Déterminants

Chapitre 23

Déterminants

Objectifs

– Étudier le groupe des permutations de[[1..n]]. Définir les notions : de cycles, de transpositions, de décom- position en produit de cylces, de signature.

– Définir les notions d’applications n-linéaires et leurs propriétés éventuelles (symétrique, antisymétrique, alternée). Développement suivant une base.

– Définir l’application déterminant d’une famille de vecteurs dans une base, étudier les propriétés.

– Définir le déterminant d’un endomorphisme, étudier ses propriétés.

– Définir le déterminant d’une matrice carrée, étudier ses propriétés. Notion de comatrice et propriétés.

– Établir les formules deCramer.

Plan

23 Déterminants 263

I) Le groupe symétrique . . . 264

1) Décomposition des permutations . . . 264

2) Signature . . . 264

II) Applications n-linéaires . . . 265

1) definition . . . 265

2) Développement suivant une base . . . 266

III) Déterminant dans une base . . . 266

1) Formes n-linéaires en dimension n . . . 266

2) Déterminants de n vecteurs dans une base . . . 267

3) Propriétés du déterminant . . . 267

IV) Déterminant d’un endomorphisme . . . 267

1) definition . . . 267

2) Propriétés du déterminant . . . 268

V) Déterminant d’une matrice carrée . . . 268

1) definition . . . 268

2) Propriétés du déterminant d’une matrice carrée . . . 268

3) Développement suivant une ligne ou une colonne . . . 269

4) Comatrice . . . 270

VI) Applications . . . 270

1) Systèmes linéaires . . . 270

2) Orientation d’un espace vectoriel réel . . . 271

VII) Exercices . . . 271

Le groupe symétrique 264

I) Le groupe symétrique

1) Décomposition des permutations NDéfinition 23.1

SoitEn= [[1..n]], avec n∈N^∗, on note Sn l’ensemble des permutations deEn, c’est à dire l’ensemble des bijections deEnvers lui-même. On rappelle que(Sn,◦)est un groupe de cardinaln!(non abélien dès que n>3), ce groupe est appelé groupe symétrique de typen.

NDéfinition 23.2 (notion de cycle)

Soit σ ∈ Sn, on dit que σ est un cycle lorsqu’il existe k entiers distincts dans [[1..n]] : i₁, . . . , i_k (k > 1) tels que σ(i1) =i2, . . . , σ(ik−1) =ik, σ(ik) =i1, les autres entiers de En étant fixes parσ.

Dans ce cas, on notera σ= (i₁ i₂. . . i_k). Le nombre kest appelé longueur du cycle, et un cycle de longueur 2 est appelé une transposition. L’ensemble {i₁, . . . , i_k} est appelé support du cycle σ.

On convient que l’identité deEn est un cycle de longueur nulle et à support vide.

I théorème23.1 (admis)

Toute permutation de E_n est un produit (pour la loi◦) de cyclesà supports disjoints, cette décomposition est unique à l’ordre près.

I théorème23.2

Toute permutation est un produit de transpositions.

2) Signature

NDéfinition 23.3 (inversion)

Soitσ ∈S_n, on appelle inversion deσtout couple d’entiers(i, j)∈[[1..n]]² tel quei < jetσ(i)> σ(j).

Le nombre d’inversions deσ est noté Iσ.

I théorème23.3 (Nombre d’inversions d’une transposition)

Soit σ = (a b) une transposition de Sn avec a < b : alorsIσ = 2(b−a)−1.

NDéfinition 23.4 (signature d’une permutation)

Soitσ ∈Sn, on appelle signaturede σ le nombre notéε(σ) et défini par ε(σ) = (−1)^Iσ.

X Exemple(s): Signature d’une transposition, si σ = (a b)avec a < b ∈ En, alors Iσ = 2(b−a)−1, donc ε(σ) =−1.

