(notes d’un expos´ e donn´ e au s´ eminaire de logique cat´ egorique de l’Universit´ e de Paris VII, le mercredi 27 f´ evrier 2013)

L’ind´ependance de ` de la cohomologie `-adique et la correspondance de Langlands sont-elles des

´equivalences de Morita entre topos classifiants ?

(notes d’un expos´ e donn´ e au s´ eminaire de logique cat´ egorique de l’Universit´ e de Paris VII, le mercredi 27 f´ evrier 2013)

par Laurent Lafforgue

∗Cet expos´e fait suite `a un autre, “La th´eorie de Caramello : un cadre en construction pour des correspondances du type de celle de Langlands ?”, donn´e `a l’IHES le jeudi 14 f´evrier 2013. Les notes de cet autre expos´e sont ´egalement disponibles sur le site de l’auteur.

Cet expos´e est inspir´e par le r´ecent cours de recherche d’Olivia Caramello (donn´e `a l’Universit´e de Paris VII en janvier 2013) sur le rˆole des “topos de Grothendieck comme ponts unifiants en math´ematiques”.

Il est d’abord destin´e `a des math´ematiciens qui seraient prˆets `a travailler comme elle sur les ´equivalences de Morita entre th´eories math´ematiques, c’est-

`

a-dire sur les ´equivalences entre “topos classifiants” de th´eories.

Le but de l’expos´e est de pr´esenter le plus rapidement et le plus concr`etement possible un double probl`eme fondamental de la g´eom´etrie alg´ebrique et du programme de Langlands qui ressemble beaucoup `a un probl`eme d’existence d’´equivalences de Morita ou de morphismes g´eom´etriques entre topos classi- fiants. Comme la th´eorie de Caramello d´eveloppe un cadre pour la recherche et l’´etude de relations entre th´eories math´ematiques diff´erentes dont les objets se correspondent, il est naturel de se demander si les probl`emes de la g´eom´etrie alg´ebrique et du programme de Langlands que nous pr´esentons ici entrent dans ce cadre.

Pour travailler dans cette perspective, il serait sans doute moins n´ecessaire d’ˆetre sp´ecialiste de la g´eom´etrie alg´ebrique et du programme de Langlands que d’avoir appris `a travailler avec les topos et les ´equivalences de Morita tels qu’´etudi´es par Caramello et pr´esent´es dans son cours. Au contraire, peut-ˆetre serait-il pr´ef´erable de ne pas trop bien connaˆıtre les m´ethodes classiques, de fa¸con `a pouvoir adopter plus facilement la mani`ere originale de voir les choses que permet la th´eorie des topos classifiants.

Je remercie Olivia Caramello pour ses explications sur le contenu de son cours et de ses articles. Le paragraphe 11 et dernier est enti`erement le fruit de conversations avec elle.

Je remercie H´el`ene Esnault dont une question au cours de l’expos´e oral – sur la compatibilit´e des ´equivalences de Morita ou des morphismes g´eom´etriques entre topos classifiants recherch´es avec la formation des invariants num´eriques – a amen´e `a pr´eciser le contenu de ce paragraphe de conclusion.

Enfin, je remercie C´ecile Gourgues qui a r´ealis´e la frappe de ce texte avec sa perfection et sa c´el´erit´e coutumi`eres.

Sommaire

1. Rappels du cours de Caramello 2. Vari´et´es alg´ebriques et sch´emas 3. Site ´etale et groupe fondamental

4. Faisceaux`-adiques et cohomologie`-adique 5. La question de l’ind´ependance de`

6. Corps globaux et ad`eles

7. Groupes r´eductifs sur un corps et groupes duaux 8. Repr´esentations automorphes

9. La correspondance de Langlands 10. Le principe de fonctorialit´e

11. Conclusions : des probl`emes de topos classifiants, d’´equivalences de Morita et de morphismes g´eom´etriques ?

1 Rappels du cours de Caramello

Nous renvoyons pour une pr´esentation plus d´etaill´ee aux notes de notre pr´ec´edent expos´e : “La th´eorie de Caramello : un cadre en construction pour des correspondances du type de celle de Langlands ?” Ici, contentons-nous de rappeler que cette th´eorie est fond´ee sur les d´efinitions et les faits suivants :

• Par d´efinition, un topos est une cat´egorie ´equivalente `a la cat´egorie des faisceaux sur un site (au sens de Grothendieck).

• Il existe une notion de “morphisme g´eom´etrique” de topos qui fait des topos une 2-cat´egorie.

• Pour toute th´eorie g´eom´etrique (du premier ordre)T, associer `a tout topos Ela cat´egorieT-mod (E) des mod`eles deTdansE d´efinit un 2-foncteur sur la 2-cat´egorie des topos. D’apr`es Joyal et Reyes (∼1975), ce 2-foncteur est toujours repr´esentable par un toposE<sub>T</sub>, bien d´efini `a ´equivalence pr`es, appel´e le “topos classifiant” de la th´eorieT. Les mod`eles ensemblistes deT correspondent aux “points” deE_T maisE_Ta une structure beaucoup plus riche que la classe de ses points puisque sa connaissance ´equivaut `a celle des mod`eles deTdans n’importe quel topos. C’est une diff´erence analogue

`

a celle entre un sch´ema et l’ensemble de ses points.

• Le topos classifiant E_T d’une th´eorie g´eom´etrique T est associ´e `a un site construit explicitement `a partir deT, son “site syntactique”.

• Deux th´eories g´eom´etriques compl`etement diff´erentes, ou plus g´en´erale- ment deux sites compl`etement diff´erents, peuvent avoir des topos as- soci´es ´equivalents. On parle alors d’´equivalence de Morita de ces th´eories g´eom´etriques ou de ces sites. De mani`ere imag´ee, deux th´eories g´eom´etri- ques (qui sont des objets syntactiques, appartenant `a la logique) sont

´

equivalentes au sens de Morita si et seulement si elles expriment (s´emanti- quement) des contenus math´ematiques ´equivalents.

• Les th´eories d’ordre sup´erieur devraient ˆetre classifi´ees par les topos sup´e- rieurs (introduits par To¨en et Vezzosi, et ´etudi´es par Lurie). Cependant il n’est pas rare de pouvoir associer naturellement `a une th´eorie d’ordre sup´erieur un site (qui est un objet d’ordre 2) et donc un topos. Cela induit une notion d’´equivalence de Morita ´elargie, mais moins syst´ematique et plus faible que celle des th´eories g´eom´etriques du premier ordre.

2 Vari´ et´ es alg´ ebriques et sch´ emas

En g´eom´etrie alg´ebrique arithm´etique, on s’int´eresse aux vari´et´es alg´ebriques X_F sur les corpsF qui sont de type fini (c’est-`a-dire engendr´es par un nombre fini d’´el´ements) sur leur corps premierQouFp=Z/pZ.

Ces corps F sont les corps de fonctions rationnelles F =F(S)

sur les sch´emasS int`egres et de type fini surZ.

Particuli`erement importants sont les cas o`uF est un “corps global” c’est-`a- dire

– un “corps de nombres” :Qou une extension finie deQ,

– un “corps de fonctions”, c’est-`a-dire le corps des fonctions rationnelles F =F(S) sur une courbeS lisse (projective) et g´eom´etriquement connexe sur un corps finiFq.

SiF =F(S) comme ci-dessus, et siX est un sch´ema (r´eduit) quasi-projectif sur S, la fibre g´en´erique XF de X sur F est une vari´et´e alg´ebrique sur F. R´eciproquement, on a :

Lemme–

Pour toute vari´et´e quasi-projective [resp. lisse, resp. projective]X_F sur F = F(S), et quitte `a remplacerSpar un ouvert de Zariski, il existe un sch´ema r´eduit plat quasi-projectif [resp. lisse, resp. projectif ] X sur S dont la fibre g´en´erique s’identifie `aXF.

