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LEXANDERO
STROWSKIBeiträge zur Topologie der orientierten Linienelemente I. Über eine topologische Verschärfung des Rolleschen Satzes
Compositio Mathematica, tome 2 (1935), p. 26-49
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Beiträge Topologie
Linienelemente I
Über eine topologische Verschärfung des Rolleschen Satzes
von
Alexander Ostrowski
Basel
Wird bei einer mit stetiger Tangente versehenen Jordankurve die Richtung der Tangente mit einer festen Nullrichtung stetig lângs der Kurve fortgesetzt, so wird man zwangslàufig darauf geführt, die Richtungen zweier Tangenten, deren Winkel mit der
Nullrichtung sich um ein ganzzahliges Vielfaches von 2n unter-
scheiden, als verschieden anzusehen. Wir werden in einem solchen Falle von analytischen Richtungen sprechen, wâhrend analyti-
sche Richtungen, deren Winkel mit einer Nullrichtung sich um ganzzahlige Vielfache von 2n unterscheiden, nach der im Folgen-
den benutzten Ausdrucksweise als geometrisch gleich oder parallel
bezeichnet und als dieselbe geometrische Richtung definierend
angesehen werden sollen. Ein in diesen Zusammenhang gehôrender,
des Õfteren formulierter Satz besagt, daB beim Umlauf lângs
einer einfachen geschlossenen Kurve der Tangentenrichtungs-
zuwachs gleich + 2n ist 1 ). Wir werden im Folgenden diesen
Satz als den Umlaufssatz bezeichnen.
Das Hauptziel der vorliegenden Mitteilung ist nun der Beweis
der Tatsache, daB der Rollesche Satz - über die Existenz einer
Tangente an einen Kurvenbogen, die zu der diesen Bogen span- nenden Sehne parallel ist - auch dann richtig bleibt, wenn es
sich um analytische Richtungen handelt. (Der Sehnenrichtungs- satz). Die übliche Formulierung des Rolleschen Satzes liefert 1 ) Vgl. E. STUDY, Konforme Abbildung einfach zusammenhângender Bereiche,
Vorl. über ausgewâhlte Gegenstânde der Geometrie, Heft II [Leipzig 1913, S. 88].
Allerdings darf der Satz wohl nur für konvexe Kurven als selbstverstândlieh ange- sehen werden. Differentialgeometrisch betrachtet stellt der Umlaufssatz eine
Spezialisierung der GauB-Bonnetschen Integralformel auf den Fall der euklidischen Ebene dar. Vgl. hierzu BlEBERBACH, Differentialgeometrie (Leipzig 1932), 92 ff.
nicht einmal die entsprechende Aussage für geometrische Rich- tungen, da es sich dabei um die Parallelitât von nicht orientierten Geraden handelt, so daB dabei alle Richtungen nur mod n zu
nehmen sind.
Dieser Satz ist von Bedeutung bei der Untersuchung der analy-
tischen Fortsetzung gewisser Taylorscher und Dirichletscher Reihen vermittelst geeigneter Integraldarstellungen, auf die in
einer anderen Verôffentlichung eingegangen werden soll.
Der Weg, auf dem wir den Sehnenrichtungssatz beweisen,
nâmlich die Reduktion auf den Fall eines polygonalen Weges,
macht es notwendig, die stetige Fortsetzung von Tangenten- richtungen lângs einer Kurve auch auf den Fall des Durchgangs
durch Ecken und Spitzen zu verallgemeinern. Die Festsetzungen,
durch die dies geschieht, laufen im Effekt darauf hinaus, daB die
Ecken und Spitzen durch hinreichend kleine Kreisbôgen abge-
rundet werden. Die auf diese Weise zunâchst erfaBte Mannig- faltigkeit von Kurven besteht aus Wegen mit stückweise stetiger Tangente.
