REPUBLIQUE TUNISIENNE MINISTERE DE L’EDUCATION

(1)

REPUBLIQUE TUNISIENNE MINISTERE DE L’EDUCATION

(2)

Remerciements

Les auteurs remercient toutes les personnes qui ont participé à l’élaboration de ce manuel, et en particulier

Madame Néjiba MHAMDI, Messieurs Abdennibi ACHOUR, Belhassen DAHMEN et Ali Béji HAMMAS pour leurs critiques, leurs conseils pertinents et leurs modifications judicieuses.

Mesdames Imène GHDAMSI et Leila YOUSSEF pour leur contribution et leur disponibilité.

Mesdames Souad TOUNSI, Fatma TANGOUR, Fatma ZGHAL, Hédia OUESLATI, Messieurs Hédi BAKLOUTI, Majdi BEN BADR

et Adel ZARGOUNI pour leurs conseils pertinents et leurs remarques judicieuses.

Les membres de l’équipe d’édition du CNP pour leur grande compétence et leur patience.

Les auteurs

(3)

Préface

Ce manuel comprend dix chapitres. Chaque chapitre comprend trois rubriques : Cours, QCM-Vrai ou faux et Exercices et problèmes.

La rubrique Courscomprend

< des activités visant à permettre aux élèves de développer leur capacité à chercher, à expérimenter, à modéliser, à conjecturer et à démontrer,

< les résultats du cours à retenir,

< des exercices et problèmes résolus.

La rubrique QCMvise à permettre à l’élève de faire sa propre évaluation.

La rubrique Vrai ou faux vise à l’apprentissage progressif des règles logiques.

La rubrique Exercices et problèmes comprend des exercices et problèmes visant à permettre aux élèves de mobiliser leurs compétences de façon autonome.

(4)

Sommaire

Chapitre 1 Nombres complexes………. 5

Chapitre 2 Isométries du plan.………... 35

Chapitre 3 Déplacements – Antidéplacements…… 54

Chapitre 4 Similitudes………..………. 74

Chapitre 5 Coniques………..………... 96

Chapitre 6 Géométrie dans l’espace…..……... 121

Chapitre 7 Divisibilité dans ]……….. 147

Chapitre 8 Identité de Bezout…………..……… 161

Chapitre 9 Probabilités………...………….. 179

Chapitre 10 Statistiques.………...………….. 208

(5)

(6)

26

Nombres complexes

.

I. Rappels et compléments

I. 1 Définition et opérations sur les nombres complexes Activité 1

Déterminer l’écriture cartésienne de chacun des nombres complexes ci-dessous.

²^{2i 1 i}

² ^;

²^{i 3}

²^{i 3 ; 1 i}

⁴ ^{1 i}

²⁰^.

Théorème et définition (rappel)

Il existe un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, noté ^et vérifiant les propriétés ci-dessous.

1. L’ensemble ^ contient l’ensemble des nombres réels. 2. Il existe un élément de ^, noté i, tel que i² 1.

3. L’ensemble ^ est muni d’une addition et d’une multiplication qui vérifient les mêmes propriétés que l’addition et la multiplication dans .

4. Tout élément z de ^ s’écrit de façon unique sous la forme z a ib, où a et b sont des réels.

Conséquences

Soit z a ib et zc acib , où a, a , b et b sont des réelsc c c . Alors z z , si et seulement si, ac a et bc b .c

z 0 , si et seulement si, a b 0.

z est réel, si et seulement si, b 0.

z est imaginaire, si et seulement si, a 0.

Activité 2

Soit les nombres complexes z 1 2i et zc i.

1. Donner l’écriture cartésienne de

² ³ ⁴

zz , zzc c , zzc , zzc , ainsi que de leurs conjugués.

Soit z a ib, où a et b sont des réels.

Le conjugué de z est le nombre complexe z a ib.

2. Donner l’écriture cartésienne de z z 3

z , z

§ ·

¨ ¸

c © c¹ , ainsi que de leurs conjugués.

(7)

Propriétés

Pour tous nombres complexes z et zc, zz ' z z ' ; zz ' z z ' ; zⁿ z ⁿ ; n`

< Pour tout nombre complexe z et tout nombre complexe non nul zc,

n n

z z 1 1

; , n .

z z z z

§ ·

¨ c¸ c ¨ c ¸

]

< ^z ^z 2 Re z ; z z 2i Im z ; zz

Re z

²

Im z

².

< z z , si et seulement si, z est réel.

< z z, si et seulement si, z est imaginaire.

I. 2 Affixe d’un point, affixe d’un vecteur Activité 1

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct

^{O , u , v}^{G G}

^.

1. Placer les points A, B et C d’affixes respectives i , 2i , 1 2i.

2. Donner les affixes de leurs

symétriques par rapport à l’axe des abscisses.

symétriques par rapport au point O.

symétriques par rapport à l’axe des ordonnées

^{O , u , v}^{G G}

^.

L’affixe d’un point ^{M a , b} du plan est

le nombre complexe z a ib noté Aff M ou z_M. On dit aussi que le point ^{M a , b} est l’image de z.

Soit wJJG

un vecteur et M et N deux points tels que

w MN

JJG JJJJG

. Alors l’affixe du vecteur wJJG

est le nombre complexe z, noté Aff wJJG

, vérifiant z z_Nz ._M Pour tous vecteurs w et wJJG JJG₁

et tous réels D et E,

1 1

Aff( wD EJJG w )JJG DAff (w)JJG EAff (w )JJG .