A la suite de Weil, les g´` eom`etres alg´ebristes ont cherch´e `a associer `a toute telle vari´et´e alg´ebriqueXF surF des groupes de cohomologieHⁱ tels que :

• les Hⁱ soient des espaces vectoriels de dimension finie sur un corps de caract´eristique 0,

• les Hⁱ soient munis d’une action naturelle du groupe de Galois ΓF = AutF( ¯F) deF,

• si F se plonge dansC, les Hⁱ aient mˆeme dimension que les espaces de cohomologie singuli`ere `a coefficients dansQde la vari´et´e complexeXF(C) et, en particulier, soient nuls en dehors de 0≤i≤2 dimXF.

Grothendieck a apport´e une premi`ere r´eponse `a cette question, avec les es- paces de cohomologie`-adique

Hⁱ(X_F,Q`), i∈N,

deX_F =XF⊗FF, pour tout nombre premier`6= car(F).

La cohomologie `-adique

Hⁱ(X,Q`), i∈N,

d’un sch´emaX est une famille d’invariants du “topos ´etale” associ´e au “site

´etale” de ce sch´ema.

3 Site ´ etale et groupe fondamental

Pour tout homomorphisme d’anneaux commutatifs A → B, le B-module Ω_B/A des diff´erentielles deB sur Aest d´efini comme le quotient duB-module libre sur les ´el´ements not´es formellement

db , b∈B , par le sous-module engendr´e par les relations

d(b+b⁰) = db+ db⁰, ∀b, b⁰∈B , d(bb⁰) =b·db⁰+b⁰·db , ∀b, b⁰ ∈B , da= 0, ∀a∈A .

D´efinition–

Un homomorphisme A→B est dit – non ramifi´e siΩ_B/A= 0,

– ´etale s’il est de pr´esentation finie, plat et non ramifi´e.

Ces notions sont locales pour la topologie de Zariski. Pour tout morphisme de sch´emas Y → X, on peut d´efinir le O_Y-Module quasi-coh´erent Ω_{Y /X} des diff´erentielles deY surX et poser :

D´efinition–

Un morphisme de sch´emasY →X est dit – non ramifi´e siΩY /X = 0,

– ´etale s’il est localement de pr´esentation finie, plat et non ramifi´e.

On en d´eduit la d´efinition du site ´etale d’un sch´ema : D´efinition–

Le site ´etale d’un sch´emaX est d´efini comme suit :

• Ses objets sont les morphismes ´etales Y →X.

• Ses fl`eches (Y →X)→(Y⁰ →X) sont les morphismes Y →Y⁰ compa- tibles avec les projections sur X. Ils sont n´ecessairement ´etales.

• Ses cribles couvrants(Yi→Y)i∈I sont les familles universellement ´epimor- phiques.

Le topos ´etale d’un sch´emaX est la cat´egorie des faisceaux d’ensembles sur le site ´etale.

Tout morphisme de sch´emas X −→^b Y induit un morphisme g´eom´etrique (f^∗, f_∗) entre les topos ´etales associ´es, et donc aussi entre les cat´egories de

faisceaux ´etales ab´eliens. Entre ces derni`eres, le foncteur f<sup>∗</sup> est exact, tandis que le foncteur f∗ est exact `a gauche et admet des foncteurs d´eriv´es `a droite Rⁱf∗.

Donnons maintenant la d´efinition du groupe fondamental ´etale. On rappelle qu’un morphisme de sch´emas Y → X est dit “fini” si l’image r´eciproque de tout ouvert affine Spec(A) deX est un ouvert affine Spec(B) tel queB soit un A-module de pr´esentation finie.

Th´eor`eme–

SoitX un sch´ema nœth´erien connexe. Alors :

(i) La cat´egorie des morphismes finis ´etales Y →X est galoisienne.

(ii) De plus, pour tout point g´eom´etriquexdeX, le foncteur (Y →X)7→Y(x)

est un “foncteur fibre” de cette cat´egorie galoisienne : le groupeπ₁(X, x) de ses automorphismes est un groupe topologique profini, et il induit une

´

equivalence avec la cat´egorie des ensembles finis munis d’une action conti- nue de π₁(X, x).

4 Faisceaux `-adiques et cohomologie `-adique

SoitX un sch´ema nœth´erien, et soit` un nombre premier.

D´efinition–

Un faisceau `-adique sur X est un syst`eme projectif de faisceaux ´etales de Z/`ⁿZ-modules (Ln)n≥1 reli´es par des homomorphismesLn+1→Ln induisant des isomorphismes

Ln+1⊗_Z/`<sup>n+1</sup>Z Z/`ⁿZ−→^∼ Ln.

La cat´egorie des faisceaux`-adiques surXest une cat´egorie ab´elienne lin´eaire surZ`= lim

←−n

Z/`<sup>n</sup>Z. On la rend lin´eaire surQ`en conservant les mˆemes objets et en transformant lesZ`-modules d’homomorphismes par• ⊗<sub>Z`</sub> Q`.

D´efinition–

Soit(Ln)_n≥1 un faisceau`-adique surX.

(i) Il est dit “lisse” de rang r si chaque L_n, n ≥ 1, est localement libre de rang rcomme faisceau ´etale deZ/`ⁿZ-modules.

(ii) Il est dit “constructible” si X peut ˆetre recouvert par des sous-sch´emas localement ferm´es Y ,→ X tels que sa restriction `a chaque Y soit un faisceau`-adique lisse.

On a : Th´eor`eme–

SiX est un sch´ema nœth´erien normal connexe, etxun point g´eom´etrique de X, la cat´egorie des faisceaux`-adiques lisses surX est ´equivalente `a la cat´egorie des repr´esentations continues deπ₁(X, x)dans des Q`-espaces vectoriels de di- mension finie.

Remarques :

• SiF est un corps, un faisceau`-adique lisse (= constructible) sur Spec(F) est un Q`-espace vectoriel de dimension finie muni d’une action continue de Γ_F = Aut_F(F).

• SiX est normal et connexe, et queF=F(X) est son corps des fonctions, un faisceau `-adique lisse sur X est unQ`-espace vectoriel de dimension finie muni d’une action continue de Γ_F = Aut_F(F) qui se factorise, de mani`ere n´ecessairement unique, `a traversπ₁(X, K).

• Sixest un point ferm´e deX dont le corps r´esiduelκxest fini, la fibre en xd’un faisceau`-adique constructible surX est un Q`-espace de dimen- sion finie muni d’une action du g´en´erateur topologique σ_x (l’´el´ement de Frobenius) de Γ_κx∼=Zb.

Passons maintenant `a la cohomologie`-adique :

Th´eor`eme–

Consid´erons un sch´ema int`egre de type fini S sur Z, un nombre premier ` inversible surS, et un sch´emaX quasi-projectif et plat surS. Alors :

(i) Les faisceaux de cohomologie`-adique de X−→<sup>p</sup> S R<sup>i</sup>p<sub>∗</sub>Q`= lim

←−n

Rⁱp_∗(Z/`ⁿZ), i∈N,

sont des faisceaux `-adiques constructibles sur S. Ils sont nuls en degr´es i >2 dim(X/S).

(ii) Leur formation, qui commute par d´efinition avec les changements de base

´

etales S⁰→S, commute mˆeme avec les changements de base lisses.

(iii) Leur formation commute avec les changements de base arbitraires siX −→^p S est projectif.

(iv) Pour tout point ferm´e s de S de corps r´esiduel κs ∼= Fqs, et pour toute extension finie Fq_sⁿ deFqs∼=κ_s, on a

X

i

(−1)ⁱ Tr(σⁿ_x, Hⁱ(X_s,Q`)) = #X<sub>s</sub>(Fq<sup>n</sup><sub>s</sub>) qui, remarquons-le, est un entier ind´ependant de`.

(v) Si la projectionX −→^p Sest projective et lisse, les faisceaux de cohomologie

`-adique

Rⁱp_∗Q`

sont lisses surS.