Andererseits beruht unser Beweis des Sehnenrichtungssatzes
auf dem Umlaufssatz, den wir allerdings eigentlich nur für poly- gonale Wege zu benutzen haben. Und in diesem Falle ist der Beweis des Umlaufssatzes fast unmittelbar zu erbringen. Für
den Fall der stückweise stetigen Tangente dagegen findet sich in der Literatur kein Beweis des Umlaufssatzes. Der einzige uns
bekannte in allen Details ausgeführte Beweis dieses Satzes, der- jenige von Herrn J. Radon 2 ), geht von der Annahme aus, daB sich der Tangentenwinkel lângs der Kurve als eine Funktion
von beschrânkter Variation in Abhângigkeit von der Bogenl,nge
definieren lâBt, ein Fall, der offenbar auch denjenigen einer durchweg stetigen Tangente nicht mitumfaBt 3). Um daher
2 ) Vgl. J. RADON, ’Über die Randwertaufgaben beim logarithmischen Potential [Sitz.-Ber. d. Wiener Akademie Abt. lIa, 128 (1919), 1133].
3 ) In diesem letzteren Fall folgt allerdings der Umlaufssatz unmittelbar aus
einem wichtigen funktiontheoretischen Satz von E. LINDELôF: Bildet man das Innere der betrachteten Jordankurve mit durchweg stetiger Tangente auf das Innere
des Einheitskreises der z-Ebene vermittels der analytischen Funktion w = f(z) ab, so existiert, z = rei {) gesetzt,
und ist stetig auf dem Einheiskreis. Denn die Tangente an die betrachtete Kurve bildet bei geeigneter Normierung mit der positiven reellen Achse den Winkel
woraus, da A(v.) stetig und eindeutig auf dem Einheitskreis ist, der Umlaufssatz unmittelbar folgt.
möglichst allgemeinen Annahmen über die Kurve zugrunde zu legen, habcIl wir, in1 Folgenden vorausgesetzt, daB die Tangenten- richtungsfunktion bei geeigneter Normierung in jedem Punkte
Grenzwerte von rechts und links besitzt, mit anderen Worten,
nur Unstetigkeiten erster Art aufweist. Unter dieser allgemeinen
Annahme wird im Folgenden sowohl der Sehnenrichtungssatz
als auch der Umlaufssatz bewiesen., wobei also in der hier be- wieselen Fassung des Umlaufssatzes auch dic Formulierung
von Herrn Radon enthalten ist.
Ùber die Anordnung der Darstellung sei Folgendes gesagt.
Wir bringen in den ersten sechs Nummern die einleitenden 1)efinitionen und Festsetzungen, zeigen in Nr. 7, wie man den
allgemcinen Fall auf den Fall der Kurven ohne Spitzen zurück-
fûhrcn kann, und beweisen sodann il Nr. 8 einen wichtigen
Hilfssatz (Lemma 2) über die Môglichkeit, die betrachteten Kurven durch Sehnenpolygone zu ersetzen. In den Nummern 12 und 13 wird nun der Ei11f1uB des Uebergangs zu den Poly-
gonen auf die Drehung der Tangenten und Sehnen diskutiert, nachdem in Nr. 9 ein hierzu ben5tigter Spezialfall des Sehnen- richtungssatzes bewiesen worden ist. Zugleich zeigen wir die Zulâssigkeit verschiedener weiterer Annahmen über die betrach- teten Kurven beim Beweis des Umlaufssatzes und des Sehnen-
richtungssatzes, deren vollstândige Formulierung man in den
Nummern 10, 11 findet. Nachdem in Nr. 14 der Beweis des Umlaufssatzes erbracht worden ist, besprechel wir nun in Nr. 15
einen Hilfssatz über die Sehnenreduktion, der aus dem Umlaufs- satz leicht folgt, und dessen Bedeutung darin besteht, daB er gewissermaBen die Zulâssigkeit gewisser Deformationen an der betrachteten Kurve feststellt. Mit Hilfe dieses Hilfssatzes ist
nun (in Nr. 16) der Beweis des Sehnellrichtungssatzes unschwer
zu erbringen.
1. Festsetzungen Über geornetrische und analytische Richtungen.
Wird eine feste Richtung als Nullrichtung 4) zugrunde gelegt,
so kann danl1 bekanntlich jede Richtung in Bezug auf dic Null- richtung durch die Angabe ihres Winkels mit der Nullrichtung festgelegt werden, wobei dieser Winkel zunâchst nuer modulo 2n bestimmt ist. I111 Folgenden wird oft zu unterscheiden sein zwischen den geometrisch festgelegten Richtungen und solchen,
4) NVir werden ini Folgendeii oft die Ebeiie als die Ebene der komplexen Zahlen
auffassen. Dann ist die Nullrichtung stets die Richtung der positiven reellen Achse.
bei denen der Winkel nicht nur modulo 2n , , sondern genau
festzulegen ist. Wir werden demnach im ersten Falle von geo-
metTÍschen, im zweiten von analytischen Richtungen sprechen.
