Mécanique des Fluides

Mécanique des Fluides

Franck Nicoud – I3M

franck.nicoud@univ-montp2.fr

Plan général

1. Rappels et notions de base 2. Compressibilité

3. Quelques solutions analytiques 4. Notion de turbulence

1. Rappels et notions de base 2. Compressibilité

3. Quelques solutions analytiques 4. Notion de turbulence

Objectifs - hypothèses

1. On s’intéresse dans cette partie du cours à quelques phénomènes physiques directement liés à la compressibilité du fluide:

a) Acoustique linéaire

b) Passage au supersonique c) Ondes de choc

2. Les phénomènes considérés ne sont pas liés à la viscosité du fluide et sont très peu impactés par celle-ci; les effets diffusifs pourront donc être négligés et le fluide considéré comme parfait

3. Le fluide est un gaz parfait

4. Les forces de volumes sont négligeables

3 MKFLU - MI4

Gaz parfait

• La loi des gaz parfait utilisée pour compléter les équations de conservation (masse, quantité de mouvement et énergie) est un très bon modèle pour les gaz dans les conditions de pression et de température modérées

• Un gaz parfait est un fluide non nécessairement parfait dont l’équation d’état est:

𝑝

𝜌 = 𝑟𝑇, avec 𝑟 = _𝑚^𝑅

où 𝑅 = 8.314472 J/K/mol et 𝑚 est la masse molaire (kg/mol)

• Pour de l’air, cela conduit à 𝑟 ≈ 287 𝐽/𝐾/𝑘𝑔

Gaz parfait - propriétés

• l’énergie interne spécifique (= par unité de masse) 𝑒 et l’enthalpie spécifique ℎ = 𝑒 + 𝑝/𝜌 ne dépendent que de la température :

𝑑𝑒 = 𝐶_𝑣𝑑𝑇 𝑑ℎ = 𝐶_𝑝𝑑𝑇 (lois de Joule)

• le rapport des chaleurs spécifiques à pression et volume constant est égal au coefficient d’adiabaticité; leur différence vaut 𝑟, la constante du gaz parfait

𝐶_𝑝

𝐶_𝑣 = 𝛾 𝑟 = 𝐶_𝑝 − 𝐶_𝑣

• On en déduit les relations:

𝐶_𝑝 = _𝛾−1^𝛾𝑟 𝐶_𝑣 = _𝛾−1^𝑟

• Pour de l’air à température ambiante: 𝛾 = 1.4

Gaz parfait - propriétés

• Les variables d’état spécifiques que sont l’énergie interne et l’entropie sont liées par l’équation de Gibbs qui prend la forme:

𝑇𝑑𝑠 = 𝑑𝑒 − 𝑝

𝜌² 𝑑𝜌

• On déduit au final les relations suivantes pour les variables d’état spécifiques:

𝑒 − 𝑒₀ = 𝐶_𝑣(𝑇^′)𝑑𝑇′

𝑇

𝑇₀

ℎ − ℎ₀ = 𝐶_𝑝(𝑇^′)𝑑𝑇′

𝑇

𝑇₀

• Ces deux expressions se simplifient évidemment lorsque les chaleurs spécifiques à pression et volume constants peuvent être considérées comme indépendantes de la température

• L’entropie prend la forme: 𝑠 − 𝑠₀ = 𝐶_𝑣ln _𝜌^𝑝_𝛾

Compressibilité

• Cette notion est associée à la diminution de volume (augmentation de la masse volumique 𝑑𝜌) en réponse à un accroissement de la pression 𝑑𝑝

• Elle est quantifiée par deux coefficients de compressibilité:

• Coefficient de compressibilité isotherme 𝜒_𝑇 tel que:

^𝑑𝜌_𝜌

𝑇 = 𝜒_𝑇𝑑𝑝

• Coefficient de compressibilité isentropique 𝜒_𝑆 tel que:

𝑑𝜌

𝜌 𝑆 = 𝜒_𝑆𝑑𝑝

• La positivité de ces coefficients traduit l’intuition qui dicte que le volume d’une particule fluide diminue lorsque la pression augmente

Compressibilité

• Dans le cas d’un gaz parfait ces coefficients prennent les valeurs suivantes:

𝜒_𝑇 = _𝜌^{1 𝜕𝜌}

𝜕𝑝 𝑇 = ¹_𝑝 𝜒_𝑆 = _𝜌^{1 𝜕𝜌}

𝜕𝑝 𝑆 = _𝛾𝑝¹

• Dans le cas d’un fluide parfaitement incompressible, ces coefficients sont nuls, ce qui traduit que la densité est une constante

• La compressibilité a pour conséquence l’existence d’onde de pression se déplaçant à la célérité 𝑐 dans le fluide au repos:

𝑐 = 1 𝜌𝜒_𝑆

Vitesse du son

• Dans un gaz parfait, les ondes sonores se déplacent donc à la vitesse

𝑐 = 𝛾𝑝

𝜌 = 𝛾𝑟𝑇

• On trouve environ 340 m/s dans de l’air à température ambiante

• Elles sont infiniment rapides dans un fluide incompressible (pseudo-son)

