FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 31 07 – TD 2 Page 1 TD 2 : Statistiques
Exercice 1 : La puissance fiscale des voitures d’une grande entreprise se répartit de la façon suivante :
1) Déterminer la moyenne et l’écart-type de cette série statistique.
2) Déterminer la médiane et les quartiles puis le premier et le 9ème décile.
3) Préciser l’étendue, les intervalles interquartiles et interdéciles de cette série.
4) Préciser le mode de cette série statistique.
Exercice 2 : Une machine conditionne des paquets d’additif pour ciment. On a prélevé aléatoirement 80 sachets sortis de cette machine la même matinée, et mesuré leur masse en grammes. Les résultats intermédiaires vous sont fournis ainsi :
∑ = 79 891 ; ∑ = 79 856 983 ; min() = 926 ; max() = 1093 1) Dans cette expérience, quelle est la population échantillonnée ?
2) Calculer, à partir des informations données, la moyenne, la variance et l'écart-type des poids dans l’échantillon.
3) On donne ensuite les données ainsi regroupées en classes : Classes Effectifs ni
[926 ; 955[ 7 [955 ; 970[ 5 [970 ; 985[ 14 [985 ; 1000[ 15 [1000 ; 1015[ 12 [1015 ; 1030[ 14 [1030 ; 1055[ 11 1055 ou plus… 2
3.1- Représentez graphiquement ces données à l’aide d’un histogramme.
3.2- Déterminer la classe modale et les quartiles dans ces données.
3.3- Que pouvez-vous conclure des positions respectives des indicateurs mode, médiane, moyenne ? Puissance
fiscale (CV) Effectif Fréquence 4
5 6 7 8 9
39 57 35 15 7 7
…………
…………
…………
……..…..
…………
………….
TOTAL : ………….. ………….
FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 31 07 – TD 2 Page 2 Exercice 3 :
Le tableau suivant donne la dépense, en millions d’euros, des ménages en produits informatiques (matériels, logiciels, réparations) de 2007 à 2015.
Année 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
Rang de l’année xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Dépense yi 398 451 423 501 673 956 1077 1255 1427 1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique (xi ; yi).
2. a) Écrire une équation de la droite d’ajustement affine D de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 10-3). Représenter D dans le repère précédent.
b) En utilisant cet ajustement affine, donner une estimation de la dépense des ménages (arrondie à un million d’euros) en produits informatiques en 2017.
3. L’allure du nuage permet d’envisager un ajustement exponentiel.
On pose zi = ln yi.
a) Recopier et compléter le tableau suivant où zi est arrondi à 10-3 :
xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8
zi 5,986 6,111 6,047 6,217
b) Écrire une équation de la droite d’ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 10-3).
c) En utilisant cet ajustement, donner une estimation de la dépense des ménages (arrondie à un million d’euros) en produits informatiques en 2017.
4. En 2017, les ménages ont dépensé 68,9 milliards d’euros pour la culture, les loisirs et les sports et 3,1% de ces dépenses concernent les produits informatiques. Avec lequel des deux ajustements l’estimation faite est-elle la meilleure ?
Exercice 4 : Le but du problème est de déterminer le prix d’équilibre d’un produit. (On rappelle que le prix d’équilibre d’un produit est obtenu lorsque l’offre et la demande sont égales.) Une étude faite sur un produit a donné les résultats suivants (le prix au kilogramme est exprimé en euros et les quantités offre et demande sont exprimées en milliers de kilogrammes).
Prix proposé xi 0,30 0,35 0,45 0,65 0,80 1 Demande yi 6,25 4,90 3,75 2,75 2,40 2,25
Offre zi 1,25 1,30 1,30 1,50 1,55 1,60
Tous les résultats numériques seront donnés en valeur décimale arrondies à 10-2 près.
1. Représenter sur un même graphique les nuages de points associés respectivement aux séries statistiques (xi ; yi) et (xi ; zi).
FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 31 07 – TD 2 Page 3 2. Étude de la demande
La forme du nuage de points associé à la série (xi ; yi) permet d’envisager un ajustement exponentiel de y en x. On pose donc Yi = ln yi.
a) Donner une équation de la droite des moindres carrés du nuage de points associé à la série (xi ; Yi).
b) En déduire, en utilisant l’égalité Y = ln y, une estimation de la demande y en fonction du prix x au kilogramme.
3. Étude de l’offre
La forme du nuage de points associé à la série (xi ; zi) permet d’envisager un ajustement affine.
Donner une équation de la droite des moindre carrés du nuage de points associé à cette série (xi ; zi).
4. Étude graphique du prix d’équilibre
On considère, dans la suite du problème, que la demande et l’offre sont respectivement formalisées par les fonctions f et g définies sur l’intervalle [0;2] par : () = , , et () = 0,53 + 1,1.
a) Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2] et dresser son tableau de variation.
b) Sur le graphique du 1., tracer les courbes représentatives des fonctions f et g.
c) Déterminer graphiquement le prix d’équilibre du produit.
