Influence de l'anisotropie initiale et induite sur l'instabilité plastique en emboutissage

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Influence de l’anisotropie initiale et induite sur

l’instabilité plastique en emboutissage

Mohammed El- Majdoubi

To cite this version:

Mohammed El- Majdoubi. Influence de l’anisotropie initiale et induite sur l’instabilité plastique en

emboutissage. Autre. Université Paul Verlaine - Metz, 1987. Français. �NNT : 1987METZ006S�.

�tel-01775721�

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I N S T I T U T

S U P E R I E U R

D E G E N I E

N E C Ê N I O U E

E T P R O D U C T I Q U E .

U n i v e r s l t e d e m e t z

T H E S E

I ] E D O C T O R Ê T

D E L ' U N I U E R S I T E

D E N E T Z

E N N E D Ê N I q U E

f + F p r é s e n t é e à l ' U n i v e r s i t é d e I i E T Z p o u r l ' o b t e n t i o n d u g r a d e d e d o c t e u r e n f 1 É c a n i q u e p a r H T H Ê N i i E i ] E L i 1 â J D O U E I I I I F L U E N D E I ] E L ' Ê N I S O T R B P I E IH I T I È L E E T I H I ] U I T E S U R L ' I I I S T Ê E I L I T E F L Ê S T I Q U E E I I E i i B i ] U T I S S Ê G E S o u t e n u e p u b l i q u e m e n t I e 2 5 i u i n 1 9 8 ? ' : ï e u a n t I e i u r U E o m p o s e

f l e s s i e u r s :

G . F E F R O N

J . 1 1 . J Ê L I N i E R

J . R . X L E P Ê C Z X O

R . N O L I H Ê R I

F . R O N D E

O U S T R U

Ê . z Ê 0 u I

)38+ O/l,S

4rrs

s+16

, . 1

P L Ê i J

. C H Ê P I T R E I t ) f l c d è l e d e b a s e p o u r l a d É t e i - n i n a t i o n a n a l u t i o u e d e D ' L ' F i ) t c i t è r e d e i ' a p p : r i I i o n i e l a s t r i c L i o ; i i e n s l e l ô l e 2 ) Ê p p r o c h e i e i l e r c i n i e c \ - K u c i z i n s k g i - i ) l 1 o c È 1 e i e s E i i u r c ; L i o n s C e l ' : i é i c r n e L i s n 4 ) r - 1 . - ' F i - o c h e I i n é e i r e i e ' 3 . F e r i - o a e L l l ' i i l e h ; T c u : L i 5 ) l i o C e I i s a L i c n d e I a s u r i ' Ê c e Ë e c h e i - g e C I . : ; J P J T i E I I P r i s e e n c o n p t e d e i ' a n i s o t r o p i e i n i i i a l e _I 1 ) i n L i - c ' i u c L i o n 2 ) a n e l g s e I i n É a î i - e i e l ' i n s l a l ' ! l i L ê p l ' = s L i c ' u e : : ) . De s ci- i pL i sn'ju l i s Ê è ie i e i ' ; Ë ; c l L l l i i l Ê i ( - I u c z i n s ) ' : 1 ' l ( i i - i ( ) 4 ) f i p p i i c e L i s n d u i ' i o ' j t l a i ' 1 - i ' ( à C e s T i l e s = n i s c t i - c ' ; e s 5 ) E f i e L C e c o u r b ' u r e È ) 5 f t ' e L ' - i e r c t e L i o n i l È , p p l i c a L i a n a u p r o b l è r ' e d ' i n s t a t ' i I i L ê 8 ) Ê n i s o L r o P i e L r ë n s ' r e r s 3 ) Ê l p p I i c e L i o n e u z i r c c n i u r n e L a u t i t e n e

C H Ê P I T R E

I I I

E c r o u i s s a g e I n d u l t

1 ) L l b L e n t i o n e t r é s o l u t i o n d e s é q u a t i o n s

2 ) E v o l u L i c , n d e I a s u r f a c e . j e c h a r - q e .