Wir werden ferner zwei analytische Richtungen als benachbart oder zueinander passend bezeichnen, wenn die Differenz der ent-
sprechenden Winkel absolut genommen kleiner aIs 7l ist. Ist eine
analytische Richtung o zu einer Geraden g nicht parallel, so gibt es zwei zu g parallele und zu g passende analytische Rich- tungen. Wird eine solche Gerade g orientiert, so gibt es stets eine einzigen zu g parallèle und zu o passende analytische Richtung.
2. Annahrrzen über die Kurve W.
Es sei W ein einfacher rektifizierbarer Weg endlicher Lange S.
Auf W sei ein bestimmter Durchlaufungssinn festgesetzt. Der Anfangspunkt von MT sei mit A, der Endpunkt mit B bezeichnet.
Auf diesen Durchlaufungssinn beziehen sich im Folgenden stets
die Angaben über die Reihenfolge von Punkten auf W. Ebenso sollen die Tangenten auf W, wo sie existieren, stets mit der ent- sprechenden Richtung versehen werden. yvir setzen nichts dar- über voraus, ob W offen oder geschlossen ist. Im zweiten Fall ist A mit B identisch.
Wird mit s die von A ab gezâhlte Bogenl,nge von W bezeichnet,
so sind die rechtwinkligen Koordinaten x(s), y(s) der Punkte
von W bekanntlich fast überall differenzierbar und es gilt fast
überall die Beziehung
Andererseits gilt offenbar für zwei beliebige Werte si, 82 von s:
Daher sind die Funktionen x(s), y(s) auf jeden Fall absolut
stetig, und es gilt
wo v(s) eine (nur bis auf eine Nulln1enge und nur mod 20e) durch
die Bedingung’en
festgelegte Funktion ist.
Wir wollen nun voraussetzen, daB die Funktion vS(s) sich so
bestimmen HiBt, daB sie nur Unstetigkeiten erster Art besitzt,
d.h. daB für jedes s die Grenzwerte bezw.
existieren (und endlich sind). Diese Bedingung ist insbesondere offenbar stets erfüllt, wenn W eine stückweise stetige Tangente hat, da dann v(s) bei geeigneter Normierung nur endlich viele
Sprünge hat, die den Ecken und Spitzen von W entsprechen.
3. Definition und Grundeigenschaften der Tangentenrichtungs- funktion.
Aus unseren Annahmen über v(s) folgt, daI3 für jede positive
Zahl d es auf W nur endlich viele Punkte geben kann, in denen
ist. In der Tat, sonst hätten solche Punkte s eine Häufungsstelle,
es gäbe also ein s, derart, daB für eine unendliche gegen s. kon-
vergierende Folge von Zahlen sv (6) erfüllt wäre. Man kann annehmen, daB alle diese sv gröBer oder alle kleiner als s, sind.
Dann kann aber einer der Grenzwerte (4) nicht existieren. Daraus
folgt insbesondere, daB die Anzahl der Unstetigkeiten von v(s)
hôchstens abzâhlbar ist.
Aus der Existenz der Grenzwerte (4) und (5) folgt vermôge
der Formeln (2), daB in jedem Punkte so von W die beiden
Grenztangenten vorhanden sind und, dem gewàhlten Umlaufsinn entsprechend orientiert, den durch die Winkel v(S0 + 0), f}(so - 0)
mit der Nullrichtung festgelegten Richtungen geometrisch paral-
lel sind. Insbesondere fallen sie in jedem Stetigkeitspunkt von lû(s)
miteinander zusammen.
Insbesondere besitzt dann f}( 8) nur endlich viele Sprünge, die
absolut > n sind. Ist nun etwa 80 ein solcher Punkt, so kann man
die Werte von v(s) für s > s, um ein geeignetes Vielfaches von 2n derart abândern, daB der Sprung von à(s) an der Stelle 80 absolut n wird. Wir denken uns nun diese Abanderung überall ausge- führt.