5. Donner les affixes des vecteur 3

OB 2OC , AB AC.

2

JJJG JJJG JJJG JJJG

6. Déterminer l’affixe du centre de gravité du triangle ABC.

Activité 2

^{O , u , v}^{G G}

^.

Soit A le point d’affixe 22i et M un point d’affixe z.

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur z pour que M appartienne à la droite

^OA

^.

2. En déduire l’ensemble des points M d’affixe ^z k 2 2i , k

.

(8)

28

Propriété Soit w et wJJG JJG₁

deux vecteurs tels que wJJG₁

est non nul.

Les vecteurs w et wJJG JJG₁

sont colinéaires, si et seulement si,

1

w w

z z

JJG

JJG est réel.

Démonstration Soit w et wJJG JJG₁

non nul.

sont colinéaires, si et seulement si, il existe un réel D tel que w Dw1

JJG JJG .

1 1

1

Aff w

La relation w w équivaut à Aff w Aff w , ou encore à .

Aff w

D D D

JJG JJG JJG JJG JJG

JJG

Le théorème en découle.

Activité 3

^{O , u , v}^{G G}

^.

Soit f l’application du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point Mc d’affixe ^z^c^{2 z}

^z

^iz.

1. Déterminer et construire l’ensemble des points Mc, images des points M d’abscisse nulle.

2. Déterminer et construire l’ensemble des points Mc, images des points M d’ordonnées nulles.

Activité 4

^{O , u , v}^{G G}

^.

Soit A le point d’affixe 1 2i et M un point d’affixe z.

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur z pour que M appartienne à la perpendiculaire à la droite

^OA

^{en O.}

2. En déduire l’ensemble des points M d’affixe ^z ik 1 2i , k

. Propriété

Soit w et wJJG JJG₁

est non nul.

sont orthogonaux , si et seulement si,

1

w w

z z

JJG

JJG est imaginaire.

(9)

Démonstration Soit w et wJJG JJG₁

est non nul. On désigne par

w w1

z^JJG a bi et z^JJG acb ic avec a, b, a et bc c réels, les affixes respectives de w et wJJG JJG₁ .

Les vecteursw et w sont orthogonaux , si et seulement si, aaJJG JJG₁ cbbc 0.

Or,

1

w

2 2 2 2

w

z a bi a bi a b i aa bb a b ab i

z a b i a b a b

c c c c c c

JJG

JJG .

1

w 1

w

On en déduit que w et w sont orthogonaux , si et seulement si, z est imaginaire.

z

JJG JJG

Activité 5

^{O , u , v}^{G G}

^.

Déterminer et construire l’ensemble des points M d’affixe z tels que z i z 1

soit imaginaire.

I. 3 Module d’un nombre complexe Activité 1

^{O , u , v}^{G G}

. On considère les points A et B d’affixes respectives z_A 1 i 3 et

zB 1 i 3.

1. Vérifier que le triangle OAB est isocèle en O.

2. On désigne par D le point tel que OADB soit un losange. Déterminer l’affixe de D.

^{O, u ,v}^{G G}

^.

Soit ^z ^a ib et M a, b le point d’affixe z.

On appelle module de z le réel positif , noté z , défini par z OM a²b² .

Pour tous points M et N d’affixes z_M et z_N,

N M

z z MN.

Activité 2

Soit z 2 i et zc 3 4i.

Calculer les modules de z ⁴ ²

z z ; zz ; ; z ; zz .

c c z c

c

Propriétés

Soit deux nombres complexes z et zc.

z 0 , si et seulement si, z 0 ; zzc d z zc ; kz k z , k. zzc z zc ; z z ; z² zz ; zⁿ z , nⁿ ` ;

1 1

, z 0

z z z ; z z

, z 0

z z

c c

z ;

n n

1 1

, z 0 et n .

z z

z ]

(10)

102

Activité 3

^{O , u , v}^{G G}

^.

1. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z 1 2i 2.

2. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z 2 i z 2 2i. 3. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que 2

2z 2 i

2 . 4. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que iz 2 i 2. I. 4 Argument d’un nombre complexe non nul

Activité 1

^{O , u , v}^{G G}

^.

1. Placer les points A, B, C et D d’affixes respectives z_A i, z_B 4, z_C 2 2i et

zD 1 i.

2. Soit A , B , C et D les symétriques ₁ ₁ ₁ ₁ respectifs de A, B, C et D par rapport à l’axe des abscisses.

Déterminer un argument de chacun de leurs affixes.

^{O, u, v}^{G G}

^.

Soit z un nombre complexe non nul et M son image.

On appelle argument de z et on note arg z toute mesure de l’angle

^{u , OM}^{G JJJJG}

^.

O u

arg(z) M(z)

G

vG

4. Reprendre la question précédente pour les symétriques respectifs de A, B, C et D par rapport à O.

5. Reprendre la question précédente pour les symétriques respectifs de A, B, C et D par rapport à l’axe des ordonnées.

Activité 2

^{O , u , v}^{G G}

^.

Soit f l’application du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point Mc d’affixe ^z^c^{2 z z}

^2iz^.

1. a. Déterminer l’ensemble des points M tels que ^{arg z} ^{^{0 2}

> @

^S ^.

b. Déterminer et construire l’ensemble des points Mc, images par f des points M tels que ^{arg z} ^{⁰

> @

²^S ^.

