2 Faire ses gammes.

(1)

L2 - UE MAT234

Feuille d’exercices n^o1

1 Exercices.

Exercice 1. Produit matriciel Calculer les produits AB et BA, quand ils existent, dans les cas suivants : 1. A=¡

1 2 −1 3¢ , B=^t¡

−1 0 2 1¢ 2. A=

µ1 0 1 −1

¶ , B=





−1 1

0 0

1 −2





3. A=







1 2 1 0 0 0

1 −1 0 0 0 0

0 0 0 1 −1 5

0 0 0 2 −2 −1

0 0 0 1 −3 4





 , B=







−1 −1 0 0

2 1 0 0

3 5 0 0

0 0 2 −4

0 0 5 −2

0 0 1 1







Indication. Noter queAetBsont des matrices diagonales par bloc.

Exercice 2. Représentation d’une application linéaire. Donner la représentation matricielle des applications linéaires suivantes dans les bases canoniques des espaces en jeu.

1. f :

(R³ →R³

(x,y,z) 7→(x+2y+3z, 2y−z,x+z).

2. la projection dansR²sur la droite engendrée pare₁=(2, 1) parallèlement àe₂=(1, 1).

3. la symétrie dansR²par rapport à la droite engendrée pare₁parallèlement àe₂(on rappelle que c’est l’application linéaire qui envoiee₁sure₁ete₂sur−e₂).

4. f :

(R₂[X] →R₂[X]

P 7→2(X+1)P−(X²−1)P⁰.

Exercice 3. On considère l’espaceR³muni de la base canonique B.

1. Montrer queu₁=(2,−1,−2),u₂=(1, 0,−1) etu₃=(−2, 1, 3) forment une base B⁰deR³. 2. Soitf : R³ → R³ une application linéaire dont la matrice dans la base canonique est A=





9 −6 10

−5 2 −5

−12 6 −13



. Calculer

les matrices de passage d’une base à l’autre.

3. Calculer la matrice def dans la base B⁰.

Exercice 4. On considère l’espaceR²muni de la base canonique B=(e₁,e₂). Soitf l’application linéaire donnée par f :

(R² →R² (u,v) 7→(2u,−v). dans la base B.

1. Déterminer la matrice A def dans la base B.

2. Montrer que les vecteurse₁⁰=(3, 1) ete₂⁰=(5, 2) forment une base B⁰deR². 3. Déterminer la matrice A⁰def dans le base B⁰en calculantf(e₁⁰) etf(e₂⁰).

4. Calculer les matrices de passage P et Q entre les bases B et B⁰. 5. Déterminer A⁰par le formule de changement de base.

6. Calculer les matrices def⁵dans les deux bases Indication. A=PA⁰P⁻¹implique queAⁿ=PA⁰ⁿP⁻¹.

(2)

Exercice 5. On considère l’espaceR³muni de la base canonique. Soit

f :

(R³ →R³

(x,y,z) 7→(x+y+z, 2x−z,−3x+y+3z). 1. Déterminer une base de kerf et en déduire la dimension de Imf.

2. Déterminer la matrice A def dans la base canonique et

(a) vérifier que les vecteurs colonnes de A sont liés et en déduire une base de Imf.

(b) vérifier que kerf est orthogonal (pour le produit scalaire canonique deR³) aux vecteurs lignes de A.

3. L’équationf(x,y,z)=(1,−2,−1) a-t-elle des solutions ? Faire deux preuves différentes.

4. Quel est l’ensemble des solutions de l’équationf(x,y,z)=(1, 2,−3) ? Plus généralement, décrire l’ensemble des solutions de l’équationf(x,y,z)=Y, lorsque Y∈Imf.

2 Faire ses gammes.

Exercice 6. Écrire les systèmes suivants sous forme matricielle et à l’aide d’applications linéaires deR³dansR³. Les résoudre par la méthode de Gauss.

(1)







x+y+z=0 x+2y+3z=2 x+3y+4z=3

(2)







x+2y+z=0 x+2y−z=2 x+2y+3z=1

(3)







x+y+z=1 x+2y+3z=2 x+3y+4z=2

(4)







x−y+z=0 x+y+3z=2 x+4z=2

(5)







x+3y−z = 9 3x+9y−3z = 27

−2x+y−5z = 10

Exercice 7. Pour chaque matrice M calculer en posant un système la matrice inverse M⁻¹.