Den Werten so5 für die {}(8) einen Sprung + x besitzt, ent- sprechen Spitzen von W. In den Spitzen kann man durch Hin- zufügung eines geeigneten Vielfachen von 2n erreichen, daB der
Sprung von e(s) nach Belieben gleich + n oder -n wird. Wir wollen nun die Werte von {}(s) in den Spitzen nach der folgenden
Vorschrift festlegen:
A. Es sei Po eine Spitze, So der zugehôrige Wert s und es seien B_, B+ zwei an die Spitze anstoBende Stücke von W, B- vor der
Spitze, B+ nach der Spitze, die, von Po abgesehen, keine Spitzen
roon TJT enthalten. (Vgl. Figg. 1, 2 ). Man verlangere nun B- lângs
der Tangente t- an B- in Po und verkürze eventuell B+ so, da,6
dieses Stück von W, von Po abgesehen, weder B- noch t- trifft. Der Sprung û(so + 0) - v(so - 0 ) von v(s) in Po soll nunmehr gleich + n oder -n sein, je nachdem ob B+ nach links oder nach rechts liegt,
wenn man B- und t- entsprechend der festgesetzten Richtung durch- lauft. - Mit anderen Worten, der Sprung e(so + 0) - e(so - 0) soll gleich + n oder - n festgelegt werden, je nachdem "das Innere
der Spitze" beim Durchgang durch die Spitze zur linken oder zur
rechten Hand bleibt, oder, wie man auch sagen kann, je nachdem
ob die Spitze nach rechts oder nach links, von der Durchlaufungs- richtung aus gesehen, weist.
Fig. 1. Fig. 2.
Die auf diese Weise aus v(s) entstehende Funktion nennen
wir nun eine Tangentenrichtungsfunktion von W. Sie soll als Funktion des allgemeinen Punktes P auf W mit e(P ) bezeichnet
werden. Ist Oo = 0 ( ) der Wert von @(.P) im Anfangspunkte A,
so erhalten wir offenbar durch Hinzufügung eines beliebigen ganzzahligen Vielfachen 2nx von 2x zu e(p) eine neue Tangenten- richtungsfunktion e(p) + 2nx mit dem Anfangswert eo + 2nn.
Sobald aber der Anfangswert eo fixiert ist, ist auch die dazu
gehôrige Tangentenrichtungsfunktion eindeutig bestimmt.
9(.P) hat nach dem Obigen neben der Eigenschaft A noch die
drei folgenden wichtigen Eigenschaften.
B. O(P) hat für jedes P sowohl "rechtsseitige’’ als auch "links-
seitige" Grenzwei-te. Diese Grenzwerte sollen 1n,it O(P+O), O(P-0)
bezeichnet werden. .
Jeder Punkt P, P:/= A, P =1=- B, in dem 0 (P) unstetig ist,
soll als ein singuliirer Punkt von TV bezeichnet werden, und z war
als eine Ecke, menn der zugehôrige Sprung e(p+O) -e(p-O)
absolut n ist, wâhrend wir von einer Spitze sprechen, wenn
dieser Sprung einen der Werte + Jc hat. Unter e(A + 0 ) soll
stets e(A), unter e(B + 0 ) stets e(B) verstanden werden,
mag A = B sein oder nicht.
C. Es gibt hôchstens abziihlbar viele singuliire Punkte P1 , P 2’ ... von W, und es gilt
D. ln iedern Punkt P von W sind die Grenztangenten an TV, entspi-echend dein Durchlaufungssinn orientiert, zu den durch die Winkel e(p - 0) , e(p + 0 ) mit der Anfangsrichtung festgelegten Richtungen geometrisch parallel, wenn P =F- A, P:71-- B ist.
Offenbar ist 0 (P) durch die Bedingungen A, B, C, D - und
den Anfangswert 0, - eindeutig bestimnit.
