Bien avant l'apparition du calcul littéral, plusieurs procédés, empiriques ou géométriques, ont été utilisés pour résoudre des problèmes de la vie pratique. En effet, arpentage de terrains, questions d'héritage, prêts à intérêts, divers commerces nécessitent de savoir manipuler des expressions algébriques.
Dans ce chapitre, nous allons évoquer les diverses façons de lire une formule, de la transformer et de la comprendre afin d'en faire le meilleur usage.
1 Définitions.
Une expression algébrique est une expression contenant des nombres et des lettres, des parenthèses, et des opérations.
Exemples :
Que contient l'expression algébrique 2x² + 5 x ? Comment lit-on 2x² + 5
x ? Voir feuille annexe.
E1 Savoir déterminer une expression algébrique.
N ° 1
Traduire chaque phrase par une expression algébrique.
A ) La somme de 5 et du produit de 3 par x.
B ) Le double du carré de a.
C ) Le produit de la somme de 7 et x et de la différence de y et 8.
D ) Le quotient du cube de x par 3.
E ) La différence du carré de 5 et du double de x.
F ) Le carré de la somme de 4 et de x.
N ° 2
Associer à chaque énoncé l'expression algébrique correspondante.
1 ) somme de deux produits a )
d c
ab+
2 ) produit d'une différence et d'une somme b ) c d − a
b 3 ) différence d'une somme et d'un produit c ) ( a + b ) − cd 4 ) quotient d'une somme par une différence d )
d c
+1
5 ) différence de deux quotients e ) ( a − b ) ( c + d )
6 ) inverse d'une somme f ) ad + cd
7 ) quotient d'un produit par une somme g )
d c
b a−+
2 Description des formes algébriques.
La somme est une expression algébrique du type a + b.
Exemple : A = 2x² + 5x. Voir feuille annexe.
Le produit est une expression algébrique du type a × b.
Exemple : B = ( 2x + 3 ) ( 3x − 1 ). Voir feuille annexe.
Le carré est une expression algébrique du type a².
Exemple : C = ( x + 3 )². Voir feuille annexe.
Le quotient est une expression algébrique du type a b .
Exemple : D = 1
² x
3 x
5 +− . Voir feuille annexe.
La différence de deux carrés est une expression algébrique du type a² − b².
Exemple : E = ( x + 1 )² − ( 4x + 1 )². Voir feuille annexe.
E2 Savoir décrire des expressions algébriques.
Décrivez, à l'aide d'une phrase, la forme des expressions algébriques suivantes :
A = x² + x B = x + 5 ( x + 3 ) C = ( x + 5 ) ( x + 3 ) D = ( x − 5 )² − 4 E = x 1
5
x+− F = ( x + 5 )² G =
2 x+1 +
2 x
x−
E3 Savoir reconnaître des différences de deux carrés.
Parmi les expressions suivantes, reconnaître celles qui sont la différence de deux carrés.
H = x² − 16 I = ( 1 + x² ) − ( 5 − 2x )² J = ( 1 + x )² + ( - 7 + 2x )²
K = ( 3 − 4x )² − 4 L = ( 9 − 5x )² − 2 M = 11 − ( 8x + 1 )²
N = ( x − 5 )² + 9 O = -x² + 9 P = -x² − 9
Q = x4− 1
3 Transformations d'une expression algébrique.
Une expression algébrique peut s'écrire de plusieurs façons et il faut d'utiliser la forme la plus adaptée au travail à effectuer.
Réduire une somme, c'est écrire cette somme sous la forme la plus condensée possible, en regroupant les termes de même nature. Généralement, le résultat est présenté sous la forme des puissances décroissantes de x c'est à dire d'abord les termes en x4 puis ceux en x3 puis ceux en x² puis ceux en x et enfin les constantes.
Exemple : réduire l'expression A = 3x² + 5x − 4 + 2x3 − x² + x + 9. Voir feuille annexe.
E4 Savoir transformer des expressions algébriques.
1 ) Réduire les expressions suivantes : A = ( 5 × 6 ( x² ) ) + 7x − 5x + 25.