2. Déterminer et construire l’ensemble des points Mc, images par f des points M tels que ^{arg z} ^{{ S}

> @

²^S ^.

3. Déterminer et construire l’ensemble des points Mc, images par f des points M tels que ^{arg z}

> @

²

2

{S S .

(11)

Activité 3

^{O , u , v}^{G G}

^.

Soit M un point distinct de O tel que

ⁿ^{u, OM}^{G JJJJG}

^{{ T}²

^{> @}

^S ^.

On désigne par M , M et M les symétriques respectifs de M par rapport à l’axe des ₁ ₂ ₃ abscisses, au point O et à l’axe des ordonnées.

Déterminer

ⁿ^{u , OM}^{G JJJJJG}¹

^{; u , OM}

ⁿ^{G JJJJJG}²

^{; u , OM}

ⁿ^{G JJJJJG}³

à l’aide de T. Propriétés

Soit z un nombre complexe non nul et k un réel non nul.

> @

arg z { arg z 2S .

> @

arg z { ʌ arg z 2S .

O u

M(z)

G T

Gv

M'(z) T M''(z)

TS

> @

Si k!0 alors arg kz {arg z 2S .

O u

M(z)

G T

Gv

M'(kz) k > 0

> @

Si k0 alors arg kz { S arg z 2S . _O _u

M(z)

G T

vG

M'(kz) TS k< 0

I. 5 Ecriture trigonométrique Activité 1

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct. Soit z 2 32i.

Déterminer l’écriture trigonométrique de z et placer le point d’affixe z.

En déduire l’écriture trigonométrique de chacun des nombres complexes

1 3

z , z , z et z

2 2

, puis placer leurs

points images.

Soit z un nombre complexe non nul tel que

> @

arg z { T 2S .

Alors ^z ^{z cos} ^T^{i sin}^T^.

L’écriture précédente est appelée écriture trigonométrique de z.

Si M est l’image de z dans le repère orthonormé direct

^{O, u, v}^{G G}

alors M appartient au cercle de centre O et de rayon z et à la demi droite >^OB

telle que

ⁿ^{u, OB}^{G JJJG}

^{{ T}^{> @}²^S ^.

(12)

122

Activité 2

Soit les nombres complexes 3 i 2

z 2

et 1 i 2

z 2

c .

Donner une valeur approchée de leurs arguments à 10² près.

Soit z un nombre complexe non nul tel z a ib, a et b des réels.

Alors ^{arg z} ^{{ T}

> @

²^S , si et seulement si,

2 2

cos a

a b

T

et 2 2

sin b

a b

T

.

Activité 3

^{O, u, v}^{G G}

^.

Soit A, B et C les points d’affixes respectives z_A 4, z_B 1 i 3 et z_C 1 i 3. 1. Montrer que le triangle ABC est équilatéral.

2. Donner les écritures trigonométriques de z , z et z ._A _B _C 3. Soit D le point tel que OABD est un parallélogramme.

Donner l’écriture trigonométrique de l’affixe z de D. _D 4. Soit K l’image de C par le quart de tour direct de centre O.

Donner l’écriture trigonométrique de l’affixe z de K. _K

I. 6 Propriétés d’un argument d’un nombre complexe non nul Activité 1

Soit z et zc deux nombres complexes non nuls tels que ^z ^{z cos}

^T^{i sin}^T

^et

zc z cosc T c i sinTc .

1. Donner les écritures trigonométriques de 1 z zz , et

z z

c c.

2. a. Montrer par récurrence, sur l’entier naturel n, que ^zⁿ ^zⁿ

^{cos n}^T^{i sin n}^T

^.

b. En déduire que pour tout entier naturel n, ^zⁿ ^zⁿ

^cos

^Tⁿ

^{i sin}

^Tⁿ

^.

Propriétés

Soit deux nombres complexes non nuls z et z .c

> @

arg zzc {arg z arg z 2c S .

> @

arg 1 arg z 2 .

z

§ ·{ S

¨ ¸© ¹

> @

arg z arg z arg z 2 z

§ c·{ c S

¨ ¸

> @

arg zn {n arg z 2S , n].

Pour tout nombre complexe non nul z et tout entier n, ^zⁿ ^zⁿ

^{cos n}^T^{i sin n}^T

^.

La formule précédente est appelée formule de Moivre.

(13)

Activité 2

Donner l’écriture trigonométrique de chacun des nombres complexes ci-dessous.

5

6 3

6 9

8

3 i

1 i ; 1 i ; 2 3 2i 1 i 3 .

3 i

Exercice résolu 1

^{O , u , v}^{G G}

^.

Soit M le point d’affixe z₁ 1 i.

Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par M le point d’affixe _n zⁿ. 1. Donner l’écriture trigonométrique de z , nⁿ t1.

2. Construire les points M , M , M et M . ₁ ₂ ₃ ₄

3. Déterminer les entiers naturels n tels que les points M soient sur la droite _n d’équation y x. Le point M₂₀₇₁ appartient-il à la droite d’équation y x? Solution

1. On peut écrire 1 i 2 cos i sin .

4 4

§ § S· § S·· ¨ ¨ ¸ ¨ ¸¸

© ¹

On déduit alors de la formule de Moivre que ⁿ ⁿ n n

z 2 cos i sin .