c l ) L l o m p a r a i s o n

d e s ù . L . F a b t e n u e s à p a r L i r ' i e s , i e u x l o i s

) t L - - - . . : - - - - ^ u t r L l u u l > : É J ( l E . 4 ) E f f e L d e r o t a t i o n C o n c i u s i o n Ê n n e x e 1 Ê n n e x e 2 Ê r n e x e 3

I N T R O D U C T I O N

:

D e n s I e b u L , i ' é c o n o n i s e r , j e l ' é n e r g i e e L d e l a m a L i è r e p r e , n i è r e , o n e s s a i e

, j ' u L i l i s e r e u m i e u x I e s n : L é r i a u x d , : n s I e s

F r o c € s s u s , i ' e r , b c u l i s s e g e e L d e n i s e e n f o i - m e C ; s n a L É r t ; u x . L a p r c , b l è r u e c l u i s e p o s e s E u u e n L I c r s , j e l ' e n b o u t i s s : : - e d e s L ô l e s e s L l ' = n i i i - i t i n n , i ' i r n é c c u l e , ' : r e n L p l a s t i q u e l o c . : l i s é , ! u i ' i i i n i n u e l e s p a s s i b i l i L é s , i : . ! t f v r i r r ; ; n p , ' i : t n . r l É r i e u . r u r : r r . J ! _ C n r e F r é s e n L e c e L L e p c s s i L ' i I i t é , i e f c r n a g e p ; i - d e s o l , . r - = l é s € c i i l ^ b € s t i ; i L e s ' j e i ' c r u * ' ; g : ( D . L . F . ) c ù . ' e s L S i l e s é t u C e s e x p é r i r n e n L a l e s p e r m e L L e n L d ' a g i i - s u i - l ' u n a u i : t e c h n i q u e s d ' e r ' b o u I i s s a E e s a n s L o u c h e r à , j ' a u t r e s , e l l e s c e q u i c û n c € r n e I e s F r o p r i é L é s , j u n a L é r i e u , e n f a i L c ô r ô c L Ë r i s L i q u e C u n e L É r i , = u , o n a g i L s u r s a r i i c r o s L r u c t u r e , n o d i f i c a L i o n , j e L o u L e s s e s p r o p r i é L é s d ' c ù I ' i n L É r ê L d ' u n e : i - - - - * * ' - ^ 1 - ^ \ U l O S t 6 l i l l l ' C S \ L r - + + ) - ^ - . , - - l : - - I ^ 1 . . -! , q r , _ u r i v = r i L : u i t i û ! : : u 3 F r r 3 n é r = l n - . . 4 i ^ r i , , -L ' l S s r l ç l q l U i l U l S L I l ; ! L : = l - - t - - : ^ I = f ' r c i l u = i a L ô l e . - - . . - L - - r : - : l - - J - â - - - ^ L U i j l i = s I l i r i l L E ] , j = I u t i r c l E r r r Ê i r : - = s L i ' i c L i c n . s u p é : ' i e u r e û : i i i - r u a g e i ' u ; - ' e L ô l e s : i s c u ' i i . , ; a i l - i - u p L u i - e ie i a i : - 1 i e . l - a C : u i : i e ; = e s L s i L u É : : n r é l ' É r ; l e n ' i e s s û L . i . s i: ! : F r : n i ë r e . Ê u , j e l à i e c e L L e t i n i L e I a p i è c e n ' e s L p l u s r - r e l : i ' I e p c u r Ê e s i - i i s û n s I : s L h é ' " i q u e s c u , i e l r è s i a i b l e r é s i s L a n c e ' j e c e L L e s L i - i c L i ' . i i q u i e s L i : ' ; s r e t i : à I a c r r r r s i c n . L a i i i u i L e ' j = i o r r u e g e i e s r , e t é r i e u : , : , j é p e n d i e p l u s i e u r s p e r e r , è L r e i l . u i s r : n L I i é s s c l L E u i : L : c h n i c . u e s É ' e , - ' b c i r L i s s e r : e ( g é c n : É L r i e . i e s p i è c e s , c a n , i i L i o n s d ' o F é i - ; L i c n s ) , s s i L e u : : c e i - a c L é i - i s L i q u e s C e l a L i : l e ( s e n s i b i l i L é à 1 ; , , , i t - e s s e ie , : é i o r n e L î o n , é c r c u i s s a g e , a n i s c L r c p i e t ' l a s L i q u e . . . ) . L . i J - - - - - : r - ^ - 1 : a u = 5 P 6 t q t ; r ç L I E > l l t r I - - - r ^ : - -r i = v u i l L P g 5 t u t i l t r r l p o u r m o ' j i f i e r u n e , : Ê q u i e n t r a i n e u n e . = n a l U s e t h é o r i q u e ,