PourS et `comme dans le th´eor`eme, tout morphisme

X^{0 f} //

p⁰

X

 p

S

entre deux sch´emasX⁰etX quasi-projectifs et plats surSinduit des homomor- phismes entre faisceaux`-adiques de cohomologie

Rⁱf^∗:Rⁱp_∗Q`→R<sup>i</sup>p<sup>0</sup><sub>∗</sub>Q`. Par cons´equent, tout morphisme

X_F⁰ −→^f X_F

entre deux vari´et´es quasi-projectivesX_F⁰ etX_F surF =F(S) induit des homo- morphismes entre repr´esentations`-adiques de Γ_F = Aut_F(F)

Rⁱf^∗:Hⁱ(X_F,Q`)→H<sup>i</sup>(X<sub>F</sub><sup>0</sup> ,Q`).

SiX_F etX_F⁰ sont projectives et lisses surF, on a mˆeme que tout sous-sch´ema ferm´e de mˆeme dimension queX_F⁰

Z ,→XF ×X_F⁰

induit des homomorphismes de repr´esentations`-adiques H<sup>i</sup>(X<sub>F</sub>,Q<sup>`</sup>)→Hⁱ(X_F⁰,Q^`). D´efinition–

SoitF un corps de type fini sur son corps premier, c’est-`a-dire le corps des fonctions rationnellesF =F(S)d’un sch´emaS normal, connexe et de type fini surZ.

Soit` un nombre premier inversible dansF.

Appelons “cat´egorie des repr´esentations`-adiques g´eom´etriques” la plus pe- tite sous-cat´egorie ab´elienne etQ-lin´eaire de la cat´egorie Q`-lin´eaire des repr´e- sentations`-adiques (de rang fini) qui

– est stable par les foncteurs de produit tensoriel et de passage aux repr´esen- tations duales V → V^∗, et contient les homomorphismes canoniques de traces V ⊗V^∗→Q`,

– contient comme objets les espaces de cohomologieHⁱ(X_F,Q`)des vari´et´es XF quasi-projectives surF,

– contient comme morphismes les homomorphismes Hⁱ(X_F,Q`)→H<sup>i</sup>(X<sub>F</sub><sup>0</sup>,Q`) induits par des morphismes de vari´et´esX_F⁰ →XF.

Remarques :

(i) On peut appeler “repr´esentations `-adiques g´eom´etriques” les objets de cette cat´egorie et “homomorphismes g´eom´etriques” ses morphismes.

D’autre part, fixant un plongementQ,→Q`, on peut appeler “repr´esenta- tions`-adiques g´eom´etriques absolues” les objets de la cat´egorie ab´elienne et Q-lin´eaire engendr´ee sur Qpar la cat´egorie ab´elienne etQ-lin´eaire des repr´esentations`-adiques g´eom´etriques.

(ii) La cat´egorie des “repr´esentations `-adiques g´eom´etriques” ainsi d´efinie comprend les morphismes H<sup>i</sup>(X<sub>F</sub>,Q<sup>`</sup>) → Hⁱ(X⁰

F,Q<sup>`</sup>) entre espaces de cohomologie`-adique de vari´et´es projectives lisses XF, X_F⁰ surF induits par les correspondancesZ ,→XF×X_F⁰.

(iii) Il r´esulte du th´eor`eme ci-dessus que toute repr´esentation`-adique g´eom´e- trique de ΓF est de dimension finie et se factorise `a travers le groupe fondamentalπ1(S⁰, F) d’un ouvert de ZariskiS⁰ deS.

5 La question de l’ind´ ependance de `

On a la conjecture g´en´erale suivante : Conjecture–

SoientS un sch´ema normal, connexe et de type fini surZ, etF =F(S)son corps des fractions.

Soient` et`⁰ deux nombres premiers diff´erents de la caract´eristique deF. Alors il devrait exister une ´equivalence naturelle, compatible avec la struc- tureQ-lin´eaire, le produit tensoriel et le passage au dual, entre la cat´egorie des

“repr´esentations`-adiques g´eom´etriques” et celle des “repr´esentations`⁰-adiques g´eom´etriques”.

Dans cette ´equivalence, les espaces de cohomologie Hⁱ(X_F,Q`) et H<sup>i</sup>(X<sub>F</sub>,Q`⁰)

des vari´et´esXF sur F devraient se correspondre, et les homomorphismes Hⁱ(X_F,Q`)→H<sup>i</sup>(X<sub>F</sub><sup>0</sup>,Q`) et Hⁱ(X_F,Q`<sup>0</sup>)→H<sup>i</sup>(X<sub>F</sub><sup>0</sup> ,Q`⁰)

induits par un mˆeme morphisme de vari´et´es X_F⁰ → XF devraient se corres- pondre.

Une telle conjecture pose les questions suivantes :

(1) Pour`6= car(F), est-il possible de caract´eriser intrins`equement celles des repr´esentations`-adiques de ΓF qui sont g´eom´etriques ?

(2) Pour `, `⁰6= car(F), est-il possible de caract´eriser intrins`equement la cor- respondance entre “repr´esentations`-adiques g´eom´etriques” et “repr´esen- tations`⁰-adiques g´eom´etriques” de Γ_F?

(3) Pour`6= car(F), est-il possible de caract´eriser intrins`equement les homo- morphismes entre repr´esentations`-adiques de Γ<sub>F</sub> qui sont g´eom´etriques ? (4) Pour `, `<sup>0</sup>6= car(F), est-il possible de caract´eriser intrins`equement la cor- respondance entre homomorphismes g´eom´etriques de repr´esentations `- adiques et`⁰-adiques de Γ_F?

Faute de disposer d’aucune structureQ-rationnelle intrins`eque naturelle dans la cat´egorie des repr´esentations`-adiques de Γ_F, on ne peut rien dire pour (4), et pour (3) on peut seulement conjecturer :

Conjecture (Tate)–

Si `6= car(F)etV, V<sup>0</sup> sont deux repr´esentations`-adiques g´eom´etriques, le Q`-espace des homomorphismesΓF-´equivariants

V →V⁰

est engendr´e surQ` par leQ-sous-espace des homomorphismes g´eom´etriques.

En ce qui concerne (1) et (2), il faut distinguer entre les repr´esentations semi-simples (sommes directes de repr´esentations irr´eductibles) et les autres.

Toute repr´esentation `-adique de dimension finie V de ΓF admet une filtra- tion ´equivariante dont les sous-quotients successifs sont irr´eductibles ; la somme directe V<sup>ss</sup> de ces sous-quotients ne d´epend pas de la filtration choisie, `a iso- morphisme pr`es, et s’appelle la semi-simplifi´ee deV.

On s’attend certainement `a ce que :

– SiV est une repr´esentation`-adique g´eom´etrique de Γ<sub>F</sub>, sa semi-simplifi´ee V<sup>ss</sup>est g´eom´etrique, et tous ses facteurs directs surQsont des repr´esenta- tions`-adiques g´eom´etriques absolues.

– SiV est une repr´esentation`-adique g´eom´etrique, etV⁰une repr´esentation

`⁰-adique g´eom´etrique qui lui correspond, alorsV^ssetV^0ssse correspondent.

On ne sait rien dire de plus, mˆeme conjecturalement, pour les repr´esentations qui ne sont pas semi-simples.

Pour les repr´esentations `-adiques irr´eductibles et semi-simples, on conjec- ture d’abord :

Conjecture–

On suppose toujours que`est un nombre premier diff´erent de la caract´eristi- que du corpsF.

(i) Pour toute vari´et´e projective et lisseXF surF, les espaces de cohomologie

`-adique

Hⁱ(X_F,Q`), i≥0,

sont semi-simples comme repr´esentations`-adiques de dimension finie du groupe profini ΓF = AutF(F).

