1
Identification de système en mécanique
3
Pourquoi tester dynamiquement une
structure?
•
Performance en fatigue (accéléré)
•
Identification de système (paramètres modaux)
•
Vérification de la conception (placement en fréquences)
•
Détéction d’endommagement (// CND)
•
Détection de Flutter
Vibration des structures
•
Analyse Modale Expérimentale
(AME)
•
Utilisation de la Transformée de
Fourier pour estimer 3 paramètres:
Fi, Ai, Di
•
Intérêt de la déformée Di qui est un
paramètre local
1.000
0.802
0.445
1.000
−
0.555
−
1.247
5
Définition
1.
Le système est linéaire
dans la gamme des
amplitudes étudiées
2.
L’amortissement est
supposé proportionnel
3.
Le principe de
superposition modale
4.
Réciprocité
Système
H(jw)
Identification de système
E(t)
S(t)
Force
Accélération=
X’’(t)
Avec X(t)
Déplacement
H(w)=S(w)/E(w)
7
La base en mécanique est l’Amortisseur à 1DDL
Ressort
k
Amortisseur
Masse m
ext
F
r
≡
x(t)
0
x(t)
SLI
Equation différentielle:
)
(
)
(
)
(
)
(
2 2t
F
t
kx
dt
t
dx
c
dt
t
x
d
m
+
+
=
( )
t
f
dt
dy
c
F
frott=
−
⋅
→
r
.En posant
position
d'équilibre
²
2
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
2 2 n np
p
M
M
K
p
M
C
p
M
p
F
p
X
p
H
ω
ξω
+
+
=
+
+
=
=
ω
j
p
=
²
2
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
2 2 n nj
M
M
K
j
M
C
M
j
F
j
X
j
H
ω
ω
ξω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
+
−
=
+
+
−
=
=
Resonance ?
•
L’amplitude de la FRF atteind un maximum (déphasage de 180
°
).
•
La partie réelle de la FRF passe par 0.
•
La partie imaginaire de la FRF atteind un minima (or maxima) local.
La transformée de Fourier permet d ’avoir
une vision « système » des équations différentielles,
9
11
Lecture de M, K?
100 101 102 -100 -50 0 50 100 150 200 frequency (Hz) M a g n it u d e ( d B ) Hx(ω)= X(ω)/F(ω) Hv(ω)= jωX(ω)/F(ω) Ha(ω)= -ω²X(ω)/F(ω) 1/k 1/mLet’s
H(0)=1/k
Let’s
ω
→
∞
0
→
ω
m
/
1
)
(
H
²
)
(
Ha
ω
=
−
ω
ω
→
19
Data Transformation
•
Functions that modify data are also termed operations
or transformations.
•
Since most signal processing operations are
implemented using digital electronics, functions are
represented in discrete form as a sequence of
numbers:
•
x(n) = [x(1),x(2),x(3), . . . ,x(N)]
•
A transform can be thought of as a re-mapping of the
original data into a function that provides more
Fourier Transform
•
The Fourier Transform is a classic example as it converts the original time
data into frequency information which often provides greater insight into
the nature and/or origin of the signal.
•
Many of the transforms are achieved by comparing the signal of interest
with some sort of probing function. This comparison takes the form of a
correlation (produced by multiplication) that is averaged (or integrated)
over the duration of the waveform, or some portion of the waveform:
•
where x(t) is the waveform being analyzed, fm(t) is the probing function
and m is some variable of the probing function, often specifying a
particular member in a family of similar functions. For example, in the
Fourier Transform fm(t) is a family of harmonically related sinusoids and
m specifies the frequency of an individual sinusoid in that family (e.g.,
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0
2
4
6
8
10
sampling time, t
k[ms]
V
o
lt
ag
e
[V
]
t
s-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0
2
4
6
8
10
sampling time, t
k[ms]
V
o
lt
a
g
e
[
V
]
t
sSignaux A/N
Fonction
Fonction
continue V d’une
continue
variable continue t (temps,
... etc) : V(t).