Man kann den Inhalt der Vorschrift C für Ecken folgender-
mal3en geometrisch umschreiben:
C*. Geht man beim festgelegten Durchlaufungssinn durch eine
Ecke Po von W hindurch und ist B die
Offnung
des in Po linksvon W liegenden Winkelraumes, 0 fl 2n, so ist der Zuwachs
von O ( P ) beim Dnrchgang durch Po gleich
Es ergibt sich dies sofort durch Betrachtung der Figur 3 (S. [91 34). Geht man vom Bogen C_ auf C+ über, so ist dabei die
Öffnung B der "nach links liegenden Ecke" kleiner als -r und der Sprung von e(s) ist gleich n - p > 0. Geht man aber von
C‘_ auf
C)
über, so ist dieOffnung
(3’ der "nach links liegendenEcke" > n und der Sprung von e(s) ist negativ und dem absolute11 Betrage nach gleich e’ - n, d.h. wiederum genau gleich n - fl’.
Die Vorschriften A und C sind offenbar so festgelegt, daB der
Zuwachs der Tangentenrichtungsfunktion beim Durchgang durch
eine Ecke oder Spitze unverândert bleibt, wenn diese Ecke bzw.
Spitze durch einen hinreichend kleinen Kreisbogen "abge-
rundet" wird.
4. Grenztangenten und Stützen.
Ist P eine Ecke von W, so passen die durch e( P + 0), O( P - 0)
gegebenen analytischen Richtungen der beiden Grenztangenten
in dieser Ecke im Sinne unserer Festsetzungen zueinander.
Legt man durch einen singulâren Punkt Po einen Halbstrahl
mit der analytischen Richtung
so pal3t seine Richtung offenbar zu den Richtungen der beiden Grenztangenten in Po. Dieser Halbstrahl soll als die Hauptstütze
an W in Po bezeichnet werden, und der Wert von e(p) in jedem singulâren Punkt Po soll als (8) festgelegt werden. Vgl. Figg. 1,
2, wo die Hauptstützen eingezeichnet sind. Allgemeiner soll als
eine Stütze an W in einer Ecke oder Spitze P eine gerichtete
Strecke durch P bezeichnet werden, deren analytische Richtung
dem Intervall zwischen e(p - 0) und O(P + 0) angehôrt.
e ( B) - O(A) bezeichnen wir als den Tangentenrichtungszu-
wachs lângs W. Dieser Tangenrichtungszuwachs andert sich offen- bar nicht, wenn Da anders normiert wird.
Betrachten wir das kleinste Intervall, das sâmtliche Werte von
O ( P ) lângs W enthàlt, so entspricht diesem Intervall ein Büschel
von Richtungen, das wir als das Tangentenrichtungsbüschel von
W bezeichnen, und wofür wir S(W) schreiben werden. Das
Tangentenrichtungsbüschel S(W) wird durch die Richtungen der Tangenten und Stützen an W lückenlos erfüllt. S(W) ist offenbar
bei anderer Normierung von eo um das entsprechende ganz-
zahlige Vielfache von 2n um den Ursprung zu drehen. 0, läBt
sich stets so normieren, daB eine feste Tangente oder Stütze von
W eine zu ihr parallele, im übrigen beliebige analytische Richtung
besitzt.
Von einer Kurve W, für die die in No. 2 aufgeführten Annahmen zutreffen, werdén wir sagen, es lasse sich liings W eine Tangenten- richtungsfunktion definieren. lm Folgenden werden diese Annah-
men über W zugrunde gelegt, ohne dall sie jedesmal in den For-
mulierungen erwâhnt werden. Falls gelegentlich iiber W mehr
oder weniger vorausgesetzt wird, wird dies jedesmal ausdrück-
lich vermerkt werden.
5. Sehnenrichtungsfunktion e(Q, P) von IV.
Es sei nun Q ein vom Endpunkt B verschiedener, im übrigen beliebiger Punkt von W. P môge die auf Q folgenden Punkte von
W durchlaufen. Dann läBt sich eine Funktion O (Q, P) so defi- nieren, daB sie die beiden folgendenBedingungen erfüllt: a) @(Q,P)
ist für f estes Q stetig in P zwischen Q und B, wenn e (Q, Q)=’
e (Q + 0 ) festgesetzt wird. b) Die von Q nach P gezogene Sehne
von W bildet mit der Nullrichtung den Winkel e (Q, P). - Wir
bezeichnen e (Q, P) als die Sehnenrichtungsfunktion von W.