(ii) R´eciproquement, tout objet irr´eductible de la cat´egorie des repr´esentations

`-adiques g´eom´etriques peut s’´ecrire, apr`es tensorisation par une puissance tensorielle assez grande de la repr´esentation g´eom´etrique de dimension 1

H²(P¹_F,Q`), comme facteur direct d’un espace de cohomologie

Hⁱ(X_F,Q`) d’une vari´et´eX_F projective et lisse sur F.

Si S est un sch´ema normal, connexe et de type fini sur Z, F = F(S) son corps des fonctions rationnelles, et` un nombre premier inversible surS, on a vu que toute rep´esentation`-adique g´eom´etrique de Γ_F provient d’un faisceau

`-adique lisse sur un ouvert de ZariskiS<sup>0</sup>deS, c’est-`a-dire se factorise `a travers π1(S⁰, F).

Or, pour tout faisceau`-adique lisseV de rangrsur un tel ouvertS<sup>0</sup>, sa fibre en tout point ferm´es= Spec(Fq<sub>s</sub>) peut ˆetre vue comme unQ`-espace vectoriel Vs de dimension r muni d’une action de l’´el´ement de Frobenius σs et on peut consid´erer les traces

Tr(σⁿ_s, Vs), n≥1.

Il en va de mˆeme pour tout faisceau `-adique lisse absolu sur S<sup>0</sup>, c’est-`a-dire pour tout objet de la cat´egorie ab´elienne etQ`-lin´eaire engendr´ee surQ`par la cat´egorie ab´elienne etQ`-lin´eaire des faisceaux`-adiques lisses surS⁰.

On a : Proposition–

Consid´erons comme ci-dessus un ouvert de Zariski S⁰ deS.

Consid´erons tous les faisceaux `-adiques lisses absolus irr´eductibles V sur S⁰.

Alors la famille des fonctions associ´ees

s= Spec(Fq_s)7→Tr(σs, Vs)

[resp. (s, n)7→Tr(σ_sⁿ, Vs)]

sur l’ensemble des points ferm´ess= Spec(Fqs)deS⁰ [resp. et des entiersn≥1]

est lin´eairement libre.

Remarque :

Cela implique que les repr´esentations semi-simples de π1(S⁰, F) (ou, plus g´en´eralement, les sommes formelles `a coefficients scalaires arbitraires de repr´esen- tations irr´eductibles) sont enti`erement d´etermin´ees par leurs fonctions traces des

´el´ements de Frobenius des points ferm´es deS⁰.

A propos de l’action des ´` el´ements de Frobenius, Deligne a d´emontr´e le th´eor`eme fondamental suivant :

Th´eor`eme–

SoitX_F une vari´et´e projective et lisse sur F =F(S), ´ecrite comme la fibre g´en´erique d’un sch´emaX projectif et lisse sur un ouvert de ZariskiS⁰ deS.

Alors les repr´esentations`-adiques deπ1(S<sup>0</sup>, F) H<sup>i</sup>(X<sub>F</sub>,Q`), i∈N,

sont “pures de poidsi” au sens que, pour tout point ferm´es= Spec(Fq_s)deS⁰, les valeurs propres deσsdansQ` sont alg´ebriques sur Qet ont pour module

q_s^i/2 pour n’importe quel plongementQ,→C. Remarque :

Ce th´eor`eme, combin´e avec la proposition pr´ec´edente, implique que les repr´e- sentations`-adiques semi-simplifi´ees

Hⁱ(X_F,Q^`)^ss, i∈N,

sont enti`erement d´etermin´ees sur Q` (et donc conjecturalement sur Q) par la fonction sur les points ferm´es de S⁰

s= Spec(Fqs)7→X

i≥0

(−1)ⁱTr(σs, Hⁱ(X_F,Q`)).

Ce th´eor`eme implique les conditions n´ecessaires suivantes sur les repr´esenta- tions`-adiques g´eom´etriques irr´eductibles :

Corollaire–

Soient toujoursSun sch´ema normal, connexe et de type fini surZ,F =F(S) son corps des fonctions et` un nombre premier inversible surS.

Alors tout objet irr´eductibleV de la cat´egorie des repr´esentations`-adiques g´eom´etriques [resp. g´eom´etriques absolues] deΓF v´erifie les propri´et´es suivantes :

• la repr´esentationV se factorise `a travers le groupe fondamentalπ1(S⁰, F) d’un ouvert de ZariskiS⁰ deS,

• elle est pure d’un certain poidsi∈Z au sens que, pour tout point ferm´e s= Spec(Fq_s)deS⁰, toutes les valeurs propres deσsagissant dansV sont alg´ebriques surQet ont toutes leurs normes archim´ediennes ´egales `aqs^i/2,

• de plus, toutes les normes `-adiques de ces valeurs propres sont ´egales `a 1.

Remarque :

La derni`ere condition r´esulte de ce qu’une repr´esentation `-adique de rang fini d’un groupe profini stabilise n´ecessairement unZ`-r´eseau de son espace sur Q`.

On a encore : Corollaire–

Consid´erant cette fois deux nombres premiers`, `⁰ inversibles surS, et choi- sissant deux plongements de Q dans Q` et Q`⁰, la correspondance conjectur´ee entre objets irr´eductibles (ou semi-simples)V etV⁰des cat´egories des repr´esen- tations `-adiques et `⁰-adiques g´eom´etriques [resp. g´eom´etriques absolues] de π1(S⁰, F)serait enti`erement d´etermin´ee par les identit´es num´eriques

Tr(σⁿ_s, V) = Tr(σⁿ_s, V⁰), ∀s= Spec(Fq_s), ∀n≥1.

Remarque :

Cela impliquerait que les valeurs propres de l’´el´ement de Frobeniusσsen un point ferm´e Spec(Fq_s) deS⁰ ont toutes leurs normes`<sup>0</sup>-adiques ´egales `a 1, pour tous les nombres premiers`⁰ 6= car(Fq_s).

S’agissant enfin du probl`eme de caract´eriser celles des repr´esentations `- adiques irr´eductibles qui sont g´eom´etriques, on conjecture :

Conjecture–

Toujours dans les mˆemes conditions, consid´erons un ouvert de ZariskiS⁰ de S et un faisceau`-adique lisse absolu V de rang rsur S⁰. Alors :

(i) SiF est de caract´eristique finiep6=`,

• V est g´eom´etrique si et seulement sidet(V) = Λ^rV est g´eom´etrique,

• V est g´eom´etrique sidet(V) = Λ^rV est d’ordre fini,

• V devient g´eom´etrique apr`es tensorisation par un faisceau `-adique lisse absolu de rang1 convenable.

(ii) Si F est de caract´eristique 0, la condition pour V d’ˆetre g´eom´etrique ne d´epend que de son image r´eciproque sur le sch´ema `-adique S<sup>0</sup>⊗<sub>Spec(Z)</sub> Spec(Q`).

Remarques :

(i) SiFest le corps des fonctions d’une courbe sur un corps fini, les conjectures de (i) sont d´emontr´ees, ainsi que les correspondances entre repr´esentations

`-adiques et `⁰-adiques g´eom´etriques irr´eductibles, pour tous les nombres premiers`, `⁰6= car(F).

Cela r´esulte de la correspondance de Langlands pour un tel corps de fonc- tionsF.

(ii) Si car(F) =p6= 0 etS⁰ est de dimension arbitraire mais lisse, Drinfeld a r´ecemment montr´e que pour tous nombres premiers`, `⁰6=pet tout choix de plongementsQ,→Q` etQ,→Q`⁰, les identit´es

Tr(σ_sⁿ, V) = Tr(σ_sⁿ, V⁰), ∀s= Spec(Fqs)∈S⁰, ∀n≥1, d´efinissent des correspondances bijectives entre faisceaux `-adiques et`⁰- adiques lisses absolus surS⁰ qui sont irr´eductibles de mˆeme rangr≥1 et dont les d´eterminants det(V) = Λ^rV et det(V⁰) = Λ^rV⁰ sont d’ordre fini.