M= µ1 1

2 1

¶

; M=





1 1 1

0 2 1

0 0 −1



; M=





1 2 −1 2 3 −1 2 2 −1





Exercice 8. Donner la répresentation matricielle de l’applicationf dans la base B.

f( µx

y

¶ )=

µ2x+y x−3y

¶

; B= µµ1

0

¶ ,

µ0 1

¶¶

f(



 x y z



)=





2x−y+z x−3z x+y+z



; B=







 1 0 0



,



 0 1 0



,



 0 0 1









f( µx

y

¶ )=

µx+y x−y

¶

; B= µµ1

1

¶ ,

µ1

−1

¶¶

f(



 x y z



)=





x+y+z

−x−y−z 0



; B=







 1 1 1



,





−1 1 0



,





−1 0 1









(3)

Exercice 9. Calculer la matrice de passage P de la base B vers la base B⁰.

B= µµ1

0

¶ ,

µ0 1

¶¶

, B⁰= µµ1

1

¶ ,

µ2 1

¶¶

B=







 1 0 0



,



 0 1 0







 0 0 1







, B⁰=







 1 1 1



,



 2 1 1







 0 1 0









B= µµ1

−1

¶ ,

µ1 0

¶¶

, B⁰= µµ1

1

¶ ,

µ2 1

¶¶

B=







 1 1 0



,



 0 1 1







 1 0 1







, B⁰=







 1 1 1



,



 2 1 1







 0 1 0









Exercice 10. Calculer la matrice M def dans la base B. Calculer la matrice de passage P de B vers B⁰. Calculer l’inverse P⁻¹et en déduire la matrice def dans la base B⁰, N=P⁻¹MP. Recalculer N directement et vérifier vos calculs.

f( µx

y

¶ )=

µx−y x+y

¶ , B=

µµ1 0

¶ ,

µ0 1

¶¶

, B⁰= µµ1

1

¶ ,

µ1

−1

¶¶

f(



 x y z



)=





x−2y+z x+y x+y+z



, B=







 1 0 0



,



 0 1 0



,



 0 0 1







, B⁰=







 1 2 0



,



 0 1

−1



,



 1 3 0









f( µx

y

¶ )=

µx−y x+y

¶ , B=

µµ1 2

¶ ,

µ1 1

¶¶

, B⁰= µµ1

1

¶ ,¡

1,−1¢

¶

f(



 x y z



)=





x−2y+z x+y x+y+z



, B=







 1 0 1



,



 1 1 0



,



 2 1 2







, B⁰=







 1 2 0



,



 0 1

−1



,



 1 3 0









3 Applications et exercices plus sophistiquées.

Exercice 11. Applications à la chimie Equilibrer les réactions suivantes à l’aide d’un système linéaire.

1. NaCl+BeF2− − >NaF+BeCl2

2. Fe+Cl₂− − >FeCl₃

3. KMnO₄+HCl− − >KCl+MnCl₂+H₂O+Cl₂

4. K₄Fe(CN)₆+H₂SO₄+H₂O− − >K₂SO₄+FeSO₄+(NH₄)₂SO₄+CO 5. C₆H₅COOH+O₂− − >CO₂+H₂O

6. K4Fe(CN)6+KMnO4+H2SO4− − >KHSO4+Fe2(SO4)3+MnSO4+HNO3+CO2+H2O 7. PhCH₃+KMnO₄+H₂SO₄− − >PhCOOH+K₂SO₄+MnSO₄+H₂O

Exercice 12. Applications à l’éléctronique Pour chacun de ces trois circuits éléctroniques, utiliser la première et deuxième loi de Kirchoff pour établir un système d’équations linéaires dans les courants I₁, I₂. . . etc. et résoud-le.

(4)

Exercice 13. Analyse des signaux Dans l’analyse des signaux, il est souvent nécesssaire de décomposer un signalf(t) en une superposition d’ondes exponentielleseⁱ^µ^t.

Après avoir mesurémfois le signalf(t) à des tempst=0, 1, . . . ,m−1, nous connaissons les valeursf(0),f(1) . . . ,f(m−1). Nous cherchons à trouver une fonction de la forme

g(t)=λ01+λ1e²^π^{i t}^/m+λ2e⁴^π^{i t}^/m+. . .+λme^2(m−1)^π^{i t/m} qui interpole les valeurs mesurées pour lesf(i)s, cad, telle que

f(0)=g(0),f(1)=g(1), . . .f(m−1)=g(m−1).

