osculateur

Universit´e Claude Bernard–Lyon I CAPES de Math´ematiques : ´Ecrit 1 Ann´ee 2009–2010

Cercle osculateur

Soit P un plan affine euclidien orient´e muni d’un rep`ere orthonorm´e direct. On identifiera P `a R² via ce rep`ere et on notera h·, · · · i le produit scalaire dans le plan vectoriel associ´e.

1^◦ Arcs param´etr´es, longueur d’arc

a) Soit I un intervalle r´eel ouvert non vide et γ un arc param´etr´e par I. C’est une classe d’´equivalence d’applications de I dans P, o`u on identifie γ : I → P et ˜γ : I → P s’il existe une bijection ϕ : I → ˜I telle que ˜γ = γ ◦ ϕ. Une fonction γ particuli`ere est appel´ee un param´etrage de l’arc. Par abus, on pourra parler de l’arc γ pour signifier sa classe d’´equivalence.

On dit que de classe C^p (o`u p ∈ N<sup>∗</sup>) si, dans un rep`ere fix´e, les coordonn´ees de γ sont des fonctions de classe C^p. Cela ne d´epend pas du rep`ere, ni du param´etrage.

Dans toute la suite, on fixe un arc param´etr´e γ : I → P de classe C^p (p ≥ 1). On suppose que γ est r´egulier, c’est-`a-dire :

∀t ∈ I, ||γ⁰(t)|| 6= 0.

b) Param´etrage par longueur d’arc

On fixe un point t0 de I. Quitte faire une translation¹, on suppose que t0 = 0 ∈ I. On pose :

∀t ∈ I, `(t) = Z _t

0

||γ⁰(u)|| du.

La fonction ` ainsi d´efinie est d´erivable sur I et sa d´eriv´ee est strictement positive. Elle d´efinit donc une bijection de I sur un intervalle ˜I de R (contenant 0 = `(0)). On consid`ere l’arc

˜

γ : ˜I −→ P, s 7−→ γ(`⁻¹(s)).

L’arc ˜γ est aussi de classe C^p et on a :

∀s ∈ ˜I, ˜γ⁰(s) = 1

`<sup>0</sup>(`⁻¹(s))γ⁰(`⁻¹(s)).

En particulier, on constate que la norme de ce vecteur est uniform´ement ´egale `a 1.

On vient de d´emontrer que tout arc peut ˆetre param´etr´e par longueur d’arc, c’est-`a-dire repr´esent´e par une fonction `a valeur dans P dont la d´eriv´ee est de norme 1 en tout point.

2^◦ Cercle osculateur pour les arcs de classe C²

Soit γ : I → R un arc de classe C² et param´etr´e par longueur d’arc (i.e. ||γ⁰|| = 1). On note J la rotation d’angle π/2 dans le plan vectoriel qui dirige P et on d´efinit un vecteur normal `a la courbe par :

∀s ∈ I, n(s) = J γ⁰(s).

On a donc : (γ⁰(s), n(s)) = π/2 [2π] et ||n(s)|| = 1 en tout point s ∈ I.\ Pour tout s ∈ I, on a : hγ⁰(s), γ⁰(s)i = 1, donc en d´erivant :

∀s ∈ I, 2hγ⁰⁰(s), γ⁰(s)i = 0.

Il en r´esulte que γ⁰⁰(s) et n(s) sont colin´eaires, si bien que l’on a :

∀s ∈ I, γ⁰⁰(s) = c(s) n(s) o`u c(s) = hγ⁰⁰(s), n(s)i.

1c’est-`a-dire, `a remplacer I par I − t0 = {t ∈ R, t + t0 ∈ I} et `a remplacer γ par t 7→ γ(t + t0) : cela ne change pas l’arc g´eom´etrique, i.e. l’image γ^∗= γ(I).

1

Soit s ∈ I. Le r´eel c(s) est appel´e la courbure de γ en γ(s). S’il n’est pas nul, son inverse r(s) = 1/c(s)

est appel´e le rayon de courbure de γ en γ(s) ; on appelle centre de courbure de γ en γ(s) et on note ω(s) le point d´efini par

ω(s) = γ(s) + r(s) n(s) = γ(s) + 1

c(s)n(s) ;

on appelle cercle osculateur en γ(s) et on note C(s) le cercle de centre ω(s) et de rayon r(s).

La d´enomination sera justifi´ee plus loin.

On passe quasiment sous silence le fait que ces d´efinitions sont g´eom´etriques, au sens o`u elles ne d´ependent pas du choix d’un param´etrage par longueur d’arc (au reste, c’est presque

´

evident car deux tels param´etrages diff`erent par une translation dans R et ´eventuellement un changement de signe).

3^◦ Position de la courbe par rapport `a son cercle osculateur

a) On veut montrer que le cercle osculateur est le cercle qui approche le mieux la courbe `a l’ordre 2 au voisinage d’un point. On suppose `a nouveau que 0 ∈ I et on ´etudie la position de la courbe par rapport `a C = C(0).

Dans tout ce paragraphe, on se place dans le rep`ere orthonorm´e direct (γ(0), γ⁰(0), n(0)). Le d´eveloppement limit´e de γ(s) pour s au voisinage de 0 s’´ecrit

γ(s) = γ(0) + sγ⁰(0) +s²

2γ⁰⁰(0) + o(s²), point qui a pour coordonn´ees :







s + o(s²) s²

2r(0)+ o(s²)





.

b) Soit a, b, R des r´eels, consid´erons le cercle de centre Ω(a, b) et de rayon R ≥ 0. La moindre des choses pour qu’un cercle approxime l’arc γ au voisinage de 0, c’est qu’il contienne O = γ(0).