La d´emonstration de Drinfeld ram`ene le cas o`u dimS⁰ ≥ 2 au cas des courbes, mais elle ne prouve pas que les repr´esentations en question sont g´eom´etriques.

(iii) SiF estQ(ou un corps de nombres), la conjecture (ii) a ´et´e rendue pr´ecise par Fontaine et Mazur. La condition qu’ils donnent porte sur l’action sur le Q`-espace de la repr´esentation du groupe de Galois local Γ<sub>Q`</sub> = Aut<sub>Q`</sub>(Q`).

En r´esum´e, le grand probl`eme qui est pos´e est le suivant : Probl`eme–

On consid`ere un groupe pro-fini Γ qui est le groupe de Galois Γ = ΓF = AutF(F) d’un corps de fonctions rationnellesF =F(S)sur un sch´emaS nor- mal, connexe et de type fini surZ.

On voudrait pouvoir associer `aΓ une cat´egorie Q-lin´eaire, munie d’un pro- duit tensoriel et d’un passage au dual, telle que, pour tout nombre premier

`6= car(F):

• cette cat´egorie s’envoie naturellement dans celle des repr´esentations `- adiques deΓF,

• les foncteurs de cohomologie`-adiqueH<sup>i</sup>(X<sub>F</sub>,Q`)des vari´et´es de type fini XF surF se factorisent `a travers cette cat´egorie.

6 Corps globaux et ad` eles

SiFest le corps des fonctions d’une coube sur un corps fini de caract´eristique p, et `, `⁰ sont deux nombres premiers diff´erents de p, la correspondance entre repr´esentations`-adiques et`⁰-adiques g´eom´etriques semi-simples de rangrest

´etablie via une param´etrisation commune par les repr´esentations automorphes du groupe lin´eaire GL_r `a coefficients dans l’anneauAF des ad`eles deF.

Si F est un corps de nombre, on ne connaˆıt de cette correspondance que des bribes, mais qui passent aussi par une param´etrisation commune par des repr´esentations automorphes.

Afin de pr´esenter cette param´etrisation, nous devons revoir rapidement – la th´eorie des anneaux d’ad`elesAF d’un corps globalF,

– la th´eorie des groupes r´eductifs sur un corps,

– la th´eorie des repr´esentations automorphes d’un groupe r´eductif G sur l’anneauA^F des ad`eles d’un corps globalF.

Revoyons d’abord la th´eorie des ad`eles d’un corps globalF. Proposition–

Il est possible d’associer `a tout corps globalF un ensemble infini d´enombrable

|F| de normes, c’est-`a-dire d’applications

| • |_x:F →R+, x∈ |F|, v´erifiant







|γ·γ⁰|x=|γ|x· |γ⁰|x, ∀γ, γ⁰∈F ,

|γ+γ⁰|x≤ |γ|x+|γ⁰|x, ∀γ, γ⁰∈F ,

|1|x= 1, |0|x= 0, et tel que

• pour presque toute x ∈ |F| (c’est-`a-dire toute x ∈ |F| sauf un ensemble fini), la norme| • |x est “ultra-m´etrique” au sens que

|γ+γ⁰|x≤max{|γ|x,|γ⁰|x}, ∀γ, γ⁰∈F ,

• pour tout ´el´ement γ6= 0 deF, on a

|γ|x= 1 pour presque toutex∈ |F| et

Y

x∈|F|

|γ|_x= 1 (“formule du produit”).

Remarque :

Les ´el´ementsxde|F|sont traditionnellement appel´es les “places” deF. Pour toutex∈ |F|, on noteFxle corps compl´et´e deF pour la norme| • |x. Si xest ultra-m´etrique, le quotient du sous-anneau

Ox={ax∈Fx| |ax|x≤1}

par son id´eal

mx={ax∈Fx| |ax|x<1}

est un corps fini

κx= Spec(Fq_x).

Si x n’est pas ultra-m´etrique, F est n´ecessairement un corps de nombres et le corps compl´et´eF_x est isomorphe `a R ou C. Une telle place est dite “ar- chim´edienne”.

D´efinition–

L’anneau des ad`elesAF d’un corps globalF est le sous-anneau topologique

AF ⊂ Y

x∈|F|

F_x

constitu´e des familles(ax∈Fx)_x∈|F| telles que

|ax|x≤1 en presque toute x∈ |F|.

Remarque :

Il r´esulte de la “formule du produit” queF se plonge dansAF comme sous- groupe discret.

On peut montrer que le quotientF\AF est compact.

7 Groupes r´ eductifs sur un corps et groupes duaux

Dans tout ce paragraphe, F d´esigne un corps arbitraire et F une clˆoture s´eparable deF.

D´efinition–

Un groupe r´eductif sur F est un groupe alg´ebrique, affine, lisse et connexe qui ne contient aucun sous-groupe distingu´e isomorphe au groupe additif A¹ =

Spec(F[X]) (ou, ce qui revient au mˆeme, ne contient aucun sous-groupe dis- tingu´e isomorphe `a un groupe unipotent).

Exemples :

• le groupe multiplicatifGm= Spec(F[X, X⁻¹]) et ses puissances, appel´ees

“tores”,

• les groupes lin´eaires GL_r, SL_r, PGL_r,

• les groupes classiques Sp_2r, SO2r+1, SO2r,. . .

Tout groupe r´eductifGsurFadmet des “paires de Borel” (T, B) constitu´ees d’un sous-tore maximalT deGet d’un sous-groupe de Borel (c’est-`a-dire sous- groupe parabolique minimal) B de Gcontenant T. Toutes les paires de Borel deGsont images les unes des autres par conjugaison. Il est possible d’associer

`

a toute paire de Borel (T, B) de Gune donn´ee combinatoire, appel´ee “donn´ee radicielle” (X_T,∆_B, X_T^∨,∆^∨_B) et compos´ee de

• le r´eseauXT des caract`eresT →GmdeT,

• le r´eseau dualX_T^∨ des cocaract`eresGm→T deT,

• un ensemble fini ∆B d’´el´ements deXT, appel´es les “racines simples”,

• un ensemble fini ∆^∨_B d’´el´ements de X_T^∨, appel´es les “coracines simples”, qui est muni d’une bijection ∆B→∆^∨_B,α7→α^∨.

On a : Th´eor`eme–

Pour tout groupe r´eductifGsur F, on a :

(i) Les donn´ees radicielles(X_T,∆_B, X_T^∨,∆^∨_B)associ´ees aux diff´erentes paires de Borel(T, B)deGsont canoniquement isomorphes entre elles. On peut donc les noter (XG,∆G, X_G^∨,∆^∨_G) et les appeler “la donn´ee radicielle de G”.

(ii) A isomorphisme pr`` es,Gest caract´eris´e par sa donn´ee radicielle(XG,∆G, X_G^∨,∆^∨_G).

(iii) G est mˆeme caract´eris´e `a unique isomorphisme pr`es par sa donn´ee ra- dicielle si on le munit d’une paire de Borel (T, B) et d’une structure suppl´ementaire appel´ee “´epinglage”.

Il est possible de caract´eriser celles des donn´ees radicielles (X,∆, X^∨,∆^∨) qui proviennent de groupes r´eductifsGsurF. On a encore :

Proposition–

Les axiomes qui caract´erisent les donn´ees radicielles (X,∆, X^∨,∆^∨)prove- nant de groupes r´eductifsGsur F v´erifient les deux propri´et´es suivantes :

(1) Ils ne d´ependent pas du corps s´eparablement clos F, ni mˆeme de sa ca- ract´eristique.

(2) Ils sont respect´es par la sym´etrie

(X,∆, X^∨,∆^∨)7→(X^∨,∆^∨, X,∆).

On appelle groupe r´eductif surF un groupe alg´ebrique, affine et lisse sur F qui devient r´eductif sur la clˆoture s´eparableF deF.