1. Montrer que ceci est le cas si et seulement si

M





 λ0

λ1

... λm−1







=





 f(0) f(1) ... f(m−1)







ou M est la matrix donnée par l’équationm_{j l}=e²⁽^j⁻^1)(l⁻¹⁾^π^i/m.

2. Soient M_j, M_k le j-ieme et k-ieme colonne de M, que nous considérons en tant que vecteurs. Montrer que M_j.M_k = P_l=m−1

l=0 (e^2(j^+k−2)^π^i/m)^l. En déduire que M_j.M_k=0 sij+k−2 n’est pas un multiple demet M_j.M_k=msinon.

3. Montrer que si M et N sont des matrices telles que Mj.N_k=1 sij=ket 0 sinon alors^tNM=Id. Déduire M⁻¹. 4. Donner lesλjs en fonction desf(k)s.

5. Vous devez programmer sur ordinateur un script qui prendra comme données les valeursf(j) et qui donnera les coeffi- cientsλk. Serait il à votre avis plus pertinent de faire le calcul par résolution d’un système ou en utilisant le formule trouvé ci-dessus ? Pourquoi ?

Exercice 14. Applications à l’économie et la théorie de la stratégie. Un jeu de stratégie dont le but est le partage d’un butin oppose deux joueurs.

A chaque tour un joueur peut choisir entre trois stratégies, 1, 2 et 3. Lorsque le stratégiei rencontre la stratégiej celui qui a jouéiremporte une proportionm_{i j}du butin. On note qu’on a doncm_{i j}+m_{j i}=1 etm_{i i}=1/2.

Un joueur a pour politique de jouer 1 avec probabilitép, 2 avec probabilitéqet 3 avec probabilitér. On supposera quep,q,r>0.

On dit alors que ce joueur joue une stratégie (p,q,r).

1. Calculer les gains esperés par son adversaire si ce adversaire joue 1 (resp. 2, resp. 3.) Nous notons ces gains N(1), N(2), N(3).

(5)

2. Montrer qu’il n’existe pas de stratégie (p⁰,q⁰,r⁰) permettant un gain esperé de>50% face à une stratégie (p,q,r) si et seulement si N(1)=N(2)=N(3)=1/2. On dit alors que la stratégie (p,q,r) est stable.

3. Ecrire les équations qui traduisent la stablité de la stratégie (p,q,r) et les résoudre dans les cas suivants : (a) M=





1/2 1 0

0 1/2 1

1 0 1/2



(jeu du papier-pierre-ciseaux)

(b) M=





1/2 1 1/3

0 1/2 1

2/3 0 1/2





(6)

Correction de l’exercice1.

1. AB=0, BA=







−1 −2 1 −3

0 0 0 0

2 4 −2 6

1 2 −1 3







2. AB n’existe pas, BA=



 0 −1

0 0

−1 2





3. AB=







6 6 0 0

1 0 0 0

0 0 2 3

0 0 −7 −5

0 0 −9 6







, BA n’existe pas

1.





1 2 3

0 2 −1

1 0 1





2.

µ1 0 0 −1

¶

3.

µ1 0 0 0

¶

4.





1 1 0

2 1 2

0 1 1





1. u₁=(2,−1,−2),u₂=(1, 0,−1) etu₃=(−2, 1, 3) indép.

2. P=





2 1 −2

−1 0 1

−2 −1 3



, Q=P⁻¹=





1 −1 1

1 2 0

1 0 1



.

3. A⁰=P⁻¹AP=





2 0 0

0 −1 0

0 0 −3



.

1. A=

µ 2 0 0 −1

¶ .

2. e₁⁰=(3, 1) ete₂⁰=(5, 2) non proportionnels.

3. f(e₁⁰)=(6,−1)=17e₁⁰−9e₂⁰,f(e₂⁰)=(10,−2)=30e₁⁰−16e₂⁰d’où A⁰=

µ 17 30

−9 −16

¶ . 4. P=

µ 3 5 1 2

¶

, Q=P⁻¹=

µ 2 −5

−1 3

¶ . 5. A⁰=

µ 2 −5

−1 3

¶ µ 2 0 0 −1

¶ µ 3 5 1 2

¶

=

µ 17 30

−9 −16

¶ . 6. f⁵a pour matrice A⁵=

µ 32 0 0 −1

¶

dans la base B et A⁰⁵=

µ 197 330

−99 −166

¶

dans la base B⁰.

