PGCD de deux entiers Activité 1

Déterminer ašb dans chacun des cas suivants

1. a 465 ; b 225, 2. a 196 ; b 116, 3. a 144 ; b 388.

On rappelle que si a et b sont deux entiers naturels non nuls alors leur plus grand commun diviseur est l’entier naturel ašb, tel que ašb divise a et b et tout diviseur commun à a et b divise ašb.

Activité 2

Dans cette activité nous nous proposons d'utiliser l'algorithme d'Euclide pour

déterminer le plus grand diviseur commun de deux entiers naturels a et b

Le plus grand diviseur commun de deux entiers naturels a et b est le dernier reste non nul dans la succession des divisions

euclidiennes de l'algorith me d'Euclide de a et b.

1. Recherche de 4851 616š .

En écrivant les divisions successives de l'al gorithme d'Euclide pour les entiers 4851 et 616, on obtient 4851 616 7 539u ; 616 539 1 77u ; 539 77 7 0u .

Le dernier reste non nul étant 77 , on en déduit que 4851 616š 77.

2. Utiliser l'algorithme d'Euclide pour déterminer ašb dans chacun des cas ci-dessous.

1.19625 1155š . 2. 17680š4960. 3. 30870 15750š . Activité 3

On se propose de déterminer le plus grand commun diviseur de deux entiers en utilisant la calculatrice.

1. Recherche de 2003 365š En tapant ^''2003 ab 365 =^''

c , la calculatrice affiche 5 178 365. Le résultat affiché signifie que 2003 178

365 5 365 et que la fraction 178

365 est irréductible, ou encore que 365 178 1š .

La division euclidienne 2003 365 5 178u nous permet d'affirmer que 2003 365š 365 178 1š .

Identité de Bezout

2. Recherche de 4010š365. En tapant^''4010 ab 365 =^''

c , la calculatrice affiche 10 72 73. Ce qui signifie que 4010 72

365 1073 et que la fraction 72

73 est irréductible, ou encore que72š73 1

La division euclidienne 4010 365 10 360u et les propriétés du plus grand commun diviseur nous permettent d'affirmer que 4010 365š 365 360š 5(73 72)š 5. 3. Utiliser la calculatrice pour déterminer ašb dans chacun des cas ci-dessous.

a 8623 et b 1155 ; a 19662 et b 865 ; a = 4830 et b = 3122.

Activité 4

Soit a et b deux entiers naturels non nuls et d un entier non nul, diviseur commun de 7a9b et 3a4b.

1. Montrer que d est un diviseur commun de 21a27b et 21a28b. En déduire que d divise b.

2. Montrer que d divise a.

3. Montrer que

^{7a9b š 3a4b}

^{ša b.}

Activité 5

Soit a et b deux entiers non nuls et d un entier.

Montrer que d divise a et b, si et seulement si, d divise a et b . Théorème et définition

Si a et b sont deux entiers non nuls, alors il existe un unique entier naturel d qui vérifie les deux conditions suivantes:

1. d divise a et d divise b,

2. Si un entier k divise a et b alors il divise d.

L’entier d défini plus haut est noté ašb et appelé le plus grand commun diviseur de a et b.

Conséquences

Pour tous entiers a et b non nuls, aš !b 0. Pour tous entiers a et b non nuls, aš b a š b . Activité 6

En utilisant la calculatrice, déterminer ašb dans chacun des cas ci-dessous.

1. a 462 ; b 1155. 2. a 196625 ; b 654.

L'égalité aš b a š b nous permet de généraliser les propriétés du plus grand commun diviseur de deux entiers naturels non nuls à celles du plus grand commun diviseur de deux entiers non nuls.

1642

Identité de Bezout

Propriétés

Soit a et b deux entiers non nuls.

< Si b divise a alors aš b b .

< Si b ne divise pas a et si r est le reste modulo b de a alors aš šb b r.

< aš šb b a.

< Pour tout entier non nul k, ^{kaškb k a}

^{šb .}

< ^aš

^{bšc ašb}

^šc.

Activité 7

1. A l'aide de la calculatrice, déterminer le quotient et le reste de 2921 par 18.

2. Existe-t-il deux entiers a et b tels que a b 2921 et aš b 18? II. Entiers premiers entre eux

Définition

Deux entiers non nuls a et b sont dits premiers entre eux, si aš b 1. Activité 1

Soit n un entier et d un entier naturel non nul.