4 4

§ § S· § S··

¨ ¸ ¨ ¸

¨ ¸

© ¹

2. Le point M a pour affixe z₁ 2 cos i sin .

4 4

§ § S· § S··

¨ ¸ ¨ ¸

¨ ¸

© ¹

Par suite M est le point d’intersection du cercle de centre ₁ O et de rayon 2 avec la demi-droite

>

OA1

telle que

ⁿ^{u , OA}^{G JJJJG}¹

^{^S₄²

^{> @}

^S ^.

Le point M a pour affixe ₂ z² 2 cos i sin

2 2

§ § S· § S··

¨ ¸ ¨ ¸

¨ ¸

Par suite M est le point d’intersection du cercle de centre O et de rayon 2 avec la demi-₂ droite

>

OA2

telle que

ⁿ^{u , OA}^{G JJJJJG}²

^{₂^S²

^{> @}

^S ^.

Le point M a pour affixe ₃ ³ 3 3

z 2 2 cos i sin

4 4

§ § S· § S··

¨ ¸ ¨ ¸

¨ ¸

© ¹

.

(14)

142

Par suite M est le point d’intersection du cercle de centre O et de rayon ₃ 2 2 avec la demi-droite

>

OA3

telle que

ⁿ^{u, OA}^{G JJJJJG}³

^{³₄^S²

^{> @}

^S ^.

Le point M a pour affixe ₄ ^z⁴ ^{4 cos}

^S^{i sin}^S

⁴^.

3. Un point M appartient à la droite d’équation y_n x, si et seulement si,

ⁿ^{u , OM}^{G JJJJJG}ⁿ

₄^S^{2k , k}^S ^]^ou

ⁿ^u,OM^{G JJJJJG}ⁿ

^S₄^S^{2k , k}^S ^]^.

Par suite M appartient à _n D : y x, si et seulement si,

n 2k , k

4 4

S S

S ] ou n 5

2k , k

4 4

S S

S ].

On en déduit que M appartient à D, si et seulement si, _n

^{n 1}

est multiple de 8 ou

^{n 5}

est multiple de 8. L’entier 2072 étant divisible par 8, on en déduit que M₂₀₇₁ appartient à D.

I. 7 Angles orientés et nombres complexes Activité 1

^{O , u , v}^{G G}

^.

Soit A et B deux points distincts d’affixes respectives

A B

z et z .

1. En considérant le point E tel que ABJJJG OEJJJG , montrer que

ⁿ^{u, AB}^{G JJJG}

^{^{arg z}

^B^z^A

²

^{> @}

^S ^.

2. Soit C et D deux points distincts.

a. Vérifier que

ⁿ^{AB, CD}^{JJJG JJJG}

^{

ⁿ^{u, CD}^{G JJJG}

^{> @}

²^S

b. En déduire que

ⁿ

^D ^C

^{> @}

B A

z z

AB, CD arg 2

z z

§ ·

{ ¨ ¸ S

.

O u

arg(z - z )

G Gv

A B

A

B

E

Théorème

^{O , u , v}^{G G}

^.

Soit A , B, C et D des points d’affixes respectives z , z , z et z et tels que _A _B _C _D ABz0 et CDz0.

Alors

^{^{arg z}

^B^z^A

²

^{> @}

^S ^et

ⁿ

^D ^C

^{> @}

B A

z z

AB, CD arg 2

z z

§ ·

{ ¨ ¸ S

.

(15)

Conséquence

ⁿ

^{> @}

D C

B A

z z CD

cos i sin avec AB, CD 2

z z AB

T T { T S

JJJG JJJG

. Activité 2

^{O , u , v}^{G G}

^.

Soit A le point d’affixe 1, B le point d’affixe i.

1. Déterminer et construire l’ensemble des points M d’affixe z tels que ^{arg z i}

²

> @

3

{ S S . 2. Déterminer et construire l’ensemble des points M d’affixe z tels que ^arg ^{z i} ²

> @

z 1 2

S

§ ·

{ S

¨ ¸

^{O , u , v}^{G G}

. Soit A le point d’affixe 2 i . Déterminer et construire l’ensemble des points M d’affixe z tels que

³

^{> @}

arg z 2 i 2

2 {S S . Solution

On sait qu’un argument n’est défini que pour un nombre complexe non nul.

Par suite la relation arg (z 2 i)

³

2

^{> @}

2

{S S n’a de sens que si M est distinct de A.

De plus, ^arg

^{z 2 i}

³

^{^S₂²

^{> @}

^S , si et seulement si, ^{3arg z 2 i}

^{2k ,}^k

2

S S ]. On en déduit que

³

^{> @}

arg z 2 i 2

2

{S S , si et seulement si, ^{arg z 2 i}

^,^2k ^k

6 3

S S

]. Remarquons que

> @

2k 2 , si k 3n , n .

6 3 6

S S S

{ S ]

> @

2k 2

+ 2 , si k 3n 1, n .

6 3 6 3

S S S S

{ S ]

> @

2k 4

+ 2 , si k 3n 2, n .

6 3 6 3

S S S S

{ S ]

On en déduit que, ^arg

^{z 2 i}

³

^{ ₂^S²

^{> @}

^S , si et seulement si, ^{arg z 2 i}

²

> @

6

{ S S ou

⁵

> @

arg z 2 i 2

6

{ S S ou ^{arg z 2 i}

³ ²

> @

2

{ S S . De plus, ^{arg z 2 i}

^{

ⁿ^{u, AM 2}^{G JJJJG}

^{> @}

^S ^.

