Reconstruction de données. Application à la dosimétrie des radiotéléphones

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des radiotéléphones

Morgan Brishoual

To cite this version:

Morgan Brishoual. Reconstruction de données. Application à la dosimétrie des radiotéléphones. Interface homme-machine [cs.HC]. INSA de Rennes, 2001. Français. �tel-00001750�

THÈSE

Présentée devant

L’Institut National des Sciences Appliquées de Rennes

En vue de l’obtention du

Doctorat

Spécialité : Electronique

par Morgan BRISHOUAL

Reconstruction de données.

Application à la dosimétrie des radiotéléphones.

Directeur de thèse : Jacques Citerne

Soutenue le 9 Octobre 2001

Devant le jury composé de

Jacques Citerne Président

Valérie Vignéras Rapporteur

Gérard Faucon Rapporteur

Joe Wiart Christian Person

Raphaël Gillard

« Quand on se met à travailler sérieusement un sujet, à le

cerner, à le harceler, à l’attiser, on s’identifie à lui de telle

façon qu’on a l’impression, tout à coup, qu’un souffle divin

vous le dicte

. »

G

ABRIEL

G

ARCIA

M

ARQUEZ

à

Aurélia,

mes parents,

ma sœur.

REMERCIEMENTS

*****

Ce travail a été réalisé au sein du laboratoire Interface radio et Ingénierie pour réseaux Mobiles (I.I.M.) de France Télécom R&D.

J’exprime mes remerciements à Jacques Citerne, Professeur et responsable du Laboratoire des Composants et Systèmes pour Télécommunication (L.C.S.T.) de l’INSA de Rennes, qui m’a fait l’honneur de présider ce jury, et qui a su me donner la motivation nécessaire pour effectuer cette thèse.

Je remercie vivement Joe WIART, mon responsable à France Télécom R&D, de m’avoir accueilli dans son équipe, de m’avoir encadré et de m’avoir fait confiance tout au long de ces trois années de thèse.

J’adresse mes remerciements à Valérie Vignéras, Maître de conférences à l’université de Bordeaux 1, et Gérard Faucon, Professeur à l’université de Rennes 1, d’avoir bien voulu accepter la charge de rapporteur. Je les remercie pour avoir examiné avec soin ce manuscrit ainsi que pour leurs critiques sur ces travaux.

Je remercie également Raphaël Gillard, M’Hamed Drissi, Professeurs à l’INSA de Rennes, ainsi que Christian Person, Maître de conférences à l’ENST Bretagne, d’avoir bien voulu participer à ce jury de thèse et d’avoir jugé ce travail.

Je tiens à exprimer ma reconnaissance et ma sympathie à tous ceux qui m’ont témoigné confiance et amitié au cours de ces trois années à FTR&D, et à tous ceux, amis, famille qui m’ont entouré avant, pendant, et après la soutenance.

Enfin, un grand merci à Gabriel Brishoual, mon correcteur d’orthographe et de grammaire, dont la lourde tâche lui a été attribuée.

TABLE DES MATIERES *****

page

INTRODUCTION GENERALE 5

CHAPITRE 1 : DOSIMETRIE DES RADIOTELEPHONES 11

1 - CONTEXTE GENERAL 11

1.1 - Recommandations / législation 11

1.2 - Niveaux d’exposition 12

2 - DOSIMETRIE NUMERIQUE 12

3 - DOSIMETRIE EXPERIMENTALE 13

3.1 - Présentation du banc de mesure 13

3.1.1 - Sonde de mesure 14

3.1.2 - Fantômes 16

3.1.3 - Liquides 17

3.1.4 - Position du mobile 17

3.2 - Incertitude de mesure 18

3.3 - Contraintes liées à la mesure 19

4 - CONCLUSION 20

REFERENCES 21

CHAPITRE 2 : GENERALITES SUR LA THEORIE DES ONDELETTES 23

1 - DE L’ANALYSE DE FOURIER A LA DECOMPOSITION EN ONDELETTES 23

1.1 - Analyse de Fourier 24

1.1.1 - Transformée de Fourier 24

1.1.2 - Echantillonnage 25

1.1.3 - Inconvénients de l’analyse de Fourier 26

1.2 - Analyse temps-fréquence 28

1.2.1 - Le fenêtrage 29

1.2.2 - Transformée de Fourier à fenêtre glissante (STFT) 30

1.2.2.1 - Propriétés de la STFT 31

1.2.2.2 - STFT discrète 32

1.2.2.3 - Exemples de STFT 33

1.2.3 - Bilan sur la STFT 34

1.3 - Les ondelettes 35

1.3.1 - Transformée en ondelettes continue 35

1.3.2 - Fenêtre temps-fréquence 36

1.3.3 - Quelques propriétés 38

1.3.4 - Exemple de transformée en ondelettes continue 39

2 - ANALYSE MULTIRESOLUTION ET ALGORITHMES 41

2.1 - Présentation de l’analyse multirésolution 41

2.1.1 - Définition d’une analyse multirésolution 42

2.1.2 - Relations de reconstruction et de décomposition 43

2.1.3 - Algorithmes 44 2.1.3.1 - Algorithme de décomposition 44 2.1.3.2 - Algorithme de reconstruction 46 2.2 - Bilan 46 3 - EXEMPLES D’ONDELETTES 47 3.1 - Ondelettes orthogonales 47 3.2 - Ondelettes splines 51 4 - ONDELETTES MULTIDIMENSIONNELLES 53

4.1 - Bases d’ondelettes à deux dimensions 53

4.1.1 - Principe 53

4.1.2 - Transformée en ondelettes rapide à 2D 55

4.2 - Bases d’ondelettes à p dimensions 56

4.2.1 - Principe 56

4.2.2 - Transformée en ondelettes rapide à p dimensions 57

4.2.3 - Exemple : cas 3D 57

5 - CONCLUSION 59

REFERENCES 60

CHAPITRE 3 : RECONSTRUCTION A PARTIR DE DONNEES 63

ECHANTILLONNEES 1 - INTERPOLATION ET EXTRAPOLATION DE DONNEES EN 1D 63

1.1 - Formulation mathématique 63 1.2 - Interpolation polynomiale 64 1.2.1 - Méthode de Lagrange 65 1.2.2 - Méthode de Neville 66 1.2.3 - Fonction rationnelle 68 1.2.4 - Exemple 68

1.3 - Interpolation par des splines cubiques 69

1.3.1 - Description de la méthode 69

1.3.2 - Conditions aux limites 72

1.3.2.1 - Spline naturelle aux extrémités 72

1.3.2.2 - Spline parabolique aux extrémités 72

1.3.2.3 - Spline cubique aux extrémités 73

1.3.3 - Exemple 74

1.4 - Interpolation à l’aide du krigeage 74

1.4.1 - Modèle utilisé et formalisation mathématique 75

1.4.2 - Choix du semi-variogramme 76

1.5 - Interpolation à l’aide des réseaux de neurones 78 1.5.1 - Réseaux de neurones biologiques 78

1.5.2 - Le perceptron multicouches 79

1.5.3 - L’apprentissage 81

1.5.4 - Exemple 82

1.6 - Interpolation à l’aide des ondelettes 83

1.6.1 - Régularisation 84

1.6.2 - Discrétisation 84

1.6.3 - Calcul des coefficients tij 86

1.6.4 - Changement de base par transformée en ondelettes 1D 88 1.6.5 - Convergence de l’algorithme itératif 91 1.6.6 - Exemple et influence du paramètre β 92 1.6.7 - Présentation de différentes fonctions de base 93