I théorème23.4 (admis)

L’application signature ε: (S_n,◦)→({±1},×), est un morphisme de groupes, c’est à dire :

∀σ, σ⁰∈S_n, ε(σ◦σ⁰) =ε(σ)×ε(σ⁰).

Applications n-linéaires 265

Application: calcul de la signature d’une permutation. Pour calculer la signature d’une permutation σ, il suffit de connaître sa décomposition en produit de transpositions : σ = τ1◦. . .◦τ_k, on a alors ε(σ) =ε(τ₁)×. . . ε(τ_k) = (−1)^k.

NDéfinition 23.5 (le groupe alterné)

L’application signature étant un morphisme de groupe, son noyau est un sous-groupe de S_n. Par définition, ce sous-groupe est appelé groupe alterné de typen et notéAn. On a donc :

An= ker(ε) ={σ ∈S_n / ε(σ) = 1}.

An est parfois appelé groupe des permutations paires car c’est l’ensemble des permutations qui s’écrivent comme produit d’un nombre pair de transpositions.

I théorème23.5

Le groupe alterné An est de cardinal n!

2.

II) Applications n-linéaires

1) definition NDéfinition 23.6

Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f :Eⁿ →F une application. On dit que f est n-linéaire lorsque f est linéaire par rapport à chacune de ses variables (les autres étant fixes), c’est à dire : ∀x1, . . . , xn∈E,∀ i∈[[1..n]], l’applicationfi :E →F définie par :

f_i(x) =f(x₁, . . . , x_i−1, x, x_i+1, . . . , x_n) est linéaire.

NDéfinition 23.7

Soit f :Eⁿ→F une application n-linéaire, on dit que f est :

– symétrique : lorsque ∀ σ ∈ S_n,∀ x₁, . . . , x_n ∈ E : f(x_σ(1), . . . , x_σ(n)) = f(x₁, . . . , x_n), autre- ment dit, changer l’ordre des vecteurs ne change pas le résultat.

– antisymétrique: lorsque ∀σ∈Sn,∀x1, . . . , xn∈E :f(x_σ(1), . . . , x_σ(n)) =ε(σ).f(x1, . . . , xn), autrement dit, échanger deux vecteurs change le signe du résultat.

– alternée : lorsque ∀ x₁, . . . , x_n ∈ E, s’il existe i, j ∈ [[1..n]] tels que i 6= j et x_i = x_j, alors f(x1, . . . , xn) = 0, autrement dit, si deux des vecteurs sont égaux alors le résultat est nul.

I théorème23.6

Il y a équivalence entre antisymétrique et alternée.

Déterminant dans une base 266

2) Développement suivant une base

Soit E de dimensionp, soitB= (e₁, . . . , e_p)une base deE, soit S= (x₁, . . . , x_n) un système den vecteurs deE et soit A =PB,S ∈Mp,n(K) la matrice de passage de B à S. Soitu =f(x1, . . . , xn), en développant par rapport à la première variable, on obtient : u = ∑

16j16p

a_j1,1f(e_j1, x₂, . . . , x_n).

Puis on développe chacun de ces termes par rapport à la deuxième variable∑ x2, ce qui donne u =

16j1,j26p

aj1,1aj2,2f(ej1, ej2, x3, . . . , xn), etc..., ce qui donne à la fin :

f(x1, . . . , xn) = ∑

16j1,...,jn6p

aj1,1· · ·ajn,nf(ej1, . . . , ejn).

C’est le développement def(x₁, . . . , x_n)dans la baseB, on voit ainsi qu’une applicationn-linéaire f :Eⁿ→F est entièrement déterminée par la donnée des vecteursf(e_j1, . . . , e_jn).

Supposons maintenant que f soit en plus alternée, alors f(ej1, . . . , ejn) est nul dès que deux des indices sont égaux, par conséquent on obtient la formule :

f(x1, . . . , xn) = ∑

16j1<···<jn6p

(∑

σ∈Sn

aj_σ(1),1· · ·aj_σ(n),nf(ej_σ(1), . . . , ej_σ(n)) )

.

