Petite revue sur la viscosité des fluides.

Petite revue sur la viscosité des fluides.

1. Définition du coefficient de viscosité η d’un fluide.

La définition la plus simple repose sur la considération d’une expérience de pensée.

Un fluide s’écoule entre deux parois parallèles horizontales. L’une est fixe, l’autre est animée d’une vitesse V. Il s’établit en régime permanent un gradient de vitesse perpendiculaire aux parois, et les différentes couches de fluide « frottent » les unes sur les autres : une couche plus rapide que sa voisine exerce sur elle une force d’entrainement, et réciproquement la plus lente tend à ralentir sa voisine plus rapide. La « force par unité de surface de contact » entre deux couches voisines est proportionnelle au gradient de vitesse dans la direction perpendiculaire au mouvement (elle est nulle si toutes les couches vont à la même vitesse), et on appelle

« coefficient de viscosité » le coefficient de proportionnalité. En désignant par z la coordonnée perpendiculaire aux parois, ceci s’écrit :

dz dV S

f ≡ F =η

La force par unité de surface f est désignée sous le terme de « contrainte de cisaillement ».

L’origine microscopique de la viscosité tient au mouvement thermique (brownien) des molécules du fluide. La vitesse d’une particule de fluide possède deux composantes : une composante thermique, désordonnée, et une composante macroscopique liée au mouvement d’ensemble du fluide. Lorsqu’une particule passe d’une couche à sa voisine plus lente l’effet de son mouvement désordonné, elle emporte avec elle sa vitesse d’ensemble, propre à la couche d’où elle vient. Lors des collisions avec les particules de la couche d’arrivée, elle partage l’excédent de quantité de mouvement qu’elle possède, et ce transfert, compte tenu de la dynamique chaotique des particules, est irréversible. En moyennant ce transfert de quantité de mouvement entre couches voisines, on obtient un effet macroscopique.

Le coefficient de viscosité caractérise donc la réponse du fluide à l’excitation que constitue une mise en mouvement locale. De même que l’introduction d’un gradient de concentration produit un transport de masse (loi de Fick), l’introduction d’un gradient de température produit un transfert thermique (loi de Fourier), et l’introduction d’un gradient de vitesse produit un transfert de quantité de mouvement (viscosité). Chaque situation est caractérisée par l’introduction d’un déséquilibre dans le système, mais suffisamment faible pour que l’équilibre local soit préservé : dans le cas du transfert thermique par exemple, la température varie de place en place, mais elle est définie en chaque point du système.

Comprendre comment varie la viscosité avec les variables d’état du système suppose d’avoir un modèle (voire une théorie !) du mouvement des constituants élémentaires : de façon générale, c’est l’objet de la physique statistique, ou de ce qu’on appelait la théorie cinétique.

2. Viscosité des gaz

Dans le cas du gaz parfait, par exemple, le mouvement est simple à modéliser : la température fixe la vitesse u des molécules, leur nombre par unité de volume n (ce que, dans ce contexte, on appelle la densité) et leur taille fixent le libre parcours moyen λ, et il n’en faut

pas plus pour obtenir une expression du coefficient de viscosité : on trouve η=1/3 nmλu, où m désigne la masse des molécules (qui intervient car il s’agit d’un transfert de quantité de mouvement¹). Le modèle est quantitativement bon, puisqu’en mettant des nombres dans la formule, on aboutit bien à un coefficient de viscosité de l’ordre de 10^-5 Pa.s pour l’air dans les conditions normales. Il montre aussi que la viscosité augmente comme la racine carré de la température absolue (via u), résultat non intuitif, et qu’elle est indépendante de la pression.

Maxwell fut si surpris du résultat qu’il effectua des expériences pour vérifier qu’il en était bien ainsi, en observant l’amortissement d’un pendule dans différents gaz.

3. Viscosité des liquides

Le modèle physique.

Dans le cas d’un liquide, la modélisation est plus compliquée, car les molécules étant au contact, les interactions jouent un rôle essentiel. Quels sont les phénomènes et grandeurs physiques dont dépend le déplacement des molécules ?

D’une part, l’agitation thermique est toujours présente.

D’autre part, chaque molécule est entourée de voisines, avec une distance moyenne d entre molécules, caractéristique de la densité. Le déplacement d’une molécule d’une distance moyenne nécessite de déplacer les molécules voisines, et l’on traduit cet effet par l’existence d’une barrière d’énergie de hauteur b et de largeur spatiale λ (λ est plus petit que d mais du même ordre de grandeur).

Le modèle physique est alors le suivant. Lorsqu’on applique une contrainte de cisaillement sur le liquide, on favorise le déplacement des molécules dans le sens de la force appliquée, car le travail de cette force diminue la hauteur de la barrière dans le sens de la force (travail moteur) ; la barrière est augmentée d’autant dans le sens opposé (travail résistant).

Mise en œuvre du modèle.

Franchissement d’une barrière par activation thermique.

