Lyc´ee Dominique Villars Exercices ECE 2
Estimation statistique - Constructions d’intervalles de confiance
On observe un n-´echantillon (X1, . . . , Xn) de variables al´eatoires ind´ependantes qui suivent toutes la loi N(m,4) o`u m ∈ R est inconnu. On cherche `a estimer ce param`etre m suite `a l’observation de l’´echantillon.
On pose, pour toutn∈N∗, la moyenne empirique des observations Tn= 1
n
n
X
i=1
Xi
1. Montrer queTn est un estimateur sans biais dem.
2. D´eterminer la loi de la variableTn. Quels en sont ses param`etres ? 3. D´eterminer un r´eelα >0 tel que
P(Tn∈[mα , m+α]) = 0,95
4. En d´eduire un intervalle de confiance au niveau de risque 0,05 du param`etre m.
5. On constate sur une r´ealisation d’un 100-´echantillon (X1, . . . , X100) queT100= 15.3. Quel est alors l’intervalle de confiance dem au niveau de risque 0,05 ?
Exercice 1 (Estimation par intervalle de confiance de la moyenne d’une loi normale).
Lors d’un sondage sur n personnes interrog´ee, 60 % pensent voter pour A On mod´elise le choix par un ´echantillon (X1, . . . , Xn) de variables ind´ependantes de mˆeme loi de Bernouilli de param`etre p (inconnu!!). On cherche `a d´eterminer un intervalle de confiance pour p au niveau de confiance 99%
(cad 1% de risque).
1. D´eterminer l’esp´erance et la variance de la fr´equence empirique Tn=Xn= X1+. . .+Xn
n
2. On noteTn∗ la fr´equence empirique centr´ee r´eduite. Par quelle loi peut on approcher la loi deTn∗ ? On suppose d´esormais queTn∗ suit cette loi.
3. A l’aide de la table de la loi normale centr´ee r´eduite, d´eterminer t tel que P(−t6Tn∗ 6t)>0.99
et en d´eduire que
P Tn−t×
rp(1−p)
n 6p6Tn+t×
rp(1−p) n
!
>0.99
4. Montrer que pour toutp∈[0,1], on ap(1−p)6 1 4.
5. Sachant que la taille de l’´echantillon est n = 100, donner un intervalle de confiance asymptotique dep au niveau de confiance 99%.
Exercice 2 (Estimation par intervalle de confiance lors d’une sondage `a l’aide du TCL).
1
SoitX une variable al´eatoire de densit´e de probabilit´e :
f(x) =
0 si x <0 x
θ2e−x/θ si x>0 Le param`etre θest inconnu mais est compris entre 0 et 2.
1. En utilisant les caract´eristiques d’une loi exponentielle bien choisie, justifier que E(X) = 2θ 2. Calculer la variance de la variableX
3. Soit un entier non nul net X1, . . . , Xn un ´echantillon den variables ind´ependantes suivant la mˆeme loi que X.
(a) D´emontrer queTn= Xn
2 est un estimateur sans biais deθ.
(b) Calculer le risque quadratique deTn.
(c) A l’aide de l’in´egalit´e de Chebychev, d´eterminer un intervalle de confiance de niveau 0.95 pour θ. D´eterminer concr`etement celui-ci si en observant un ´echantillon de taille n= 100, nous obtenons sur celui-ci une valeur de 0.83 pourT100.
(d) A l’aide du TCL, d´eterminer un intervalle de confiance de niveau asymptotique 0.95 pour θ. D´eterminer concr`etement dans les mˆemes conditions que pr´ec´edemment.
Exercice 3.
SoitX une variable al´eatoire de densit´e de probabilit´e : f(x) =
0 si x < θ 3θ3
x4 si x>θ Le param`etre θest inconnu mais est compris entre 0 et 2.
1. D´eterminer les valeurs deE(X) et V(X)
2. Soit un entier non nul net X1, . . . , Xn un ´echantillon den variables ind´ependantes suivant la mˆeme loi que X.
(a) Estimation 1.
i. D´emontrer queTn= 2Xn
3 est un estimateur sans biais deθ.
ii. Calculer le risque quadratique de Tn.
iii. A l’aide de l’in´egalit´e de Chebychev, d´eterminer un IC de niveau 0.95 pourθ.
iv. A l’aide du TCL, d´eterminer un IC de niveau asymptotique 0.95 pourθ.
(b) Estimation 2.
On d´efinit la variableMn= min(X1, . . . , Xn)
i. D´emontrer queMn admet pour densit´e la fonctionfn(x) =
0 si x < θ 3n θ3n
x3n+1 si x>θ ii. En d´eduireE(Mn), puisV(Mn) et enfin le risque quadratique deTn.
iii. Mn est-il sans biais ? asymptotiquement sans biais ? convergent ?
iv. A l’aide de l’in´egalit´e de Markov, d´eterminer un IC de niveau 0.95 pourθ.
Exercice 4.
2