1.6.7.1 - Interpolation classique et fonctions de base interpolatrices 94 1.6.7.2 - Interpolation généralisée et fonctions de base 96

non-interpolatrices

1.7 - Extrapolation 98

1.8 - Applications de l’algorithme à base d’ondelettes 103

1.8.1 - Signal sans bruit 103

1.8.2 - Signal avec bruit 105

1.8.3 - Utilisation de différentes fonctions de base 108

1.9 - Bilan 114

2 - INTERPOLATION ET EXTRAPOLATION DE DONNEES 115 MULTIDIMENSIONNELLES

2.1 - Formulation mathématique 115

2.2 - Interpolation par des fonctions radiales 116

2.2.1 - Cas général 116

2.2.2 - Cas des splines de type plaque mince 117

2.3 - Méthode utilisant les ondelettes 118

2.3.1 - Cas à deux dimensions 118

2.3.2 - Cas à trois dimensions 119

2.4 - Applications numériques 124

2.4.1 - Cas à deux dimensions 124

2.4.2 - Cas à trois dimensions 133

3 - CONCLUSION 136

REFERENCES 137

CHAPITRE 4 : APPLICATIONS A LA DOSIMETRIE 143

DES RADIOTELEPHONES

1 - RAPPELS 143

2 - FORME DES SIGNAUX A INTERPOLER ET A EXTRAPOLER 145 3 - EVALUATION DE L’INCERTITUDE DE RECONSTRUCTION 146

4 - RECONSTRUCTION A PARTIR DE DONNEES ISSUES DE LA DOSIMETRIE 147

4.1 - Reconstruction 1D 148

4.2 - Reconstruction 2D 150

4.3 - Reconstruction 3D 153

4.3.1 - Bol canonique (tête humaine) 153

4.3.1.1 - Reconstruction à partir des techniques déjà définies 154 4.3.1.2 - Nouvelle méthode : Technique 2D_1D_2D 154 4.3.1.3 - Etude de différents échantillonnages 162

4.3.2 - Fusée (rat) 163

5 - CONCLUSION 166

REFERENCES 167

CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES 169

ANNEXE A : Opérateurs de décimation et d’interpolation 173

INTRODUCTION GENERALE

Le développement des communications sans fils est mondial. Le nombre d’utilisateurs de téléphones mobiles croît de façon exponentielle. En France, 200 personnes étaient abonnées au GSM en 1992; en janvier 1998, elles étaient plus de cinq millions et au début de l’année 2001 un français sur deux possédait un téléphone mobile. Au niveau mondial, il est prévu qu’en 2005 près de 1 milliard de personnes utiliseront un mobile.

Ce phénomène contribue à l’expansion dans notre société du nombre de systèmes basés sur les ondes électromagnétiques (téléphone portable, station de base, équipement médical, écrans d’ordinateurs etc …). Cette expansion se traduit par le fait que nous sommes aujourd’hui très souvent à proximité immédiate d’un émetteur radio. Ces interactions avec l’Homme sont répertoriées en deux catégories : les effets thermiques, consécutifs à l’échauffement induit par l’onde dans le corps humain, et les effets athermiques qui répertorient les effets biologiques sans qu’il y ait élévation de température des tissus. A l’heure actuelle, seuls les effets thermiques qui dépendent de la quantité de rayonnement absorbée par le corps humain, sont bien connus des scientifiques. Le respect des normes de sécurité permet de s’en protéger. En revanche, les effets athermiques ne sont pas clairement établis. Ce sont sur ces derniers que porte l’essentiel des recherches actuellement en cours.

Des normes et des recommandations définissant des valeurs limites d’exposition aux champs électromagnétiques ont été publiées par des organisations internationales telles que l’IRPA (International Radiation Protection Association) [1] ou l’ICNIRP (International Committee on Non Ionizing Radio Protection) [2]. Ces organisations sont composées de médecins, de biologistes, et de physiciens qui ont établi, en prenant des marges de sécurité importantes, des limites maximales d’exposition aux rayonnements des ondes électromagnétiques.

Dans ces recommandations, des restrictions de base et des niveaux de référence sont définis. Les restrictions de base sont les limites fondamentales et définissent la puissance maximale, sur le corps ou des régions du corps, qui peuvent être absorbées par les tissus. Les niveaux de référence sont déduits des restrictions de base et définissent l'exposition électromagnétique maximale de champ incident dans les tissus. L’exposition électromagnétique est caractérisée par le SAR (Specific Absorption Rate). Dans la certification des radiotéléphones, le SAR s’exprime en watt par kilogramme et caractérise le niveau de puissance absorbée par unité de masse dans les tissus, par la relation :

ρ σ 2 2 E dt dT C dm dW dt d SAR = =      = (1)

Où W : énergie en W C : capacité calorifique

m : masse en kg σ : conductivité en S/m

t : temps ρ : masse volumique en kg/m3

T : température E : champ électrique en V/m A partir de la détermination de la norme du champ électrique, il est possible d’évaluer une cartographie du SAR. La valeur locale maximum du SAR (Tableau 1) doit être inférieure aux limites définies par la recommandation de la commission européenne, le CENELEC (Comité Européen de Normalisation ELECtrotechnique) [3], publiée en janvier 1995. Cette recommandation a été réactualisée en Juin 2000 [4] et garantit que les niveaux auxquels sont exposés les personnes sont au moins 50 fois inférieurs au niveau à partir duquel les effets thermiques peuvent commencer à apparaître.

Tableau 1 -SAR local maximum.

*

le moyennage doit se faire sur un cube de 10 grammes. A : SAR moyenné sur 6 minutes et sur tout le corps,

B : SAR moyenné sur 6 minutes et sur 10 g de tissus autre que mains, poignets, pieds, chevilles,

C : SAR moyenné sur 6 minutes et sur 10 g de tissus appartenant aux mains, poignets, pieds, chevilles.

Pour certifier la conformité des mobiles à ces valeurs limites définies par les organisations internationales, il est indispensable d’effectuer des analyses dosimétriques. Ces analyses permettent de connaître la valeur du champ électrique à l’intérieur des tissus, dans des conditions d’exposition données. En l’absence de méthode de mesures directes de champs électromagnétiques (les sondes ne sont pas, pour des raisons évidentes, placées directement dans le corps humain…), les études menées au sein du groupe à FTR&D permettent de quantifier cette interaction suivant deux approches complémentaires :

• l’une consiste à effectuer des mesures du champ électrique en présence d’un téléphone portable qui émet une puissance maximale et à l’aide d’une sonde à l’intérieur d’un fantôme. Le fantôme représente la tête d’un utilisateur et est rempli d’un liquide homogène ayant les caractéristiques diélectriques équivalentes à celles du cerveau (Figure 1).

• l’autre approche s’appuie sur la modélisation électromagnétique et notamment sur l’utilisation de la FDTD (Finite Difference Time Domain) développée par Yee en

A B C

0.08 W/kg 2 W/kg 4 W/kg Public

0.4 W/kg* 10 W/kg* 20 W/kg* Travailleurs

1966. Cette méthode est particulièrement bien adaptée à un milieu aussi inhomogène que le corps humain.

La modélisation permet une évaluation des champs qui ne peuvent être mesurés, dans le même temps la mesure est indispensable pour valider les modèles.

Figure 1 -Banc de mesure.

L’objectif de cette thèse est de permettre une évaluation des champs électriques qui ne sont pas accessibles par la mesure.

Des études [5, 6, 7] ont montré que les tissus près de l’oreille sont les plus exposés aux champs électromagnétiques et une large partie de la puissance absorbée est concentrée dans les tissus proches de l’antenne du radiotéléphone (Figure 2). A l’interface peau - mobile, les valeurs de champs électriques sont donc importantes et décroissent rapidement au fur et à mesure que l’on s’éloigne de l’antenne du radiotéléphone et que l’on se rapproche du centre de la tête. Cette région proche de l’antenne est donc primordiale à caractériser.

Figure 2 -Cartographie du SAR.

Emplacement de la sonde

Fantôme contenant le liquide

La sonde de mesure du champ électrique employée est généralement composée de trois dipôles orthogonaux chargés par des diodes proches les unes des autres. Ces dipôles sont incorporés dans un tube protecteur. Le point de mesure est placé à quelques millimètres du bout de la sonde et ce décalage doit être pris en compte pour identifier la position du champ électrique mesuré. L’épaisseur de la sonde en plus de sa fragilité et des interactions du champ électromagnétique proche de l’interface peau - mobile, ne permettent pas une mesure correcte du champ électrique proche des bords du fantôme. La Figure 3 représente le volume exploré par la sonde dans le cas d’un fantôme canonique.