• Pour l’eau (qui n’est pas un gaz parfait mais un fluide légèrement compressible), on trouve 𝑐 ≈ 1400 m/s

9 MKFLU - MI4

Rappel: Navier-Stokes compressibles

• Masse:

𝜕𝜌

𝜕𝑡 + 𝜕𝜌𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑖 = 0

• Quantité de mouvement:

𝜌𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑡 + 𝜌𝑢_𝑗 𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑗 = − 𝜕𝑝

𝜕𝑥_𝑖 + 𝜕𝜏_𝑖𝑗

𝜕𝑥_𝑗 avec 𝜏_𝑖𝑗 = 2𝜇𝑆_𝑖𝑗 − 2

3 𝜇𝑆_𝑘𝑘𝛿_𝑖𝑗

• Température:

𝜌𝐶_𝑣 𝜕𝑇

𝜕𝑡 + 𝜌𝐶_𝑣𝑢_𝑗 𝜕𝑇

𝜕𝑥_𝑗 = −𝑝𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑖 + 𝜏_𝑖𝑗 𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑗 − 𝜕𝑞_𝑗

𝜕𝑥_𝑗 avec 𝑞_𝑗 = −𝜆 𝜕𝑇

𝜕𝑥_𝑗

• Equation d’état:

𝑝

𝜌 = 𝑟𝑇

Equations

1. Les équations du mouvement pour un fluide parfait s’obtiennent à partir des équations de Navier-Stokes compressibles en prenant 𝜇 = 𝜆 = 0.

2. Ce sont les équations d’Euler compressibles.

ATTENTION: ne pas confondre avec le théorème d’Euler

qui est une version intégrée de l’équation de quantité de

mouvement, éventuellement écrite pour un fluide

visqueux

Equations d’Euler compressibles

• Masse:

𝜕𝜌

𝜕𝑡 + 𝜕𝜌𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑖 = 0

• Quantité de mouvement:

𝜌 𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑡 + 𝜌𝑢_𝑗 𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑗 = − 𝜕𝑝

𝜕𝑥_𝑖

• Température:

𝜌𝐶_𝑣 𝜕𝑇

𝜕𝑡 + 𝜌𝐶_𝑣𝑢_𝑗 𝜕𝑇

𝜕𝑥_𝑗 = −𝑝 𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑖

• Equation d’état:

𝑝

𝜌 = 𝑟𝑇

Equations de l’énergie

• L’équation de l’énergie peut revêtir plusieurs formes suivant les besoins de l’étude:

𝜌𝐶_𝑣 𝜕𝑇

𝜕𝑡 + 𝜌𝐶_𝑣𝑢_𝑗 𝜕𝑇

𝜕𝑥_𝑗 = −𝑝𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑖 + 𝜏_𝑖𝑗 𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑗 − 𝜕𝑞_𝑗

𝜕𝑥_𝑗 𝜌𝐶_𝑝 𝜕𝑇

𝜕𝑡 + 𝜌𝐶_𝑝𝑢_𝑗 𝜕𝑇

𝜕𝑥_𝑗 = 𝑑𝑝

𝑑𝑡 + 𝜏_𝑖𝑗 𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑗 − 𝜕𝑞_𝑗

𝜕𝑥_𝑗

𝜕𝑝

𝜕𝑡 + 𝑢_𝑗 𝜕𝑝

𝜕𝑥_𝑗 = −𝛾𝑝 𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑖 + 𝛾 − 1 𝜏_𝑖𝑗 𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑗 − 𝛾 − 1 𝜕𝑞_𝑗

𝜕𝑥_𝑗 𝜌𝑇 𝜕𝑠

𝜕𝑡 + 𝜌𝑇𝑢_𝑗 𝜕𝑠

𝜕𝑥_𝑗 = 𝜏_𝑖𝑗 𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑗 − 𝜕𝑞_𝑗

𝜕𝑥_𝑗

Equations de l’énergie

• Pour un fluide parfait cela donne:

𝜌𝐶_𝑣 𝜕𝑇

𝜕𝑡 + 𝜌𝐶_𝑣𝑢_𝑗 𝜕𝑇

𝜕𝑥_𝑗 = −𝑝𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑖 𝜌𝐶_𝑝 𝜕𝑇

𝜕𝑡 + 𝜌𝐶_𝑝𝑢_𝑗 𝜕𝑇

𝜕𝑥_𝑗 = 𝑑𝑝 𝑑𝑡

𝜕𝑝

𝜕𝑡 + 𝑢_𝑗 𝜕𝑝

𝜕𝑥_𝑗 = −𝛾𝑝𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑖 𝜌𝑇 𝜕𝑠

𝜕𝑡 + 𝜌𝑇𝑢_𝑗 𝜕𝑠

𝜕𝑥_𝑗 = 0

• La dernière forme montre que pour un fluide parfait l’entropie est constante sur une ligne de courant