(7)

1. kerf =Vect((1,−3, 2)) d’où dim(Imf)=2.

2. A=





1 1 1

2 0 −1

−3 1 3



=(u₁,u₂,u₃).

(a) on au₁−3u₂= −2u₃. (u₁,u₂) forme une base de Imf caru₁etu₂ne sont pas proportionnels.

(b) calcul. remarque : les vecteurs lignes aussi sont liés.

3. On résoud l’équation ou bien on voit que (1,−2,−1)∉Imf car (1,−2,−1) est orthogonal àu₁et àu₂.

4. On af(X)=(1, 2,−3)=f(e₁) ssi X∈e₁+kerf. Pour le cas général, si Y∈Imf, soit X0∈R³tel quef(X0)=Y alors l’ensemble des solutions est X0+kerf.

1. solution (x,y,z)=(−1, 0, 1).

2. Noter quel₂=3l₁. On obtient

½ x= −3−2z

y=4+z . Posonss=(−3, 4, 0) etu₌(−2, 1, 1). La solution ests+Vect(u).

Le déterminant du premier système est−1 et celui du second est 0. L’unicité de la solution du premier système implique que le déterminant est non nul, et la non unicité pour le second implique que le déterminant est nul.

(8)

UNIVERSIT´ E JOSEPH FOURIER 2012-2013 Licence de math´ ematiques

MAT 234

Corrig´ e des exercices 11, 13 et 14 de la feuille de TD 1 d’alg` ebre Exercice 11

1. On cherche x, y, z, t ∈ Z tels que la r´ eaction x N aCl + y BeF

₂

−→ z N aF + t BeCl

₂

soit

´

equilibr´ ee.

Pour cela il faut autant d’atomes de N a, Cl, Be et F avant et apr` es la r´ eaction. Cela donne :

 

 

 



x = z x = 2t 2y = z y = t

En prenant par exemple y comme variable secondaire, on voit que l’ensemble des (x, y, z, t) solutions est l’ensemble { (2y, y, 2y, y), y ∈ R} . C’est la droite vectorielle de R

.

3. En notant a KM nO

₄

+b HCl −→ c KCl +d M nCl

₂

+e H

₂

O +f Cl

₂

, la r´ eaction est ´ equilibr´ ee si :

 

 

 

 



a = c a = d 4a = e b = 2e

b = c + 2d + 2f

En prenant a comme variable secondaire, on obtient que l’ensemble des solutions est la droite vectorielle d’´ equation

 

 

 

 



b = 8a c = a d = a e = 4a f =

⁵₂

a

1

(9)

 



b − d +8e = 0 (K)

− b +c − d − 3e = 0 (O) 2c − d − 12e = 2i (H) 4c − 4d − 72e = i (S) Apr` es pivots de Gauss, cela donne :

 

 

 



∑

m−1

l=0

(e

^2(j+k^m⁻^2)πi

)

^l

.

M

_j

.M

_k

est la somme d’une suite g´ eom´ etrique ﬁnie de raison e

^(j+k^m⁻²⁾^2πi

. On a e

^(j+k^m⁻²⁾^2πi

= 1 si et seulement si

^j+k_m⁻²

est entier. Dans ce cas, M

_j

.M

_k

vaut ∑

_m₋₁

l=0

1 = m. Sinon, M

_j

.M

_k

=

e^(j+k⁻^2)2πi−1 e^{2(j+k−2)πi}^m −1

= 0.

M .

4. En multipliant par M

⁻¹

` a gauche, l’´ equation de la question 1. devient



 

 λ

₀

λ

₁

...

λ

_m₋₁



 

 =

1 m

t

M



 

 f (0) f (1) ...

f (m − 1)



 

 .

2

(10)

En d´ eveloppant le calcul matriciel, cela donne λ

_j

=

_m¹

∑

m−1

k=0

e

^2(j⁻^1)(k^m⁻^1)πi

f (k) pour tout j = 0, ..., m − 1.