Analogique
Fonction
Fonction
discrete V
discrete
k
D’une
variable discrete t
k
, avec k =
entier: V
k =
V(t
k
).
Numérique
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0
2
4
6
8
10
time [ms]
V
o
lt
a
g
e
[
V
]
Fréquence d’échantillonage
f
S= 1/ t
SDurée d’enregistrement
t=N/ f
S23
Echantillonnage
Soit un "La" dont la Fréquence est 440Hz. Ce signal s'écrit : x(t)=sin (2Pi*440t)
Sous matlab, on est en numérique, donc le temps est discret = échantillonnage à
Fe. Echantillonnage d'un "La" à une fréquence Fe donnée :
(essayer avec Fe = 10000, 5000, 2000, 1000, 881, 600, etc)
Fe= ????;
t= 0:1/Fe:2;
x=sin(2*pi*440*t);
sound(x,Fe);
Repliement :aliasing
__
s(t) = sin(2
π
f
0
t)
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2t
s(t) @ f
S
f
0
= 1 Hz, f
S
= 3 Hz
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2t
__
s
1
(t) = sin(8
π
f
0
t)
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2t
__
s
2
(t) = sin(14
π
f
0
t)
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2t
s
k
(t) = sin( 2
π
(f
0
+ k f
S
) t ) ,
k
∈
25
Le théorème !!
la fréquence d'échantillonnage Fs d'un signal doit être
égale ou supérieure à 2 fois la fréquence maximale
contenue dans ce signal
f
S
> 2 f
MAX
.
Condition sur f
S?
f
S> 300 Hz
t)
cos(100
π
t)
π
sin(300
10
t)
π
cos(50
3
s(t)
=
⋅
+
⋅
−
F
1=25 Hz, F
2= 150 Hz, F
3= 50 Hz
F
1
F
2
F
3
f
MAX
Exemple
Théorème
*
Calcul de spectre
•
•
Attention
Attention
: FFT: N=2^x, sinon TFD classique
•
Y = fft(X,n) n-point DFT.
Si la longueur de X est<n, X est complété par des
zéros jusqu ‘à n.
Si la longueur de X est>n, X est tronqué
tfsignal = fft(signal);
tfsignal_dB = 20*log10(abs(tfsignal))*Te;
axe_f = (0:N-1)*Fe/N;
•
•
Utilisation de la
Utilisation de la
commande
commande
fft
fft
Exemple
27
Calcul de spectre
•
•
Utilisation de la
Utilisation de la
commande
commande
fft
fft
Exemple
tic;for fi=1:length(f)
Yc(1,fi)=y*cos(-2*pi*f(1,fi)*t'/(Npts));
Ys(1,fi)=y*sin(-2*pi*f(1,fi)*t'/(Npts));
end YFI=Yc+i*Ys; toc;
tic;Uc=fft(y);toc;
Sur cet exemple: cosinus a 100 pts
La fft est ~15 fois plus rapide …
Fourier Transform
•
A family of probing functions is also termed a basis.
For discrete functions, a probing function consists of a
sequence of values, or vector, and the integral
becomes summation over a finite range:
where x(n) is the discrete waveform and fm(n) is a
discrete version of the family of probing functions. This
equation assumes the probe and waveform functions
are the same length.