-1 q u , e l l € i - r c u s p e r n Ê L d ' é L u , j i e r t ' i n È l u e n c e d e c h ; c u n à e _{s Ê s F a r a m è L r e s} s é p a r é m e n L . C e L L e ; n a l U S e c c m p r e n d L r o i s p a r - L i e s q u i f t r c i - , L l ' o b j e L ' j e n o L r e L r a r ' , a i L L a p r e m i è r e e s L u n e É t u , j e b i b l i o g i ' a p h i q u e d e i a m o ' j É l i s a L i c n d e I ' i n s t e t , i l i L é p l s s L i q u e . L a , i e u x i è r e p a r L i € c c n s a c r é o à ' j e s n a L é r i a u > : : ' i e ' n L u n e e n i s c t r o p i e i n i L i a l e e L d o n L I ' é , . , o l u L i o n E u c o u r s d e I a ' i é f o r m a L i o n e s L r É g i e . E È I - u n e I c i , : ' é c r c u i s s e g - ' i s c L r o i e c c i - r ! r Ê n ' i d e u i : é L e p e s i - u n e e n ; I U s e i i n É : r î s é e d e i ' i n s L e b i l i L é p l o s L i q u e , I ' é L u , j e d e I ' ; p p r - c c h e i i Ê R C l l ' . l l Ê D l - ( - i i u c z l i j : - : : K \ " c c ; " b i n é à i ' e f t ' e L , j e l a r c t ; L i a n . D e n s I a ï i - c i s i è r u e p ; i L i e û n v , f L e n i i - c c ' - i p t e d e I ' a ; r i s o L : - c . ; i e i n ' j u i L e , i - u i C é I i s é e F a i - u n € I o i t i ' ê t r o u i s s e g a c i n é : - u a i i q u e .

C H Ê P I T R E I I ) l l o d è l e d e b a s e p o u r I a d É t e r m ! 1 ) L l i - i L è r e i e I ' , : p F ; r î L i c n d e l a s I r i c I i o n ' i a n s l a L ô l e 2 ) Ê p F r o c h e C e t ' i a r c i n i e c i l - ! ' ( u c h z i n s h U . i ) i i o i è l e C e s E i i u r c a t i o n s C e l a É Ë f c r n a t i c n 4 ) Ê F F ' r o c h e l i n é a i r e d e G . F e r r o n e t I ' 1 . t ' i l e h a T o u a L i 5 ) i 1 c i e I i s a L i o n C e I a s u r l a c e C e c h ; r g e

C H R P I T R E I . N O D E L E S D E B Ê S E P O U R L â D E T E F N I N Ê T I O N Ê N Ê L Y T I Q U E D E S C . L . F . 1 ) E r l t è r e s d e l ' a p p a r i t i o n d e l a s t r i c t i o n d a n s ' l a t ô l e '

a ) c 5 | t e l e - 4 9 H I - L L t 1 1

S e l o n H I L L ( 1 3 5 2 ) I ' i n s L a b i l i L é

d ' u n e t ô l e

s o u m i s e à u n e s o l l i c i L a t i c n

b i a x i a l e c o r r e s p o n d à

I ' a p p a r i L i o n

d ' u n e s L r i c t i o n

I o c e l i s é e ,

s u i u a n L u n e

, l i r e c t i o n d ' e x L e n s i o n n u l I e .