On v´erifie que sa donn´ee radicielle, encore not´ee (XG,∆G, X_G^∨,∆^∨_G), est mu- nie d’une action continue canonique du groupe de Galois ΓF = AutF(F) de F.

On peut poser : D´efinition–

SoitGun groupe r´eductif sur un corps arbitraire F.

On appelle dual de Langlands de G, et on note G, le groupe r´b eductif surC dont la donn´ee radicielle (X

Gb,∆

Gb, X^∨

Gb,∆^∨

Gb) est la duale (X_G^∨,∆^∨_G, XG,∆G) de celle(XG,∆G, X_G^∨,∆^∨_G)deG.

Consid´er´e comme muni d’une paire de Borel(T ,b B)b et d’un ´epinglage, il est unique `a unique isomorphisme pr`es.

Enfin, il est muni d’une action continue canonique deΓF qui rel`eve celle sur la donn´ee radicielle d´eduite de la structureF-rationnelle deG.

Remarque :

L’action continue canonique de ΓF surGbpermet de consid´erer aussi le pro- duit semi-direct

GboΓF.

8 Repr´ esentations automorphes

A partir de ce paragraphe, on consid`` ere `a nouveau un corps globalF et son anneau des ad`elesAF.

Etant donn´´ e un groupe r´eductif G sur F, on observe que G(F) se plonge comme sous-groupe discret dans le groupe topologique G(AF). Le quotient G(F)\G(AF) est muni de l’action deG(AF) par translation `a droite.

D´efinition–

Une repr´esentation irr´eductible de G(A^F) est dite automorphe s’il est pos- sible de la r´ealiser dans un espace de fonctions (v´erifiant certaines conditions locales et de croissance)

G(F)\G(AF)→C,

muni de la translation `a droite par les ´el´ements de G(AF).

Afin de pr´eciser la forme des repr´esentations automorphes, pr´ecisons d’abord celle du groupeG(AF). On commence par :

Lemme–

Disons que le groupe r´eductifGsur F est “non ramifi´e” en une place ultra- m´etrique x∈ |F| si

• Gadmet une paire de Borel d´efinie surFx,

• l’action du groupe de Galois localΓF_x sur la donn´ee radicielle deG(ou, ce qui est ´equivalent, surG) se factorise `b a travers son quotientπ1(Spec(Ox), Fx) = Γκx =hσxi.

Alors :

(i) G est non ramifi´e en toute place xde |F| en dehors d’un sous-ensemble fini S_G, dit lieu de ramification deG.

(ii) En toute telle place, le groupe r´eductifGsurFxse prolonge en un sch´ema en groupe lisse sur Spec(Ox)dont la fibre sur le corps r´esiduelκx est un groupe r´eductif de mˆeme donn´ee radicielle queG.

Le sous-groupeG(O_x)deG(F_x)ainsi d´efini est un sous-groupe ouvert com- pact maximal.

Le groupe topologiqueG(AF) est le sous-groupe de

Y

x∈|F|

G(F_x) constitu´e des familles (gx∈G(Fx))_x∈|F|telles que

g_x∈G(O_x) en presque toute place x∈ |F| −S_G. On a encore :

Lemme–

Les repr´esentations automorphes de G(AF) appartiennent `a la classe des repr´esentations “lisses admissibles” irr´eductiblesπdeG(AF). Cela signifie que πse d´ecompose en produit tensoriel

π= O

x∈|F|

πx

o`u

• chaque facteurπxest une repr´esentation “lisse admissible” irr´eductible de G(Fx),

• en presque toutex∈ |F| −S_G,π_xest non ramifi´ee au sens qu’elle poss`ede

des vecteurs non nuls invariants parG(Ox).

En toute place non ramifi´ee x ∈ |F| −SG, on peut munir G(Fx) de la mesure invariante qui attribue le volume 1 `a G(Ox), et noterH<sup>G</sup><sub>x,∅</sub> l’alg`ebre de convolution des fonctions `a support compact

G(Ox)\G(Fx)/G(Ox)→C,

appel´ee “alg`ebre de Hecke sph´erique”. Cette alg`ebre agit sur le sous-espaceπ_x,∅

des vecteurs invariants parG(Ox) de toute repr´esentation “lisse admissible”πx

deG(Fx).

D’autre part, et puisqu’en une telle place xnon ramifi´eeGb est muni d’une action de π1(Spec(Ox), Fx) = Γκ_x = hσxi, on peut introduire la fibre Gbx de GboΓκ_x au-dessus de l’´el´ement de Frobenius σx. C’est une vari´et´e alg´ebrique affine isomorphe `aGb et munie d’une action par conjugaison deGb qui diff`ere en g´en´eral de celle surG.b

On a le th´eor`eme fondamental suivant, dˆu pour l’essentiel `a Satake : Th´eor`eme–

Soitx∈ |F| −SG une place en laquelle le groupe r´eductifG sur F est non ramifi´e. Alors :

(i) L’alg`ebre de Hecke sph´eriqueH<sup>G</sup><sub>x,∅</sub> est commutative et canoniquement iso- morphe `a l’alg`ebre

C[Gbx]^Gb

des polynˆomes surGbx invariants par conjugaison parG.b

(ii) Pour toute repr´esentation “lisse admissible” irr´eductible non ramifi´eeπx

de G(Fx), le sous-espace π_x,∅ est irr´eductible comme repr´esentation de H^G_x,∅, donc de dimension1. C’est un caract`ere.

R´eciproquement, tout caract`ere de l’alg`ebre commutative H^G_x,∅ provient d’une unique repr´esentation “lisse admissible” irr´eductible et non ramifi´ee deG(Fx).

Remarques :

(i) SiG= GLr,H^G_x,∅ est isomorphe `a l’alg`ebre des polynˆomes sym´etriques C[X₁^±1, . . . , X_r^±1]^Sr.

Se donner un caract`ere de cette alg`ebre ´equivaut `a se donner r nombres complexesz1, . . . , zr∈C^×, modulo permutation. On les appelle les valeurs propres de Hecke.

(ii) Plus g´en´eralement, siGest d´eploy´e surFx, c’est-`a-dire si l’action de ΓF_x

surGb est triviale,H^G_x,∅ est isomorphe `a l’alg`ebre C[T]b^SG

des polynˆomes sur le tore maximalTbdeGbqui sont invariants par le groupe de WeylS

Gb=SG.

Se donner un caract`ere de cette alg`ebre ´equivaut `a se donner un ´el´ement deTb, modulo action deSG.

(iii) Dans le cas le plus g´en´eral,H^G_x,∅ est isomorphe `a C[Tb_x^d]^SxG

o`uTb_x^dd´esigne le plus grand quotient du tore maximalTbsur lequelσxagit trivialement, et

S^x_G={w∈S_G|σ_x(w) =w}

d´esigne le groupe de WeylFx-rationnel deG.

A toute repr´` esentation automorpheπ= N

x∈|F|

πxde GLr(AF) [resp.G(AF)], il est donc possible d’associer une famille de valeurs propres de Hecke

z_πx = (z_π¹

x, . . . , z^r_π

x)∈(C^×)^r/S_r [resp. zπx∈Tb_x^d/S^x_G ]

index´ee par les places x ∈ |F| [resp. x ∈ |F| −SG] en lesquelles π est non ramifi´ee.

La connaissance des valeurs propres de Heckez_πxd’une repr´esentation auto- morpheπde GLrouGen presque toutes les places non ramifi´ees ne d´etermine pas compl`etementπ, sauf dans le cas tr`es important des repr´esentations auto- morphes cuspidales de GLr.

Rappelons : D´efinition–

Une repr´esentation automorphe deG(A^F)est dite cuspidale s’il est possible de la r´ealiser dans un espace de fonctions (v´erifiant certaines conditions locales et de croissance)

h:G(F)\G(A)→C

telles que, pour tout sous-groupe parabolique non trivial P de G, de radical unipotentN_P, on a

Z

NP(F)\NP(AF)

du·h(u·g) = 0, ∀g∈G(AF).

