Asservissement d’ ’un processus un processus

Asservissements Asservissements analogiques et num

analogiques et num é é riques riques

Les processus physiques sont multi variables Les processus physiques sont multi variables

e₁ e₂ e₃

Processus s Par superposition : s(t) = s₁(t) + s₂(t) + s₃(t)

e₁

e₂ e₃

Processus s Si une seule variable est grandeur de

commande, les autres sont des perturbations

Asservissement d

Asservissement d’ ’un processus un processus

Asservir un processus consiste à l’insérer dans un système bouclé:

- Afin d’automatiser son fonctionnement - Afin d’optimiser ses performances

- Afin de le rendre insensible aux perturbations

e₁

e₂ e₃

Processus s Commande

Grandeur asservie Perturbations

Retour

(conversion)

e

Consigne

x_R

Image de la

grandeur asservie

ε

Écart

M

Mé éthodes d thodes d’é ’étude tude

En régime permanent:

Lois de la Physique ⇒ Relation entrée – sortie Point de fonctionnement

En régime dynamique:

Perturbation à partir du régime permanent

⇒ Stabilité Rapidité Précision

Différence :

Asservissement : Réaction du système aux variations de consigne Régulation : La consigne est figée ; réactions aux perturbations

Exemple 1 : Asservissement de temp

Exemple 1 : Asservissement de tempé érature rature

Élaboration d’une tension image de la température du four

Thermomètre Four(θ)

Alimentation de puissance

Ur Uc

Ucons +Vcc

Ad

Exemple 2 : Asservissement de vitesse sur moteur Exemple 2 : Asservissement de vitesse sur moteur

M Alimentation de

puissance

Élaboration d’une tension proportionnelle

à la vitesse

Capteur de vitesse

Ur Um Uc

Ucons +Vcc

Ad

Charge mécanique

( inertie J) Ω

Exemple 3 : Asservissement de position d

Exemple 3 : Asservissement de position d’ ’antenne antenne

M Alimentation

de puissance

Réducteur

ε

U_M

Antenne : Charge

mécanique Potentiomètre de recopie Potentiomètre

de commande

θ_E

θ_S

E A

Exemple 4 : Boucle

Exemple 4 : Boucle à à verrouillage de phase verrouillage de phase

Comparateur de phase

Filtre passe-bas

Oscillateur commandé en tension u_E

(Phase ϕ_E) u_S

(Phase ϕS)

ϕS

u₁ u₂

ϕE

Performances 1 Performances 1

Stabilité

Définir la transmittance en boucle ouverte T_BO

Utiliser les méthodes habituelles (Bode ou Nyquist) ⇒ marges de stabilité Il est nécessaire de disposer - d’un schéma bloc de l’asservissement

- des transmittances de chaque bloc

Rapidité

La stabilité est établie;

on analyse la réponse indicielle transitoire en boucle fermée

temps sortie

entrée

temps

t_R5%

Dépassement transitoire

Performances 2 Performances 2

Précision

Un système asservi doit donner une grandeur de sortie s, image la plus fidèle possible de la consigne e.

La précision s’évalue à partir de l’écart ε en régime permanent : soit ε_∞ = lim_t→∞ε(t) = lim_p→0p

.

En pratique, on utilise des signaux tests : L’échelon et la rampe

Erreur de position Entrée

Sortie

L’entrée échelon donnera l’erreur statique (ou de position)

temps

Erreur de traînage

Entrée

Sortie

temps L’entrée rampe donnera l’erreur de traînage (ou de vitesse)

Dilemme Stabilit

Dilemme Stabilité é - - Pr Pré écision cision

La stabilité est liée à l’allure du diagramme de Nyquist au voisinage du point « -1 » La précision s’évalue à partir de l’écart ε en régime permanent :

) p BO( T 1

) p ( ) E

p

( = + ε

) p ( ).

p BO( T ) p ( E ) p R( X ) p ( E ) p

( = − = − ε

ε

L’erreur ε_∞ est d’autant plus faible que T_BO(p) est grande quand p

→

Im(T_BO)

Re(T_BO)

Système stable (mϕ = 45°) mais jugé trop imprécis (ampl. statique T₁trop faible)

Im(T_BO)

Re(T_BO)

L’augmentation du gain statique améliore la précision mais dégrade mϕ

Correction Correction

Un système asservi doit être corrigé, afin d’optimiser ses performances.

Le plus souvent, un bloc correcteur est inséré dans la boucle, après le comparateur d’entrée.

Grandeur asservie

s

Processus

Commande

Retour (conversion)

e

Consigne

x_R

Image de la

grandeur asservie

ε

Écart

Correcteur

Il y a 3 actions de correction principales :

Proportionnelle Intégrale Dérivée

Chacune d’elles agit différemment sur le comportement du système.