Cela se traduit par

a²+ b²= R².

Une autre contrainte naturelle que nous ne justifierons pas plus, c’est que les tangentes au cercle et `a la courbe en O co¨ıncident. La tangente au cercle en O est la droite d’´equation ax + by = 0 (perpendiculaire au rayon) et la tangente `a la courbe a pour ´equation y = 0 (elle est port´ee par γ⁰(0)), donc cela se traduit par :

a = 0, d’o`u R = |b|.

En d’autres termes, le cercle est centr´e sur l’axe des ordonn´ees. C’est la r´eunion des graphes de deux fonctions d´efinies pour x ∈ [−|b|, |b|] par :

gε(x) = b + εp

b²− x² (ε ∈ {−1, 1}).

Au voisinage de 0, on a :

g_ε(x) = b + ε|b|

 1 −x²

b²

1/2

= b + ε|b| + εx²

2b² + o(x²).

2

On ne s’int´eresse qu’au demi-cercle contenant O, c’est-`a-dire `a la fonctions telle que gε(0) = 0, c’est-`a-dire `a ε = −b/|b|. Ainsi, au voisinage de O, le cercle peut ˆetre param´etr´e par

 x

gε(x)



=





x x²

2b + o(x²)



.

En comparant les d´eveloppements limit´es de l’arc et du param´etrage du cercle, on doit en d´eduire qu’il faut prendre

b = r(0)

pour que le second soit aussi proche que possible du premier. Cela justifie l’appellation de cercle osculateur. Faire un ´enonc´e pr´ecis...

c) Cas d’une courbe repr´esentative

Soit f une fonction de classe C² sur un voisinage de 0 telle que f (0) = f⁰(0) = 0. On param`etre sa courbe repr´esentative Γ dans un rep`ere orthonorm´e direct par

γ(x) =

 x f (x)

 . Un d´eveloppement limit´e de f en 0 donne :

γ(x) =





x f⁰⁰(0)x²

2 + o(x²)



.

Cela est cens´e d´emontrer que le cercle osculateur `a Γ a pour rayon 1/|f⁰⁰(0)|.

Supposons aussi que f est de classe C³ et, pour simplifier, que f⁽³⁾(0) 6= 0. Quitte `a changer f en −f , on suppose que f⁰⁰(0) > 0.

La position relative de Γ et du cercle au voisinage de 0 est d´etermin´ee par le signe de f (x) − 1

f⁰⁰(0) − s

1

f⁰⁰(0)² − x²

!

= f (x) − f⁰⁰(0)x²

2 + o(x³) = f⁽³⁾(0)x³

6 + o(x³) (en se rappelant que f (0) = f⁰(0) = 0), si bien que le signe de cette expression change lorsque le signe de x change.

En d’autres termes, la courbe traverse le cercle osculateur au point de contact ! d) Cas g´en´eral

Si γ est un arc r´egulier quelconque d´efini au voisinage I de 0. On choisit un rep`ere orthonorm´e direct d’origine γ(0) et dont le premier vecteur est positivement colin´eaire `a γ⁰(0). Soit (x, y) les coordonn´ees de γ. On a : x(0) = 0 et x⁰(0) > 0, donc la fonction x ´etablit une bijection croissante entre un voisinage de 0 et un voisinage de 0. L’arc est la courbe repr´esentative de f = y ◦ x⁻¹, et on v´erifie que f⁰(0) = 0.

Ainsi, pour tout arc r´egulier et tout point de l’arc, on peut trouver un rep`ere dans lequel l’arc est, au voisinage de ce point, la courbe repr´esentative d’une fonction. On peut donc lui appliquer la conclusion ci-dessus.

4^◦ Position relative de deux cercles osculateurs

Dans ce paragraphe, on suppose que γ est un arc r´egulier, param´etr´e par longueur d’arc, de classe C³, d´efini sur un intervalle ouvert I contenant un segment [s0, s1]. On suppose de plus que le rayon de courbure est partout non nul et strictement monotone sur [s₀, s₁], disons strictement d´ecroissant (sans perte de g´en´eralit´e : pourquoi ?). On va montrer que le cercle osculateur en γ(s1) est contenu dans le disque osculateur² en γ(s0).

2C’est-`a-dire le disque bord´e par le cercle osculateur, bien sˆur.

3

On reprend les notations du paragraphe 2^◦. On a :

∀s ∈ I, n(s) = J γ⁰(s),

donc par lin´earit´e de la rotation (constante) J , n est une fonction d´erivable et (J² = −Id)

∀s ∈ I, n⁰(s) = J γ⁰⁰(s) = c(s) J n(s) = −c(s)γ⁰(s).

On voit ainsi que l’arc ω d´ecrit par le centre de courbure est d´erivable et que

∀s ∈ I, ω⁰(s) = γ⁰(s) + r⁰(s)n(s) − r(s)n⁰(s) = γ⁰(s) + r⁰(s)n(s) − r(s)c(s)γ⁰(s) = r⁰(s)n(s).

Il vient alors :

||−−−−−−−→

ω(s0)ω(s1)|| =

Z s1

s0

ω⁰(s) ds

≤ Z s1

s0

|r⁰(s)| ds = r(s0) − r(s1).

(On a major´e la norme de l’int´egrale par l’int´egrale de la norme, puis que ||ω⁰|| = |r⁰|, puis que

|r| = −r⁰ par d´ecroissance de r.)

Ainsi, la distance des centres de courbure est inf´erieure `a la diff´erence des rayons : cela traduit exactement l’inclusion d’un disque dans l’autre. En particulier, on peut en d´eduire que la courbe traverse le cercle osculateur en tout point d’un intervalle o`u le rayon de courbure est strictement monotone.

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