29
Les fenêtres d’apodisation
•
•
Conserver N
Conserver N
é
é
chantillons
chantillons
revient
revient
à
à
multiplier le signal par
multiplier le signal par
une
une
fenêtre
fenêtre
rectangulaire
rectangulaire
x=ones(1,16);
plot((0:127)/128,abs(fft(x,128)))
•
•
Certains
Certains
pics
pics
peuvent
peuvent
donc
donc
dispara
dispara
î
î
tre
tre
ou
ou
être
Exemple fenêtrage
x=sin(2*pi*130*(0:63)/1000)+0.01*sin(2*pi*300*(0:63)/1000);
plot((0:63)/1000,x)
31
Solution
x=x'.*blackman(64);
Exemple 2
t = [0:1/fe:tmax-1/fe];
N=tmax*fe-1
33
Ex2 Limitation 1
Echantillonnage trop grand df=1/tmax=10 ne permet
pas de retrouver la valeur exacte du pic 3 = 125 Hz
Ex2 Limitation 2
Si on diminue la durée de l’enregistrement: de 0.1 à
0.05s (N=100>>N=50), on divise la résolution
35
Ex2 solution 1
Une solution: on rajoute des zéros
Pour N=50 échantillons (t=0.05s)
Conclusion
Lors d’un calcul de spectre il faut:
•
Echantillonner de façon suffisamment fine pour éviter le repliement du
spectre
•
Avoir une durée d’enregistrement suffisamment longue pour avoir une
bonne résolution spectrale
37
Linéarité
système linéaire
SL
SL
( )
=
∑
⋅
( )
i
i
i
x
t
a
t
x
y( )
t a yi( )
t i i⋅ =∑
Invariance
système invariant
SI
SI
( )
t
x
(
t
T
)
x
=
0
−
y( )
t = y0( )
t-T☛ SLI
⇔
⇔
⇔
⇔
y(t) et x(t) sont reliés par une équation différentielle linéaire à coefficients
constants
47
Représentation en pôle d’une fonction de
transfert
n
n
n
σ
j
ω
2 approches d’identification: temporelle ou
fréquentielle
49
2 approches d’identification: temporelle ou
fréquentielle
K
Cp
Mp
p
F
p
X
p
H
+
+
=
=
21
)
(
)
(
)
(
2 approches : locale
(SDOF)
ou globale
(MDOF)
Une approche SDOF estime
Pour chaque resonance séparement
Puis on moyenne sur toutes les FRFs
Critère semi globale pour une FRF
mais tous les modes sur une certaine bande passante
k
k
et
f
ξ
Une approche MDOF estime Globalement (en
terme de moindre carrés)
k
k
et
51
(
)
(
*)
)(
(
1
)
(
1
12 1 11 1 1λ
λ
λ
λ
−
=
−
+
−
−
=
p
c
p
c
p
p
M
p
H
Decomposition: chaque resonance est isolé
et on reconstruit un résonateur à 1DDL puis
on somme
[
]
∑
=
−
+
−
=
N
k
j
k
k
k
A
k
k
j
k
A
H
1
(
(
)
(
)*)
*
)
(
))
(
)
(
(
)
(
)
(
λ
ω
λ
ω
ω
*)
(
)
(
*)
)(
(
1
)
(
2
2 22 2 21 2 2λ
λ
λ
λ
−
=
−
+
−
−
=
p
c
p
c
p
p
M
p
H
53
Justification des résidus
*)
(
)
(
*)
)(
(
1
)
(
1
1 12 1 11 1 1λ
λ
λ
λ
−
=
−
+
−
−
=
p
c
p
c
p
p
M
p
H
1 1*)
(
)
(
*)
(
1
1
1
2
1
1
λ
λ
λ
λ
λ
=
=
−
−
+
=
−
s
s
s
s
c
c
s
M
)
(
*
1
s
−
λ
1H
1 1 1*)
(
1
c
M
=
−
λ
λ
1 1 1 1 1 1 12
1
)
(
)
(
1
A
j
M
j
j
M
c
=
=
−
−
+
=
ω
ω
σ
ω
σ
*
2
1
1 1 2A
j
M
c
=
−
=
ω
In general, for a multiple degree of freedom system, the residue A1 can be a complex quantity.
But, as shown for a single degree of freedom system A1 is purely imaginary (represent modeshapes).