Unsere Funktion e (Q, P) legt also die analytische Richtung
der Sehnen an W fest. Sie hangt aber natürlich von der Nor-
mierung der Anfangstangentenrichtung 0, ab und andert sich,
,venn zu 00 2kn addiert wird, in gleicher Weise. Auch die Existenz
von e (Q, P) ergibt sich sofort, wenn man das zwischen Q und B liegende Stück von W in so kleine Teilstücke zerlegt, daf3 beim Durchlaufen jedes dieser Teilstücke die maximale Richtungs- schwankung des von Q ausgehenden Radiusvelitors
n/2
bleibt..Fig. 3. Fig. 4.
Jeder Wert von 0 ( P ), den 0 ( P ) in Stetigkeitspunkten anneh-
men kann, kommt auch unter den Werten von 0 (Q, P ) vor. Ist dagegen Po ein Unstetigkeitspunkt von 0 (P), so kommt nach
unserer Definition unter den Werten von 0(Q, P) der Wert
0 (Po+ 0 ) vor. Ebenso kommen dann, wie man sich leicht über-
legt, alle Werte vor, die im engeren Sinne zwischen O ( Po - 0 )
und 0 (P,)+ 0) liegen. Dagegen braucht 0 ( Po - 0) im Wertevorrat
von 9 (Q, P) nicht vorzukommen, wie man am Beispiel der
obenstehenden Figur (vgl. Fig. 4) leicht einsieht.
6. Die Ordnung eines Weges in Bezug auf einen Punkt.
Ist Q ein nicht auf W liegender Punkt und bildet der von nach dem Punkte A von W führende Vektor mit der positiven
reellen Achse einen Winkel Xo, so läBt sich eine weitere Funktion
oc(P) definieren, die auf W stetig ist, für A den Wert o,.(A) = «o
hat, und deren Wert für jeden Punkt P von IV deI1 Winkel liefert, den der von il nach dem Punkte P von W gezogene Vektor mit der Nullrichtung bildet. Die Differenz Ct..(B)-Ct..(A) ist offenbar
unabhângig von der Wahl der zugrunde gelegten Bestimmung
von a,. Sie hängt daher nur von IF und vom Punkte -Q ab; wir
bezeichnen sie als die Ordnung des Weges W in Bezug an f den
Punkt D.
Ist insbesondere A mit B identisch und daher der Weg W
eine einfache geschlossene Kurve, so ist bekanntlich die Ordnung
von W in Bezug auf den Punkt il gleich 0, wenn Q aul3erhalb W
liegt; liegt aber D innerhalb von W, so ist diese Ordnung gleich
+ 2n oder - 2,-r, je nachdem ob W in positiver oder in negativer Richtung in bezug auf das Innere durchlaufen wird.
7. Das Abschneiden von Spitzen.
Es sei Po eine Spitze von W, a_Po , P,a, zwei an Po ansto-
Bende Stücke von W, wobei a- vor Po liegt, a+ auf Po folgt und
auf a_Po, Poa+ keine von Po verschiedene Spitze 1-on W liegt.
(Vgl. Fig. 5.) Zugleich seien a_, a+ so nahe an Po gewàhlt, da3
@(Po 2013 0) 2013 O(P) lângs a_Po und O(P) - e(Po+O) lângs Poa+
absolut genommen
unterhalb 4
bleiben. Es sei d die Distanz zwischen Po und der Menge der nach Weglassen von a_Po, Poa+übrig bleibenden Punkte von W. Eine Parallele zur Hauptstütze
an W in Po, die im Abstand à > 0, ô d auf jener Seite der Hauptstütze verlâuft, auf der a_Po, Poa+ liegen, durchsetzt diese
Bôgen in je einem Punkt a-, e+.
Wir ersetzen nun das Stück oc_PoCt..+ von W durch die gerad- linige Strecke oc-oc+ und bezeichnen den so aus W entstehenden
Weg mit W*, die zugehôrige Tangentenrichtungsfunktion mit
0* (P).