Figure 3 -En bleu,volume exploré par la sonde pour un fantôme canonique.

A partir des mesures et du résultat de l’interpolation, un schéma d’extrapolation doit être envisagé pour obtenir les valeurs du champ électrique proche de la surface du fantôme, dans une région où les champs sont particulièrement élevés du fait de la proximité de l’antenne du radiotéléphone.

Pour accélérer le processus d’acquisition et respecter un temps d’acquisition inférieur à la longévité de la batterie du téléphone portable, la grille de mesure ne peut pas être aussi fine qu’on le souhaiterait. Les composantes du champ électrique sont donc mesurées avec un pas de résolution de quelques millimètres (4 ou 5 mm), et un schéma d’interpolation est utilisé pour estimer le champ électrique à un pas de résolution de 1 mm.

Dans chacun des cas, interpolation et extrapolation, une méthode basée sur les ondelettes et utilisée pour le traitement d’images, a été appliquée à des signaux à une dimension puis étendue à des données de dimensions trois. Dans chacune des dimensions une étude comparative avec d’autres méthodes d’interpolation et d’extrapolation utilisant des fonctions splines, des polynômes, des réseaux de neurones ou encore le krigeage, a été effectuée.

La norme du CENELEC définit les restrictions locales de base en termes de moyennage du SAR sur dix grammes. Ainsi les données interpolées et extrapolées seront moyennées dans un cube de dix grammes et le SAR maximum sera alors recherché dans le volume [7]. Cette partie étant différente de l’interpolation et de l’extrapolation de données, elle ne sera pas abordée dans la thèse. Cependant étant donné que l’on s’intéresse à la valeur maximale du SAR moyenné sur un cube de dix grammes, on déduit l’importance du résultat de l’extrapolation dans la région proche de l’oreille où les valeurs de SAR sont les plus fortes.

5 mm

5 mm 5 mm

Le chapitre 1 présente la dosimétrie dans un contexte général et présente également le dispositif de mesure du champ électrique utilisé à France Télécom R&D. Ce dispositif permet de vérifier la conformité, vis-à-vis des normes, des radiotéléphones mis sur le marché par les constructeurs et de contribuer à l’évolution de ces normes. Il a également pour but de prédire les niveaux du champ induit dans les tissus pour pouvoir les reproduire sur des tissus vivants, tels que cellules, animaux ou êtres vivants, et en observer les conséquences.

Le chapitre 2 commence par des rappels sur la transformée de Fourier. L’analyse temps-fréquence avec la transformée de Fourier à fenêtre est ensuite abordée. Les ondelettes et leurs propriétés sont alors introduites brièvement avant de les voir plus en détails au travers de l’analyse multirésolution, des algorithmes de décomposition et de reconstruction, et de l’analyse multidimensionnelle.

Le chapitre 3 présente les méthodes de reconstruction qui ont été choisies et testées dans le cadre de l’interpolation et de l’extrapolation de données en une, deux, puis trois dimensions. La justification de ces choix et les caractéristiques de ces algorithmes de reconstruction seront présentées. Dans l’algorithme utilisant les ondelettes, un paramètre de lissage permettant de différencier interpolation et approximation a été pris en compte et différentes fonctions de base ont été considérées. De nombreux exemples permettent de comparer ces différentes méthodes de reconstruction.

Le chapitre 4 est consacré à la dosimétrie des radiotéléphones et commence par un rappel du chapitre 1. Différentes forme de signaux 1D à reconstruire, provenant de mesures dosimétrique, sont présentées. Une méthodologie pour évaluer l’erreur de reconstruction est alors décrite puis la reconstruction à une, deux et trois dimensions est vue en détail. Ce chapitre présente également une nouvelle méthode pour interpoler et extrapoler des mesures de SAR dans un volume. Celle-ci est très rapide et peu coûteuse en stockage mémoire et est basée sur les méthodes présentées au chapitre 3. Cette nouvelle technique de reconstruction sera étudiée pour différents échantillonnages. Finalement, quelle méthode choisir pour obtenir un bon compromis entre l'erreur de reconstruction, le temps de calcul et le coût mémoire sera discuté.

Une synthèse dégageant les points importants du travail réalisé, en soulignant les limites des approches utilisées et les perspectives de recherche, conclura ce travail.

Références

[1] IRPA Guidelines, “Guidelines on limits of exposure to radiofrequency electromagnetic fields in the frequency range from 100 kHz to 300 GHz ”, International Non-Ionizing Radiation Committee of the International Radiation Protection Association, 1988.

[2] ICNIRP Guidelines, “Guidelines for limiting exposure to time-varying electric, magnetic and electromagnetic fields (up to 300 GHz) ”, Health Physics, vol. 74, 1998. [3] CENELEC, “Exposition humaine aux champ électromagnétiques hautes-fréquences (10

kHz à 300 GHz)”, ENV 50166-2, Jan. 1995.

[4] CENELEC, “Norme de base relative à la mesure du débit d’absorption spécifique relatif à l’exposition des personnes aux champs électromagnétiques émis par les téléphones mobiles (300 MHz à 3 GHz)”, ENV 50361, Juin 2000.

[5] V. Hombach, K. Meier, M. Burkhardt, E. Kühn, and N. Kuster, “The dependence of EM energy absorption upon human head modeling at 900 MHz”, IEEE Trans. on Mic. Theo. And Tech., vol. 44, n° 10, pp. 1865-1873, Oct. 1996.

[6] M. Okoniewski and M. A. Stuchly, “A study of the handset antenna and human body interaction”, IEEE Trans. on Mic. Theo. And Tech., vol. 44, n° 10, pp. 1855-1864, Oct. 1996.

[7] P. Bernardi, M. Cavagnaro, and S. Pisa, “Evaluation of the SAR distribution in the human head for cellular phones used in a partially closed environment”, IEEE Trans. on Elec. Comp., vol. 38, n° 3, pp. 357-366, Aug. 1996.

CHAPITRE 1

DOSIMETRIE DES RADIOTELEPHONES

1 - CONTEXTE GENERAL

1.1 - RECOMMANDATIONS / LEGISLATION

La cohabitation avec des émetteurs d’ondes électromagnétiques, due à la progression constante des téléphones portables et des stations de bases, s’accompagne de questions de plus en plus fréquentes sur les effets biologiques possibles de ces ondes. Pour répondre à ces interrogations, il est indispensable d’effectuer des analyses dosimétriques, c’est à dire connaître l’influence du champ électrique à l’intérieur des tissus, dans des conditions d’exposition données.

L’IRPA, se basant sur les effets thermiques dits

“

corps entier

”

, s’est intéressé à ces questions en 1988 [1]. Ses recommandations ont permis de protéger le public et les travailleurs contre l’élévation de température du corps au delà de la régulation thermique naturelle.

En 1996, l’ICNIRP a repris le travail sur la protection contre les radiations non-ionisantes en précisant les limites pour l’absorption d’énergie locale (SAR local) [2]. Ce document vise directement la radiotéléphonie et l’utilisation d’une source comme le téléphone mobile, très proche de la tête. Il définit les premiers niveaux préconisés sur le sujet et qui seront repris dans les documents suivants, comme la mise à jour de l’ICNIRP en 1998 [3].

Ces niveaux d’exposition préconisés par des médecins et biologistes, ont été repris en normalisation au CENELEC (Comité Européen de Normalisation ELECtrotechnique) dans une prénorme européenne [4].

L’Union Européenne a repris les niveaux de l’ICNIRP pour en faire une recommandation européenne [5]. Ce document recommande :

• d’adopter les limites préconisées,

• de mettre en œuvre des procédures de vérification de ces niveaux,

• de viser à obtenir le respect de ces limites pour l’exposition au public,

• de faire un rapport à la communauté après 3 ans, sur ce qui a effectivement été fait dans le domaine.

Depuis Avril 2000, la direction R&TTE concernant les équipements terminaux de télécommunication est applicable. Cette direction comporte une exigence essentielle de sécurité vis-à-vis de l’utilisateur, et dans ce cadre, les limites d’exposition recommandées par l’Union Européenne doivent être vérifiées et respectées.