Nombre de Mach

• La description d’un écoulement de fluide compressible fait apparaître deux vitesses caractéristiques:

1. La vitesse des particules fluides 𝐕 = 𝑢₁, 𝑢₂, 𝑢₃ dont la norme est 𝑢_𝑖 ∙ 𝑢_𝑖

2. La vitesse des ondes sonores dont on a pour l’instant admis la valeur 𝑐 = ^𝛾𝑝_𝜌 = 𝛾𝑟𝑇

• On peut facilement bâtir un nombre sans dimension en prenant le rapport de ces deux échelles de vitesse. On obtient alors le nombre de Mach

M = 𝑢_𝑖 ∙ 𝑢_𝑖 𝑐

qui joue un rôle crucial dans l’analyse des écoulements compressibles

Acoustique linéaire

Cadre de l’étude

• On considère

• un écoulement stationnaire sans force de volume

• à Mach nul (𝑀 = 0)

• d’un gaz parfait

• pour lequel les quantités 𝜌, 𝑝 et 𝑇 sont des constantes 𝜌₀, 𝑝₀ et 𝑇₀

• On considère alors qu’à cet écoulement sont superposées des perturbations de vitesse, masse volumique, pression, température d’amplitude 𝑂(𝜀) ≪ 1:

𝜌 = 𝜌₀ + 𝜌′ 𝑝 = 𝑝₀ + 𝑝′ 𝑇 = 𝑇₀ + 𝑇′ 𝑢_𝑖 = 0 + 𝑢_𝑖′ avec 𝜌′ 𝜌₀ ≪ 1, 𝑝′ 𝑝₀ ≪ 1, 𝑇′ 𝑇₀ ≪ 1 et 𝑢′_𝑖 ∙ 𝑢′_𝑖 𝑐₀ ≪ 1

• On suppose enfin que les perturbations sont isentropiques (s^′= 0), ce qui conduit à:

𝑝^′ = 𝑐₀²𝜌′, avec

𝑐

=

0

= 𝛾𝑟𝑇

Equations aux perturbations

• Elles sont obtenues en injectant les décompositions dans les équations d’Euler et en ne conservant que les termes d’ordre 𝜀

• Masse:

𝜕𝜌′

𝜕𝑡 + 𝜌₀ ^𝜕𝑢′_𝜕𝑥^𝑖

𝑖 = 0 (1)

• Quantité de mouvement:

𝜌₀ ^𝜕𝑢′_𝜕𝑡^𝑖 = −^𝜕𝑝′_𝜕𝑥

𝑖 (2)

• Equation d’énergie:

𝜌₀𝑇₀ ^𝜕𝑠′_𝜕𝑡 = 0 (3)

• Equation d’état:

𝑝′

𝑝₀ = _𝜌^𝜌′

0 + ^𝑇′_𝑇

0 soit 𝑝^′ = 𝑐₀²𝜌′ (4)

Equation des ondes

• En injectant (4) dans (1) on obtient un système de 2 EDP pour 𝑝^′ et 𝑢′_𝑖:

1 𝑐₀²

𝜕𝑝′

𝜕𝑡 + 𝜌₀ ^𝜕𝑢′_𝜕𝑥^𝑖

𝑖 = 0 (a)

𝜌₀ ^𝜕𝑢′_𝜕𝑡^𝑖 + ^𝜕𝑝′_𝜕𝑥

𝑖 = 0 (b)

• En formant ^𝜕(𝑎)_𝜕𝑡 − ^𝜕(𝑏)_𝜕𝑥

𝑖 , on obtient une équation d’onde pour 𝑝^′ :

1 𝑐₀²

𝜕²𝑝′

𝜕𝑡² − _𝜕𝑥^𝜕2𝑝′

𝑖𝜕𝑥_𝑖 = 0

• On retrouve bien que les perturbations de pressions se propagent à la vitesse 𝑐₀ même si les particules fluides sont au repos (

𝑀 = 0

Equation d’Helmholtz

• Il est commode de représenter les perturbations de pression sous forme harmonique

𝑝^′ 𝐱, 𝑡 = 𝑅𝑒 𝑝 (𝐱)𝑒^{−𝑖𝜔𝑡}

où 𝜔 est la pulsation de la perturbation (𝜔 = 2𝜋𝑓) et 𝑝 (𝐱) est l’amplitude complexe de la perturbation

• En injectant dans l’équation des ondes, on obtient l’équation d’Helmholtz

∆𝑝 + 𝑘²𝑝 = 0 où 𝑘 = _𝑐^𝜔

0 est le nombre d’onde de la perturbation

• Cette équation est en fait un problème aux valeurs propres (de dimension infinie) dont la résolution donne accès aux valeurs propres −𝑘² et aux vecteurs propres 𝑝 (𝐱)

Notion d’ondes

• En 1D, l’équation de Helmholtz devient une simple équation différentielle ordinaire du deuxième ordre:

𝑑²𝑝

𝑑𝑥² + 𝑘²𝑝 = 0

dont on sait que les solutions s’écrivent sous la forme 𝑝 𝑥 = 𝐴⁺𝑒^𝑖𝑘𝑥 + 𝐴⁻𝑒^{−𝑖𝑘𝑥}

• Les quantités 𝐴⁺ et 𝐴⁻ sont des constantes complexes appelées amplitude des ondes progressive et régressive

• Elles correspondent à des perturbations de pression se déplaçant à la vitesse 𝑐₀ dans le sens des 𝑥 croissants et décroissants respectivement

• L’équation de quantité de mouvement 𝜌₀ ^𝜕𝑢′_𝜕𝑡^𝑖 + ^𝜕𝑝′_𝜕𝑥

𝑖 = 0 impose:

𝜌₀𝑐₀𝑢 𝑥 = 𝐴⁺𝑒^𝑖𝑘𝑥 − 𝐴⁻𝑒^{−𝑖𝑘𝑥}

Notion d’impédance

• Comme toute équation différentielle, l’équation de Helmholtz doit être complétée par des conditions limites définies aux frontières du domaine de l’écoulement

• En acoustique (comme dans d’autres domaines) on décrit souvent les conditions limites à l’aide de l’impédance complexe définie par

𝑍 = 𝑝 𝐮 ∙ 𝐧

où 𝐧 est le vecteur unitaire normal à la frontière orienté vers l’extérieur (par exemple) et 𝐮 est l’amplitude complexe du vecteur vitesse acoustique

• On préfère parfois utiliser l’impédance réduite construite à partir de l’impédance caractéristique 𝜌₀𝑐₀ du milieu:

𝑍_𝑟 = 1 𝜌₀𝑐₀

𝑝 𝐮 ∙ 𝐧

Coefficient de réflexion

• La notion d’onde se généralise sans difficulté au cas des écoulements 3D.

• Chaque condition limite peut alors être décrite par le coefficient de réflexion ℛ, rapport entre l’onde entrante (se propageant dans la direction −𝐧) et l’onde sortante (se propageant dans la direction + 𝐧):

• Impédance et coefficient de réflexion sont liés par la relation:

𝑍_𝑟 = 1 + ℛ 1 − ℛ

𝐧 𝐴^𝑜𝑢𝑡

𝐴^𝑖𝑛 extérieur

intérieur ℛ = 𝐴^𝑖𝑛

𝐴^𝑜𝑢𝑡

Exemples de conditions limites

• Mur imperméable: la condition de non pénétration impose:

𝐮

∙ 𝐧 = 0 𝑍_𝑟 → ∞ ℛ = +1

• Sortie à l’atmosphère: la pression acoustique est nulle en première approximation, ce qui donne:

𝑝 = 0 𝑍_𝑟 = 0 ℛ = −1

• Sortie non-réfléchissante: l’amplitude de l’onde entrante est nulle, quelque soit celle de l’onde sortante:

𝑝 − 𝜌₀𝑐₀𝐮 ∙ 𝐧 = 0 𝑍_𝑟 = 1 ℛ = 0

Sources acoustiques

• On considère ici la situation physique dans laquelle il peut y avoir un apport de masse, de quantité de mouvement ou d’énergie

• Les équations du mouvement sont alors sous l’hypothèse 𝑀 = 0:

• Masse

𝜕𝜌^′

𝜕𝑡 + 𝜌₀ ^𝜕𝑢_𝜕𝑥^𝑖′

𝑖 = 𝑞_𝑣 (1’)

• Quantité de mouvement:

𝜌₀ ^𝜕𝑢_𝜕𝑡^𝑖′ = − ^𝜕𝑝_𝜕𝑥^′

𝑖 + 𝑓_𝑣 (2’)

• Equation d’énergie:

𝜌₀𝑇₀ ^𝜕𝑠_𝜕𝑡^′ = ℎ_𝑣 (3’)

Sources acoustiques

• En combinant les équations (1’)-(3’) avec la définition de l’entropie pour un gaz parfait, on obtient après calcul:

1 𝑐₀²

𝜕²𝑝′

𝜕𝑡² − 𝜕²𝑝^′

𝜕𝑥_𝑖𝜕𝑥_𝑖 = 𝜕𝑞_𝑣

𝜕𝑡 − 𝜕𝑓_𝑣

𝜕𝑥_𝑖 + 𝛾 − 1 𝑐₀²

𝜕ℎ_𝑣

𝜕𝑡

• Le membre de gauche est identique à celui de l’équation d’onde déjà obtenue; le membre de droite regroupe toutes les sources acoustiques responsables de la génération de son

• Cette équation montre

o qu’un apport instationnaire de masse ou d’énergie fait du bruit o qu’une force à divergence non nulle fait du bruit

• Par contre, un apport de masse ou d’énergie stationnaire est silencieux, tout comme une force à divergence nulle

26 MKFLU - MI4

Modèles de sources acoustiques

• On représente habituellement les différents phénomènes générateurs de bruit par trois types de sources acoustiques:

• Monopôle: c’est le modèle de la sphère fixe mais dont le rayon oscille en temps. Cela représente très bien la dilatation d’une particule fluide (bruit de combustion).