C e L t e d i r e c t i o n

e s t

d é f i n i e

F E r l ' i n c l i n a i s a n

, l ' e n g l e r y p e r r a F p o r L à I a p l u s g i - a n , j e

c 0 n L r a i n L e p r i n c i p a i e .

\ r = a r c t g . U = r 7 ù a L , e c p = . 2 ! . ê 1 , q u i c é f i n i t I e c h e m i n C e C é f o r i n a L i o n . D o n c I e c r i L è r e , l e H I L L n e p r é v o i t , j e s t r i c L i o n q u e p o u r d e s c h e n i n s d e d é f o r m a t i o n n É g a t i f s ( p { O ) , E u n o n e n t c ù l a f o r c e n o r n a l e à I a s t r i c t i s n p a s s e F a r u n ina>: i num . L-. 1 _{c n . o i - e n d} c o a i i i e c r i L è r e c e l l e d e H O L L O I I ï 1 ' j ' é c o u L e n e n L c e i u i ( î _{= k é n ) a u e c} - c e L U 0 i . l l ' 1 l i - : E S e t F ' c u r l c i É L a n t r e s n e c t i r . r e r n e n t l a J ^ U E

: , / .

^ - - . . : - - - - ^

u E L t u u t > : Ë J ù E - - - r - - : - ! - - r ) , . * L l - - : - ! -u -u r g L i E t i t L u ' i é f c r n a L i c n é c - u i u a l e n I e s , I ' é o - u a t i o n d e l a D . L . F . ' l a n s I e ' i o n e i n e - - . , - 4 - , , - l l - - . r u u u t E u u é L i u r l e l + a 2 = n q u i f o u r n i L u n e b o n n e a r , p r o x i m a L i o n p o u i - d e s m a L é r i a u x u i t e s s e d e ' i é i o r r i i a t i o n . ^ * : L 1 -' | - E u 3 E i l > t u r E 5 l É n r € p r e s e n L e l e c o e t ' f i c i e n l d ' e c r s u i s s a g e

b) Qr_i!è1e

je_sg$!

: 121

S T J I F T (1 9 5 2 ) a é L e n d u l e c r i L è r e d e C O f I S I D E R E ( 1 8 8 5 ) p o u r I a s t r i c L i o n d i f f u s e ( s o l l i c i t a t i o n u n i a x i a l e d ' u n e é F , r o u u e t L e ) a u c , i s d ' u n e s o l l i c i t a t i o n b i a x i a l e , l ' u n e L ô l e . I I s u p p o s e q u e l ' a p p a r i L i o n , i e l a s L r i c L i o n a l i e u I o r s q u e l a c h a r g e p a s s e p â I - u n r n a x i m u m d a n s I e s d e u x d i r e c L i o n s d e s o l l i c i t a L i o n d e I a t ô l e . D e m â m e p o u r u n m a t é r i a u q u i o b é i L a u c r i L è r e d e V O N f l l S E S e [ à l a l o i d ' é c r o u i s s a g e F = k F , o n o b t i e n L u n e C . L . F . q u i e s t n e t t e m e n t a u d e s s o u s d e I a d r o i t e d e H I L L ( f i g u r e 1 ) , d a n s I e d o m a i n e d u r é t r e i n t .

.<1

5\i r

ï

(1 n \ - I F i g u i ' e 1 ; C r u r b e s I i m i t e s d e i o r n a g e o b , L e n u e s Ë u € , : I € s . t r , " . " s C e Ë t J l F T e t ' i e

H I L L .