1.2 - NIVEAUX D’EXPOSITION

Les niveaux d’exposition qui nous intéressent dans la certification des radiotéléphones sont ceux liés à la puissance absorbée par unité de masse de tissus (W/kg). Cette absorption s’exprime en terme de SAR (Specific Absorption Rate).

ρ σ 2 2 E dm dW dt d SAR =      = (1.1)

où W représente l’énergie en W, m la masse en kg, t le temps en s, E le champ électrique en V/m, σ la conductivité en S/m et ρ la densité volumique en kg/m3.

Les niveaux de SAR pris pour référence sont ceux de l’ICNIRP (repris par le CENELEC [6]) et sont de 2W/kg moyenné sur un cube de 10 g de tissus.

Pour la vérification des niveaux, deux techniques se complètent :

• la simulation numérique qui permet une évaluation des champs qui ne sont pas facilement accessibles par la mesure. Cette technique permet de tenir compte d’une tête inhomogène mais ne dispose que d’un modèle approché de radiotéléphone car la modélisation de ce dernier est très complexe,

• la mesure qui permet d’utiliser un radiotéléphone du commerce mais qui ne prend pas en compte de la complexité de la tête : les mesures ne peuvent être réalisées que dans un liquide homogène.

2 - DOSIMETRIE NUMERIQUE

La présence des normes et recommandations a motivé constructeurs et opérateurs à analyser en détail les mobiles mis à disposition des utilisateurs. La dosimétrie numérique permet d’obtenir des valeurs de SAR dans les tissus. Ces simulations donnent également la possibilité d’anticiper les résultats et sont essentielles pour les processus d’optimisation.

Cependant, les radiotéléphones et les stations de bases sont des systèmes électroniques particulièrement complexes dont le rayonnement est difficile à simuler.

L’avantage de la dosimétrie numérique, même si la modélisation du système d’exposition est délicate, est qu’elle permet de prendre en charge la complexité et l’inhomogénéité des tissus. La dosimétrie numérique peut s’effectuer à l’aide de la FDTD (Finite Difference Time Domain) qui a montré sa capacité à gérer des grands volumes fortement inhomogènes [7, 8, 9, 10]. Cependant pour décrire le couplage qui existe entre les différentes spires de l’antenne du radiotéléphone et l’interaction entre l’antenne et la tête de

l’utilisateur, la FDTD doit avoir un maillage particulièrement fin, d’où un temps de calcul considérable.

Pour augmenter la résolution du maillage dans une région du volume de calcul sans accroître, ni le temps de calcul, ni la mémoire nécessaire, on peut réaliser un maillage non uniforme ou utiliser la technique du sous maillage. Ces deux méthodes ont été employées pour améliorer le modèle numérique du radiotéléphone et donc sous mailler une partie de l’espace de calcul de la FDTD [11].

L’hybridation de la FDTD avec la Méthode des Moments (MoM) est également une solution [12, 13, 14] pour la modélisation et l’optimisation des antennes filaires.

Cependant, les techniques de sous maillage et d’hybridation ne donnent pas des résultats satisfaisants pour modéliser une antenne hélicoïdale de radiotéléphone. La mesure s’impose alors comme la solution la plus précise pour connaître la puissance et les niveaux de champs rayonnés.

3 - DOSIMETRIE EXPERIMENTALE

Ce type d’expérience permet de vérifier la conformité, vis-à-vis des normes, des mobiles disponibles sur le marché et des stations de bases qui nous entourent dans la vie courante. Elle a également pour but de prédire les niveaux du champ induit dans les tissus pour pouvoir les reproduire sur des tissus vivants (cellules, animaux ou êtres vivants) et en observer les conséquences biologiques. Dans la suite, seule la dosimétrie des radiotéléphones sera considérée.

3.1 - PRESENTATION DU BANC DE MESURE

Un dispositif expérimental de mesure de champ a été mis en place à FTR&D (Figure 1.1).

Ce dispositif est constitué d’une chambre anéchoïque dans laquelle se trouve un fantôme, représentant la tête d’un mannequin rempli d’un liquide dont les caractéristiques diélectriques sont équivalentes à celle du cerveau. Un radiotéléphone émettant une puissance maximale est placé au niveau de l’oreille afin d’effectuer des mesures du champ électrique à l’intérieur du fantôme. Un robot piloté par un ordinateur permet le déplacement de la sonde dans le liquide ainsi que l’acquisition du champ électrique. La sonde permet d’intégrer les trois composantes du champ électrique (Ex, Ey, Ez). Le SAR est ensuite évalué à l’aide de la

Figure 1.1 - Banc de mesure à FTR&D.

3.1.1 - Sonde de mesure

La sonde, qui permet de réaliser l’acquisition suivant les trois axes (x, y, z) d’un repère cartésien, mesure les trois composantes du champ électrique (Ex, Ey, Ez).

Le processus d’acquisition est centré autour du système “NARDA” (Figure 1.2). Cependant d’autres sondes telle que la sonde développée à l’Ecole Nationale Supérieur des Télécommunications de Bretagne [15] peuvent être utilisées.

Figure 1.2 - Système de mesure NARDA.

Sonde de mesure

Fantôme contenant le liquide

Emplacement du Téléphone portable

Ce processus d’acquisition comprend :

• une sonde isotropique type 8021C,

• un amplificateur faible bruit type 8010,

• un récepteur type 8718.

La sonde est composée, à son extrémité, de trois dipôles orthogonaux de 2.2 mm de longueur (Figure 1.3). Ceux-ci sont disposés sur les trois faces d’un prisme triangulaire dont la base est équilatérale, et incorporés dans un tube protecteur. Le point de mesure est placé à quelques millimètres du bout de la sonde et ce décalage doit être pris en considération pour identifier la position des composantes du champ électrique mesuré.

Figure 1.3 - Sonde de mesure du champ électrique.

Le courant haute fréquence induit sur chaque dipôle par le champ électrique est redressé par une diode Schottky à faible bruit. Une ligne bifilaire résistive (résistance globale de 0.5 MΩ) achemine cette tension redressée vers un amplificateur BF à faible bruit.

L’amplificateur contient les trois voies nécessaires aux trois dipôles. Ces trois voies peuvent être mises en service séparément à l’aide d’interrupteurs. Il incorpore également un sommateur qui permet d’obtenir le champ total grâce à la relation quadratique qui existe entre chaque composante de champ et la tension détectée correspondante.

Le récepteur permet alors de convertir la tension détectée en une valeur de champ électrique exprimée en V/m. Ce récepteur est pilotable à partir d’un PC qui acquiert les données en temps réel.

La calibration de la sonde est une étape importante car c’est en grande partie de cette étape que va dépendre la validité des niveaux de champs mesurés. La méthode actuellement utilisée à FTR&D est celle dite du “guide d’onde” [16]. Le principe de cette méthode est basé sur une utilisation monomode du guide, qui permet à la fréquence de travail de disposer d’un champ électrique stable de référence.

3.1.2 - Fantômes

Il existe plusieurs types de fantômes, dont la forme est plus ou moins simplifiée, représentant le corps entier, la tête humaine seule ou un rat. Dans cette thèse, deux types de fantômes canoniques ont été utilisés suivant les objectifs fixés :

• le premier est la sphère tronquée qui modélise de façon grossière la tête humaine (Figure 1.4). Ce fantôme est utilisé pour la certification des radiotéléphones,

Figure 1.4 - Sphère tronquée.

• le second, qui ressemble à une fusée, permet d’enfermer un rat et d’étudier le comportement du champ rayonné par une boucle de courant chez ce rat (Figure 1.5).

Figure 1.5 - Fusée.

Pour le système d’exposition du rat, le radiotéléphone est remplacé par une boucle de courant (Figure 1.5). L’antenne boucle fonctionne à une fréquence de 900 MHz et permet une exposition très locale des champs induits.

x R=90mm 5/3R=150mm Fusée permettant d’enfermer un rat Position de la tête du rat Antenne boucle Boucle de courant Connecteur Stub d’adaptation Substrat diélectrique Lignes à fente

Elle consiste en une ligne à fente terminée par une boucle de petite taille par rapport à la longueur d’onde utilisée. L’antenne est alimentée par un câble coaxial connecté près du centre de la ligne à fente. L’adaptation de l’antenne est assurée par un stub glissant comprenant un ruban métallique sur un substrat diélectrique placé au dessus et perpendiculaire à la ligne à fente. L’antenne est fixée à l’aide de deux plots en plexiglas qui jouent un rôle important sur le point de fonctionnement du système d’exposition [17, 18].