1. Montrer que si d est un diviseur commun de n 1 et n 9 , alors d divise 8.

2. En déduire que si n est pair alors

^{n +1 et n +9}

sont premiers entre eux.

Théorème

Soit a et b deux entiers non nuls. Alors il existe un unique couple d’entiers

^{a , bc c}

^tel

que a (ašb)a , bc (ašb)b et ac cšbc 1. Démonstration

Soit a et b deux entiers non nuls. Posons d ša b.

L’entier d étant un diviseur commun à a et b, il existe deux entiers non nuls a et bc c tels Que a da et bc dbc. On en déduit qued š a b dacšdbc d(acšb )c .

Ce qui prouve queacšbc 1. L’unicité est évidente.

Activité 2

Déterminer dans chaque cas les entiers premiers entre eux a et bc c tels que

a ašb .a et bc ašb .bc.

1. a 60 et b 84 2. a 77 et b 150 3. a 240 et b 150.

Identité de Bezout

Exercice résolu 1

Pour tout entier n, on pose a 2n5 et b n 3.

1. Montrer que tout diviseur commun de a et b est un diviseur de 11.

2. En déduire, suivant les valeurs de n, la valeur de ašb. 3. Application

Déterminerašb lorsque a u2 12³¹²⁰5 et b 12³¹²⁰3. Solution

1. Si un entier non nul d divise a et b, alors il divise a2b 11.

2. D’après la question précédente, tout diviseur commun de a et b est un élément de l’ensemble

^

^{11 ,} 1 , 1 , 11

`

. Il en résulte que aš b 11 ou aš b 1.

Par ailleurs, ^{n {3 0 mod}

¹¹

, si et seulement si, ^{n{3 mod}

¹¹

et dans ce cas

2n {5 0 mod 11 .

Il en résulte queaš b 11, si et seulement si, ^{n{3 mod}

¹¹

^.

Par suite, aš b 1, si et seulement si, n n 'est pas congru à 3 mod ulo 11.

3. Les entiers a u2 12³¹²⁰5 et b 12³¹²⁰3 sont de la forme 2n 5 et n 3 , avec n 12³¹²⁰.

Les relations ^{12{1 mod 11}

^{et 123120 {1 mod}

¹¹

impliquent que

^{2 12u 31205 š 1231203}

^1.

Activité 3

Pour tout entier n, on pose a n 2 et b 3n 1 . Déterminer ašb, suivant les valeurs de n.

Activité 4

Soit a et b deux entiers non nuls tels que aš b 1 et soit c un entier non nul.

1. Justifier que acšbc c .

2. Montrer que si a divise bc alors a divise c.

L’activité précédente permet d’énoncer le théorème ci-dessous.

Lemme de Gauss

Soit a, b et c trois entiers non nuls. Si aš b 1 et a divise bc alors a divise c.

Activité 5

On se propose de résoudre dans ] ]u l’équation E : 43x71y 0. 1. Montrer que si

^{a , b}

est solution de E alors 43 divise b et 71 divise a.

2. En déduire l’ensemble des solutions de E .

1662

Identité de Bezout

Activité 6

Résoudre dans ] ]u les équations ci-dessous.

a. 13x9y 0. b. 20x 17y. c. 21x35y 0.

Exercice résolu 2

Soit a et b deux entiers naturels non nuls tels que aš b 1. 1. Montrer que ab et absont premiers entre eux.

2. Montrer que ab et a²ab b ² sont soit premiers entre eux, soit divisibles par 3.

Solution

1. Soit p un diviseur premier deab.

L'égalité aš b 1 implique l'une des deux possibilités suivantes:

ou bien p divise a et ne divise pas b et dans ce cas p ne divise pas ab, ou bien p divise b et ne divise pas a et dans ce cas p ne divise pas ab. Il en résulte que ab et ab n'ont aucun diviseur pr emier commun et alors

^ab

^{š ab=1.}

2. On peut écrire ^(ab)2

^{a2 abb2}

^{= 3ab}. Il en résulte que tout diviseur d commun à ab et a²ab b ² divise nécessairement 3ab.

Les entiers ab et ab étant premiers entre eux, on déduit du lemme de Gauss que d divise 3 , c'est-à-dire d =1 ou d =3. Ce qui prouve le résultat.

Exercice résolu 3

On se propose de résoudre dans ] ]u l'équation (E): ^{2x{12y mod}

¹⁰

^.

1. Montrer que si ^{2x{12y mod}

¹⁰

^{alors x {y 0 mod 5}

^.