On a le th´eor`eme suivant dˆu essentiellement `a Piatetski-Shapiro : Th´eor`eme–

Soient π et π⁰ deux repr´esentations automorphes de GLr(AF) telles que π soit cuspidale et que

zπ⁰_x =zπ_x

en presque toute placex∈ |F| o`uπet π⁰ sont non ramifi´ees.

Alorsπ⁰ est cuspidale et isomorphe `aπ.

9 La correspondance de Langlands

On consid`ere toujours un corps globalF.

Si F est de caract´eristique p 6= 0, F est le corps des fontions rationnelles d’une courbeSprojective, lisse et connexe surFp. L’ensemble des points ferm´es deS s’identifie `a celui |F|des places de F. Se donner un ouvert de Zariski S<sup>0</sup> deS´equivaut `a soustraire `a|F|un ensemble fini de places.

Si F est un corps de nombres, c’est le corps des fonctions sur le spectre S d’une extension finie et normale de Z. L’ensemble des points ferm´es de S s’identifie `a celui des places ultra-m´etriques deF. Se donner un ouvert de Zariski S<sup>0</sup> deS´equivaut `a soustraire un ensemble fini de telles places ultra-m´etriques.

Consid´erons aussi un nombre premier ` 6= car(F). Une repr´esentation `- adique de ΓF = AutF(F) est dite non ramifi´ee en une placexdeF, vue comme un point ferm´e deS, si elle se factorise `a travers le groupe fondamentalπ<sub>1</sub>(S<sup>0</sup>, F) d’un ouvertS<sup>0</sup> deS qui contientxet sur lequel `est inversible.

Langlands a conjectur´e : Conjecture–

Choisissons un plongement de QdansQ`.

Alors, pour toute repr´esentation`-adique g´eom´etrique [resp. g´eom´etrique ab- solue]V deΓ_F de rang r, il existe une repr´esentation automorphe π= N

x∈|F|

π_x deGL_r(AF)telle que, en toute place ultra-m´etriquexo`uV est non ramifi´ee,π est ´egalement non ramifi´ee et admet pour valeurs propres de Hecke

z_πx∈(C^×)^r/S_r

la famille non ordonn´ee des r valeurs propres de l’´el´ement de Frobenius σx

agissant surV.

De plus, la repr´esentation automorphe π est cuspidale si et seulement si la repr´esentation `-adiqueV est absolument irr´eductible.

Remarques :

(i) Cette conjecture ne distingue pas entre une repr´esentation`-adique g´eom´e- triqueV et sa semi-simplifi´eeV^ss.

(ii) Cette conjecture est d´emontr´ee dans le cas o`uF est un corps de fonctions de caract´eristiquep6= 0.

La correspondance de Langlands d´efinit alors une bijection de l’ensemble des repr´esentations`-adiques absolues irr´eductibles de rangr de ΓF, non ramifi´ees sur un ouvert de Zariski S<sup>0</sup> de S, et dont le d´eterminant est d’ordre fini, sur l’ensemble des repr´esentations automorphes cuspidales de GLr(AF) dont le caract`ere central est d’ordre fini.

(iii) SiF est un corps de nombres, seulement des cas particuliers de la conjec- ture sont connus (grˆace `a Wiles, Taylor,. . .) mais ils ont des cons´equences arithm´etiques tr`es importantes.

Dans ce cas, la correspondance de Langlands ne peut ˆetre surjective. En effet, pour qu’une repr´esentation automorphe π = N

x∈|F|

π_x de GL_r(AF) provienne d’une repr´esentation`-adique g´eom´etrique, ses composantesπ<sub>x</sub> en les places archim´ediennes xdoivent satisfaire des conditions tr`es res- trictives.

10 Le principe de fonctorialit´ e

On commence par la d´efinition suivante : D´efinition–

SoientGet H deux groupes r´eductifs sur un corps globalF.

On appelle homomorphisme de transfert de GdansH tout homomorphisme alg´ebrique

GboΓ_F −→^ρ Hb oΓ_F qui rend commutatif le triangle :

GboΓF //

##

Hb oΓF

{{

ΓF

Remarque :

Si H= GL_r, la donn´ee deρest ´equivalente `a celle de sa projection GboΓF −→GLcr= GLr(C)

que l’on peut appeler une repr´esentation de transfert.

Un homomorphisme de transfert

GboΓ_F −→^ρ Hb oΓ_F

est dit non ramifi´e en une place ultra-m´etriquex∈ |F| si

• GetH sont non ramifi´es en x,

• la restriction deρ`aGboΓ<sub>Fx</sub> se factorise `a travers son quotientGboΓ_κx, si bien que l’on a un triangle commutatif induit :

GboΓκ_x //

##

HboΓκ_x

{{

Γκ_x

Un tel triangle commutatif se restreint en un morphisme Gbx→Hbx

compatible avec l’homomorphismeGb →Hb et avec les actions par conjugaison deGbet H. D’o`b u un homomorphisme induit d’alg`ebres commutatives

ρ^∗_x:C[Hb_x]^Hb→C[Gb_x]^Gb.

Par combinaison avec les isomorphismes de Satake, on obtient : Lemme–

Soit un homomorphisme de transfert

ρ:GboΓ_F →HboΓ_F entre deux groupes r´eductifs sur le corps globalF.

Alors

(i) ρest non ramifi´e en toutes les places x∈ |F| sauf un ensemble finiSρ ⊃ S_G∪S_H.

(ii) En toute place non ramifi´ee x ∈ |F| −Sρ, ρ induit un homomorphisme entre alg`ebres de Hecke sph´eriques

ρ^∗_x:H^H_x,∅→ H^G_x,∅,

et donc une application (ρ_x)_∗ de l’ensemble des caract`eres de H^G_x,∅ vers

celui des caract`eres de H^H_x,∅.

Cela suffit `a formuler le principe de fonctorialit´e de Langlands : Conjecture–

Soit un homomorphisme de transfert

ρ:GboΓF →HboΓF

entre deux groupes r´eductifsGetH sur un corps globalF.

Supposons que H est quasi-d´eploy´e (c’est-`a-dire poss`ede une paire de Borel d´efinie sur F).

Alors, pour toute repr´esentation automorphe

π= O

x∈|F|

πx de G(A), il existe une repr´esentation automorphe

π⁰ = O

x∈|F|

π_x⁰ de H(A),

telle queπ_x⁰ soit non ramifi´ee en toute placex∈ |F| −S_ρo`uπ_xest non ramifi´ee, avec

z_π⁰

x= (ρ_x)_∗(z_πx). Remarque :

Le cas le plus important est celui o`uH est un groupe lin´eaire GLr. Cette conjecture am`ene `a g´en´eraliser celle du paragraphe pr´ec´edent de la mani`ere suivante :

Conjecture–

Soit F un corps global ´ecrit comme dans le paragraphe pr´ec´edent sous la formeF=F(S).

Soit ` un nombre premier inversible dans F et pour lequel on choisit un isomorphismeQ`∼=C.

SoitV : Γ_F →GL_r(Q`),→GL<sub>r</sub>(Q`)∼= GLr(C)une repr´esentation `-adique g´eom´etrique absolue qui se factorise `a travers le groupe fondamental π₁(S⁰, F) d’un ouvertS⁰ deS o`u` est inversible.

Soit G un groupe r´eductif quasi-d´eploy´e sur F, non ramifi´e en les points ferm´es deS⁰ et tel que la repr´esentation

V :π₁(S⁰, F)→GL_r(C)

se factorise `a travers un homomorphisme alg´ebrique Gboπ₁(S⁰, F)→GL_r(C).