3.1.3 - Liquides

Les liquides contenus dans les fantômes sont des liquides homogènes et bien évidemment différents suivant que l’on considère la sphère tronquée ou la fusée. Un liquide se caractérise par sa permittivité relative εr et sa conductivité σ [19].

La fabrication du liquide est relativement simple [11, 19] ; elle consiste à mélanger des liquides à forte valeur de permittivité comme l’eau, à des liquides de plus faible valeur comme les alcools. La valeur de la conductivité σ est ajustée par l’adjonction de sel (NaCl).

Des simulations ont été réalisées [20, 21] et ont montré que les propriétés diélectriques du liquide équivalent à 900 MHz, qui maximisent le SAR, sont : εr = 42 et σ = 0.99 S/m. A

1800 MHz ces valeurs deviennent : εr = 40 et σ = 1.38 S/m.

Le liquide homogène contenu dans la fusée possède des caractéristiques diélectriques équivalentes aux tissus du rat. La valeur de εr est d’environ 36.5 et celle de σ d’environ 0.88

S/m.

3.1.4 - Position du mobile

Pour le traitement des données, un dispositif de positionnement du mobile est indispensable (Figure 1.6).

Diverses positions du mobile par rapport à la tête (sphère tronquée) doivent être prises en considération, de telle sorte qu’elles correspondent au mieux aux différentes postures [6, 22, 23] des utilisateurs (Figure 1.7).

Figure 1.7 - Diverses positions du radiotéléphone.

3.2 - INCERTITUDE DE MESURE

Dans son sens le plus large, “incertitude de mesure” signifie doute sur la validité du résultat d’un mesurage. L’incertitude de mesure comprend, en général, plusieurs composantes. Certaines peuvent être évaluées à partir de la distribution statistique des résultats de séries de mesurages et peuvent être caractérisées par des écarts-types expérimentaux. Les autres composantes, qui peuvent aussi être caractérisées par des écarts-types, sont évaluées en admettant des lois de probabilité, d’après l’expérience acquise ou d’après d’autres informations (indications sur les appareils de mesure).

Les facteurs d’incertitude sur ce banc de mesure sont relativement nombreux, ce qui engendre une incertitude de mesure importante. En effet l’incertitude peut provenir de perturbations externes, de perturbations de la sonde de mesure, de l’erreur due à la discontinuité du liquide, de l’erreur due à la position du mobile où à la résolution spatiale [6].

Une évaluation de l’incertitude du banc de mesure du SAR a été réalisée au sein du groupe [11, 19]. Le SAR étant donné par la relation : SAR= E2σ/2ρ, l’incertitude globale dépend alors des variables σ, ρ et E :

Axe Axe

15°

Position joue Position incliné

Vue de dessus Vue avant

• la conductivité σ est directement obtenue à partir de la mesure de la partie imaginaire de la permittivité. Pour simplifier, la contribution de la partie imaginaire est uniquement due à la conduction. Ainsi, l’incertitude estimée sur σ à 900 MHz est de l’ordre de 8 %,

• la masse volumique ρ est déterminée à l’aide d’une balance de précision à ± 0.1 g et le volume est déterminé à l’aide d’une jauge graduée de 100 ml avec une précision de ± 1 ml. Ainsi, l’incertitude estimée sur ρ à 900 MHz est d’environ 0.41 %,

• la mesure du champ E est obtenue à partir de la sonde Narda. Deux causes principales d’erreur sont la non-linéarité de la sonde ainsi que son anisotropie. L’incertitude sur le champ E est de 7 %.

A partir des trois termes de la définition du SAR, une incertitude globale de l’ordre de 28 % est obtenue pour des mesures à 900 MHz ainsi qu’à 1800 MHz [19], l’erreur provenant principalement de l’anisotropie de la sonde.

3.3 - CONTRAINTES LIEES A LA MESURE

Dans l’expérimentation, le moyennage du SAR sur un cube de 10 grammes afin de déterminer le SAR maximum, nécessite de connaître toutes les valeurs du SAR dans le volume. Or, la technologie de la sonde, basée sur des dipôles, ne permet pas d’effectuer des mesures près des bords du fantôme et la grille de mesure ne peut pas être aussi fine qu’on le souhaiterait (Figure 1.8).

Figure 1.8 - a) Grille grossière issue des mesures. b) Grille fine obtenue après interpolation

et extrapolation des données de la Figure a).

En effet, les discontinuités du milieu influencent le comportement de la sonde. Un espace minimum est donc indispensable entre la sonde et l’interface du fantôme afin de garantir un comportement stable. Cet espace est de quelques millimètres. Ce problème est majeur car c’est dans cet espace, proche de l’antenne du radiotéléphone, que les valeurs de

Zone d’extrapolation

SAR sont les plus élevées. Un schéma d’extrapolation à partir des mesures doit donc être défini.

Etant donné que la norme [6] préconise une résolution d’échantillonnage inférieure ou égale à 1 mm, et que le temps d’acquisition pour un tel échantillonnage dépasse la longévité de la batterie du radiotéléphone, un schéma d’interpolation doit également être défini. Ainsi grâce à ce schéma, le temps d’acquisition peut être largement réduit.

4 - CONCLUSION

La certification des radiotéléphones impose une comparaison expérimentale, avec des fantômes homogènes, des puissances induites par les téléphones portables. La mesure est donc indispensable pour vérifier la conformité, vis-à-vis des normes, des mobiles disponibles sur le marché par les constructeurs. Elle est également indispensable pour prédire les niveaux du champ induit dans les tissus, afin de les reproduire sur des tissus vivants (cellules, animaux ou êtres vivants) et en observer les conséquences biologiques.

Cependant, comme il a été vu, la sonde ne permet pas d’effectuer des mesures près des bords du fantôme et la grille de mesure ne peut pas être aussi fine qu’on le souhaiterait. Si bien qu’un schéma d’extrapolation et d’interpolation à partir des mesures doit être défini pour pouvoir vérifier et valider la conformité aux normes des téléphones portables mis sur le marché.

Le chapitre suivant présente alors les ondelettes dans le but de les utiliser dans les schémas d’interpolation et d’extrapolation de données issues de la dosimétrie expérimentale.

Références

[1] IRPA Guidelines, “Guidelines on limits of exposure to radiofrequency electromagnetic fields in the frequency range from 100 kHz to 300 GHz ”, International Non-Ionizing

Radiation Committee of the International Radiation Protection Association, 1988.

[2] ICNIRP Statement, “Health issues related to the use of hand-held radiotelephones and base transmitters ”, 1996.

[3] ICNIRP Guidelines, “Guidelines for limiting exposure to time-varying electric, magnetic and electromagnetic fields (up to 300 GHz) ”, Health Physics, vol. 74, 1998. [4] CENELEC, “Exposition humaine aux champ électromagnétiques hautes-fréquences (10

kHz à 300 GHz)”, ENV 50166-2, Jan. 1995.

[5] Journal officiel des communautés européennes, “Recommandation du conseil du 12 juillet 1999 relative à la limitation de l’exposition du public aux champs électromagnétiques (de 0 Hz à 300 GHz)”, L 199/59, 1999/519/CE, Juil. 1999.

[6] CENELEC, “Norme de base relative à la mesure du débit d’absorption spécifique relatif à l’exposition des personnes aux champs électromagnétiques émis par les téléphones mobiles (300 MHz à 3 GHz)”, ENV 50361, Juin 2000.

[7] V. Hombach, K. Meier, E. Kühn, and N. Kuster, “The dependence of EM energy absorption upon human head modelling at 900 MHz ”, IEEE Trans. on Antennas and

Propagation, vol. 44, n° 10, pp. 1865-1873, Oct. 1996.