Remarque : cette transformation (bijective) mettant en relation les coeﬃcients λ

_i

et les donn´ ees f (k) s’appelle la transform´ ee de Fourier discr` ete.

Exercice 14

1. En jouant i, l’adversaire a p chance de gagner m

_i,1

, q chance de gagner m

_i,2

et r chance de gagner m

_i,3

. Cela donne N (i) = p.m

_i,1

+ q.m

_i,2

+ r.m

_i,3

.

En notant M la matrice 3x3 dont les coeﬃcients sont les m

_i,j

, N la matrice colonne dont les coeﬃcients sont les N (i) et J la matrice colonne



 p q r



, cela s’´ ecrit N = M.J .

3

(11)

L2 - UE MAT234

1 Exercices.

Exercice 1. Dans cet exercice, toutes les matrices sont carrées.

1. Soit M⁰la matrice obtenue à partir de la matrice M par l’opération L1→2L1+L2. Est-ce qu’alors det(M)=det(M⁰) ? 2. Montrer que le déterminant

1 2 3

1 0 2

2 4 6

est un entier pair. Est-il multiple de 4 ?

3. Montrer sans calcul que

−1 2 3 1 2 −1

0 4 1

=

−2 2 6 1 1 −1

0 2 1

=

−1 1 3 1 1 −1

0 4 2

4. En dimension 3, a-t-on det_B(v₁,v₂,v₃)=det_B(v₂,v₃,v₁) ? En dimension 4, a-t-on det_B(v₁,v₂,v₃,v₄)=det_B(v₂,v₃,v₄,v₁) ? 5. Soitvun vecteur d’un espace vectoriel E de dimensionn. Si det(v₁+v,v₂, ...,v_n)=det(v₁, ...,v_n), a-t-on alorsv∈vec t(v₂, ..,v_n) ? 6. Supposons que M et M⁰sont deux matrices carrées telles qu’il existe X∈Rⁿ\ {0} tel que MX=M⁰X. Peut-on en déduire que

det(M)=det(M⁰) ?

7. S’il existe X∈Rⁿ\ {0} tel que MX=M⁰X=0, peut-on en déduire que det(M)=det(M⁰) ? 8. S’il existe X∈Rⁿ\ {0} tel que MX=M⁰X, peut-on en déduire que det(M−M⁰)=0 ?

Exercice 2. Calculer les déterminants suivants

A=

1 cosx cos 2x 1 cosy cos 2y 1 cosz cos 2z

, B=

0 1 1 1

1 0 c² b² 1 c² 0 a² 1 b² a² 0

(Indication : pour le déterminant A, on pourra développercos 2x et faire des opérations sur les colonnes.)

2 Faire ses gammes.

Exercice 3. Calculer les déterminants des matrices suivantes

A=





1 1 −1 2 3 −4 4 1 −4



 B=





−1 1 1

1 −1 1

1 1 −1



 C=





4 1 2

−1 1 −1

−2 −1 0





D=





1 1 −2 0 2 −2

1 0 0



 E=





3 1 5

0 −1 0

−4 1 −7



 F=







1 2 1 3

4 0 3 1

−1 2 −3 0 1 6 −1 −1







G=







3 1 1 3

1 0 1 0

1 −1 0 −3

0 2 1 0







(12)

3 Applications et exercices plus sophistiquées.

Exercice 4. On rappele l’équation, vue en Mat112,

det(u,v,w)=(u∧v).w 1. Soientu,vdes vecteurs de³et soitθl’angle entre les deux.

Utilisant l’équation

u.v= ||u||||v||cosθ montrer que

||u||||v|||sinθ| = ||u∧v||. 2. Donner une interpretation géométrique da la quantité||u||||v|||sinθ|. 3. Montrer queu∧vest perpendiculaire àuetv.

4. En déduire que|det(u,v,w)| =vol(P) ou P est le parallelopiped engendré paru,vetw.

5. Sous quelles conditions ce parallelopiped est-il de volume 0 ? Commenter votre résultat.

Exercice 5. Un graphiste a besoin de construire une courbe lisse qui passe par un certaine nombre de points donnés (b₀,c₀), (b₁,c₁), (b_n,c_n). Une façon (assez basique) de faire cela est de construire un polynôme dont le graphe passe par ces points.