Da die analytische Richtung der Hauptstütze in Po sich von
0 ( Po - 0 ), é9 (Po, -f - 0 )
um 2
bz",r.-n/2
unterscheidet, unter- scheidet sich diese analytische Richtung von e (lL_) und e (a+>absolut hôchstens um
3n/4.
Daraus folgt, daB 0* (P) gleich é9 (P) auf W - oc-Po - Po«,+ ist und im Inneren der Strecke OC_C4+ gleichi (e (Po - 0) + e (Po + 0)).
Daher ist das Tangente- richtungsbüschel S (W*) von W* im Tangentenrichtungsbüschel S ( W) von W enthalten. Insbesondere ist der Tangentenrichtungs-zuwachs von a- bis a+ bei W* der gleiche wie bei W - und man
kann offenbar nunmehr a-, a+ beliebig nahe an oc- , oc+ heran-
schieben.
Fig. 5. Fig. 6.
Es sei endlich Qo ein Punkt von W, der vor oc- (d.h. also zwischen A und ce_ ) liegt. Setzen wir die Sehnenrichtungsfunktion g* ( Qo, P) lângs der Strecke iJ.._iJ..+ fort, so gelangen wir nach a+ mit dem Wert,
den dort die Sehnenrichtungsfunktion e (Qo, P) besitzt, da die Ordnung des Jordanbogens iJ.._p oiJ..+ in Bezug auf Qo gleich der Ordnung der geradlinigen Strecke ce_ce+ in Bezug auf Qo ist. Es folgt dies daraus, daB der Punkt Qo aul3erhalb der geschlossenen
Jordankurve iJ.._PoiJ..+iJ..- liegt - seine Distanz von Po ist ja > ô
so daB die Ordnung dieser Jordankurve in Bezug auf Qo verschwin-
det. Wir sehen, daB e* (Qo , P) gleich e (Qo , P) ist für alle Punkte P, die auf Qo folgen und W und W* gemeinsam sind.
Die gleiche Operation kann sukzessive an allen Spitzen vorge-
nommen werden und man sieht:
Lemma 1. W kann durch geeignete De f ormatian in beliebig
kleiner Umgebung jeder Spitze in einen Weg W* mit folgenden Eigenschaften übergeführt werden: 1) W* besitzt keine Spitzen;
2 ) das Tangentenrichtungsbüschel von W* ist in demjenigen von W enthalten,; 3) die Sehnenrichtungsfunktion e* ( Qo , P ) von W*
stimmt mit derjenigen von W überein, wenn Qo, P den beiden Wegen
W* und W gemeinsam sind und dasselbe auch noch für eine be- liebig kleine Umgebung von Qo au f W gilt; 4) für zwei beliebige
Punkte Pl und P2, die W und W* gemeinsam und au f keinem der
beiden Wege singuliir sind, gilt für die Tangentenrichtungsfunktion 8*(P) von W*
8. Ein Hilfssatz über zu W âquivalente Sehnenpolygone.
Wir beweisen nun das für alles folgende fundamentale
Lemma 2. Es besitze W keine Spitzen, und es môge, wenn 1V
geschlossen ist, auch im Punkte A = B keine Spitze vorliegen. Auf
W lassen sich dann endlich viele, im festgelegten Fortschreitungssinn aufeinanderfolgende Teilpunkte Po = A, Pl, ..., Pn-1’ Pn = B
mit den folgenden Eigenschaften angeben:
a) Sie zeriegen W in Teilbôgen FV==PV-1PV’ derart, daB wenn
die zu Fv gehôrende Sehne mit Sv bezeichnet wird, aus W wiederum eine einfache Kurve entsteht, wenn beliebig viele Fv durch entspre-
chende Sehnen Sv ersetzt werden.
b ) Für kein th sind innerhalb und au f dem Rande der endlichen,
von Tu, und su begrenzten Bereiche Punkte der von Tu, bzw. s, ver- schiedenen Fv und Sv enthalten, eventuell von den Punkten P,1-1 , P Il abgesehen.
c ) Die Punktfolge Po, Pl, ..., Pn behiilt ihre Eigenschaften bei, wenn sie durch Ein f ügung neuer Teilpunkte in endlicher Anzahl
beliebig erweitert wird.