• Dipôle: c’est le modèle d’une sphère rigide oscillant sans déformation. Un dipôle peut être vu comme la combinaison de 2 monopôles et est utilisé pour décrire le bruit généré par l’interaction paroi-écoulement

• Quadripôles: ce modèle se construit pas association de 2 dipôles et représente le bruit créé par le mélange turbulent

Modèles de sources acoustiques

monopôle dipôle quadripôle

• Les monopôles sont les plus efficaces en terme de conversion d’énergie cinétique en énergie acoustique; les quadripôles les moins efficaces

Exemple du bruit de combustion

Expérience – Ecole Centrale Paris

• En fonction de la forme de la flamme, celle-ci correspond à des monopôles d’intensité plus ou moins forte, et cela s’entend …

Résolution en milieu ouvert

• L’équation des ondes avec sources acoustiques peut se résoudre analytiquement dans certains cas simples

• Par exemple, si l’on considère le cas d’une répartition de sources acoustiques 𝑆(𝐱, 𝑡) dans l’espace 3D non borné, la perturbation acoustique résultante est solution de

1 𝑐₀²

𝜕²𝑝′

𝜕𝑡² − 𝜕²𝑝^′

𝜕𝑥_𝑖𝜕𝑥_𝑖 = 𝑆(𝐱, 𝑡)

• On introduit alors la fonction de Green G(𝐱, 𝑡) en espace ouvert 3D associée à l’équation d’onde; cette fonction est la solution de

1 𝑐₀²

𝜕²𝐺

𝜕𝑡² − 𝜕²𝐺

𝜕𝑥_𝑖𝜕𝑥_𝑖 = 𝛿(𝐱 − 𝐲)𝛿(𝑡 − 𝜏)

et représente la pression acoustique générée par une source ponctuelle placée en 𝐲 et émettant une impulsion à l’instant 𝜏

Résolution en milieu ouvert

• La solution de Green associée à l’équation d’onde est connue pour le cas d’un espace 3D ouvert; elle vaut:

𝐺 𝐱, 𝑡 = 1

4𝜋𝑟 𝛿 𝑡 − 𝜏 − 𝑟 𝑐₀

où 𝑟 est la distance entre la position de l’observateur (𝐱) et celle de la source (𝐲)

• la perturbation acoustique générée par la source 𝑆(𝐱, 𝑡) est alors obtenue sous forme intégrale:

𝑝^′ 𝐱, 𝑡 = 1

4𝜋 𝑆 𝐲, 𝑡 − 𝑟 𝑐₀

𝑑𝐲

𝑉 𝑟

Histoire de décibels

• Pour caractériser l’amplitude d’une perturbation sonore, on introduit la notion d’intensité acoustique, proportionnelle au carré de l’amplitude des perturbations de pression:

𝐼 = 𝑝_𝑟𝑚𝑠² 𝜌₀𝑐₀

• 𝐼 est la puissance acoustique transportée par unité de surface par une onde acoustique associée à des perturbations de pression de valeur efficace 𝑝_𝑟𝑚𝑠; son unité est donc le W/m²

• L’oreille étant sensible au logarithme des perturbations, on exprime le niveau sonore (Sound Pressure Level) de la manière suivante:

𝑆𝑃𝐿_𝑑𝐵 = 10 log_{10 𝐼}^𝐼

0

où 𝐼₀ = 10⁻¹² W/m² correspond au minimum audible

32 MKFLU - MI4

Histoire de décibels

• Le niveau sonore peut également s’exprimer à l’aide d’un rapport de pression:

𝑆𝑃𝐿_𝑑𝐵 = 20 log₁₀ ^{𝑝𝑟𝑚𝑠}_𝑝

0

où 𝑝₀ = 20 × 10⁻⁶ Pa correspond au minimum audible (équivalent à 𝐼₀ = 10⁻¹² W/m² dans de l’air à température ambiante)

• Sachant que 10 log₁₀ 2 ≈ 3, doubler la puissance acoustique revient à rajouter 3 dB. Par ailleurs, puisque 10 log₁₀ 10³ = 30, un écart de 30 dB correspond à un facteur 1000 en termes de puissance acoustique

• Quelques repères:

• 30 dB: chuchotement // 60 dB: conversation

• 90 dB: tondeuse, vélomoteur // 105 dB: discothèque

• 130 dB: course automobile // 140 dB: décollage d’un avion

33 MKFLU - MI4

Cas des écoulements quelconques

• L’équation des ondes présentée ici a été établie dans le cas très simple d’un milieu homogène (𝜌₀ constant) au repos

• Des versions plus élaborées existent notamment pour : o un milieu inhomogène au repos,

o un milieu homogène soumis à un écoulement unidirectionnel cisaillé (équation du troisième ordre)

• Dans le cas général:

o il n’existe pas d’équation d’onde permettant de décrire l’évolution de petites perturbations au cours du temps; cela tient notamment au fait que les perturbations acoustiques et entropiques n’évoluent pas de manière indépendante pour un écoulement quelconque

o On ne connait pas la fonction de Green sauf pour des situations simples de type espace ouvert, conduite 1D, …

• Il est alors nécessaire de résoudre les Equations d’Euler Linéarisées, bien plus complexes que l’équation d’onde.