En les combinant, il est possible de concilier stabilité précision et rapidité.

Correcteur

Correcteur à à action proportionnelle et dé action proportionnelle et d ériv rivé ée (PD) e (PD)

On utilise ce type de correcteur pour rattraper une marge de phase insuffisante.

Transmittance C(p) = 1 + τ_D p soit C(jf) = 1 + jf/f_a avec τ_D = 1 / (2πf_a) (on peut choisir f_a ≈ f₀ / 10 par exemple)

Zone du point critique (f = f₀) dB

90°

Correcteur

Correcteur à à action proportionnelle et inté action proportionnelle et int égrale (PI) grale (PI)

On utilise ce correcteur pour améliorer la précision, sans dégradation de la marge de phase.

dB

Transmittance C(p) = 1 + 1/(

τ

.

La fréquence f_C est choisie bien inférieure à la fréquence f₀ du point critique pour ne pas affaiblir la marge de phase.

Correcteur

Correcteur à à action proportionnelle inté action proportionnelle int égrale et d grale et dé ériv rivé ée (PID) e (PID)

Ce correcteur combine les actions des 2 correcteurs précédents. Un asservissement industriel est toujours optimisé par correction PID.

A

τD.p

τI.p 1

ε^(p)

écart

Écart corrigé

ε_C^(p) ε_C(p) = A. ε(p) + τ_D.p. ε(p) + (1/τ_I.p). ε(p)

L’automaticien optimise les valeurs des paramètres A, τ_D et τ_I,, à partir de la réponse indicielle initiale de l’asservissement.

Il dispose d’outils graphiques, mathématiques ou logiciels.

Asservissements num

Asservissements numé ériques ; introduction riques ; introduction

Le processus à contrôler reste analogique (ou à temps continu) Par contre, sa commande est assurée par un calculateur numérique.

Architecture avec consigne analogique

Asservissements num

Asservissements numé ériques ; introduction riques ; introduction

Architecture avec consigne numérique (plus fréquente)

Exemple : Asservissement num

Exemple : Asservissement num érique de la vitesse d é rique de la vitesse d’ ’un moteur un moteur

Cas de la commande d’un moteur CC par un hacheur

Étude d É tude d’ ’un syst un systè ème asservi me asservi é échantillonn chantillonné é

Raisonnement sur un asservissement avec consigne numérique et dépourvu de correcteur au départ

Sortie analogique

Processus s(t)

T_A(p)

Capteur K(p) CNA

(T_E)

CAN (T_E)

Commande u(t)

v(t) Entrée

numérique x_E(n)

Erreur numérique

ε

Sortie numérique

x_S(n)

Transmittances

Transmittances analogiques analogiques

Processus : T_A(p) = S(p)/U(p) Capteur : K(p) = V(p)/S(p)

0 T_E 2T_E 3T_E 4T_E 5T_E 6T_E 7T_E 8T_E tps

ε

u L’erreur numérique ε est « bloquée » par le CNA pendant T_E :

T_BOZ(p) = U(p)/ε(p) = (1-e^-pTe)/p

Transmittance H(p) de la partie analogique :

p

e p

K p T p

ε p p V

H

pTE A( ). ( ).(1 ) )

( ) ) (

(

− −

=

=

Transmittance

Transmittance en Z associé en Z associ ée e à à la partie analogique la partie analogique

S(p)

Processus T_A(p)

Capteur K(p) CNA

(T_E)

CAN (T_E)

U(p) V(p)

Erreur numérique

ε

Sortie numérique

x_S(n)

ε

^X

H(z) = X_S(z) /

ε

Sché Sch éma bloc de l ma bloc de l’ ’asservissement num asservissement numé érique rique

Transmittance en boucle fermée :

Entrée numérique

x_E(z)

Sortie numérique

x_S(z)

H(z)

Erreur

ε

) z ( H 1

) z ( H )

z ( X

) z ( ) X

z ( T

E

BF = S = +

Caract

Caracté éristiques de l ristiques de l ’asservissement ’ asservissement

Stabilité : Tous les pôles de T_BF(z) doivent être de module < 1

Précision : L’erreur en régime permanent doit être la plus faible possible.

lim_n→∞ε(n)

(erreur de position , erreur de traînage)

Correction Correction

Exemple du correcteur « Proportionnel et Intégral » :

Entrée numérique

x_E(z)

Sortie numérique

x_S(z)

H(z)

Erreur

ε

Correcteur C(z)

z 1 1

z 1 1

o

C .

C )

z (

C

−

+

=