[8] P. Bernardi, M. Cavagnero, and S. Pisa, “Evaluation of the SAR distribution in the human head for cellular phones used in a partially closed environment”, IEEE Trans. on

Electromagnetic Compatibility, vol. 38, n° 3, pp. 357-366, Aug. 1996.

[9] M. Okoniewski and M.A. Stuchly, “A study of the handset antenna and human body interaction”, IEEE Trans. on Microwave Theory and Techniques, vol. 44, n° 10, pp. 1855-1864, Oct. 1996.

[10] A. Schiavoni, G. Richiardi, and P. Bielli, “SAR evaluation for an anatomically-based model of the human head generated by different types of cellular phones”, EMC Roma

symposium, Italia, 1996.

[11] S. Chaillou, “Le sous maillage dans la FDTD. Application à la dosimétrie des radiotéléphones”, Thèse de Doctorat de l’Université de Paris 6, Sept. 1999.

[12] P. Bielli, G. Cerri, V. Mariani Primiani, P. Russo, A. Schiavoni, and G. Tribellini, “A hybrid MoM-FDTD technique for the solution of EMC problems”, Proceeding of the

Conference ‘EMC 98 Rome’, vol. I, pp. 317-321, Sept. 1998, Rome.

[13] G. Cerri, P. Russo, A. Schiavoni, G. Tribellini, and P. Bielli, “A New MoM-FDTD hybrid technique for the analysis of scattering problems”, Electronic Letters, vol. 34, n° 5, pp. 438-439, March 1998.

[14] D. Lautru, “Modélisation d’antennes filaires dans un maillage aux différences finies à l’aide d’une hybridation avec la méthode des moments dans le domaine temporel. Application à la dosimétrie des stations de base.”, Thèse de Doctorat de l’Université de

Paris 6, Oct. 2000.

[15] C. Person, L.N. Ahlonsou, and C. Grangeat, “New test bench for the characterization of SAR measurement probes used in tissue equivalent liquid”, in Proc. of the 22nd World Congress of the BEMS, Munich, Jun. 2000.

[16] C. Dale, D. Lafolie, T. Rivera, T. Sarrebourse, Z. Altman, M.F. Wong, S. Chaillou, et J. Wiart, “Certification des radiotéléphones”, Rapport interne FTR&D, Sept. 2000.

[17] J. Wiart, P. Leveque, S. Chaillou, Z. Altman, C. Dale, M. Brishoual, T. Rivera, T. Sarrebourse, D. Lafolie, et P.E. Dulou, “Analyse dosimétrique du système d’exposition local utilisé dans l’étude des interactions des ondes électromagnétiques avec les tissus”,

CEM’2000, Clermont-Ferrand, Mars 2000.

[18] P. Leveque, S. Chaillou, D. Lafolie, P.E. Dulou, J. Luc, C. Dale, et J. Wiart, “Dosimétrie du système d’exposition. L’antenne boucle”, Rapport interne FTR&D, 2001.

[19] T. Rivera, T. Sarrebourse, D. Lafolie, et J. Wiart, “Etudes de la permittivité des tissus équivalents utilisés dans la mesure du SAR pour les radiotéléphones”, Rapport interne

CNET, NT/Cnet/6497, Août 1999.

[20] C. Dale, V. Monebhurrun, S. Chaillou, J.C. Bolomey, and J. Wiart, “Representativity of homogeneous phantoms in testing compliance of mobile phones to SAR limits”, in

Proc. of the 22nd World Congress of the BEMS, Munich, Jun. 2000.

[21] A. Drossos, V. Santomaa, and N. Kuster, “The dependence of electromagnetic energy absorption upon human head tissue composition in the frequency range of 300 - 3000 MHz”, IEEE Trans. Mic. Theo. And Tech., vol. 48, pp. 1988-1995, Nov. 2000.

[22] CENELEC, “Considerations for evaluation of human exposure to electromagnetic fields (EMFs) from mobile telecommunication equipment (MTE) in the frequency range 30 MHz - 6 GHz”, prEs 59005, Dec. 1997.

[23] S. Deshayes, “Prédiction et analyse des perturbations subies par un dispositif électronique placé dans un environnement électromagnétique sévère. Application à l’immunité des systèmes de communication.”, Thèse de Doctorat de l’Université de

CHAPITRE 2

GENERALITES SUR LA THEORIE DES

ONDELETTES

1 - DE L’ANALYSE DE FOURIER A LA DECOMPOSITION EN

ONDELETTES

Le traitement du signal est devenu une composante essentielle de l’activité scientifique et technologique contemporaine. Le traitement du signal est par exemple utilisé dans les télécommunications ou l’analyse des images dans un but de traitement, d’identification, de compression, de transmission ou de compréhension.

La plus célèbre et la plus ancienne des transformations pour étudier les différents points énumérés ci-dessus est la transformée de Fourier. Lors de cette transformation le signal est décomposé sur un ensemble de fonctions de base qui sont le cosinus, le sinus ou l’exponentielle imaginaire.

Très tôt dans l’histoire du traitement du signal, il est apparu que la décomposition obtenue n’était pas toujours la plus satisfaisante lorsque l’on était confronté à des phénomènes non-stationnaires.

Une nouvelle transformation nommée transformation en ondelettes est née de la convergence des travaux théoriques déjà anciens, notamment ceux de Haar (1910), de Littlewood et Paley (1930), de Zygmund (1930), de Gabor (1940), puis vers 1960 de Calderon, et des idées récentes mises en avant propos; pour le traitement numérique de certains signaux par Morlet (le premier à avoir proposé le nom d’ondelettes, 1982), ou pour le développement d’outils mathématiques utilisés en physique théorique par Grossmann (1983).

Dés lors de nombreux chercheurs apportèrent des bases mathématiques solides en faisant apparaître la notion de base orthogonale (Meyer, 1985), d’analyse multirésolution (Mallat, 1989), et d’ondelettes à support compact (Daubechies, 1988).

Pour obtenir plus de renseignements sur l’histoire des ondelettes le lecteur peut se référer aux ouvrages [1] et [2].

1.1 - ANALYSE DE FOURIER

L’analyse temporelle d’un signal doit s’accompagner très souvent d’une analyse fréquentielle. La première représentation nous renseigne sur la durée du signal et ses discontinuités, la deuxième présente l’intérêt de renseigner sur la périodicité du signal.

1.1.1 - Transformée de Fourier

La méthode dite de décomposition en série de Fourier, consistant en la décomposition d’un signal en somme de fonctions sinusoïdales de fréquences différentes, est l’outil le plus connu et utilisé pour le passage du domaine temporel au domaine fréquentiel [3].

Les séries de Fourier sont utilisées pour l’étude de signaux périodiques (par exemple, les signaux carrés, triangulaires etc…). Ceux-ci peuvent en effet être représentés comme une superposition d’une onde sinusoïdale fondamentale (dont la fréquence est appelée la fréquence fondamentale) et de diverses harmoniques de fréquences multiples de la fréquence fondamentale.

Pour les signaux non-périodiques, il est nécessaire d’avoir recours à une intégrale de Fourier, c’est à dire à une somme continue. Cette méthode consiste à représenter le signal par une superposition d’ondes sinusoïdales de toutes les fréquences possibles. Les amplitudes associées à ces fréquences représentent, comme pour les séries de Fourier, les importances respectives des diverses ondes sinusoïdales.

Ces amplitudes forment alors une fonction de la fréquence f appelée “spectre continu des fréquences du signal” : c’est la transformée de Fourier du signal. Elle est calculée à l’aide de l’intégrale de Fourier : dt e t s w s

∫

iwt ∝ + ∝ − − = ( ) ) ( ˆ w =2πf (2.1)

La transformée inverse permet de reconstruire le signal à partir des sinusoïdes qui le constituent : dw e w s t s

∫

iwt ∝ + ∝ − = ˆ( ) 2 1 ) ( π (2.2)

Pour que la transformée de Fourier existe, le signal doit être de carré sommable, c’est à dire d’énergie finie. Pour les signaux réels, cette condition est toujours remplie puisque la mesure est faite sur un temps fini.