2 ) F l p j : r o c h e d e f l a r c i n l a c k - X u c z i n s k u . t 3 , 4 I P o u r s u r m o n t e r I e s d i f f i c u l t É s c i - d e s s o u s , l l f r R 0 l N I Ê C K e L K U C Z i | I S . K Y é t u d i e n L l ' : n n . r r i l i n n , l ' u n e s L r i c t i o n I o c a l i s é e e n f a i s a n L l ' h U p o t h è s e d e I ' e x i s t € n c e . q F y u r , l ' u n e h é L é r o g é n é i t é I o c a I e i n i t i a l e m o d é I is é e p a r u n e b a n d e é L r o i t e d e s o u s É p a i s s e u r . I l s o n L e f f e c t u é I e s c a l c u l s d a n s I e d o m a i n e d e I ' e x p a n s i o n t o u t e n s u p p o s a n L q u e l e d É f a u t e s t p a r a l l è l e à l a d i r e c L i o n p r i n c i p a l e d e I a L ô l e

( v = o ) .

Lin ,ié Èau L -rÉ cr-rÉ t i- i que l n i t i a l s - i u s l - â - - - - l r . . -I t I U t l , i É U U ; l E

?

F i r u r e 2 : T ' c l e L - . - l ^ r - ' É ; l u E - - - - : - - - I - - I

é L r o i t e .

E n s u i l e H u L c h i n s o n e L i i e a l e r é l i - e i n t ) t c u t e n s u p p o s a n L e u : i a : i e s p r i n c i F a u x C e l a L ô o n t é t e n d u i ' a n a I q u e ! . a b a n f r e e s L t

-g s e à t c u t

i n c i i n é d ' u n J - - - : - ^ / ^ . , - - - - : û O i r ; A i n e t € i : F E n S I B n + - ^ - 1 - - - - Ê Ê , F + É i l _ u r E 9 , j - , É r r c F , y u r L l -! E 3 ) f l o d è l e s d e b l f u r c a t i o n d e l a d é f o r m a t i o n

t 5 l

C e s n c d è l e s s u p p o s e n L l ' h o , r i o g é n É i t é I ' a F , F a r i L i o n d e s t r i c t i a n u n i q u e r ' e n L a u : < I L e m o d è l e , i e L h é o r i e , i e l a i é f o r r n a t i o n u L i I ' a p p a r i t i o n d ' u n p o i n t a n g u l e u x s u r l a , - r e c t € u r v i L e s s e , i e d é f o r m a t i o n a p l u s , S e I r e s t s n L à I ' i n [ é r i e u r d u c ô n e d e s n o r m a l e s i n i L i a l e , j e s r - r a t é r i o i s d e c E n r F E r t e n e n L . I i s É p a r i i T F : : D F : E i l e L R l s u r f a c e d ' é c o u l e m e n c . i b , e r t é C e c h ; n g e r i e d I U . \ E L - - l : t E l t E i r L- - l

C E ( 1 ! ? 5 ) s i i n u

E n c e p o i n t

i r e c L i o n t o u t

l -I g I e

h

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E t l

é )

5 i j

n l F i = ' - . : . i - e l + : F : e ; , r É s r n i a L i t n s c h É m a L i q u e C e s s u r ! ' a c e s ' 1 ' é c c u L e r ' e n L C s n s l ' e s F a c e I C e s c c n L r a i n L e s i i o n L i ' a n L l e s d i r e c I i o n s ' i e s r , r e c L e u r s r. r i L e s s e d e i e à e f o r m a L i o n : u n e s u r f a c e d ' é c o u l e r n e n L s a n s p o i n L a n o u l e u x . u n e s u r f a c e d ' é c o u l e m e n L a v e c p o i n L a n g u l e u x ( u e r t e x ) D o n c u n e t r è s n e L i t e u a r i a L i o n d ' u n É L a L d e c o n L r a i n t e s p e u t e n t r a l n e r u n € q r a n , i e u e r i a L i o n , i e r , , i t e s s e s , i e , i é f o r m a t i o n , c e q u i p e u t f a t r e r i s e r I ' a F F a r i t i o n d ' u n e s t r i c L i o n . É t l a d i f f é r e n c e d e l a t h é o r i e d ' é c o u l e m e n L p l a s t i q u e o ù l a s u r f a c e d ' É c o u l e m e n L n ' a p a s d e v e r t e x , I e v e c t e u r v i t e s s e d e . i é f o r n a t i o n r e s p e c L e l a I o i d e n o r m a t i t é . D o n c i I n ' a p l u s c e t t e I i b e r t é d e d é p l a c e m e n t e L p a r c o n s é q u e n t l e m a L é r i a u e s t p l u s s t a b l e . b )