Nous supposons donc donnés les points (b_i,c_i) et nous cherchons un polynôme P(x)=a_nxⁿ+. . .+a₀qui a le propriété que P(b₀)=c₀, . . . P(b_m)=c_m.

1. Montrer que cela équivaut à

M(b₀, . . .b_m)





 a₀ a₁ ... a_n







=





 c₀

... c_m







ou M(b₀,b₁, . . . ,bm) est la matrice donnée par M(b₀,b₁, . . . ,bm)=







1 b₀ b₀² . . . b₀ⁿ 1 b₁ b₁² . . . b₁ⁿ ... ... ... 1 b_m b_m² . . . b_mⁿ





 .

2. Justifier que si cette équation a une solution pour chaque choix desc_i alorsn≥m.

3. Justifier que sin=malors cette équation a une solution pour chaque choix descis si et seulement si la matrice

M(b₀. . .bm)=







1 b₀ b²₀ . . . b₀ⁿ 1 b₁ b²₁ . . . b₁ⁿ ... ... ... 1 b_m b²_m . . . bⁿ_m







a determinant6=0.

Il est donc important de calculer le determinant de la matrice M. C’est le but de la deuxième moitié de cet exercice.

1. Calculer det(M(b₀,b₁)) pourn=1 , M= µ1 b₀

1 b₁

¶

une matrice 2×2.

2. Nous considérons le cas oun=2. En faisant les opérations de colonnes C3− >C3−b0C2 puis C2− >C2−b0C1, montrer que

det(M(b0,b1b2))=(b1−b0)(b2−b0)det(M(b1,b2)).

En déduire det(M(b₀,b₁,b₂)).

3. En général, on considère M(b₀, . . . ,b_m). En faisant les opérations de colonnes C_m+1− >C_m+1−b₀C_m, puis C_m− >C_m− b₀C_m−1et ainsi de suite, montrer que

det(M(b0,b1, . . . ,bm))=Πⁿ_k=1(b_k−b0)×det(M(b1, . . .bn)).

4. En déduire que det(M(b₀, . . . ,b_m))=Π0≤j<k≤m−1(b_k−b_j). Quand a-t-on det(M(b₀, . . . ,b_m))=0 ?

(13)

1. Non. det(M⁰)=2 det(M).

2. Non. Considérer M= µ 1 0

0 1

¶ , M⁰=

µ 1 0 0 0

¶

et X=e₁. 3. Oui car ker(M−M⁰) est non trivial.

4. Oui en permutant deux fois.

5. On a 0=det(v₁+v,v₂, ...,v_n)−det(v₁, ...,v_n)=det(v,v₂, ...,v_n). En dimension 2 cela implique quev∈vec t(v₂). En dimension supérieure non car (v₂, ...,v_n) peut être liée.

1. ∆= −140

2. ∆=2(cosy−cosx)(cosz−cosx)(cosz−cosy)

3. Par exemple, commencer à trigonaliser pour obtenir la forme factrorisée :

∆= −(a+b+c)(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c) .

det(A)= −6, det(B)=4, det(C)=4, det(D)=2.

(14)

Universit´ e Joseph Fourier

Mat234 – Fiche 2 d’alg` ebre (quelques corrig´ es)

Corrig´ e exercice 4

• Commen¸cons par r´ epondre ` a la question 3. Le d´ eterminant est nul si deux vecteurs sont ´ egaux, de sorte qu’avec le rappel, on a :

det(u, v, u) = (u ∧ v).u = 0 et det(u, v, v) = (u ∧ v).v = 0 , ce qui donne le r´ esultat.

• Pour la question 1, rappelons qu’´ etant donn´ es deux vecteurs non nuls a et b de

R²

muni d’une base orthonorm´ ee directe (e

₁

, e

₂

) on a : det

_e₁_,e₂

(a, b) = | a | | b | sin(a, b). En eﬀet, dans la base (e

₁

, e

₂

), on peut ´ ecrire : ˆ a = a/ | a | = (cos α, sin α)

^T

et ˆ b = b/ | b | = (cos β, sin β )

^T

, et donc det

e1,e2

3

| cos(u ∧ v, e

3

) = ±|u ∧ v|. La premi` ere

´ egalit´ e ´ etant obtenue en d´ eveloppant le d´ eterminant par rapport ` a la derni` ere ligne ou colonne.