Ecoulements isentropiques en

conduites

Cadre de l’étude

• On considère

o un écoulement stationnaire sans force de volume

o d’un gaz parfait dont les chaleurs spécifiques 𝐶_𝑝 et 𝐶_𝑣 sont constantes o dans un domaine quasi-1D de section 𝐴(𝑥) avec 𝑑𝐴/𝐴 ≪ 1

o Les quantités 𝜌, 𝑝, 𝑇, 𝑢 et 𝑠 sont alors fonctions de 𝑥 uniquement o de même, la vitesse du son et le nombre de Mach ne dépendent que

de la variable d’espace 𝑥,

• On suppose également que le fluide est parfait et que l’écoulement est isentropique

𝐴(𝑥) 𝑥

Mise en équations

• Sous les hypothèses de l’étude, les équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie s’écrivent:

o ^𝜕𝜌𝑢

𝜕𝑥 = 0

o 𝜌𝑢 ^𝜕𝑢_𝜕𝑥 = − ^𝜕𝑝_𝜕𝑥 o 𝜌𝐶_𝑝𝑢 ^𝜕𝑇_𝜕𝑥 = 𝑢^𝜕𝑝_𝜕𝑥

• On note que l’équation de Gibbs peut se mettre sous la forme 𝑇𝑑𝑠 = 𝑑ℎ − ^𝑑𝑝_𝜌 et que l’équation de l’énergie ci-dessus correspond bien à une évolution isentropique

• L’isentropicité peut également être caractérisée par la loi de Laplace: _𝜌^𝑝_𝛾 = Constante

37 MKFLU - MI4

Formes intégrées

• L’équation de continuité (conservation de la masse) donne après intégration et utilisation du théorème de la divergence:

𝜌𝑢𝐴 = Constante

• En combinant les équations de quantité de mouvement et d’énergie on obtient aisément:

𝐶_𝑝𝑑𝑇 + 𝑢𝑑𝑢 = 0

• Puisque l’on a supposé 𝐶_𝑝 constant, il s’agit d’une différentielle exacte qui peut être intégrée pour donner:

𝐶_𝑝𝑇 + 𝑢²

2 = Constante 𝑐²

𝛾 − 1 + 𝑢²

2 = Constante

Variations avec la section de passage

• En manipulant les équations précédentes, on peut reformuler les équations de masse et de qdm comme suit:

𝑑𝜌

𝜌 + ^𝑑𝑢_𝑢 + ^𝑑𝐴_𝐴 = 0 ^𝑐_𝜌² 𝑑𝜌 + 𝑢𝑑𝑢 = 0

• On peut alors obtenir les variations relatives de toutes les grandeurs d’écoulement en fonction de la variation relative de section:

𝑑𝑢

𝑢 = _𝑀2¹₋₁^𝑑𝐴_𝐴 ^𝑑𝑝_𝑝 = −𝛾 _𝑀^𝑀₂₋₁^{2 𝑑𝐴}_𝐴

𝑑𝑇

𝑇 = (1 − 𝛾)_𝑀^𝑀₂₋₁^{2 𝑑𝐴}_𝐴 ^𝑑𝜌_𝜌 = −_𝑀^𝑀₂₋₁^{2 𝑑𝐴}_𝐴

𝑑𝑀

𝑀 = ¹⁺

1

2(𝛾−1)𝑀² 𝑀²−1

𝑑𝐴 𝐴

𝑑𝑐

𝑐 = − ^𝛾−1_{2 𝑀}^𝑀₂₋₁^{2 𝑑𝐴}_𝐴

39 MKFLU - MI4

Discussion

• Les relations précédentes font apparaître que:

1. Le sens de variation de toutes les grandeurs d’écoulement dépend du signe de 𝑀² − 1, donc du caractère subsonique (𝑀 < 1) ou supersonique (𝑀 > 1) de l’écoulement

Par exemple, la vitesse diminue lorsque la section augmente en subsonique, mais elle augmente avec celle-ci en supersonique

2. Si l’écoulement est sonique (𝑀 = 1) en un lieu de la conduite, c’est nécessairement à l’endroit d’un extremum de 𝐴 pour garantir la continuité des grandeurs d’écoulement; puisque (𝑀 − 1)𝑑𝑀 et 𝑑𝐴 ont le même signe, il s’agit nécessairement d’un minimum.