B = ( 2 × x − 8 ) + 9x − x² + 2005 + 35x² 2 ) Soit g la fonction définie sur par g ( x ) =
1
² x
1
² x+−
a ) Démontrer que g ( x ) peut s'écrire sous la forme suivante : g ( x ) = 1 − 1
² x2
+ b ) Démontrer que g ( x ) peut s'écrire sous la forme suivante : g ( x ) =
1
² x2x²
+ − 1.
3 ) Soit f la fonction définie sur ] 1 ; + ∞ [ par f ( x ) = 2 − 1 x
1−
Démontrer que f ( x ) peut s'écrire sous la forme suivante : f ( x ) = 1 x
3 x 2 −−
4 Développer une expression algébrique.
Développer un produit, c'est écrire ce produit sous la forme d'une somme.
Généralement, une expression développée ne contient pas de parenthèse.
Formules à utiliser pour développer ( à connaître par cœur ).
a ( b + c ) = ab + ac ( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd Les identités remarquables sont
( a + b )² = a² + 2ab + b² ( a − b )² = a² − 2ab + b² ( a − b ) ( a + b ) = a² − b²
Exemples : développer les expressions suivantes A = 5 ( 2x + 1 )
B = ( 2x + 1 ) ( x − 3 ) C = ( x + 3 )²
D = ( 2x − 5 )² E = ( x − 7 ) ( x + 7 )
E5 Savoir développer.
Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes : A = x ( 3x + 2 )
B = ( x − 2 ) ( 2x + 6 ) C = ( x² − 2x + 6 ) ( 4 − x) D = ( 5x + 3 )²
E = ( 3 − 5x )²
F = ( x² − 1 ) ( x + 2 ) ( 5 − x ) G = ( 5x − 12 ) ( 5x + 12 ) 5 Factoriser.
Factoriser une somme, c'est écrire cette somme sous la forme d'un produit.
Dans une forme factorisée, il n'y a ni addition, ni soustraction à l'extérieur des parenthèses.
Formules à utiliser pour factoriser ( à connaître par cœur ).
ab + ac = a ( b + c )
ac + ad + bc + bd = ( a + b ) ( c + d ) a² + 2ab + b² = ( a + b )²
a² − 2ab + b² = ( a − b )² a² − b² = ( a − b ) ( a + b )
Exemples : factoriser les expressions suivantes A = 6 + 3x
B = x² + ( 2 + 3 ) x + 6 C = x² + 14x + 49
D = 4x² − 12x + 9 E = 9x² − 16
Pour factoriser certaines expressions algébriques, on utilise généralement les méthodes suivantes.
Méthode 1 :
Chercher le facteur commun.
Le mettre en évidence.
Le souligner.
L'écrire devant.
Ecrire dans une parenthèse tout ce qui n'est pas souligné.
Méthode 2 :
Chercher un facteur commun à chacun des termes de la somme et appliquer la méthode 1.
S'il n'existe aucun facteur commun, chercher à identifier une identité remarquable.
Si aucune des étapes précédentes ne s'applique, chercher à modifier l'écriture de la somme pour se ramener à l'une des étapes précédentes.
Si aucune des étapes précédentes ne s'applique, développer et tenter à nouveau de factoriser.
Exemples : factoriser les expressions suivantes :
F = 3 x ( x − 1 ) + 4 x ( 2 − x ) G = x² − 2x + 1 − 3 ( x − 1 )
E6 Savoir factoriser.
Factoriser les expressions suivantes : A = ( 2x + 3 )² − (x − 5 )²
B = ( 2x − 6 ) + ( x − 3 )² C = ( x − 2 ) ( x + 1 ) + 2 − 3x D = 2 ( x − 5 ) − 3 ( x − 5 ) ( 2x − 5 ) E = 4x² − 28x + 49 + ( 5x − 1 ) ( 2x − 7 ) F = ( 6 − x )² − ( 3x − 2 )²
G = x ( 5x − 2 ) − x H = ( x − 1 )² − ( 2x − 2 )
I = x² − 10x + 25 − ( x − 5 ) ( 3x + 2 ) J = ( 3x − 2 )² − 1
K = ( 3 − 2x ) ( x − 8 ) + ( 7 − 3x ) ( 2x − 3 )