L’analyse de Fourier suppose implicitement que le signal est identique à lui-même en dehors de l’intervalle de mesure. La fonction sˆ w( ) étant périodique de période T, il est d’usage de limiter son intervalle de définition à [-T/2, T/2].

Voici une des propriétés de la transformée de Fourier [3], dite identité de Parseval, utile pour la suite :

dw w s dt t s

∫

∫

+∝ ∝ − ∝ + ∝ − = 2 2 ) ( ˆ 2 1 ) ( π (2.3)

D’une façon générale, on peut définir la transformée de Fourier comme une application linéaire qui associe à N valeurs s(0),…,s(k),…,s(N-1), N autres valeurs sˆ₀,…,sˆ ,…,_n sˆ_N−1, définies par :

∑

− = − = 1 0 2 ) ( ˆ N k N kn i n s k e s π , n∈ {0,…,N-1} (2.4)

où N représente le nombre minimum d’échantillons à prendre pour reconstruire le signal s(t). Dans ce cas on nommera cette transformée, transformée de Fourier discrète. La transformée de Fourier discrète inverse s’écrit :

∑

− = = 1 0 2 ˆ 1 ) ( N n N kn i ne s N k s π , k∈ {0,…,N-1} (2.5) 1.1.2 - Echantillonnage

Par définition, un signal s(t) d’énergie finie dont la transformée de Fourier a un support borné [-B, B] est entièrement défini par ses échantillons s(kTe) prélevés à la fréquence

d’échantillonnage fe≥ 2B.

En multipliant le signal s(t) par la fonction d’échantillonnage e(t), le signal échantillonné suivant est obtenu :

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ~ e k e t kT kT s t e t s t s = =

∑

+∝ − ∝ − = δ (2.6)

La transformée de Fourier s’écrit alors :

      − =

∑

+∝ ∝ − = e n e T n f s T f s( ) 1 ˆ ~ ˆ (2.7) ) ( ~ ˆ f

s est donc périodique de période 1/Te . Afin d’éviter que le spectre ne se replie par

rapport aux axes de symétrie (Figure 2.1), il est nécessaire que le signal ne comporte aucune fréquence supérieure à fe/2.

Figure 2.1 - a) transformée de Fourier d’un signal s(t), b) bon échantillonnage,

c) repliement du spectre.

1.1.3 - Inconvénients de l’analyse de Fourier

Malgré son immense succès, cette technique a plusieurs défauts :

• Manque de localisation temporelle. En effet, l’analyse de Fourier permet de connaître les différentes fréquences excitées dans un signal, c’est à dire son spectre, mais ne permet pas de savoir à quels instants ces fréquences ont été émises. Cette analyse donne une information globale et non locale, car les fonctions d’analyse utilisées sont des sinusoïdes qui oscillent indéfiniment sans s’amortir. Cette perte de localité n’est pas un inconvénient pour analyser des signaux stationnaires, mais le devient pour des signaux non stationnaires. Par exemple, des perturbations sur l’axe des temps de la fonction s(t) = sin(2πf1t) + sin(2πf2t) influencent chaque point sur l’axe fréquentiel

(Figure 2.2), ce qui signifie que les moments où interviennent ces perturbations ne sont pas connus.

-B B f ) f ( sˆ f -B B ) f ( s ~ ˆ fe 2 f_e fe > 2B f 2 f_e -B B ) f ( s ~ ˆ fe fe < 2B b) a) c)

Figure 2.2 - Exemple de Transformée de Fourier sur un signal non perturbé

s(t) = sin(2πf1t)+sin(2πf2t) avec f1 = 200 Hz et f2 = 400 Hz, puis perturbé aux instants t1 = 0.1249 msec et t2 = 0.1349 msec.

• La transformée de Fourier n’est pas l’outil adapté à l’étude de signaux dont la fréquence varie dans le temps (Figure 2.3). De tels signaux nécessitent la mise en place d’une analyse temps-fréquence qui permettra une localisation des périodicités dans le temps et indiquera donc si la période varie d’une façon continue.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 sin(2πf1t) + sin(2πf2t) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 -2 -1 0 1 2 3 4 5

sin(2πf1t) + sin(2πf2t) + perturbations

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

TF[sin(2πf1t) + sin(2πf2t) + perturbations]

0 300 600 900 1200 1500 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 TF[sin(2πf1t) + sin(2πf2t)] 0 300 600 900 1200 1500 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

Figure 2.3 - Transformées de Fourier du signal s(t)=(2πt)/(30+0.001t) dont la fréquence varie dans le temps. Les figures représentent la TF du signal sur les 512, 1024, 2048, 4096 premiers points du signal. La figure en haut à gauche montre l’existence d’un pic tandis que celle en bas à droite montre l’existence d’une bande de fréquence très mal définie.

1.2 - ANALYSE TEMPS - FREQUENCE

Gabor dans les années 1940 [4] découvre la première forme de représentation temps-fréquence. Sa technique consiste à découper le signal en différentes plages ou fenêtres de longueur fixée. Chaque plage est alors étudiée séparément des autres par l’analyse traditionnelle de Fourier.

Une telle méthode est appelée transformée de Fourier à fenêtre glissante ou “Short Time Fourier Transform” (STFT). Avant d’aborder la STFT, le découpage du signal en différentes fenêtres va être présenté.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 TF[s(t)] sur 512 points 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 TF[s(t)] sur 1024 points 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 TF[s(t)] sur 2048 points 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 TF[s(t)] sur 4096 points

1.2.1 - Le fenêtrage

L’idée consiste à tronquer le signal en ne le considérant que sur un intervalle fini [-τ, τ]. Ceci revient à multiplier le signal s(t) par une fonction de fenêtrage φ(t) qui est égale à zéro en dehors de l’intervalle d’étude. Le produit :

) ( : ) ( ) (t t b s t s φ − = _b (2.8)

contient alors les informations de s(t) autour de t = b. En particulier si φ(t)=χ_[−τ,τ](t), voir Figure 2.4, alors :    = ₀( ) ) (t s t s_b (2.9) χ_[−τ,τ](t) Figure 2.4 - Fonction φ(t)=χ_[−τ,τ](t).

En changeant le paramètre b, la fenêtre se déplace le long de l’axe des temps. Une fonction de fenêtrage est essentiellement définie par son centre :

dt t t t

∫

∝ + ∝ − = 2 2 * ) ( 1 : φ φ (2.10)

et sa largeur, elle même définie par l’écart type :

( )

1/2 2 2 * _{( )} 1 :       − = +

_∫

∝ ∝ − dt t t t φ φ φ ∆ (2.11)

La fonction φ(t) décrite précédemment est une fonction de fenêtrage en temps. Une fonction de fenêtrage en fréquence, φˆ w( ), peut tout aussi bien être définie par son centre :

dw w w w

∫

∝ + ∝ − = ₂ 2 * ) ( ˆ ˆ 1 : φ φ (2.12)

et par son écart type :

t

-τ ₀ τ

t∈ [b - τ, b + τ] sinon

(

_*

)

2 2 1/2 ) ( ˆ ˆ 1 : ˆ       − = +

_∫

∝ ∝ − dw w w w φ φ φ ∆ (2.13)

La fonction φ(t) de la Figure 2.4 est bien définie en temps mais très mal définie en fréquence puisqu’il est facile de remarquer que w* = 0 et ∆φˆ=+∝.

Ainsi, le but est d’obtenir une fonction de fenêtrage correctement définie à la fois en temps et en fréquence. Un compromis entre résolution temporelle et résolution fréquentielle, donné par le principe d’incertitude de Heisenberg doit être envisagé (une démonstration de ce principe d’incertitude est donné dans [1]) :

2 1 ˆ_≥ φ ∆ φ ∆ (2.14)

L’inégalité ci-dessus devient une égalité si et seulement si φ(t) est de type gaussien [5].