40 MKFLU - MI4

Grandeurs génératrices

• Partant de la conservation de l’énergie, on introduit la température génératrice (ou d’arrêt) 𝑇_𝑖 comme suit:

𝐶_𝑝𝑇 + 𝑢²

2 = 𝐶_𝑝𝑇_𝑖

• On définit par ailleurs la densité et la pression d’arrêt, obtenues en arrêtant le fluide de manière isentropique

• On montre alors que les valeurs d’écoulements en tout point de la conduite vérifient:

𝑇

𝑇_𝑖 = 1 + ^𝛾−1₂ 𝑀^{2 −1} _𝑝^𝑝

𝑖 = 1 + ^𝛾−1₂ 𝑀^{2 −𝛾 𝛾−1}

𝜌

𝜌_𝑖 = 1 + ^𝛾−1₂ 𝑀^{2 −1 𝛾−1} _𝑐^𝑐

𝑖 = 1 + ^𝛾−1₂ 𝑀^{2 −1 2}

• Une fois les conditions génératrices connues (i.e. le réservoir amont connu), l’écoulement est donc complètement

déterminé par le nombre de Mach

41 MKFLU - MI4

Evolutions isentropiques

𝑀

𝑻 𝑻_𝒊 𝒑

𝒑_𝒊

𝝆 𝝆_𝒊

𝒄 𝒄_𝒊 𝜸 = 𝟏. 𝟒

Valeurs au col

• Si on suppose que la section de la conduite atteint une valeur minimale en laquelle l’écoulement est sonique, les relations précédentes permettent de connaître les valeurs de l’écoulement en cette position:

𝑇_𝑐

𝑇_𝑖 = _𝛾+1^{2 𝑝}_𝑝^𝑐

𝑖 = _𝛾+1^{2 𝛾 𝛾−1}

𝜌_𝑐

𝜌_𝑖 = _𝛾+1^{2 1 𝛾−1 𝑐}_𝑐^𝑐

𝑖 = ^𝑢_𝑐^𝑐

𝑖 = _𝛾+1^{2 1 2}

Réservoir à 𝑇_𝑖, 𝑝_𝑖, 𝜌_𝑖 (𝑀 = 0)

Conditions au col amorcé 𝑇_𝑐, 𝑝_𝑐, 𝜌_𝑐, 𝑢_𝑐

(𝑀 = 1)

Section critique

• A partir des relations déjà établies, on peut montrer que le rapport de la section à la section critique est une fonction non bijective du nombre de Mach

𝐴

𝐴_𝑐 = 1 𝑀

2

𝛾 + 1 1 + 𝛾 − 1 2 𝑀²

𝛾+1 2 𝛾−1

• Cette relation peut-être inversée numériquement afin de déterminer la valeur du nombre de Mach une fois connu le régime subsonique ou supersonique de l’écoulement au niveau de la section 𝐴

Section critique

𝐴 𝐴

𝑀

𝜸 = 𝟏. 𝟒 𝜸 = 𝟏. 𝟐

Chocs droits

Cadre de l’étude

• On considère

o un écoulement stationnaire o 1D

o sans force de volume

o d’un gaz parfait dont les chaleurs spécifiques 𝐶_𝑝 et 𝐶_𝑣 sont constantes

• L’écoulement est décrit par les équations d’Euler en régime permanent:

𝜕𝜌𝑢

𝜕𝑥 = 0 𝜌𝑢 ^𝜕𝑢

𝜕𝑥 = −^𝜕𝑝

𝜕𝑥 𝜌𝐶_𝑝𝑢^𝜕𝑇

𝜕𝑥 = 𝑢 ^𝜕𝑝

𝜕𝑥

complétées par l’équation d’état: ^𝑝_𝜌 = 𝑟𝑇

• L’écoulement n’est pas supposé isentropique

47 MKFLU - MI4

Genèse d’un choc

• La non-linéarité des équations et l’absence de viscosité rendent possible l’existence de discontinuités dans les solutions

• On s’intéresse ici au cas d’une discontinuité non-isentropique, encore appelée onde de choc normale

Amont (1) Aval (2)

𝑝₁, 𝑢₁, 𝜌₁, 𝑇₁, 𝑠₁, 𝑀₁ 𝑠₁ 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑑𝑐

𝑐 = 𝛾 − 1 2𝛾

𝑑𝑝 𝑝

𝑝₂, 𝑢₂, 𝜌₂, 𝑇₂, 𝑠₂, 𝑀₂ 𝑠₂ 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Equations locales à la traversée du choc

• Après manipulation et intégration, les équations du mouvement permettent d’obtenir les relations suivantes liant les états amont et aval de la discontinuité:

𝜌₁𝑢₁ = 𝜌₂𝑢₂ 𝑝₁ + 𝜌₁𝑢₁² = 𝑝₂ + 𝜌₂𝑢₂² 𝐶_𝑝𝑇₁ + ^𝑢₂¹² = 𝐶_𝑝𝑇₂ + ^𝑢₂²² _𝜌^𝑝1

1𝑇₁ = _𝜌^𝑝2

2𝑇₂

• La conservation de la température totale à travers le choc peut se mettre sous une forme alternative comme suit:

