, ainsi que le gradient deΦenM0.
Exercice 4 : Dérivées partielles
On dit qu’un champ scalaire deR2est translatable si il a la propriété suivante :
∀x, y, t∈R, Φ(x+t, y+t) =t+ Φ(x, y)
1. Montrer queΨ(x, y) = (x−y)2+xdéfini un champ scalaire translatable.
2. SoitΦun champ scalaire translatable, montrer en explicitant bien bien vos calculs que
∂Φ
∂x(x, y) +∂Φ
∂y(x, y) = 1
3. SoitΦun champ scalaire défini surR2vérifiant pour toutx,y,
∂Φ
∂x(x, y) +∂Φ
∂y(x, y) = 1
Pour un couple(x, y)deR2, on noteF(t) = Φ(x+t;y+t)−t, calculer la dérivée deF. Montrer queΦest un champ scalaire translatable.
4. (∗)Déterminer un champ scalaire translatable vérifiant pour touta∈R,Ψ(a,−a) =a2