Therefore:
*)
(
*
)
(
)
(
1
1
1
1
λ
λ
+
−
−
=
s
A
s
A
s
H
Hypothèse AME
•
Incertitudes Bruits entrée/Sortie
•
Effet moyenne pour des excitations Random
•
Fenêtrage
55
Signaux aléatoires
•
Exemple 1 sous matlab
•
Compréhension d’un système sous excitation aléatoire
Signal aléatoire = signal dont on ne sait pas à priori la valeur qu ’il va
prendre
On peut observer une REALISATION d ’un signal aléatoire, on ne
pouvait pas deviner quelle réalisation on allait observer
SLI: filtre passe-bas
f
f
( )
f
x
φ
( )
2φ
y
( )
f
f HOn génére deux second ordre
( donc un 4
ème-ordre = 2 résonances)
» G1=tf(10^2,[1 1 10^2])
Transfer function
100
---s^2 + s + 100
» G2=tf(200,[1 1 20^2])
Transfer function:
200
---s^2 + s + 400
» G=series(G1,G2)
Transfer function:
20000
---s^4 + 2 s^3 + 501 s^2 + 500 s + 40000
G(s) est un Filtre !!!!
63
On calcule la FRF
w=0:0.1:40; % rad/s
for k=1:length(w);
F(k) = evalfr(G,w(k)*j);
end
figure(1)
plot(w,abs(F))
xlabel('frequency (rad/s)')
ylabel('mag TF')
0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 1 2 3 4 5 6 7 frequency (rad/s) m a g T F1st peak, 10 rad/s
2nd peak, 20 rad/s
On synthètise une excitation aléatoire
Et on simule la réponse
0 5 10 15 20 25 -4 -2 0 2 4 in p u t 0 5 10 15 20 25 -2 -1 0 1 2 time (sec) o u tp u tInput is like white noise- in theory, white noise contains ALL
frequencies in equal amounts. It is like hitting the system with
sine waves of all frequencies at the same time
N=2048;dt = 0.01;T=N*dt;
t=0:dt:(N-1)*0.01;
u=randn(N,1);
[y,to]=lsim(G,u,t);
figure(2)
subplot(2,1,1)
plot(t,u)
ylabel('input')
subplot(2,1,2)
plot(t,y)
xlabel('time (sec)')
ylabel('output')
65
On examine le contenu fréquentiel de l’entrée et de la sortie
wvec=(0:(N-1))*2*pi/T;
I=find(wvec<40);
Y=fft(y);
U=fft(u);
Y=Y(I); U=U(I);
figure(3)
subplot(2,1,1)
plot(wvec(I),abs(U));
ylabel('fft(input)')
subplot(2,1,2)
plot(wvec(I),abs(Y))
xlabel('frequency (rad/s)')
ylabel('fft(output)')
0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 20 40 60 80 100 ff t( in p u t) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 100 200 300 frequency (rad/s) ff t( o u tp u t)Input frequencies in these ranges
are amplified by the TF
Frequencies in this
range are filtered
out
On fait le Ratio des 2 FFT
figure(4)
plot(wvec(I),abs(Y./U))
xlabel('frequency (rad/s)')
ylabel('fft(output)/fft(input)')
0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 1 2 3 4 5 6 frequency (rad/s) ff t( o u tp u t) /f ft (i n p u t)67
figure(5)
plot(wvec(I),abs(Y./U),w,abs(F))
xlabel('frequency (rad/s)')
ylabel('fft(output)/fft(input)')
legend('fft ratio','exact')
0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 1 2 3 4 5 6 7 frequency (rad/s) ff t( o u tp u t) /f ft (i n p u t) fft ratio exactVery weird here
The reason has to do with
the nature of random processes.
This glitch would go away if
the experiment is repeated
many times and the results averaged.