1.2.2 - Transformée de Fourier à fenêtre glissante

En limitant le domaine d’intégration temporel à l’aide d’une fonction de fenêtrage φ(t) (pour obtenir : s(t)φ(t−b)=:s_b(t)), que l’on fait glisser pour explorer le signal s(t) (on applique la transformée de Fourier sur sb(t)), on obtient la transformée de Fourier à fenêtre

glissante (STFT) définie de la manière suivante :

∫

∝ + ∝ − = _ξ φ )( ,ξ): ( )φ , (G s b s t _b (2.15) où t i b t t b e ξ ξ φ φ _, ( ):= ( − ) et ξ =2πλ (2.16)

Le paramètre λ joue le rôle d’une fréquence localisée autour de l’abscisse b du signal temporel. (G_φs)(b,ξ) donne ainsi une indication sur ce qui se passe autour de l’abscisse t = b pour la fréquence λ. La fonction de fenêtrage φ(t) peut être complexe et satisfait la condition :

∫

∝ + ∝ − ≠ = ( ) 0 ) 0 ( ˆ _{φ t dt} φ (2.17)

ce qui signifie que φˆ w( ) se comporte comme un filtre passe-bas.

Cette transformée peut être interprétée comme une projection de s sur la base des fonctions fenêtres glissantes φ :

t i e b t t s b s G_φ )( ,ξ) ( ),φ( ) ξ ( = − (2.18)

La fonction φ_b,ξ(t)=φ(t−b)eiξt, se comporte comme une onde oscillante dans l’enveloppe de la fonction φ(t).

La Figure 2.5 présente la notion de fenêtrage temps-fréquence donnée par transformée de Fourier à fenêtre glissante. Cette transformée donne des informations sur la fonction s(t) dans la fenêtre temps-fréquence suivante [5] :

] ˆ , ˆ [ ] , [t*+b−∆φ t*+b+∆φ × w*+ξ−∆φ w*+ξ+∆φ (2.19)

Figure 2.5 - Fenêtrage temps-fréquence de la STFT (t* = w* = 0).

1.2.2.1 - Propriétés de la STFT

Linéarité :

Si s(t)=αs₁(t)+βs₂(t) est une combinaison linéaire de deux fonctions s1(t) et s2(t) avec des coefficients α et β indépendants de t, alors la STFT de s(t), est la combinaison linéaire des STFT de s1(t) et s2(t) : ) , )( ( ) , )( ( ) , )( (G_φs bξ =α G_φs₁ bξ +β G_φs₂ bξ (2.20) Translation temporelle : Si s₀(t)=s(t−t₀) alors : b0 b1 b2 ξ0 ξ2 ξ1 t w

dt e b t t t s b s G_φ ξ φ −iξt ∝ + ∝ −

∫

− − = ( ) ( ) ) , )( ( _{0 0}

[

t b t

]

e e dt t s_{( ) ( )} i t i t0 0 ξ ξ φ − − ∝ + ∝ −

∫

− − = ) , )( ( ₀ 0 ξ φ ξ t b s G e i t − = − _(2.21)

L’équation (2.21) signifie que la translation de t0 de la fonction s(t) dans le domaine temporel entraîne dans le domaine temps-fréquence une translation de t0 suivant l’échelle des temps, pendant que la fréquence reste identique.

Un changement de phase dans le domaine temps-fréquence, directement proportionnel à la translation suivant le temps (t0) peut également être observé.

Translation fréquentielle : Si s ₍t₎ s₍t₎eiw0t 0 = alors : dt e b t e t s b s G_φ ξ iwtφ −iξt ∝ + ∝ −

∫

− = ( ) ( ) ) , )( ( 0 0 ) , )( (G s b −w₀ = _φ ξ (2.22)

L’équation (2.22) signifie que l’amplitude et la phase de la transformée de Fourier à fenêtre glissante de s0(t) sont identiques à celles de s(t). Cependant, la localisation de la fonction s(t) dans le domaine temps-fréquence est translatée de w0 suivant l’échelle des fréquences.

1.2.2.2 - STFT discrète

Comme pour le cas de la transformée de Fourier discrète, l’intégrale (2.15) peut être évaluée sous forme de somme en échantillonnant convenablement la fonction s(t) ainsi que la fonction de fenêtrage φ(t).

La transformée de Fourier à fenêtre glissante peut être représentée de la façon suivante :

∑

− = − − ≈ 1 0 ) ( ) ( ) , )( ( N k t i n k k n n h s t t b e nk b s G_φ ξ φ ξ (2.23) où kh bk t_k = = k = 0,…,N-1 et Nh n n π ξ = 2 n = -N/2 ,…,N/2

En particulier quand h = 1, on obtient :

∑

− = − − ≈ 1 0 2 ) ( ) ( ) , )( ( N k N kn i n s k k n e n s G π φ ξ φ (2.24) 1.2.2.3 - Exemples de STFT

Pour appliquer la STFT et montrer l'effet de la largeur de la fenêtre, le signal perturbé Figure 2.2 est utilisé. Ce signal représente la somme de deux fonctions sinusoïdales de fréquences f1 = 200 Hz et f2 = 400 Hz perturbées aux instants t1 = 0.1249 msec et t2 = 0.1349 msec, avec K = 4.9 comme choix arbitraire.

[

( ) ( )

]

) 2 sin( ) 2 sin( ) (t f₁t f₂t K t t₁ t t₂ s = π + π + δ − +δ − (2.25)

Le calcul de la STFT va être effectué pour trois différentes tailles de fenêtre rectangulaire que l’on applique au signal. Le signal, comportant 2048 points, ainsi que les fonctions de fenêtrage sont échantillonnées à 8 KHz. Les différentes tailles de fenêtre sont 20 msec, 10 msec et 5 msec, ce qui correspond à un nombre d’échantillons dans la fenêtre de 160, 80 et 40 respectivement. Sachant que les deux perturbations sont espacées de 80 échantillons, les fenêtres de tailles égales ou supérieurs à 80 échantillons ne sont pas assez étroites pour distinguer à quels moments ont lieu ces perturbations.

Au départ (Figure 2.6), la fenêtre de temps appliquée au signal est large par rapport à l’intervalle de temps des deux perturbations, si bien que celles-ci interviennent à des instants que l’on ne peut quantifier. Cependant, les deux fréquences se distinguent facilement de par la haute résolution de la fenêtre dans le domaine spectral. Comme la taille de la fenêtre devient de plus en plus petite, on commence à avoir une idée des instants où ont lieu ces perturbations tandis que la résolution en fréquence se dégrade. Pour une taille de fenêtre de 40 échantillons, les deux perturbations se distinguent très facilement mais l’information sur les deux fréquences est perdue.

Figure 2.6 - STFT du signal original en a) pour des fenêtres de largeur b) 20 msec, c) 10 msec, d) 5msec.

1.2.3 - Bilan sur la STFT

Dans la méthode de Fourier, les “fonctions de bases” sont totalement concentrées en fréquence (impulsions de Dirac) et totalement réparties dans le temps (sinusoïdes non amorties s’étendant de -∝ à +∝). C’est une autre façon d’expliquer que le passage dans l’espace de Fourier donne le maximum d’informations sur la répartition des fréquences mais perd entièrement les informations relatives au temps.

Dans la méthode de la transformée de Fourier à fenêtre glissante, les informations temps-fréquences restent couplées par un compromis, limité par la relation d’incertitude, sur la localisation à la fois en temps et en fréquence. Ceci met en évidence les avantages de cette méthode sur celle de Fourier.

Cependant, la méthode de la transformée de fourier à fenêtre glissante, présente l’inconvénient majeur d’avoir une fenêtre de longueur fixe. Il n’est donc pas possible d’analyser simultanément des phénomènes dont les échelles de temps sont différentes. De plus, le calcul de la STFT doit s’effectuer pour chaque changement de taille de la fenêtre d’où une charge de calcul importante.

Une autre méthode d’analyse, qui ne privilégie aucune échelle particulière mais qui généralise à toutes les échelles, l’analyse locale des fréquences obtenues par la STFT, est donc nécessaire. En 1982, Morlet ouvre la voie conduisant à la solution en construisant la transformation en ondelettes [6]. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0 500 1000 1500 2000 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0 500 1000 1500 2000 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0 500 1000 1500 2000 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -2 0 2 4 a) b) c) d) 0.25 0.25 0.25 0.25 Temps en msec F ré q u e n c e s e n H z A m p lit u d e