arithmetique

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Arithm´ etique

Sur le pgcd

Comment définir le pgcd de deux entiers ? Pouvez-vous donner des propriétés ca- ractéristiques du pgcd ?

Quelle r`egle permet de calculer efficacement le pgcd de deux entiers ? Calculer :

- pgcd(792, 318) ;

- pgcd(11a + 5b, 13a + 6b) pour a, b ∈ Z ; - pgcd(n! + 1, (n + 1)! + 1) , n ∈ N.

Connaissez-vous le lemme de Gauss ? Sa d´emonstration ?

Montrer que tout entier n ∈ N s’écrit de manière unique comme le produit d’un carré et d’un entier sans facteur carré (un entier est dit sans facteur carré si 1 est le seul carré qui le divise).

Nombres premiers

Qu’est-ce qu’un nombre premier ?

Quel est le théorème fondamental de l’arithmétique ?

Savez-vous montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers ? Connaissez-vous une autre d´emonstration ? (cf. exercice 1)

Connaissez-vous une autre d´emonstration (encore) ? (cf. exercice 2)

Savez-vous montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 6k − 1 ? A propos de Z/mZ`

Soit m ∈ Z, que savez-vous de Z/mZ ? Pouvez-vous le d´emontrer ? Que dire de Z/mZ lorsque m est un nombre premier ?

Comment caractérisez-vous les éléments inversibles de l’anneau Z/mZ ? Calculer l’inverse de 29 modulo 461.

Qu’est-ce que ϕ(m) ? Pouvez-vous donner une formule pour ϕ(m) ? Pouvez-vous la d´emontrer ? (cf. exercice 3)

Connaissez-vous la preuve par 9 ? Sa justification ?

On pose A = 4444⁴⁴⁴⁴, B est la somme des chiffres de A, C est la somme des chiffres de B, D est la somme des chiffres de C. Que vaut D ?

Th´eor`eme de Wilson

Que dit le th´eor`eme de Wilson ?

Savez-vous le d´emontrer ? (cf. exercice 4)

Que dire de la réciproque du théorème de Wilson ?

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(petit) théorème de Fermat Que dit le théorème de Fermat ?

Savez-vous le d´emontrer ? (cf. exercice 5)

Que dire de la réciproque du théorème de Fermat ? (cf. exercice 6)

Pourquoi dit-on “petit” théorème de Fermat ? Pouvez-vous démontrer le “grand”

théorème de Fermat ? Généralisations

Comment peut-on généraliser le théorème de Fermat ?

Trouver les deux derniers chiffres (en base 10) de 79⁷⁹? De 79⁷⁹⁷⁹? Montrer que si n est impair alors n | 2^n!− 1.

Soit m un entier impair non multiple de 5. Montrer qu’il existe un multiple de m dont l’´ecriture en base 10 ne comporte que des 9 (que des 1).

Nombres de Mersenne

Qu’est-ce qu’un nombre de Mersenne ?

Que pouvez-vous dire sur les nombres de Mersenne ? (cf. exercice 7)

Que pouvez-vous dire sur les diviseurs premiers d’un nombre de Mersenne ? (cf.

exercice 7)

Nombres de Fermat

Qu’est-ce qu’un nombre de Fermat ?

Que pouvez-vous dire sur les nombres de Fermat ? (cf. exercice 8) Diverses questions

Savez-vous résoudre les équations de la forme ax + by = c avec a, b et c entiers fixés ? Résoudre l’équation 6x + 10y + 15z = 1.

Cryptographie et arithm´etique

Quels sont les quatre principaux buts de la cryptographie ? Connaissez-vous le syt`eme RSA ?

Pouvez-vous justifier la faisabilité des calculs dans l’élaboration et l’utilisation d’un système RSA ? (cf. exercice 9)

Que pouvez-vous dire sur la sécurité du système RSA ? (cf. exercice 10)

Connaissez-vous le probl`eme du logarithme discret ? (cf. exercice 11). `A quoi peut-il servir ?

Refaire l’exercice 11 en utilisant l’algorithme Baby-Steps/Giant Steps.

Exercice 1

On note π(x) le nombre des nombres premiers ≤ x.

Combien peut-on former d’entiers sans facteurs carr´es `a partir des nombres premiers ≤ x ?

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Combien existe-t-il de carr´es ≤ x ? En d´eduire que π(x) ≥ log x/(2 log 2).

Exercice 2

On consid`ere un entier N > 2 et on pose h = π(N ). On note p₁, p₂, · · · , p_h la suite des nombres premiers ≤ N .

Soit p un nombre premier, montrer que la s´erie 1 + 1/p + 1/p² + · · · est une s´erie convergente.

Montrer que l’on a :

1 + 1

p1

+ 1 p²₁ + · · ·

1 + 1

p2

+ 1 p²₂ + · · ·

· · ·

1 + 1

ph

+ · · ·

> 1+1 2+1

3+· · ·+ 1 N En d´eduire que :

1

1 − 1/p₁

1

1 − 1/p₂

· · ·

1

1 − 1/p_h

> log N Puis que :

− log(1 − 1/p1) − log(1 − 1/p2) − · · · − log(1 − 1/ph) > log log N Montrer que :

− log

1 −1

p

< 1

p − 1 = 1 p +

1

p − 1 −1 p

Puis que :

1

p₁− 1+ 1 p₁

+

1

p₂− 1 + 1 p₂

+ · · · +

1

p_h− 1 + 1 p_h

< 1 − 1/N En d´eduire que :

1 p₁ + 1

p₂ + · · · + 1

p_h > (log log N ) − 1 Conclure.