Exercice 5 :
Un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne de la population est [122 ; 130]. Si la moyenne de l’échantillon vaut ̅ = 126 et l’écart type de l’échantillon vaut = 16,07, quelle est la taille de
l’échantillon utilisé dans cette étude ?
Exercice 6 :
Un site de paris en ligne propose de miser sur les chances de la France de gagner la coupe du monde de rugby en 2023.
a) Un étudiant a interrogé 50 étudiants de l’IUT. 12 d’entre eux pensent que la France va gagner.
Donner un intervalle de confiance à 90 % de la proportion des français intéressés par le rugby pronostiquant la France gagnante.
b) Connaissant le biais introduit par l’environnement sportif de l’IUT, notre étudiant préfère
interroger ses « amis » sur Facebook. Sur les 120 retours obtenus, seulement 9 croient que la France peut gagner. Donnez un intervalle de confiance à 98 % de la proportion des français intéressés par le rugby pronostiquant la France gagnante.
c) 3 jours plus tard, bien qu’il se vante de posséder plusieurs milliers d’amis, il n’obtient au total que 250 réponses sur lesquelles 30 ont confiance dans la victoire des bleus. Donnez un intervalle de confiance à 95 % de la proportion précédente.
d) A partir de ces derniers résultats il décide d’attendre encore quelques jours avant de parier.
Combien de réponses doit-il attendre s’il veut obtenir un résultat à 3 % près, toujours avec un coefficient de confiance de 0,95 ?
FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 31 07 – TD 2 Page 4 Exercice 7 :
Le ministère des transports a publié le nombre de kilomètres effectués par jour en voiture par des habitants de métropole.
On dispose d’un échantillon de taille = 15.
Distance effectuée par jour en km :
20 22 23 19 15 14 17 21 10 15 12 18 18 16 21
1) Donner une estimation de la moyenne de la population.
2) Donner une estimation de l’écart type de la population.
3) Construire un intervalle de confiance de niveau 95 % pour la moyenne de la population
4) Supposons que l’on souhaite estimer le nombre moyen de kilomètres avec une amplitude de 2 km au niveau de confiance de 95 %.
Est-ce que ces données fournissent le niveau de précision souhaité ? si non que recommanderiez- vous ?
Exercice 8 :
Une enquête IPSOS menée du 12 au 22 Mai 2015 pour le compte du Crédit Agricole auprès de citoyens européens comporte une série de questions sur l’économie collaborative.
A la question : « Au cours des 5 dernières années, avez-vous emprunté plus souvent qu’auparavant des biens que vous ne possédez pas ? », voici la répartition des réponses dans quatre pays :
Réponse Pays
Total Allemagne France Espagne Italie Grande-Bretagne
OUI 180 340 380 290 220 1410
NON 820 660 620 710 780 3590
Total 1000 1000 1000 1000 1000 5000
Exemple de lecture de ce tableau : parmi les 1000 Français interrogés, 340 ont répondu « Oui » à la question.
1) Calculer les effectifs théoriques sous l’hypothèse que la proportion de personnes ayant emprunté des biens « plus souvent » soit la même dans tous les pays.
2) À partir du tableau et de la question 1), calculer le χ².
3) Répondre à la question « l’augmentation de la fréquence des emprunts de biens diffère-t-elle entre les cinq pays ? ».
FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 31 07 – TD 2 Page 5 Exercice 9 :
On cherche à comparer les distributions des groupes sanguins dans trois pays !, ! et !". Dans ce but, on tire au sort un échantillon de 100 individus dans chaque pays et on relève sur chaque individu son groupe sanguin. On obtient :
A B O AB TOTAL
#$ 50 8 40 2
#% 42 10 32 16
#& 34 12 33 21
TOTAL
1) Calculer les effectifs théoriques sous l’hypothèse que la répartition des groupes sanguins est indépendante du pays (on arrondira à l’unité).
2) À partir du tableau et de la question 1), donner les premiers termes du calcul du χ² (on donne pour la suite de l’exercice '² ≈ 19,9).
3) À la vue de ces données, peut-on considérer que la distribution des groupes sanguin est différente suivant le pays avec un risque d’erreur de 5 % ?
Exercice 10 :
On a interrogé 1000 patients traités pour une même maladie sur leur choix du médicament princeps ou du générique correspondant et sur le fait qu’ils aient subi ou non des effets secondaires.
On se demande si un lien existe entre l’utilisation d’un des deux médicaments et l’apparition d’effets secondaires. Les résultats ont été consignés dans le tableau suivant :
présence d’effet(s) secondaire(s) absence d’effet secondaire
princeps 2 198
générique 10 790
Selon vous, existe-t-il un lien existe entre l’utilisation d’un des deux médicaments et l’apparition d’effets secondaires ?
On donnera tous les calculs et détails nécessaires.