t 6 . 7 t

C e L L e s p p r o c h e s u p p o s e e u s s i I a p r é e : < i s t e n c e d ' u n d é f a u L i n i L i a l , j , i n c i i n s i s c n V s , à l a , j i f ' t ' É r e n c e , j e I ' a p p r o c h e d e l l . K I e s c e l c i i l s s ' e p p u i e n L s u r i e r , o , J è l e à C e u : < z o n e s r r i , a i s s e I i n i t e n L à u n e a n , j l u s e ; u p r e n i € r t r i r e q u i _{F E I - s B n c t u r e s e I i n i t e} à ' i e s v a l e u r s î a i b l e s ' i e s d i f f é r e n c e s l a E r e n - l i e ; i n e s ' r é g i e s p E i - I ' c p é i - a L i u r E . ê u c o u r s , j e I a i é f c i - r u e L i c n l ' i n c l i n a i s o n c L î u r a n L e ie ] a b a n c e ' , : r e s L r é g i e p e r I ' é q u e L i o n L g , l = [ e x p ( a ' - e z ) ] L g ( 9 . )

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F i g u i - e 4 : T ô i e p r É s e n L a n L u n i é f s u L I i n É , : i r e ' i ' é p e i s s € u i - ' E n u t i I i . s a n L l , i c é t ' i n i L i o n d e , j é i o r m a L i o n I a g c r i L h n i q u e o n a : E r l n ( h / h r ) è 3 h / h 6 é . : E I n h - 6 l n h u E è , 6 h

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C e s n c d è l e s n e L i e n n e n L c o r n p L e q u e d e s c h a n ! e r n e n t s d e d i m e n s i o n d e s u r f a c e , l ' É c o u l e n e n t , l e s c r i L è r e s l e s p l u s c l a s s i q u e s s o n L c e u : < d e V D i l l l I S E S d e H I L L . p o u r u n m a L é r i a u i s o L r o p e s o u m i s à u n é l a L d e c o n t r a i n L e s n u l t i a x i l c o n L r a i n L e é q u i v a l e n L e ; t -t q e L l