Après 3 moyennages
(sommes de 3 excitations aléatoires)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 1 2 3 4 5 6 7 8 frequency (rad/s) ff t( o u tp u t) /f ft (i n p u t) fft ratio exact
69
Average of 20 Runs
0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 1 2 3 4 5 6 7 frequency (rad/s) ff t( o u tp u t) /f ft (i n p u t) fft ratio exact•
Exemple 2 sous Matlab:
71
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
j
F
j
X
j
H
=
FF XFG
G
j
F
j
F
j
F
j
X
j
H
j
F
j
F
j
H
j
F
j
X
j
F
j
H
j
X
=
×
×
=
×
×
=
×
×
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
* * 1 * *ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
Gardons à l’esprit:
On a définit la cohérence
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 1 2 * * 2 * *ω
ω
γ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
j
H
j
H
G
G
j
X
j
F
j
X
j
X
j
H
j
X
j
F
j
H
j
X
j
X
FX XX=
=
×
×
=
×
×
=
×
De même:
75
• clear all; close all;
• load simu1 • raddeg=180/pi; • fs=32; • • figure • subplot(211)
• plot(t,pos);ylabel('Force');xlabel('time (s)');
• subplot(212)
• plot(t,yfinal);;ylabel('Displacement');xlabel('time (s)');
• • nfft=1024; • noverlap=round(0.95*nfft); • %window=kaiser(nfft,2.5); • %window=boxcar(nfft); • window=hanning(nfft); • cadence=32; • fmin=0.5; • fmax=6.0; • • [rf1,f]=tfe(pos,yfinal,nfft,cadence,window,noverlap,'linear'); • [coh1,f]=cohere(pos,yfinal,nfft,cadence,window,noverlap,'linear'); •
• ind=find(f>fmin & f<fmax);
• • figure • subplot(211) • plot(f(ind),abs(rf1(ind)));hold on; • subplot(212) • plot(f(ind),raddeg*angle(rf1(ind))); hold on; •
• % Matlab file to determine the Frequency response function given input and • % output data. The m-file assumes the input is f and the output is x.
• %load chirp_data % load the swept sin data (this is x1, force and time) • dt = t(2)-t(1);
• x=yfinal; f=pos';N=length(x);
• % apply a window if desired
• w=ones(N,1); % this is a place holder in case we want to apply a window in the future
• xw=x.*w;
• fw=f.*w;
• % calculate the linear spectrum • FX=fft(xw);
• FF=fft(fw);
• % calculate the auto spectrum • SXF=FF.*conj(FX);
• SXX=FX.*conj(FX);
• SFF=FF.*conj(FF);
• SFX=FX.*conj(FF);
• % calculate the FRFs
• TXF=SXX./SXF; %an alternative way of finding the FRF • TXF2=SFX./SFF; %this is the one usually used
• lTXF2=length(TXF)/2; %the length of the FRF (it will be symmetric about 0) • freq=[0 ((1:lTXF2-1)/lTXF2/2/dt)]'; %set up a frequency vector
• TXF_p=TXF(1:lTXF2); %extract the FRF for positive frequencies • mag=abs(TXF_p); %calculate the magnitude
• ang=angle(TXF_p)*180/pi; %calculate the phase • %figure
• subplot(2,1,1);plot(freq,mag,'r--')
• title('Txf - Transfer function magnitude');xlabel('Frequency (Hz)')
• subplot(2,1,2);plot(freq,ang,'r--');title('Txf - Phase'), ...