(16)

162

L’ensemble cherché est donc la réunion de trois demi droites

>

^{AB , AC}

>

^{et AD}

>

privées de A telles que

^{ ₆^S²

^{> @}

^S ^,

ⁿ^{u, AC}^{G JJJG}

^{⁵₆^S²

^{> @}

^S ^et

ⁿ^{u, AD}^{G JJJG}

^{³₂^S²

^{> @}

^S ^.

O^v Gu

G

2

-1 _A uG

D

B C

S S

^{O, u , v}^{G G}

^.

Déterminer et construire l’ensemble E des points M d’affixe z tels que

> @

arg z 1 2

z i 3

S

§ ·

{ S

¨ ¸

Solution

Soit M un point d’affixe z tel que zz1 et zz i, alors

ⁿ

^{> @}

arg z i MA , MB 2 z 1

§ ·

{ S

¨ ¸

© ¹

JJJJG JJJJG

où A et B sont les points d’affixes respectives 1 et i .

Par suite, M est un point de l’ensemble E, si et seulement si,

ⁿ^{MA, MB}JJJJG JJJJG

^{₃^S²

^{> @}

^S

.

Ainsi, l’ensemble E est l’arc BA, privé des points A et B, du cercle C passant par A et B et tangent en A à la demi-droite

>

^AT

définie par

ⁿ^{AT , AB}^{JJJG JJJG}

^{^S₃

^{> @}

²^S ^.

T _vG

Gu _A

B

S

( 2

II. Ecriture exponentielle d’un nombre complexe non nul Activité 1

^{O , u , v}^{G G}

^.

1. Soit les points A, B et C d’affixes respectives ^z^A ^{i , z}^B ¹₂

^{3 i et z}

^C ₂²

^{1 i .}

a. Donner les écritures trigonométriques de z , z et z . _A _B _C

b. En déduire que les points A, B et C appartiennent au cercle trigonométrique.

2. Soit les points E, F et G du cercle trigonométrique tels que

ⁿ^{u, OE}^{G JJJG}

^{³₂^S

^{> @}

²^S ^,

ⁿ^{u, OF}^{G JJJG}

^{⁵₄^S

^{> @}

²^S ^et

ⁿ^{u, OG}^{G JJJG}

^{²₃^S

^{> @}

²^S ^.

Donner les écritures trigonométriques de leurs affixes.

(17)

Notation

Pour tout réel T, on note eⁱ^Tle nombre complexe cosT i sinT. Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct

^{O , u , v}^{G G}

, un point M appartient au cercle

trigonométrique, si et seulement si, il a pour affixe z ei^T, où ^{T {}

ⁿ^{u, OM}^{G JJJJG}

^{> @}

²^S ^.

Conséquences

G G

u v O

M( )e^iT

T

-1

i0 1

e ,

e

ⁱ² i

S

,

e

ⁱ² i

S

,

e

ⁱ^S 1.

Pour tout réel T et tout entier k,

e

ⁱ^T

e

ⁱ⁽^T^{2k )}^S .

Pour tout réel T, eⁱ^T 1 et eⁱ^T e^Tⁱ et eⁱ^T eⁱ⁽^TS⁾. Activité 2

^{O , u , v}^{G G}

^.

On donne les nombres complexes z

e

ⁱ³

S

et

i3

z

e

2 S

c .

1. Donner le module et un argument de chacun des nombres complexes 1 z

z , z , zz , , z z '

c et z , nⁿ ].

2. Ecrire sous la forme eⁱ^T les nombres complexes z ⁿ zz , z , , z , n

c z ' ].

Les propriétés ci-dessous découlent des propriétés de l’argument du produit, de l’inverse ou du quotient de deux nombres complexes non nuls.

Propriétés

Soit deux réels T et T'.

i i i( )

e e^T. ^T^c e ^TT^c ; ⁱ

i

1 e

e

T T ;

i i( )

i

e e

e

T TTc

Tc ; eⁱ^T ⁿ eⁱⁿ^T, n]. Exercice résolu 4

^{O , u , v}^{G G}

^.

On considère le nombre complexe ^z^{1 i}

^e

ⁱ^T^,^T

>

^0,^S

@

et on désigne par E l’ensemble des points M du plan d’affixe z .

1. Vérifier que le point B d’affixe z = 1+2i appartient à E. _B 2. Déterminer l’ensemble E.

(18)

182

Solution

1. On sait que i eⁱ²

S

. On peut alors écrire z_B 1 2i 1 i

e

ⁱ²

S

.

Ce qui prouve que B appartient à l’ensemble E.

2. Soit A le point d’affixe z_A 1 i et M un point du plan complexe d’affixe z.

M appartient à E, si et seulement si, z z A

e

ⁱ^T, 0,T

>

S

@

.

On déduit alors, des relations zz_A AM et ^{arg z z}

^A

^{

ⁿ^{u, AM}^{G JJJJG}

^{> @}

²^S ^,

que M appartient à E si, et seulement si, AM 1 et

^{{ T}

^{> @}

²^S ^{, où}^T

est un réel de

>

^0,^S

@

^.

L’ensemble E est donc le demi-cercle de diamètre [IJ]

avec I(2, 1), J(0, 1) et contenant le point B.

Activité 3

^{O , u , v}^{G G}

^.

1. Donner l’écriture trigonométrique des nombres complexes z1 2i, z₂ 3i, ₃ 5

z 2, z4 3 1 i

et ₅ 2 3 2i

z 5

.