-s ; j É L a n L l e , j é v i a t e u r C e -s c o n L r a i n L e -s , d c a r e c L É r i -s e I a C i n e n s i c n ' i e l a s u r i e c e ' l e c h e r g e . D a n s I ' e s p È c e ' i e s c c n L r a i n L e s l e c r i L è r e C e v i e n L : e n s u i i . e i j j L L I S ] - i n L r o i u i L u n c r î L è r e q u i r e n , j c o , ' i r p t e c e i ' e n i s c L r o p i e ' j u , * r e r r É r i : u ( s r i - h o L r c p i e ) c l u i s ' é c i - i L p o u r u n é L e l - ' i e c Û n L i . a i n L e s m u l L i ; : ' : i a l ' i ; n s I e i - e p è i - e p r i n c ï p a l o ' a n i s o L r c p i e . i . . . 1 . ' ô - ? r t t l / ? i = F = i i 1 ( f . . . , , - r r " ) = + F - l . 6 r * - , t - , ) e + i i l : f : r - f r ' ' , 1 ) t + 2 ( P ' ; i - - + L t ' ; - + ' J f Î ' r ) l l r c i , F , G , i l , F , L , Ë s - . n L i e i , : , : € i i i c i e n L = q u l . ; r Ë . t É r i s e ; i L I ' a n i . s - " L r c F i e ' j u = = i É - i = ' ; F t é c e - * r , - = n i . Ë . t - t l j Ê i . i i i . i \ ' .= i c r r " u l Ë u ; ] c i - i t ë . e : i u s s ' c u l l e , c u i F € I - i î i € t u n e C e : c r i c L i c n r , e i I l e u r : È e I a s u r i a c e d ; c h a i - g e e i ' r f e i s ; n L ; p p e I à i e s Ë q u a L i c n s i r - ; - ' , - - _{- u i s ' é c i - i r . , e n L F û u r u n n a L é r i a u a i ; e r L u n e a n i s c L r o p i e i c r n a l e ;} L l g i , ! i i i = L l I L l u = ! , \ G + G_{, i : : (} ' 9 9 ) 1 . = _ = g ( g ) c o s I î _ G s x : < - Y Y U = _ - . - . - - = E ( e ) s l n I é u s o ù s ( Ê ) r e p r é s e n L e I e r e U o n p o l a i r e d ' u n p o i n L C a I a s u r f a c e ' i ' é c c u I e i r , e n L . 6 , e L ç ! s c n L r e s p e c L i l , e r n e n L I e s c o n L r a i n L e s d ' é c c u l e n i e n L e n E l : p E n s i o n b i a i : é e s g r , ' , É L r i q u e e L e n c i s s i l l e n e n L .

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i n L r o d u i s a n l u n L e r m e C e m É n o i r e â ( e ) . r ! ; . ; = B ( e ) D i ; - â ( é ) à o , , e s l f o n c L i o n I i n é a i r e , j e I a d é f o r m a t i o n é q u i v a l e n t e é . e s L I a u i t e s s e d e ' l é f o r m a t i o n é q u i v a l e n t e f o n c L i o n d e s u i t e s s e s ' j e d é f o r n a t i o n D ; - ; - / 7 n . ' n . n o u r u n m a t é r i a u i s a t r o F e . - v z . u i - ! Y ' t i ! ) E n F ; i - L a n L c u c i ' i l è r e a n i s o t r c p e , j e H I L L S H R I \ J Ê S T i i â e L I U B E Y ! ' 1 . r ' ! - . Ê r é i , r . - r i c À , a ^ - ^ , . : - ^ - - ^ u E L i . u u r > = û s E c ^ - - - - ^ I U l l i l a g E . I ' é v c l u l i o n d e I a s u r i a c e d e c h a r g e à I ' a i d e d u r r o d È l ' e c i n é n a L i q u e , q L r ' û n , 3 é u e l t r p p e r a p o u r t r a c e r d e s c o u r b e s I i m i t e s ' j e

ô * . .

-Â E i | i q I U U E f i F a i - L i r , i e c e s , i e u x n o , i è l e s , c n p e u L , j é , j u i i - e u l l m o C è 1 e à ' ê c r c i - i i s s a E e n r i x t e q u i I i e n t c s m p t e e n m â m e t e n r p s d u , i é p l a c e n e n L . i e l a s u r f e c e , l e c h e r - c e e i d u c h ; n g e n i e n L C e s a i o r - n e e L ' j e s e s d i m e n s i c n s .