• Question 2 : la quantit´ e | u | | v | | sin(u, v) | repr´ esente l’aire du parall´ elogramme construit sur les deux vecteurs u et v.

• Pour la question 4, on ´ ecrit det(u, v, w) = (u ∧ v).u = | u ∧ v | | w | cos(u ∧ v, w), ce qui donne le r´ esultat car la quantit´ e | w | cos(u ∧ v, w) repr´ esente la mesure sign´ ee du projet´ e orthogonal du vecteur w sur le vecteur unitaire (u ∧ v)/ | u ∧ v | , lui mˆ eme orthogonal au plan Vect(u, v).

b

ⁿ_i

= c

i

, pour i = 0, 1, ..., m, c’est-` a-dire :

 

 



b

ⁿ₁

= c

₁

²_m

· · · b

ⁿ_m



 

 



 

  a

0

a

1

a

₂

.. . a

_n



 

 

=



 

  c

0

c

1

c

₂

.. . c

_m



 

 

2. La matrice M ci-dessus d´ eﬁnit une application lin´ eaire (not´ ee ´ egalement M ) de

Rⁿ⁺¹

dans

R^m+1

: a = (a

₀

, ..., a

_n

)

^T

7→ M . a = (c

₀

, ..., c

_m

)

^T

= c. L’hypoth` ese nous dit que l’application M est surjective, de sorte que le r´ esultat est une cons´ equence imm´ ediate du th´ eor` eme du rang : dim(ker M ) +

(

dim(ImM) = m + 1 )

= n + 1.

3. Pour n = m, l’application lin´ eaire M est surjective (et donc bijective) si et seulement si dim(ker M ) = 0 ( ⇔ M injective), c’est-` a-dire si et seulement si det(M) ̸ = 0.

Pour la deuxi` eme partie, consid´ erons directement le cas g´ en´ eral. Les op´ erations de colonnes C

_k

← C

_k

− b

₀

C

_k₋₁

pour k = n + 1, ..., 2 donnent successivement : det(M(b

₀

, b

₁

, ..., b

_n

)) =

ⁿ_n⁻¹

0

)

= Π

ⁿ_k=1

(b

k

− b

0

₁

, ..., b

_n

))

d’o` u l’on d´ eduit par une r´ ecurrence imm´ ediate que

det(M (b

₀

, .., b

_n

)) = Π

₀_≤_j<k_≤_n

(b

_k

− b

_j

) .

La discussion est ensuite ´ el´ ementaire. Notons que le bon sens incite ` a choisir les b

_i

deux ` a deux

conduisent ` a

une impossibilit´ e si c

_k

̸ = c

_l

et ` a une redondance si c

_k

= c

_l

.

(16)

L2 - UE MAT234

1 Exercices.

Exercice 1. Trouver les éléments propres des matrices suivantes :

A=





1 1 −1 2 3 −4 4 1 −4



 B=





−1 1 1

1 −1 1

1 1 −1



 C=





4 1 2

−1 1 −1

−2 −1 0





D=





1 1 −2 0 2 −2

1 0 0



.

Lesquelles sont diagonalisables ?

Exercice 2. Soit A=





3 −1 1

0 2 0

1 −1 3



.

Montrer que A est diagonalisable et trouver une matrice P qui diagonalise A. En déduire Aⁿpourn≥1.

On considére les suites (un), (vn) et (wn) définies par les valeurs initialesu0=v0=1,w0=2 et les relations suivantes : un+1=3un−vn+wn vn+1=2vn wn+1=un−vn+3wn.

Détermineru_n,v_netw_n.

Exercice 3. Déterminer les éléments propres de la matrice

A=







1 0 4 0

0 1 0 4

1 0 1 0

0 1 0 1





 .

On considère le système différentiel suivant :

˙

x(t)=x(t)+4z(t), y˙(t)=y(t)+4w(t),

˙

z(t)=x(t)+z(t), w(t)˙ =y(t)+w(t).

Trouver la solution générale de ce système, puis la solution particulière qui vérifie les conditions initialesx(0)=y(0)=z(0)= 0,w(0)=2

Exercice 4. Soienta,b∈Ret A=





a a a a a a a a a



, B=





b a a a b a a a b



. 1. A et B sont-elles diagonalisables ?

2. Quel est le rang de A ?

3. À l’aide des sommes sur les lignes de A, trouver sans calcul une vecteur propre de A.