2. Ecrire chacun des nombres complexes précédents sous la forme r

e

ⁱ^T, avec r!0. Théorème et définition

Tout nombre complexe non nul z, s’écrit sous la forme z r

e

i^T, où r z et ^{arg z} ^{{ T S}

> @

² ^.

L’écriture z reⁱ^T, r!0 est appelée écriture exponentielle de z. G G

u v

O

M( ) e^iT

r T

r

Activité 4

On considère les deux nombres complexes z 3 i et z c 1 i.

Donner l’écriture exponentielle des nombres complexes 1 ⁵ z ² z , z , z , z , zz , , z , et z .

z z

c c c c

c Activité 5

1. Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes z 3 i et z c 1 i.

2. En déduire l’écriture cartésienne de

14 8

1 i 3 i

.

(19)

Activité 6

1. Vérifier que pour tout réel T,1

e

ⁱ

(e

ⁱ²

e

ⁱ²)

e

ⁱ².

T T T T

2. Donner l’écriture exponentielle des nombres complexes

2 3

i i

5 5

z 1

e

et z ' 1

e

.

S S

Activité 7

^{O, u, v}^{G G}

^.

Soit A et B les points d’affixes respectives 1 et 1.

On considère un point M d’affixe ^z

^e

ⁱ^D^{, avec}^D

@

^0, ^S

>

^.

1. Donner, à l’aide de D, la mesure principale de

^et

l’expression de AM.

G G

u v O

M( )e^iD

D $

-1

%

2. Donner, à l’aide de D, la mesure principale de

ⁿ^{u, BM}^{G JJJJG}

et l’expression de BM.

3. En déduire le module et un argument de chacun des nombres complexes

1 2

Z 1 z et Z 1 z.

III. Equation

z = a, n 1, a

ⁿ

t ^

Activité 1

1. Soit z un nombre complexe non nul d’argument 2k , k 3

S ]. Montrer que a. ^{si k} 3n , alors arg(z){0 2

> @

S ,

b. ^{si k} 3n 1, alors arg(z) ²

> @

2 3

{ S S ,

c. ^{si k} ³ⁿ 2, alors arg(z) ⁴

> @

2 3

{ S S .

2. Dans cette question, on se propose de résoudre dans l’équation E : z³ 1.

a. Montrer que z est une solution de E , si et seulement si,

2ik

z

e

3 , k

S

].

b. Déduire de la première question que E possède exactement trois solutions distinctes.

3. Soit n un entier naturel non nul. Donner les solutions dans ^, de l’équation zⁿ 1.

Théorème et définition

Pour tout entier naturel non nul n, l’équation zⁿ 1admet dans n solutions distinctes définies par

i2k k n

z

e

S

, l’entier k appartenant à

^

0, 1,..., (n 1)

`

.

Les solutions de l’équation zⁿ 1 sont appelées racines nièmes de l’unité.

(20)

202

Conséquence

^{O, u, v}^{G G}

^.

Lorsque nt3, les points images des racines nièmes de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique.

Les points images des racines sixièmes de l’unité

G

u v O

0eⁱ⁰

1

0eⁱ^S

0e^iS

0eⁱ^S 0eⁱ^S G

Activité 2

On pose 1 i 3

j .

2

1. Vérifier que j est une racine cubique de l’unité.

2. Vérifier les égalités suivantes j³ 1 , j² j et 1 j j² 0.

3. Montrer que pour tout entier naturel n, j³ⁿ 1 , j^{3n 1} j et j^{3n 2} j.

1. Vérifier que pour tout nombre complexe z,

^{z 1 z}

⁴^z³^z² ^{z 1}

^z⁵¹^.

2. En déduire les solutions z , z , z et z de l’équation ₁ ₂ ₃ ₄ E : z⁴z³z² z 1 0. 3. a. Ecrire z , z et z à l'aide de z . ₂ ₃ ₄ ₁

b. En déduire les valeurs de ₁ ₂ ₃ ₄

1 2 3 4

1 1 1 1

z z z z et .

z z z z

Solution

1. Il suffit de développer le premier membre.

2. Pour

5

4 3 2 z 1

z 1, z z z z 1 .

z 1

z

L’équation E équivaut à z⁵ 1 0 et zz1.

Il en résulte que les solutions de E sont les racines 5^ème de l’unité autres que 1, à savoir

i2 1 5

z

e

S

,

i4 2 5

z

e

S

,

i6 3 5

z

e

S

et

i8 4 5

z

e

S

.

3. a. Il découle de la question précédente que z₂ z₁² , z₃ z₁³ et z₄ z₁⁴.

b. En remarquant que z₁z₁² z₁³z₁⁴ 1, on déduit de la question précédente que

1 2 3 4

z z z z 1.

(21)

Il est facile de vérifier, compte tenu de la question 3.a, que

5 2 3 4

1 1 1 1 1

1 2 3 4

1 1 1 1

z z z z z .

z z z z

§ ·

¨ ¸

© ¹

Les égalités z₁⁵ 1 et z₁z₁²z₁³z₁⁴ 1 impliquent que

1 2 3 4

1 1 1 1

z z z z 1. Activité 3

Résoudre dans , l’équation z 2

1 i 1.

§ ·

¨ ¸

© ¹

En déduire les solutions dans , de l’équation z² 2i.

Activité 4

On se propose de résoudre dans l’équation E : z³ 8i.

1. Montrer que z est une solution de E , si et seulement si,

i6

z 2e

S est une racine cubique de l’unité.