C H Ê P I T R E

I I

P r l s e e n c s m p t e d e l ' a n l s o t r o p i e l n i t i a l e 1 ) l n l r o d u c l l o n â ) ; n a l g s e I i n é a i r e C e l ' i n s L , = b i l i t é p l a s L i q u e

x I n f l u e n c e d e T )

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l u e n c e , i e s p a i - a n è L r e s

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' a n i s o L i ' c p i e

3 ) D e s c r i p t i c n , i u f i c ' j è l e Ê e i i Ê 1 5 : u l i i l Ê K - I u c z i n = i : g ( i i - K ) , i r - - r i - = r i ^ - . - r u l, 1 o i è l e f 1 - K à C e s T ô I e s a n i s c L r c F r s - ) n ! ! I l L É L À U l r u t r l 5 ) E i f e L d e c t r u r t , u r e

Ê ) E f f e t d e r o t a I i o n

? ) É . - ' p l i c a t i o n a u p r o b l è m e d ' i n s L a b i l i t é 3 ) Ê n i s o L r o p i e t r a n s v e r s { 9 ) Ê p p l i c a t i o n a u z i r c o n i u m e t a u L i t a n e

C H Ê P I T R E

I I .

P R I S E E N C O N P T E

D E L ' A N I S O T R O P I E

I N I T I Ê L E .

1 ) I n t r o d u c t i o n ( G é n é r a l i t É s ) .

L ' a n i s a L r o F i e , i u F c l u c r i s l a l e s t û t e ' l u f a i t q u e c r i s L a l l o g r a p h i q u e s d e s g r a i n s n o n o Ê r i s L a l l i n s a n i s o L r o F e s m a L é r i a u n e s o n L p a s r é p a r t i e s a u h a s a r d . C e r L e i n e s d i r e c L p r i u i t é g i é e s q u e d ' a u t r e s f o r n a n l a i n s i I a l e x l u r e c u n a l é r i a u . C e L L e a n i s o t r o p i e s e m a n i f e s t e d ' u n e t ' a ç o n é u i d e n t e I o r s u n i a : < i a l e d ' u n e é p r o u ' ' , e t L e d e c e i ' L a i n s i r a L é r i a u : < t e l s q u e I e s f . À 1 _{t ^ - - , , = l o n o b t i e n t :} L c . ' 1 J , I - ' u u r r E ) q u r

I e s d i r e c t i o n s

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d e c a l c u l e r r ( u ) c o e f f i c i e n L

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d ' a n i s o L r o p i e ( x , u , z , ) s ' é c r i v e n t :

D . . . = . \ t r [ ( G + H ) c o s e a - H s i n ? a ) / f D r , = . \ 6 [ ( F + H ) s i n ? c r - H c o s e u ] / f D * , = + À o [ P s i n c < c o s a ] / f D = . = - ( D t . + D " - - ) H + ( 2 P - F - G - 4 H ) s i n e c ' ' c c s e c t

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L e s q u a t r e s é q u a [ i o n s ( 4 ) ,

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( 4 )

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( 5 ) , n c u s d s n n e n L I e s c o e f f i c i e n L s F , G , H e L P r B n r -$ = 1 + r o l ^ r o u ( 1 + r o ) I 1 + r o ( 6 )

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n . r r r , ^ e r | . = i n c r = t 4 - : - " - l t s v s - . . . - L t r l I q u À , E I

c Ë r a c L é r i s e n t d e s d i r e c t i c n s i m p s r t a n t e s p o u r

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e t p 3 r c o n s é q u e n L o n s u r a L o u j o u r s u n p r o b l è m e , c a r d a n s c e L L e z o n e l e s a x e s p r i n c i p a u x d e , J é f o r m a L i o n s n e c o Î n c i d e n L p a s ô v e c I e s a x e s d ' o L h o L r o p i e ' E n i m p o s a n L a u i : e x L r é m i L é s , l e I a L ô t e u n c h a r g e m e n ; c a i ' a c L é r i s É p a r I e c h e n i n d e d é f o n r n a L i o n P = c | / e | = D â ? / D î r Q u , o n m a i n L i e n L c o n s L a n L , l a r o L a L i o n d e l a b a n , l e i n c l i n É e ' l ' u n e n g l e i n i t i a l V o e s L ' i o n n é e p a r : L E r p = L g V o

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( 3 3 )

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