Or,f(ej_σ(1), . . . , ej_σ(n)) =ε(σ).f(ej1, . . . , ejn), finalement on a la formule : f(x₁, . . . , x_n) = ∑

16j1<···<jn6p

(∑

σ∈Sn

ε(σ)a_jσ(1),1· · ·a_jσ(n),n )

f(e_j1, . . . , e_jn).

III) Déterminant dans une base

1) Formes n-linéaires en dimension n

Avec les notations du paragraphe précédent, supposons que la dimension de E soit égale à n et soit B = (e₁, . . . , e_n) une base de E, alors il existe une seule famille d’indices j₁, . . . , j_n telle que 16j1 <· · ·< jn6n, c’est la famille j1 = 1, . . . , jn =n, donc sif est une formen-linéaire alternée surE, alors il existe un unique scalaire α tel que :

∀ x₁, . . . , x_n∈E, f(x₁, . . . , x_n) =α ∑

σ∈Sn

ε(σ)a_σ(1),1a_σ(2),2. . . a_σ(n),n.

Avec α =f(e1, . . . , en) (ce qui détermine entièrement f), et les scalaires ai,j étant les coefficients de la matrice du système(x₁, . . . , x_n) dans la base B.

Siσ parcourtSn, alorsσ⁻¹ aussi, on peut donc écrire :

∀x1, . . . , xn∈E, f(x1, . . . , xn) =α ∑

σ⁻¹∈Sn

ε(σ)a_1,σ−1(1)a_2,σ−1(2). . . a_n,σ−1(n)

=α ∑

σ∈Sn

ε(σ)a_1,σ(1). . . a_n,σ(n).

Posons∀x₁, . . . , x_n∈E, f₁(x₁, . . . , x_n) = ∑

σ∈Sn

ε(σ)a_1,σ(1). . . a_n,σ(n), alors on vérifie que f₁ est une forme n-linéaire alternée sur E et que f₁(e₁, . . . , e_n) = 1 (en particulier f₁ est non nulle). De plus, le raisonnement précédent montre que toute formen-linéaire alternée surEest de la formef =αf₁ avec α∈K, on peut donc énoncer :

Déterminant d’un endomorphisme 267

I théorème23.7

Sidim(E) =n, alors l’ensemble des formesn-linéaires alternées surE est unK-espace vectoriel de dimension 1 (droite vectorielle), c’est en fait un s.e.v de l’ensemble des applications de Eⁿ vers K.

2) Déterminants de n vecteurs dans une base NDéfinition 23.8

L’application f₁ définie ci-dessus est appelée déterminant dans la base B, elle est notée det_B. C’est donc une forme n-linéaire alternée sur E, qui constitue une base de l’ensemble des formes n- linéaires alternées surE, plus précisément, c’est l’unique forme n-linéaire alternée sur E qui vérifie : det_B(e₁, . . . , e_n) = 1.

Expression du déterminant : Soit B= (e1, . . . , en) une base de E et soit (x1, . . . , xn) une famille de n vecteurs de E, et soit A = (ai,j) ∈ Mn(K) la matrice de cette famille dans la base B, on a l’expression suivante :

detB(x₁, . . . , x_n) = ∑

σ∈Sn

ε(σ)a_1,σ(1). . . a_n,σ(n).

3) Propriétés du déterminant

Soit E unK-espace vectoriel de dimensionnetB= (e1;. . . , en) une base deE.

– L’application det_Best une formen-linéaire alternée, donc :

– elle est linéaire par rapport à chaque variable, par exemple : detB(αx1+βx⁰₁, x2, . . . , xn) = αdet_B(x1, x2, . . . , xn) +βdet_B(x⁰₁, x2, . . . , xn).

– si on échange deux vecteurs dans le déterminant, alors le résultat change de signe.