Beweis. Wir markieren zunâchst auf W alle Punkte V’,
in denen
gilt. In jedem dieser Punkte bestimmen wir den absolut klein- sten der vier Winkel, die von den beiden Grenztangenten in
diesem Punkt und ihren Verlângerungen gebildet werden, und
bezeichnen die kleinste unter den so gefundenen positiven Zahlen
mit y,. Gibt es kein V’, so sei y,
= n/4 .
Falls A = B ist und die(gerichteten) Tangenten in A und B nicht ineinander fallen, betrachten wir ebenso den absolut kleinsten der vier von den
Tangenten in A und B und ihren Verlângerungen gebildeten
Winkel und bezeichnen seine absolute Grô3e mit y2 und die
kleinere der Zahlen YI , Y2 mit y3 . Sonst setzen wir Y3 = yi. Es sei nun y -
1/4min 1 4 , y3
·sei nun y 4 4 Y3 .
Wir betrachten nun auf W alle Punkte P, in denen
ist, nehmen dazu A und B und bezeichnen sie in der dem gewàhlten Durchlaufungssinn entsprechenden Reihenfolge mit
Wir behaupten nun, daf3 jedes Stück T7,u-1 J,T,u von W sich in end-
lich viele Teilbôgen derart zerlegen lâflt, daB auf jedem dieser Bôgen
die Schwankung von e(P ) im Innern y bleibt.
Denn wâre dies nicht der Fall, so gâbe es auf einem solehen Bogen
eine Folge von Punktepaaren Pv,
P00FF
derart, daB die Entfernungzwischen Pv
und ’
auf W mit v --> oo gegen 0 konvergiert,während zugleich
wäre. Mail kann dann weiter voraussetzen, daB diese Punkte- paare gegen einen Punkt Po auf dem Bogen
Vp-l Vp
konvergieren.Po kann aber dann weder mit
V -1
noch mit V, identisch sein, dasonst
19 (P,)
und e(Pv) gegene(17,u-1 +0)
oder e(1Tp-0) konver-gieren mül3ten in Widerspruch zu (10). Wenn aber Po im Innern
des Bogens
V 1,’,
liegt, so kann die Menge der Zahlen0 (Pl) ,
0 (P.) keine anderen Häufungsstellen besitzen, als die drei Zahlen
Da aber die Differenzen dieser Zahlen durchweg sind,
ist auch dies unmöglich. 2013 ____
Wir unterteilen nun jeden der Bogen
Vp,_llTp,
mit Hilfe weitererTeilpunkte derart, daB die Schwankung von 0 (P) im Innern jedes
der entstehenden Teilbogen y bleibt, und bezeichnen die ent- stehenden Teilpunkte zusammen mit Vo, ..., Tk in der dem Durchlaufungssinn entsprechenden Reihenfolge mit II o = A, U1,
..., , Um = B. Zugleich darf vorausgesetzt werden, daB m > 3 ist.
Wir bezeichnen allgemein das zwischen Uv und U,,,, enthaltene
Teilstück von W mit Tv. Dabei ist im Falle einer geschlossenen Kurve, d.h. A = B, T m == T 0 und T -1 === T m-1 zu setzen. Ist aber W
nicht geschlossen, so ist unter T m bzw. T-1 jedesmal die leere Menge zu verstehen.
Entfernt man nun aus W jeweils drei aufeinander folgende Teil-
stücke TV-l’ Ty , TV+1’ so sei die Distanz des dadurch entste- henden "Restes" vom Teilstück T v gleich bv, und die kleinste
unter den Zahlen ôv sei mit à bezeichnet. Nunmehr verfeinere
man unsere Einteilung von W durch Einschaltung neuer Teil- punkte, bis die Lange der zwischen zwei aufeinanderfolgenden Teilpunkten liegenden Stücke von JV kleiner
also
4 ist. DieseTeilstücke môgen in der entsprechenden Reihenfolge mit To, T1, ..., hn bezeichnet werden und ihre Anfangspunkte mit
A = Po, P1, ... , , Pn-l- B soll dann mit Pn bezeichnet werden,
und rn ist leer, wenn A - B ist. Wir behaupten nun, daB unsere Zerlegîtng die verlangten Eigenschaften besitzt. Es genügt zu zeigen,