4. Déterminer les éléments propres de A.

5. Déterminer sans calcul une valeur propre de B.

6. Pour toutn≥1, déterminer Bⁿ.

(17)

Exercice 5. Soienta,b∈Ret A=

µ a+b p p 2b

2b a

¶ , B=





a+b b 0

b a b

0 b a+b



. 1. A et B sont-elles diagonalisables ?

2. Déterminer une base deR²formée de vecteurs propres de A. Que remarque-t-on ? Trouver une base orthonormée de vecteurs propres.

3. Déterminer une base deR³formée de vecteurs propres de B.

4. En déduire une base de vecteurs propres pour la matrice







a+b p

2b 0 0 0

p2b a 0 0 0

0 0 a+b b 0

0 0 b a b

0 0 0 b a+b





 .

Exercice 6. Soita∈R. On considère la matrice

A=







1 1 −1 0

0 1 0 a

0 −1 2 0

1 0 1 2





 .

- Calculer la polynôme caractéristique de A et trouver ses valeurs propres.

- Déterminer les sous-espaces propres de A. Pour quelles valeurs dea, la matrice A est-elle diagonalisable ? trigonalisable ? A partir d’ici on supposera quea=0.

- On considère le système différentiel suivant :

˙

x(t)=x(t)+y(t)−z(t), y˙(t)=y(t), z(t)˙ = −y(t)+2z(t), w(t)˙ =x(t)+z(t)+2w(t).

Trouver la solution générale de ce système, puis la solution particulière qui vérifie les conditions initialesx(0)=y(0)=w(0)= 0,z(0)=1.

Exercice 7. Soitx(t) une variable qui satisfait l’équation

x⁽ⁿ⁾(t)+a_n₋₁x⁽ⁿ⁻¹⁾(t)+. . .+a₁x⁰(t)+a₀x(t)=0.

1. Soitv(t)=





 x(t) x⁰(t) ... xⁿ⁻¹(t)







. Montrer que

v⁰(t)=Mv(t) ou M est la matrice

M=







0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0

... ... . ..

0 0 0 . . . 1

−a₀ −a₁ −a₂ . . . −a_n−1





 .

2. Calculer le polynôme caractéristique de M. Commenter votre résultat.

(18)

2 Faire ses gammes.

Exercice 8. Diagonaliser les matrices suivantes

M1=





1 0 0

0 3 2

0 1 4



 M2=





−1 0 0

1 2 0

1 1 1



 M3=





1 1 3

−1 4 −1

2 −3 0





M₄=





1 1 −2 0 2 −2 0 3 −3



. Pour chaque matrice Mi:

1. Calculer Mⁿ_i pour toutn

2. Résoudre la récurrencevn=M_ivn−1en termes du vecteur initialev₀=



 a0

b₀ c₀





3. Trouver toutes les solutions de l’équation différentielle



 x⁰ y⁰ z⁰



=M_i



 x y z



.

4. Trouver toutes les solutions de l’équation différentielle



 x⁰⁰ y⁰⁰ z⁰⁰



=Mi



 x y z



.

3 Applications et exercices plus sophistiquées.

Exercice 9. Un proteine existe en deux formes, A et B.

Dans une intervalle d’une heure, un molécule en forme A passe en forme B avec une probabilitép, ou 0<p<1.

De même, dans une intervalle d’une heure, une molécule en forme B passe en forme A avec une probabilitéq, ou 0<q<1.

En tempst=0 un échantillon de proteine contient une proportiona₀de molécules en forme A et une proportionb₀de mo- lécules en forme B. Soitan(resp.bn) la probabilité qu’une molécule prelevé dans l’echantillonnheures plus tard soit en forme A (resp. B).

1. Etablir la rélation

a_n=(1−p)a_n−1+qb_n−1. bn=pan−1+(1−q)bn−1. 2. Re-écrire cette rélation dans la forme

µa_n b_n

¶

=M µa_n₋₁

b_n−1

¶

pour une certaine matrice M. En déduire que

µan

b_n

¶

=Mⁿ µa0

b₀

¶

pour tout entiern.

3. Diagonaliser M et en déduire Mⁿpour toutn.

4. Donnera_n,b_nen termes dep,q,a₀,b₀etn. Commenter le comportement dea_n,b_nquandn→ ∞.