– Si deux des vecteurs de la famille(x₁, . . . , x_n) sont égaux, alorsdet_B(x₁, . . . , x_n) = 0.

– det_B(e1, . . . , en) = 1, ce que l’on note det_B(B) = 1, c’est l’unique forme n-linéaire alternée sur E qui vérifie cette égalité.

– Si B⁰ est une autre base deE, alors det_B0 = det_B0(B).det_B – La famille (x1, . . . , xn) est une base deE ssi det_B(x1, . . . , xn)6= 0.

IV) Déterminant d’un endomorphisme

1) definition NDéfinition 23.9

Soit E un K-espace vectoriel et soit B = (e₁, . . . , e_n) une base de E, soit u ∈ L(E), on appelle déterminant de u le scalaire, noté det(u) et défini par : det(u) = det_B(u(e₁), . . . , u(e_n)). Ce scalaire estindépendant de la base B choisie.

Expression du déterminant: Soitu∈L(E)et soitB= (e₁, . . . , e_n)une base deE, la matrice du système (u(e₁), . . . , u(e_n)) est en fait la matrice de u dans la base B, posons A(a_i,j) = mat

B (u), alors on peut écrire :

det(u) = ∑

σ∈Sn

ε(σ)a_1σ(1)· · ·a_nσ(n).

Déterminant d’une matrice carrée 268

2) Propriétés du déterminant

– Soitu∈L(E), soitB une base deE, alors :

∀ x₁, . . . , x_n∈E,det

B(u(x₁), . . . , u(x_n)) = det(u) det

B(x₁, . . . , x_n).

– Soient u, v∈L(E), on adet(u◦v) = det(v◦u) = det(u) det(v).

– Soitu∈L(E) et soitB une base deE, alorsu∈GL(E) ssi det(u)6= 0, et si c’est le cas, alors det(u⁻¹) = 1

det(u). NDéfinition 23.10

L’application det : GL(E) → K^∗ est un morphisme de groupes, son noyau est donc un sous-groupe de GL(E), ce sous-groupe est appelégroupe spécial linéaire et notéSL(E). On a donc : SL(E) = {u∈GL(E) / det(u) = 1}={u∈L(E) / det(u) = 1}.

V) Déterminant d’une matrice carrée

1) definition NDéfinition 23.11

Soit A = (a_i,j) ∈ Mn(K), et soit u l’endomorphisme de Kⁿ canoniquement associé à A, on appelle déterminant deA le déterminant deu et on pose

det(A) = det(u) = det

B(C₁(A), . . . , C_n(A)), où B désigne la base canonique deKⁿ.

Expression du déterminant:A est la matrice deudans la base canonique de Kⁿ, donc d’après le paragraphe précédent, on a :

det(A) = ∑

σ∈Sn

ε(σ)a_1,σ(1)· · ·a_n,σ(n).

Notation : on écrit :det(A) =

¯¯¯¯

¯¯¯¯

¯

a1,1 · · · a1,n

... ... a_n,1 · · · a_n,n

¯¯¯¯

¯¯¯¯

¯

2) Propriétés du déterminant d’une matrice carrée

– Une matrice carrée A et sa transposée, ont le même déterminant. On en déduit que siB est la base canonique deKⁿ, alorsdet(A) = det_B(C₁(A), . . . , C_n(A)) = det_B(L₁(A), . . . , L_n(A)).

– Soit u ∈L(E), et soitB une base quelconque de E, simat

B (u) = A∈ Mn(K), alors det(u) = det(A). On en déduit en particulier que si P ∈GL_n(K), alorsdet(P⁻¹×A×P) = det(A).

– SiA, B ∈Mn(K), alorsdet(A×B) = det(A) det(B), en particulier, on adet(A×B) = det(B×A).

– Une matrice carrée est inversible ssi son déterminant est non nul, si c’est le cas, alorsdet(A⁻¹) = det(A)⁻¹.