𝑐₁²

𝛾 − 1 + 𝑢₁²

2 = 𝑐₂²

𝛾 − 1 + 𝑢₂²

2 = 𝛾 + 1 𝛾 − 1

𝑐_𝑐² 2

où 𝑐_𝑐 est la vitesse du son pour un écoulement dont le nombre de Mach est égal à l’unité (𝑐_𝑐 = 𝑢_𝑐 pour cet écoulement)

49 MKFLU - MI4

Equations locales

• Après manipulation des équations précédentes, on obtient la relation de Prandtl pour un choc droit qui lie les vitesses du fluide en amont et en aval du choc:

𝑢₁𝑢₂ = 𝑐_𝑐²

• On montre par ailleurs que le nombre de Mach aval est directement lié au nombre de Mach amont:

𝑀₂² = 𝛾 − 1 𝑀₁² + 2 2𝛾𝑀₁² + 1 − 𝛾

• On vérifiera ultérieurement que le nombre de Mach amont est nécessairement plus grand que 1 pour un choc droit;

cette relation montre alors que l’écoulement aval est

toujours subsonique et que son nombre de Mach est compris entre 𝑀₂ = 1 (pour 𝑀₁ = 1) et 𝑀₂ = 𝛾 − 1 2𝛾 < 1

(pour 𝑀₁ → ∞)

50 MKFLU - MI4

Relation d’Hugoniot

• Les relations précédentes permettent de montrer que les grandeurs statiques ne sont pas continuent au travers du choc droit et que leur variations ne dépendent que du Mach amont:

𝑝₂

𝑝₁ = 1 + _𝛾+1^2𝛾 𝑀₁² − 1 ^𝜌_𝜌²

1 = _{𝛾−1 𝑀}^{𝛾+1 𝑀12}

12+2 𝑇₂

𝑇₁ = ^{2𝛾𝑀12+1−𝛾}_{𝛾+1 2}^{𝛾−1 𝑀}_𝑀 ¹²⁺²

12

• La relation d’Hugoniot lie alors le rapport de pression statique au rapport des masses volumiques:

𝑝₂

𝑝₁ = 𝛾 + 1 𝛾 − 1

𝜌₂

𝜌₁ − 1 𝛾 + 1

𝛾 − 1 − 𝜌₂ 𝜌₁

Cette relation montre bien qu’un choc n’est pas isentropique; on aurait sinon simplement: ^𝑝_𝑝²

1 = ^𝜌_𝜌²

1

𝛾

51 MKFLU - MI4

Variation d’entropie

• La variation d’entropie que subit le fluide entre les états 1 et 2 est donnée par:

𝑠₂ − 𝑠₁ = 𝐶_𝑣 ln 𝑝₂ 𝑝₁

𝜌₁ 𝜌₂

𝛾

• Avec les résultats déjà obtenus, cette variation ne dépend que du nombre de Mach amont:

𝑠₂ − 𝑠₁ = 𝐶_𝑣 ln 2𝛾𝑀₁² + 1 − 𝛾

𝛾 + 1 𝛾 − 1 𝑀₁² + 2 𝛾 + 1 𝑀₁²

𝛾

• On note que le choc est la seule région non isentropique. En amont et en aval de celui-ci, l’évolution du fluide est isentropique si bien que 𝑠₂ − 𝑠₁ = 𝑠_𝑖2 − 𝑠_𝑖1

Condition d’existence d’un choc normal

• Le saut d’entropie ne peut être que positif en vertu du second principe de la thermodynamique

• L’évolution du saut d’entropie en fonction du nombre de Mach amont montre alors que celui-ci est nécessairement plus grand que 1 pour qu’une discontinuité puisse exister

• L’expression de ^𝑝_𝑝²

1 montre alors qu’un choc est nécessairement une discontinuité de type compression

(𝑝₂ > 𝑝₁) MKFLU - MI4 ⁵³

𝑠

− 𝑠

𝐶

𝑀

Saut des grandeurs génératrices

• Ecrite à partir des variables 𝜌 et 𝑇, l’entropie s’écrit:

𝑠 − 𝑠₀ = 𝐶_𝑣ln 𝑝

𝜌^𝛾 = 𝐶_𝑝 ln 𝑇 − 𝑟 ln 𝑝 + 𝐶𝑡𝑒

• La conservation de l’énergie montre directement que la température totale 𝑇_𝑖 = 𝑇 + _2𝐶^𝑢2

𝑝 se conserve à travers le choc:

𝑇_𝑖2

𝑇_𝑖1 = 1

• Ce n’est pas le cas des autres grandeurs génératrices et l’on a pour la pression:

𝑝_𝑖2 𝑝_𝑖1 =

𝛾 + 1 𝑀₁² 𝛾 − 1 𝑀₁² + 2

𝛾 𝛾−1

2𝛾𝑀₁² + 1 − 𝛾 𝛾 + 1

1 𝛾−1

54 MKFLU - MI4