77
0 20 40 60 80 100 120 140 160 -1 -0.5 0 0.5 1 F o rc e time (s) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 -2 -1 0 1 2 D is p la c e m e n t time (s) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8Txf - Transfer function magnitude
Frequency (Hz) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 Txf - Phase Frequency (Hz)
•
Exemple 3 sous Matlab :
Identification des paramètres experimentaux
par minimisation de l’erreur entre exp et analytique
k
k
et
79
• % load experimental data • clear all; close all;
• load H.mat; %chargement de la matrice data contenant f et H(jw) en colonnes • freq=data(1:1000,1);mag=abs(data(1:1000,2));
• %load freq_resp_data % this loads the data file with variables freq (in • % Hz) and mag % some initial values
• K = 10; % gain
• zeta = 0.1; % damping ratio guess • fn=2; % natural frequency guess in Hz
• %let's plot what this guess looks like (this is always a good idea) • % let's generate a frequency vector that has more components than the • % experimental ones
• f_toplot = freq;%[0:0.1:7.0]; • r = f_toplot/fn;
• mag_init = K./sqrt((1-r.^2).^2+(2*zeta*r).^2);
• plot(freq,mag,'o-',f_toplot,mag_init)
• legend('experiment','theory - initial guess')
• % not let's use fminsearch to minimize the difference between the • % experiment and the theoretical equation
• x0 = [zeta fn K];
• % the next lines set up the inputs for fminsearch • %options=optimset(@fminsearch);
• options=optimset(options,'Display','iter');
• % run fminsearch to minimize a cost function J. The function is defined • % by the m-file "lab2.m" and the outputs are given in the variable coeff. • coeff=fminsearch(@lab3,x0,options)
• zeta = coeff(1);
• fn = coeff(2);
• K = coeff(3);
• % now let's plot our final curve • r = f_toplot/fn;
• Figure; mag_best = K./sqrt((1-r.^2).^2+(2*zeta*r).^2);
Fonction à optimiser (miminum)
•
function
J = lab3(x)
•
% load the data mag and freq (in Hz)
•
load
H.mat
;
%chargement de la matrice data contenant
f et H(jw) en colonnes
•
freq=data(1:1000,1);
•
mag=abs(data(1:1000,2));
•
zeta = x(1);
•
fn = x(2);
•
K = x(3);
•
r = freq/fn;
•
mag_theory = K./sqrt((1-r.^2).^2+(2*zeta*r).^2);
•
% mag_theory_db = 20*log10(mag_theory); % If using dB
•
% mag_db = 20*log10(mag); % if using dB
•
% J = norm(mag_db-mag_theory_db); % if comparing mag
in dB
81
0 5 10 15 20 25 30 35 0 10 20 30 40 50 60 experimenttheory - initial guess
0 5 10 15 20 25 30 35 0 5 10 15 20 25 experiment theory - best fit
193 353 10.8381 contract inside
Optimization terminated:
the current x satisfies the termination criteria using OPTIONS.TolX of 1.000000e-004
and F(X) satisfies the convergence criteria using OPTIONS.TolFun of 1.000000e-004
coeff =
•
Exemple 4:
83
L'identification des fonctions de transferts afin d'extraire les paramètres modaux se fera à l’aide du
logiciel MATLAB qui dispose d'un certain nombre de fonction de haut niveau dont l’une permettra
d'identifier une fonction de transfert sous forme d'une fraction rationnelle complexe (invfreqs)
puis de la décomposer en élément simples (residue).
La fonction de transfert estimée sera comparée à la fonction de transfert initiale. Si le processus
d'identification ne converge pas de façon satisfaisante l'identification pourra se faire par bandes de
fréquence.
De ces résultats vous déduirez les fréquences propres de la structure, les taux d'amortissement
modaux et les déformées modales aux points de mesures.