– Utilisation de la méthode deGauss: on utilise celle-ci pour se ramener au calcul du déterminant d’une matrice triangulaire, plus précisément :

– L’opérationL_i ↔L_j, change le signe du déterminant (idem avec les colonnes).

– L’opérationLi ←αLi (α6= 0), multiplie le déterminant par α (idem avec les colonnes).

– L’opérationL_i ←L_i+αL_j, ne change pas le déterminant (idem avec les colonnes).

Déterminant d’une matrice carrée 269

NDéfinition 23.12

L’application :det : GL_n(K)→Kⁿ, est un morphisme de groupes, donc son noyau est un sous-groupe de GLn(K), celui-ci est appelé groupe spécial linéaire de type n surK, on le noteSLn(K), on a donc :SL_n(K) ={A∈Mn(K) / det(A) = 1}.

3) Développement suivant une ligne ou une colonne

Soit A = (a_i,j) ∈ Mn(K), soit B = (e₁, . . . , e_n) la base canonique de Kⁿ, notons C₁, . . . , C_n les vecteurs colonnes de A, pour j ∈ [[1..n]], on a Cj =

∑n i=1

ai,jei, par linéarité par rapport à la j-ième variable, on peut écrire :

det(A) =

∑n i=1

ai,jdet

B(C1, . . . , Cj−1, ei, Cj+1, . . . , Cn).

En posant γi,j(A) = det_B(C1, . . . , Cj−1, ei, Cj+1, . . . , Cn), on a alors det(A) =

∑n i=1

ai,jγi,j(A), c’est le développement dedet(A)suivant la colonne j.

NDéfinition 23.13

Le scalaire γ_i,j(A) est appelé cofacteur (i j) de la matrice A, c’est le déterminant de la matrice A dans laquelle la colonnej a été remplacée par le i-ième vecteur de la base canonique deKⁿ.

NDéfinition 23.14

Soit A∈Mn(K), on appellemineur (i j) de la matriceA, le déterminant∆_i,j(A) de la matriceA_i,j obtenue par suppression de ligne i et de la colonne j de A. Le lien entre cofacteur et mineur est : γ_i,j(A) = (−1)^i+j∆_i,j(A).

Le développement de det(A) suivant la colonne j s’écrit donc :

det(A) =

∑n i=1

ai,j(−1)^i+j∆i,j(A).

∆i,j(A) est un déterminant d’ordren−1, c’est donc une formulerécurrente.

Développement suivant la ligne j : comme une matrice A∈Mn(K) a le même déterminant que sa transposée, développer det(A) suivant la lignej revient à développerdet(^tA)suivant la colonne j, ce qui donne det(A) =

∑n i=1

(^tA)i,j(−1)^i+j∆i,j(^tA), mais∆i,j(^tA) = ∆j,i(A), ce qui donne finalement : det(A) =

∑n i=1

aj,i(−1)^i+j∆j,i(A).

Un exemple classique : le déterminant deVandermonde¹

Soit A=







1 α₀ · · · α₀ⁿ ... ... ... 1 αn · · · α_nⁿ





, où α0, . . . , αn∈K, soit Vn= det(A), alors on a le résultat suivant :

V_n= ∏

06i<j6n

(α_j−α_i).

1VANDERMONDE Alexandre(1735 – 1796) : mathématicien français qui fut le premier à étudier les déterminants.

Applications 270

4) Comatrice NDéfinition 23.15

SoitA∈Mn(K), on appelle comatrice deAla matrice deMn(K)dont les coefficients sont les cofacteurs γi,j(A). Notation : Com(A) = (γi,j(A))16i,j6n.

I théorème23.8 (relation fondamentale)

∀ A∈Mn(K), A×^tCom(A) =^tCom(A)×A= det(A)In.

Application : siA∈Mn(K) est inversible, alors : A⁻¹ = 1

det(A)

tCom(A).