2. a. Résoudre dans ] ]u l'équation ^{x{y mod 5}

^.

b. En déduire les solutions de ^{2x{12y mod}

¹⁰

^.

Solution

1. a. Un couple (x, y) est solution de ^{2x{12y mod}

¹⁰

, si et seulement si, 2x 12y est divisible par 10, ou encore, si et seulement si, 2(x 6y) est divisible par 10.

Il en résulte que 5 divise x 6y et par suite 5 divise xycar x 6y x y 5y. On en déduit que si ^{2x{12y mod}

¹⁰

^{alors x{y mod 5}

^.

2. a Les solutions de l'équation ^{x {y mod 5}

sont tous les couples de la forme (x, x 5k) tels que x ] et k].

b. D'après ce qui précède si un couple (x, y) est solution de ^{2x{12y mod}

¹⁰

^{alors ce}

couple est de la forme (x, x 5k) avec x ] et k].

Identité de Bezout

Montrons que tout couple de cette forme est solution de (E).

Si (x, y) (x, x 5k) avec x ] et k] alors 12(x 5k) 12x 60k 2x 10(6k x). Ce qui prouve que ^{2x{12y mod}

¹⁰

^.

En conclusion

2x{12y mod 10 , si et seulement si, (x, y) (x, x 5k) avec x ] et k]. Activité 7

1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’un entier soit divisible par 187.

2. Un entier qui est divisible par 2 et par 28 est-il nécessairement divisible par 56 ? 3. Soit a et b deux entiers naturels non nuls et premiers entre eux.

Montrer que si a divise n et b divise n alors ab divise n.

L’activité précédente nous permet d’énoncer le théorème ci-dessous.

Théorème

Soit a et b deux entiers naturels non nuls et n un entier.

Si aš b 1, ^{n{0 mod a}

^{et n{0 mod b}

^{alors n} {0 mod ab

. Activité 8

Déterminer les restes respectifs modulo 13 et modulo 17 de 129286.

En déduire le reste modulo 221 de 129286.

III

. PPCM de deux entiers Activité 1

Soit a et b deux entiers non nuls, d ša b et a et bc c les entiers tels que acšbc 1, a da et bc dbc.

On pose m d a bc c

1. Vérifier que m est un multiple commun à a et à b et que tout multiple commun à a et b est un multiple de m.

2. En déduire que m est le plus petit multiple commun strictement positif de a et b.

Théorème et définition

Pour tous entiers a et b non nuls il existe un unique entier m strictement positif qui vérifie les deux conditions suivantes.

< m est un multiple de a et b,

< tout multiple commun de a et b est un multiple de m.

L’entier m ainsi défini est le plus petit commun multiple de a et b et est noté a›b. Conséquences

< Pour tous entiers a et b non nuls, a› b a › b .

< Pour tous entiers a et b non nuls,

^{a›b u ašb}

^{ab .}

1682

Identité de Bezout

Cette dernière conséquence nous permet d’affirmer que les propriétés du plus petit commun multiple de deux entiers non nuls sont les mêmes que celles du plus petit commun multiple de deux entiers naturels non nuls.

Propriétés

Soit a et b deux entiers non nuls.

< Si b divise a alors a› b a .

< Pour tout entier non nul k, ka›kb k (a›b).

< a› ›b b a.

< ^a›

^{b›c a›b}

^›c.

Activité 2

Déterminer ašb dans chacun des cas. En déduire a›b.

1. a 495 et b 2541 2. a 24 et b 56 3. a 123 et b 82. Activité 3

Résoudre dans ] ]u les systèmes ci-dessous.

ab 1176, S : a b 84.

­

® ›

¯

ab 168, S : a b 24.

c ®­

¯ › Activité 4

Soit a un entier non nul et a] l’ensemble de tous les multiples de a.

1. Déterminer 2].

2. Déterminer les ensembles E, F et G définis par

^ `

E n6] et n 31 , ^F

^

^{n 5] et n 31}

`

^{et G} l’intersection de E et F.

Activité 5

1. a. Montrer que si a {0 mod 8 et a{0 mod 12 , alors a{0 mod 24 . b. La réciproque est-elle vraie ?

2. Déterminer les entiers a vérifiant

a 1 mod 8 , a 1 mod 12 ,

a 225.

­ {°

® {

° d

¯

IV. Inverses modulo b

Dans le document REPUBLIQUE TUNISIENNE MINISTERE DE L’EDUCATION (Page 162-168)