Alors il existe une repr´esentation automorphe

π= O

x∈|F|

πx de G(AF),

qui est non ramifi´ee en les placesxcorrespondant aux points deS⁰ et v´erifie en ces places

P(zπ_x) =P(V(σx)), ∀P∈ H^G_x,∅∼=C[Gbx]^Gb. Remarque :

Cette conjecture est ´evidemment compatible avec la pr´ec´edente.

11 Conclusions : des probl` emes de topos classi- fiants, d’´ equivalences de Morita et de mor- phismes g´ eom´ etriques ?

R´esumons les diff´erents probl`emes pos´es :

1) ´Etant donn´e un sch´ema int`egre de type fini S sur Z, son corps des fonc- tions rationnellesF =F(S) et un nombre premier `6= car(F), on a consid´er´e la cat´egorie Q`-lin´eaire des repr´esentations `-adiques (de rang fini) de ΓF = AutF(F) qui se factorisent `a travers le groupe fondamentalπ1(S⁰, F) d’un ou- vertS⁰ deS.

On appelle “cat´egorie des repr´esentations `-adiques g´eom´etriques” la sous- cat´egorie Q-lin´eaire engendr´ee par les images des foncteurs de cohomologie `- adiqueXF 7→Hⁱ(X_F,Q`) des vari´et´es quasi-projectives XF surF.

On aimerait pouvoir caract´eriser intrins`equement cette sous-cat´egorie.

On ne sait conjecturer quelque chose que pour les classes d’isomorphismes d’objets irr´eductibles (ou semi-simples) de la cat´egorie.

Si car(F) = p 6= 0, on conjecture qu’une repr´esentation `-adique absolue irr´eductibleV de rangrdeπ1(S⁰, F) est g´eom´etrique si et seulement si det(V) = Λ^rV est g´eom´etrique, et que cela est n´ecessairement vrai si det(V) est d’ordre fini.

Cette conjecture est un th´eor`eme siF est le corps des fonctions d’une courbe sur un corps fini.

Si car(F) = 0, on conjecture que la condition pour une repr´esentation `- adique absolue irr´eductibleV deπ1(S<sup>0</sup>, F) d’ˆetre g´eom´etrique ne d´epend que de la restriction deV au sch´emaS<sup>0</sup>×Spec(Z)Spec(Q`).

LorsqueF =QouF est un corps de nombres, Fontaine et Mazur ont donn´e une forme pr´ecise `a cette conjecture.

2) Dans la situation de 1) et pour deux nombres premiers `, `⁰ 6= car(F), on conjecture que les sous-cat´egories des repr´esentations `-adiques et `⁰-adiques g´eom´etriques sont naturellement ´equivalentes.

On aimerait pouvoir proposer une caract´erisation conjecturale de cette ´equi- valence.

Ici encore, on ne sait formuler une telle conjecture que pour les classes d’iso- morphismes d’objets irr´eductibles ou semi-simples des cat´egories en pr´esence.

Cela consiste `a demander que certains invariants num´eriques qui caract´erisent les classes d’isomorphismes de repr´esentations `-adiques ou `<sup>0</sup>-adiques semi- simples soient pr´eserv´es : s’il s’agit de repr´esentations semi-simples V qui se factorisent `a travers π1(S⁰, F), les invariants num´eriques en question sont les traces des ´el´ements de Frobeniusσsen les points ferm´es deS⁰ ou les familles de valeurs propres (bien d´efinies modulo permutation) de ces ´el´ements de Frobenius σs agissant surV.

La correspondance ainsi caract´eris´ee entre repr´esentations `-adiques et `⁰- adiques g´eom´etriques semi-simples n’est connue que siF est un corps de fonc- tions. Elle est d´emontr´ee via une param´etrisation commune par les repr´esenta- tions automorphes.

3) SiFest un corps de fonctions ou plus g´en´eralement un corps global, on dispose en effet de la th´eorie des repr´esentations automorphes des groupes r´eductifsG surF `a coefficients dans l’anneau topologique des ad`eles AF deF.

On conjecture que pour tout rang r ≥1, il est possible d’associer `a toute repr´esentation`-adique semi-simple [resp. absolument irr´eductible] g´eom´etrique V de rang r de ΓF une repr´esentation automorphe [resp. et cuspidale] π de GLr(AF).

Ici encore, cette correspondance est d´efinie en demandant que soient pr´eserv´es des invariants num´eriques : si V se factorise `a travers π<sub>1</sub>(S<sup>0</sup>, F), on demande que π soit non ramifi´ee en toutes les places ultra-m´etriques x ∈ |F| qui cor- respondent `a des points ferm´es de S⁰ et que, en toute telle place, la famille z_πx ∈(C^×)^r/S_r desrvaleurs propres de Hecke deπ_x co¨ıncide avec celle desr valeurs propres de l’´el´ement de Frobeniusσx agissant surV.

Cette conjecture est d´emontr´ee dans le cas o`uF est un corps de fonctions.

4) On conjecture enfin que tout homomorphisme de transfert GboΓF

ρ //

##

Hb oΓF

{{Γ_F

d’un groupe r´eductif G sur un corps global F vers un groupe r´eductif quasi- d´eploy´e H sur F permet d’associer `a toute repr´esentation automorphe π de G(AF) au moins une repr´esentation automorpheπ⁰ deH(AF).

L`a encore, ce transfert des repr´esentations automorphes est d´efini par des invariants num´eriques : on demande que l’imageπ<sup>0</sup> soit non ramifi´ee en toute place ultra-m´etrique x ∈ |F| en laquelle ρ et π sont non ramifi´es et que, en toute telle placex, le param`etrezπ⁰_x du facteur localπ⁰_x deπ⁰ soit l’image par l’application (ρx)∗ induite parρdu param`etrezπx du facteur localπxdeπ.

En d´efinitive, on conjecture des relations tr`es profondes entre des th´eories a priori compl`etement diff´erentes :

• la th´eorie des repr´esentations `-adiques et celle des repr´esentations `⁰- adiques d’un groupe profini Γ qui est un groupe de Galois Γ_F ou un groupe fondamentalπ₁(S⁰, F) ;

• la th´eorie des repr´esentations`-adiques de dimensionrdu groupe de Galois Γ_F d’un corps globalF et la th´eorie des repr´esentations automorphes de GL_r(AF) ;

• la th´eorie des repr´esentations automorphes d’un groupe r´eductif G sur un corps global F et celle des repr´esentations automorphes d’un groupe r´eductif quasi-d´eploy´eH surF reli´e `aGpar un homomorphisme de trans- fert

ρ:GboΓF →Hb oΓF.

Dans les trois situations, on ne parvient `a formuler des conjectures – et par- fois `a en d´emontrer une partie – que sur les ensembles de classes d’isomorphismes d’objets irr´eductibles. Ces conjectures consistent `a pr´evoir l’existence de bijec- tions, d’applications ou de correspondances entre ensembles qui sont d´efinies en demandant que certains invariants num´eriques soient pr´eserv´es ou transform´es suivant une certaine r`egle.

Il serait naturel de s’attendre `a ce que les diff´erentes th´eories impliqu´ees soient reli´ees entre elles d’une mani`ere beaucoup plus structurelle.

Or le formalisme des topos classifiants de th´eories (ou plus g´en´eralement des topos associ´es `a des sites d´efinis par des th´eories) et des ´equivalences de Morita entre de tels topos classifiants (ou plus g´en´eralement des morphismes g´eom´etriques entre topos) constitue un cadre naturel pour les relations entre th´eories math´ematiques.

Il n’est pas interdit d’esp´erer que ce cadre permettrait de d´epasser le niveau des ensembles de classes d’isomorphismes d’objets irr´eductibles et des invariants num´eriques attach´es `a ces classes.

On pourrait donc essayer de mettre en œuvre le programme suivant : Programme–

(1) D´efinir et ´etudier un topos classifiant des repr´esentations`-adiques d’un groupe profini Γde la forme ΓF ouπ1(S⁰, F).