VI) Applications

1) Systèmes linéaires

C’est un système de la forme (S) :











a₁₁x₁+. . .+a_1px_p = b₁ ...

a_n1x₁+. . .+a_npx_p = b_n

, où les scalairesx₁, . . . , x_p sont les inconnues.

Le système (S) peut s’interpréter de plusieurs façons : – Sous forme matricielle :(S) ⇐⇒ AX=BoùX =





 x₁

... xp





,B =





 b₁

... bn





, etA=







a₁₁ · · · a_1n ... ... an1 · · · anp





,

Aest la matrice du système.

– Sous forme linéaire : soit u∈L(K^p,Kⁿ) l’application linéaire canoniquement associée àA, soit x∈K^p le vecteur de coordonnées(x₁, . . . , x_p)dans la base canonique, et soitble vecteur de Kⁿ de coordonnées(b1, . . . , bn), on a alors(S) ⇐⇒ u(x) =b.

– Sous forme vectorielle : soient v₁, . . . , v_p les vecteurs colonnes deA, on a (S) ⇐⇒ x₁v₁+. . .+ x_pv_p =b, c’est une équation vectorielle dans Kⁿ.

NDéfinition 23.16 (Systèmes de Cramer)

C’est un système linéaire carré possédant une unique solution, ce qui revient à dire que la matrice du système est carrée inversible.

Formules de Cramer ² : on a ici n = p, notons C₁, . . . , C_n les colonnes de A ,on a B = x₁C₁+ . . .+x_nC_n, soit D_i la matrice obtenue en remplaçant dans A la colonne i par la colonne B, on a : det(D_i) =

∑n k=1

x_kdet(C₁, . . . , C_i−1, C_k, C_i+1, . . . , C_n), ce qui donne det(D_i) = x_idet(A), d’où les formules :

2CRAMER Gabriel (1704 – 1752) : mathématicien français qui s’est intéressé aux systèmes linéaires et à la théorie des déterminants.

Exercices 271

∀i∈[[1..n]], x_i = det(C₁, . . . , C_i−1, B, C_i+1, . . . , C_n)

det(A) .

2) Orientation d’un espace vectoriel réel

Soient B et B⁰ deux bases d’un R-espace vectoriel de dimension finie, E, soit P la matrice de passage, alorsP est une matrice inversible, doncdet(P)6= 0, on a alors soitdet(P)>0, soitdet(P)<0.

NDéfinition 23.17

On dit que la base B est en relation avec la baseB⁰ lorsque la matrice de passage a un déterminant strictement positif, on note alorsBRB⁰.

I théorème23.9

La relation Rest une relation d’équivalence, et il n’y a que deux classes d’équivalence.

NDéfinition 23.18

Orienter l’espace vectoriel E c’est choisir une des deux classes d’équivalence, que l’on appelle classe des bases directes, l’autre étant alors appeléeclasse des bases indirectes. Il n’y a donc que deux orientations possibles.

À retenir : le déterminant de la matrice de passage entre deux bases directes (ou deux bases indirectes) est strictement positif. Le déterminant de la matrice de passage entre une base directe et une base indirecte est strictement négatif.

N Définition 23.19 (orientation induite sur un hyperplan)

Soit H un hyperplan deE (R-espace vectoriel orienté), et soit enun vecteur deE n’appartenant pas àH, soit B= (e₁, . . . , e_n−1)une base deH, la famille (e₁, . . . , e_n) est une base deE, si cette base est directe, on dira que(e1, . . . , en−1)est une base directe deH pour l’orientation induite sur H par le vecteuren.

VII) Exercices

FExercice 23.1

Calculer les déterminants suivants :

a)

¯¯¯¯

¯¯¯¯

¯¯¯¯

x 1 2 3

y 0 1 2

z 1 −1 1

t 2 1 3

¯¯¯¯

¯¯¯¯

¯¯¯¯

b)

¯¯¯¯

¯¯¯¯

¯¯¯¯

x y z t

1 2 1 0

1 1 m 0

0 1 2 1

¯¯¯¯

¯¯¯¯

¯¯¯¯

c)

¯¯¯¯

¯¯¯¯

¯¯¯¯

¯¯¯

1 1 1 1 1 1 2 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 2 3 1 1 0 3

¯¯¯¯

¯¯¯¯

¯¯¯¯

¯¯¯ .