• clear all; close all;
• load H.mat; %chargement de la matrice data contenant f et H(jw) en colonnes • f=data(:,1);
• H=data(:,2);
• % % RATIONAL FRACTION METHOD
• % % simple loop used to display multiple. n of interest is found • % % to be 5 in this freq. range (0-500Hz). (5 modes)
• n=5;
• figure
• semilogy(f,abs(H));%affichage log en ordonnée • xlabel('Frequency (Hz)')
• ylabel('Inertance Amplitude')
•
• [num den] = invfreqs(H,f*(2*pi),2*n,2*n);% estime H(jw) comme une fonction rationnelle en p=jw
• [residuals poles direct_term] = residue(num,den); %calcule la decomposition en elements simples
• % comme une somme de resonateur 1ddl (pole complexe conjugué) • %
• poles=poles([3:4 7:10]);% choix des poles pour les 3 resonances les plus importantes
• n=n-2;
• %approche dynamique structure • % Natural frequencies
• NF = abs(poles(1:2:2*(n)))./(2*pi)
• % damped natural frequencies
• NFD = imag(poles(1:2:2*(n)))./(2*pi);
• % damping ratio
• zeta = real(poles(1:2:2*(n)))./(2*pi)./NF
85
0 20 40 60 80 100 120 140 160 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 Frequency (Hz) In e rt a n c e A m p li tu d e% overlay NF onto plot
hold on semilogy(repmat(NF',[2 1]),repmat([1e-4;1e2],[1 n]),'--k'); % % Rebuild FRF from coefficients: on synthetise une FRF avec les
% parametres identifiés rebuilt= freqs(num,den,(f*(2*pi))); % % ...and overlay hold on semilogy(f,abs(rebuilt),'r'); figure; %approche systeme SYS = TF(num,den)
damp(SYS)% parametres modaux identifiés
pulsation=NF*2*pi
• % Results • % NF = • % 130.3029 • % 46.1684 • % 7.4554 • % zeta = • % • % -0.0047 • % -0.0055 • % -0.0086 • % • % Transfer function: • %
• % 0.1885 s^10 + 10.9 s^9 + 3.67e005 s^8 + 1.48e007 s^7 + 2.429e011 s^6 + 6.303e012 s^5
• %
• % + 6.351e016 s^4 + 8.757e017 s^3 + 5.339e021 s^2 + 2.067e022 s - 6.916e023
• %
• %
---• % s^10 + 48.78 s^9 + 1.978e006 s^8 + 6.362e007 s^7 + 1.293e012 s^6 + 2.354e013 s^5
• %
• % + 3.062e017 s^4 + 2.171e018 s^3 + 1.819e022 s^2 + 1.832e022 s + 3.845e025
87
• % Eigenvalue Damping Freq. (rad/s) • % • % -4.05e-001 + 4.68e+001i 8.65e-003 4.68e+001 • % -4.05e-001 - 4.68e+001i 8.65e-003 4.68e+001 • % -1.61e+000 + 2.90e+002i 5.53e-003 2.90e+002
• % -1.61e+000 - 2.90e+002i 5.53e-003 2.90e+002
• % -4.46e+000 + 6.01e+002i 7.41e-003 6.01e+002
• % -4.46e+000 - 6.01e+002i 7.41e-003 6.01e+002
• % -3.84e+000 + 8.19e+002i 4.69e-003 8.19e+002
• % -3.84e+000 - 8.19e+002i 4.69e-003 8.19e+002
• % -1.41e+001 + 9.27e+002i 1.52e-002 9.27e+002
• % -1.41e+001 - 9.27e+002i 1.52e-002 9.27e+002
• % • % • % pulsation = • % • % 818.7171 • % 290.0843 • % 46.8435 -15 -10 -5 0 5 10 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 Pole-Zero Map Real Axis Im a g in a ry A x is
•
F1=7.45Hz=
46.8/(2*pi)
89
Représentation d’état
•
Exemple 1.1 SUSPENSION == ¼ Véhicule
L'organe de commande permet d'appliquer des efforts u entre la roue (de masse m repérée par sa position verticale z) et la caisse du véhicule (de masse M repérée par sa position verticale Z). On désigne par K et f la raideur et le frottement visqueux de la suspension passive, par
k la raideur du pneu entre la roue et la route. Enfin, on note w la position verticale du point de contact pneu/sol sollicitée par les irrégularités de la route (bruit de roulement). On mesure l'accélération de la caisse avec un accéléromètre sensible à la gravité (g = 9:81 m=s2) et on note v le bruit de mesure de ce capteur.