2. En déduire que l’équation E possède exactement trois solutions.

Vérifier que les solutions de E sont

i 2k 6 3

zk 2e

S S

§ ·

¨ ¸

^

^{0, 1, 2}

`

^.

Théorème et définition

Soit a un nombre complexe non nul d’argument T et n un entier naturel non nul.

L’équation zⁿ a admet dans , n solutions distinctes définies par

^ `

i 2k n n

zk r e , k 0, 1,..., n 1

T S

§ ·

¨ ¸

Démonstration

Posons a a eⁱ^T. Considérons le réel r!0 tel que rⁿ a . On peut alors écrire

n n in

a r

e

§ T·

¨ ¸

Il en résulte que l’équation zⁿ a est équivalente à l’équation

n

in

z 1

r

e

T

§ ·

¨ ¸

(22)

222

On en déduit que z est solution de l’équation zⁿ a, si et seulement si,

in

z r

e

T est une racine nième de l’unité.

Par conséquent, l’équation zⁿ a admet n solutions distinctes de la forme

^ `

i 2k n n

zk r

e

, k 0, 1,..., n 1

T S

§ ·

¨ ¸

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct

^{O, u, v}^{G G}

^.

Lorsque nt3, les points images des racines nièmes d’un nombre complexe non nul sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle de centre O et de rayon r tel que rⁿ a .

Les points images des solutions de l’équation z⁶ a eⁱ^T

Activité 5

Déterminer les racines carrées, puis les racines quatrièmes du nombre complexe u 1 i 3. Activité 6

^{O , u , v}^{G G}

^.

Dans la figure ci-contre ABCDE est un pentagone régulier inscrit dans le cercle de centre O et de rayon 2 et A(2, 0).

1. Donner les affixes des points B, C, D et E.

2. Déterminer dans chacun des cas ci-dessous l’ensemble des points d’affixe z tels que

a. ^{arg z} ⁴

> @

²

5

{ S S ; b. ^{arg z} ²

> @

²

5

{ S S ; c. ^arg

^2z

³

> @

²

5

{ S S . Activité 7

Soit le nombre complexe z 2 2i 2 2 . 1. Déterminer le module et un argument de z². 2. En déduire l’écriture trigonométrique de z.

(23)

IV. Résolution dans , de l’équation az + bz + c = 0, a² z0

Activité 1 Recherche des racines carrées d’un nombre complexe par une méthode algébrique

Soit le nombre complexeu 3 4i.

On se propose de déterminer les racines carrées de u.

Remarquons d’abord que la recherche d’un argument du nombre complexe u ne conduit pas à un angle "remarquable".

Déterminons alors, sous forme algébrique, les solutions de l’équation z² u. On pose z x iy avec x et y deux nombres réels.

1. Montrer que l’équation z² u équivaut à

2 2

x y 3

2xy 4

x y 5

°

®°

¯

.

2. Vérifier que les couples

^{x , y}

solutions de ce système sont ^(2, ^{1) et}

^{2, 1 .}

3. Conclure.

Activité 2

Déterminer, dans chaque cas, les racines carrées de u 8 6i et u 1 2 2i.

Activité 3

On considère dans ,l’équation ² 7

E : z 2iz i 0

4 . 1. Montrer que ² 7

z 2i z i 0

4 , si et seulement si,

^{z i}

² ^{3 4i}

4

.

2. Vérifier que

2 i 2 3 4i

2 4

§ ·

¨ ¸

3. En déduire les solutions de l’équation E . Activité 4

Soit a, b et c des nombres complexes tels que az0.

On se propose de résoudre dans ,l’équation E : az²bz c 0. 1. Montrer que l’équation az² bz c 0 est équivalente à l’équation

2 2

2

b b 4ac

z 2a 4a

§ ·

¨ ¸

2. On pose ' b²4ac.

a. Montrer que si ' 0, alors l’équation E admet une unique solution que l’on déterminera.

b. On suppose que ' z0.

(24)

242

Dans ce cas, le nombre complexe ' admet deux racines carrées opposées G et G. Montrer que l’équation az² bz c 0 est équivalente à l’équation

b b

z z 0

2a 2a

G G

§ ·§ ·

¨ ¸¨ ¸

Cette activité nous permet d’énoncer le théorème suivant.

Théorème

Soit a, b et c des nombres complexes tels que az0.

L’équation az²bz c 0, admet dans , deux solutions (éventuellement confondues) définies par ₁ b

z 2a

G et ₂ b

z 2a

G, où G est une racine carrée du discriminant b2 4ac

' . Conséquences

Si z et z sont les solutions de ₁ ₂ az²bz c 0 , az0, alors

2

1 2

az bz c a zz zz , ₁ ₂ b

z z

a

et _{1 2} c z z a .

Méthode de résolution, dans , de l’équation (E) : az + bz + c = 0, a² z0

< Si c 0, E s 'écrit z az

b

0 et admet comme solutions z₁ 0 et ₂ b

z a

.

< Si b 0, ² c E s 'écrit z

a

et la résolution de E se ramène à la recherche des racines carrées du nombre complexe c

a .

< Si bcz0, on détermine une racine carrée Gdu discriminant ' b²4ac. Les solutions de E sont ₁ b

z 2a

G et ₂ b

z 2a

G. Activité 5

Résoudre dans , les équations ci-dessous.

a. ^z²

^{1 i z}

^{2 2i} ⁰^.

b.1 z z² 0. c.1 z z² 0. Activité 6

Déterminer les nombres complexes z et z vérifiant₁ ₂ ¹ ²

1 2

z z 1 2i, z z 1 i.