Exercices 272

FExercice 23.2

Calculer le déterminant de la matriceA∈Mn(K) dans les cas suivants :

a)a_ij = 1−δ_ij. b)a_ij =b−aδ_ij c)a_ij =|i−j|.

d)aij =

















a+b si i=j ab si j=i+ 1

1 si i=j+ 1 0 sinon

e)a_ij = C^j_p⁻₋¹_i+1, où p>n. f)aij = sin(i+j).

F Exercice 23.3

a) Soit B une base d’un K-espace E de dimension n, soit λ ∈ K, soit p 6 n, soit x1, . . . , xn, e ∈ E, montrer que det_B(x1+λe, x2 +λe, . . . , xp +λe, xp+1, . . . , xn) est un polynôme enλde degré au plus 1.

Soienta, b∈Cdistincts, pour λ₁, . . . , λ_n∈C, on pose : A=











λ1 a · · · a b . .. ... ... ... . .. ... a b · · · b λ_n









 b) Pourx∈C, on poseP(x) = det(B)oùB = (aij+x). Montrer queP(x)est un polynôme

de degré1 au plus1. Calculer P(−a)etP(−b).

c) En déduire det(A).

FExercice 23.4 a) SoitA=



 B C

O_n−p,p D



∈Mn(K)avecB ∈Mp(K),D∈Mn−p(K)etC∈Mp,n−p(K).

i) Montrer queA=A⁰×A⁰⁰avecA⁰ =



 Ip C O_n−p,p D



etA⁰⁰ =



 B Op,n−p

O_n−p,p I_n−p



.

ii) Calculerdet(A⁰) etdet(A⁰⁰), en déduire que det(A) = det(B)×det(D).

b) Soit A une matrice triangulaire par blocs, c’est à dire A =











A₁ ∗ · · · ∗ 0 . .. . .. ... ... . .. . .. ∗ 0 · · · 0 An









 ,

où les matricesAi sont carrées, montrer quedet(A) =

∏n i=1

det(Ai).

FExercice 23.5

Soit E un espace de dimension n, B une base de E et u ∈ L(E), pour (x₁, . . . , x_n) ∈ Eⁿ, on posef(x1, . . . , xn) = detB(u(x1), x2, . . . , xn) +. . .+ detB(x1, . . . , xn−1, u(xn)). Montrer que f = tr(u).det_B.

Exercices 273

FExercice 23.6

SoitA∈Mn(K), soitB= (e1, . . . , en) la base canonique deKⁿ, on notec1, . . . , cnles vecteurs colonnes deA.

a) Montrer que det(A) = ∑

16i,j6n

a_i1a_j2det_B(e_i, e_j, c₂, . . . , c_n).

b) En déduire que det(A) = − ∑

16i1<i26n

(−1)ⁱ¹⁺ⁱ²

¯¯¯¯

¯¯a_i11 a_i12 ai21 ai22

¯¯¯¯

¯¯ × ∆_{(i1,i2),(1,2)}(A) où

∆_{(i1,i2),(1,2)}(A) désigne le déterminant de la matrice obtenue en supprimant dans la ma- trice A les lignes L_i1 et L_i2 et les colonnes C₁ et C₂. C’est le développement de det(A) suivant les colonnes 1 et2.

c) Exemple: développer le déterminant

¯¯¯¯

¯¯¯¯

¯¯¯¯

x y z t

1 0 1 2

1 0 m 1

0 1 2 1

¯¯¯¯

¯¯¯¯

¯¯¯¯

suivant les colonnes1 et2.