Exercice 3

Soit p un nombre premier. Que vaut ϕ(p) ? ϕ(p^r) ?

Soit m et n deux entiers premiers entre eux. Montrer que les anneaux Z/mnZ et Z/mZ × Z/nZ sont isomorphes.

En d´eduire que ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m) lorsque m et n sont deux entiers premiers entre eux.

Conclure.

Exercice 4

Soit p un nombre premier. On note (Z/pZ)^× les ´el´ements inversibles de Z/pZ. Mon- trer que l’application :

σ : (Z/pZ)^× −→ (Z/pZ)^× a 7−→ (a)⁻¹

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est une involution. Quels sont les éléments a qui vérifient σ(a) = a ? Conclure.

Exercice 5

Soit p un nombre premier. Montrer que le coefficient binomial

k p

est divisible par p pour tout 1 ≤ k ≤ p − 1.

Montrer par r´ecurrence sur n ∈ N que l’on a n^p ≡ n (mod p).

Conclure.

Exercice 6

Le nombre 341 est-il premier ? Montrer que 2³⁴⁰ ≡ 1 (mod 341) ? Calculer 3³⁴⁰ (mod 341)

Soit m un entier, on dit que m est a-pseudo-premier si l’on a : a^m−1 ≡ 1 (mod m)

Si m est premier alors m est a-pseudo-premier pour tout a premier avec m. La réciproque est fausse (ex. m = 341 et a = 2). Si a est fixé, on va démontrer qu’il existe une infinité de nombres m non premiers qui sont a-pseudo-premiers.

Soit p un nombre premier impair ne divisant ni a ni a²− 1. On pose m_p = m = a^2p− 1

a²− 1 .

1. Pourquoi existe-t-il une infinit´e de tels nombres m_p? 2. Montrer que a²− 1 divise a^p−1− 1.

3. En d´eduire que 2p(a² − 1) divise (a^p−1− 1)(a^p + a) et que donc le nombre 2p(a²− 1) divise a(a^p−1− 1)(a^p+ a).

4. En conclure que 2p|m − 1.

5. Montrer que a^m−1 ≡ 1 (mod m).

6. Montrer que ^a_a+1^p⁺¹ ∈ Z ; pourquoi m n’est-il pas un nombre premier ?

Déduire de ce qui précède qu’il existe une infinité de nombres composés m tels que a^m−1 ≡ 1 (mod m).

Le nombre 561 est-il premier ? Soit a un entier premier avec 561, montrer que l’on a a⁵⁶⁰≡ 1 (mod 561). Comment s’appelle un tel nombre ? On peut d´emontrer qu’il existe une infinit´e de nombres de Carmichael

Exercice 7

Soit M_n = 2ⁿ− 1, le nombre de Mersenne d’indice n. Montrer que si M_n est premier alors n est premier.

Soit n un nombre premier, montrer que les diviseurs premiers p du nombre de Mer- senne M_n= 2ⁿ− 1 sont de la forme p = kn + 1.

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Exercice 8

Montrer que si 2^m+ 1 est premier, alors m est une puissance de 2.

On d´efinit la suite des nombres de Fermat par F_n = 2²ⁿ+ 1.

1. Montrer que les Fnsont deux `a deux premiers entre eux. Indication : si m < n alors F_m divise F_n− 2.

2. En d´eduire qu’il existe une infinit´e de premiers.

3. Montrer que les diviseurs premiers de F_n sont de la forme 2ⁿ⁺¹k + 1.

Exercice 9

Soit G un groupe (multiplicatif de neutre 1) dans lequel on peut “calculer” efficacement (multiplier deux éléments et calculer l’inverse d’un élément). Pour g ∈ G et n ∈ Z, on veut calculer gⁿ efficacement.

Remarquer que l’on peut supposer que n > 0.

On consid`ere l’algorithme suivant :

Etape 1 (initialisation) Faire p ← 1, N ← n et q ← g.´ Etape 2 (N impair ?) Si N est impair, faire p ← p · q.´

Etape 3 (boucle) Faire N ← bN/2c. Si N = 0 retourner p et finir l’algorithme.´ Sinon, faire q ← q² et aller `a l’´etape 2.

Montrer que cet algorithme se termine. Montrer qu’`a chaque fois que l’on ‘d´ebute’

l’étape 2, on a l’égalité gⁿ= p · q^N. En déduire que l’algorithme retourne gⁿ. Montrer que la longueur de la boucle est inférieur à dlog₂(n)e + 1.

Exercice 10

La clé publique d’un système RSA est notée (N, e) (N = pq est le produit de deux nombres premiers et e est un entier premier avec ϕ(N )).

Montrer qu’il est aussi difficile de factoriser N que de calculer ϕ(N ).

Alice envoie le même message M à trois destinataires différents ayant des modules RSA (N₁, 3), (N₂, 3) et (N₃, 3). Montrer qu’une personne qui observe les trois com- munications peut retrouver le message M d’Alice.

Soit (N, 3) un module RSA, montrer que l’on peut factoriser N en connaissant la clé secrète d du système.

Exercice 11

Soit G un groupe, g ∈ G et n ∈ Z. Connaissant g et n, on peut calculer gⁿ en O(log(n)) multiplications dans G. Le probl`eme du logarithme discret est de retrouver n en connaissant g et gⁿ.

Que pensez-vous de ce problème lorsque G = (Z/NZ, +) ? Résoudre les équations suivantes :

2^x ≡ 7 (mod 83) , 2^x≡ 3 (mod 83)