®

¯

(25)

V. Exemples d’équations de degré supérieur ou égal à 3 Activité 1

Soit a , a ,..., a des nombres complexes tels que ₁ ₂ _n a_n z0, nt2. Soit f : z6a z_n ⁿ a_{n 1} z^{n 1} ... a z ₁ a₀, z.

Soit E l’équation f z 0.

1. Montrer que si z est une solution de ₀ E , alors pour tout nombre complexe z,

n n 1 n n 1

n n 1 1 n 0 n 1 0 1 0

f z 0 équivaut à a z a z ... a z a z a z ... a z .

2. En déduire que si z est une solution de ₀ E , alors E est équivalente à l’équation

z z 0

g z 0, où g(z) est de la forme a z_n ^{n 1} b_{n 2} z^{n 2} ... b ₀, avec b , b ,..., b₀ ₁ _{n 2} complexes.

Théorème

Soit a , a ,..., a des nombres complexes tels que ₁ ₂ _n a_n z0, nt2. Soit P z a z_n ⁿa_{n 1} z^{n 1} ... a z a₁ ₀.

Si z est un zéro de P, alors ₀ P z

z z 0

g z , où g(z) est de la forme

n 1 n 2

n n 2 0

a z b z ... b , avec b , b ,..., b₀ ₁ _{n 2} complexes. Exercice résolu 6

On considère, dans , l’équation ^{E : z}³

^{1 4i z}

²

7 3i z 6i 2

0. 1. Montrer que l’équation E admet une solution imaginaire et la déterminer.

2. Résoudre l’équation E . Solution

1. Posons z₀ iy avec y réel.

z est solution de 0 E si, et seulement si,

^iy ³ ^{1 4i iy}

² 7 3i iy 6i 2

0. Il suit que, z est solution de ₀ E si, et seulement si,

2 3 2

y 3y 2 i y 4y 7y 6 0

.

On en déduit que z est solution de ₀ E , si et seulement si,

2

3 2

y 3y 2 0 ( ),

y 4y 7y 6 0 ( ).

°®

°¯

L’équation admet deux solutions réelles qui sont 1 et 2. Seul le réel 2 vérifie l’équation . Il en résulte que le réel 2 est l’unique solution du système précédent.

(26)

262

On en déduit que z₀ 2i est l’unique solution imaginaire pure de E .

Il suit que ^z³

^{1 4i z}

²

7 3i z 6i 2

z 2i z

²bz c

,avec b et c des nombres complexes.

Un développement et une identification terme à terme nous donnent b 1 2i et c 3 i. L’équation E s’écrit alors

^{z 2i z}

²

^{1 2i z 3 i}

⁰^,

ce qui équivaut à z 2i ou ^z²

^{1 2i z 3 i}

⁰^.

Les solutions de l’équation E : z1 ²

1 2i z 3 i

0 sont z₁ 2 i et z₂ 1 i. Il en résulte que l’équation E a pour ensemble de solutions^S

^

^{2i ,} 2 i , 1 i

`

. Activité 2

Soit ^{f z} ^z³

^{2 2i z}

²

^{2 i z 3 i}

^{, où z}^.

1. Vérifier que f i 0.

2. En déduire les solutions, dans , de l’équation f z 0.

VI. Nombres complexes et trigonométrie Théorème

Pour tout réel x et pour tout entier n,

cos x i sin x

ⁿ cos nx i sin nx . (Formule de Moivre).

Pour tout réel x,

ix ix

cos x

2

e e

et

ix ix

sin x

2i

e e

. (Formules d’Euler).

Les formules de Moivre et d’Euler permettent d’établir un grand nombre de formules trigonométriques.

Elles permettent aussi d’exprimer des puissances de cos x et sin x à l’aide de cos nx et sin nx .

Activité 1

Soit k un entier. Montrer que pour tout réel x différent de

^{2k 1}

2

S, 1 i tan x ^2ix 1 i tan x

e

.

Activité 2

1. En utilisant la formule de Moivre et la formule du binôme de Newton, montrer que

3 2

cos 3x cos x 3cos x sin x et sin 3x 3cos x sin x sin x² ³ .

2. Exprimer cos 4x et sin 4x en fonction de puissances de cos x et de sin x.

(27)

Exercice résolu 7 Linéariser sin x, x⁵ .

En transformant une expression contenant une puissance de cos x ou de sin x sous une forme qui ne contient aucun produit de fonctions circulaires, on dit qu’on a linéarisé l’expression donnée.

Solution

En utilisant une formule d’Euler, on obtient ⁵ 5

^ix ^ix

⁵

sin x 1 2i

e e . La formule du binôme de Newton, donne

e^ixe^ix

⁵ e^5ix C C C C ¹⁵ e e^4ix ^ix ²⁵ e e^3ix ^2ix ³⁵ e e^2ix ^3ix ⁵⁴ e e^ix ^4ixe^5ix. On obtient alors,

êîxêîx ⁵ ê^5ix ê^5ix ⁵ ê^3ixê^3ix ¹⁰ êîxêîx

^.

Il en résulte que ^{sin x}⁵ ¹

sin 5x 5sin 3x 10sin x

16 .

Activité 3

Linéariser cos x , sin x , sin x.cos x où x est un réel.³ ³ ³ ⁴