La physique statistique indique que la probabilité, pour une molécule, d’acquérir une énergie cinétique e, dans un environnement caractérisé par une température T, est donnée par la distribution de Boltzmann )

kT exp( e kT1 −

(k désigne la constante de Boltzmann). Le facteur 1/kT assure la normalisation de la probabilité. La probabilité de passer la barrière thermiquement est donc donnée par :

∫

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

b kT

exp b kT de

exp e kT

1

Calcul du nombre de sauts par seconde

Chaque molécule est piégée par les autres, et l’agitation thermique se traduit par une oscillation dans une « cage ». La barrière est donc « attaquée » avec une fréquence ν correspondant à cette oscillation. Pour estimer cette fréquence, on se sert du théorème d’équipartition de l’énergie, qui indique que chaque degré de liberté d’un système à la

1 Une simple analyse dimensionnelle permet de trouver l’expression du coefficient de viscosité. Pour le facteur 1/3, il faut évidemment travailler un peu plus !

température T emporte une énergie de l’ordre de kT. Un oscillateur quantique de fréquence ν possède une énergie d’ordre hν (où h désigne la constante de Planck). On a donc :

kT ≅ hν,

autrement dit la fréquence d’oscillation est d’ordre kT/h. Le nombre de saut par seconde dN/dt est donc donné par le produit de la probabilité de franchissement de la barrière, multiplié par la fréquence d’essai, soit :

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

= kT

exp b h kT dt dN

En l’absence de contrainte, ces sauts s’effectuent dans toutes les directions et le fluide est macroscopiquement immobile.

Plaçons-nous maintenant dans le cas où une contrainte de cisaillement f s’exerce dans le milieu. En moyenne, une molécule occupe une surface d², elle subit donc une force fd². Lorsqu’elle effectue un saut dans le sens de la force, elle voit une barrière diminuée du travail de la force pendant la montée, soit f.d².λ/2. Dans le sens opposé, la barrière est augmentée de cette même quantité. Le bilan net, pour le nombre de saut par seconde, est donc :

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ λ

−

⎟−

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ λ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ + λ

−

⎟−

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ − λ

−

=

kT exp fd

kT exp fd kT exp b h kT

kT / fd exp b

kT / fd exp b

h kT dt dN

2 2

2 2

2 2

2 2

(1)

Dans le cas d’un cisaillement faible : fd³<<kT, on peut développer au premier ordre les deux exponentielles dans le crochet :

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

= λ

kT exp b h fd dt

dN ²

(2)

Or chaque saut fait parcourir la distance moyenne d, et les différentes couches moléculaires sont également distantes de d (on pourrait prendre ici une distance différente dans le sens du mouvement et dans le sens perpendiculaire à celui-ci, notamment pour des molécules ayant une géométrie loin de la sphéricité, comme le benzène, par exemple ; mais, pour des raisons de simplicité, nous ne le ferons pas ici). Par conséquent le gradient de vitesse intervenant dans la définition de la viscosité est donné par :

dt dN .d

dt d dN dz

dV = 1 =

A un facteur numérique près d’ordre 1, le coefficient de viscosité s’écrit donc :

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= λ

η kT

exp b d

h

2

En multipliant haut et bas par le nombre d’Avogadro N_A, et en remarquant que le produit N_A.d²λ donne le volume molaire V_m, on obtient, en posant E = N_Ab :

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

η RT

exp E V hN kT

exp b V hN

m A m

A

Cette expression montre que la viscosité diminue rapidement lorsque la température augmente.

Est-il possible d’avoir une information sur la hauteur de la barrière b ? L’idée ici est de considérer que lorsqu’une molécule effectue un saut, elle laisse derrière elle un trou.

Autrement dit, on peut interpréter la barrière comme l’énergie nécessaire pour créer un trou, une lacune, dans le liquide. L’énergie E = NA.b doit donc être de l’ordre de grandeur de la chaleur molaire latente de vaporisation L. La comparaison avec l’expérience indique plutôt :

L , b N_A ≅04

Le facteur de réduction est relié au fait que, dans un liquide, des lacunes existent à l’état naturel. On obtient finalement :

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

≅ ⎛

η RT

, L V exp

hN

m

A 04

Dépendance de la viscosité par rapport à la pression.

Nous avons vu que la viscosité d’un gaz parfait ne dépend pas de la pression. Dans le cas d’un liquide, si l’on exerce une pression extérieure P, le travail supplémentaire pour former un trou de volume V_t est augmenté du produit PV_t. On a donc :

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ η ⎛

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

η RT

exp PV RT

PV exp E

V

hN _{t t}

m A

0

La courbe représentative de la fonction Ln(η) en fonction de P est une droite de pente Vt/RT. On trouve expérimentalement que, pour un liquide simple, Vt est environ 15% de Vm. Réponse du liquide à une contrainte de cisaillement « forte ».

Lorsque le cisaillement devient important, on n’a plus le droit d’effectuer le développement qui mène de l’équation (1) à l’équation (2), il faut tout garder. On ne peut plus définir alors un coefficient de viscosité. La réponse du fluide à la contrainte de cisaillement f est donnée par la quantité dN/dt elle-même, qu’on appelle le taux de cisaillement. En incluant la dépendance en pression, on obtient :

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛ Ω

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

= γ

≡ RT

sinh f RT

PV exp E

h kT dt

dN _t

&

Cette équation a été proposée par Henry. Eyring en 1936 (J. Chem. Phys. 4, 283 (1936)).

Le régime dit newtonien correspond au cas où l’on peut développer le sinus hyperbolique, et dans ce cas on a : η= f /γ&. Dans le cas où f augmente, la viscosité effective du liquide se comporte comme f /sinh(fΩ/RT) : elle est donc plus petite que ce qu’indique le comportement newtonien. Le régime de cisaillement où l’on commence à observer cette réduction est, pour de nombreux lubrifiants, de l’ordre de 10⁶ Nm^-2.