Contribution à l'étude de l'interaction entre une dislocation vis et l'aimantation

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Submitted on 1 Jan 1968

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Contribution à l’étude de l’interaction entre une dislocation vis et l’aimantation

M. Kleman

To cite this version:

M. Kleman. Contribution à l’étude de l’interaction entre une dislocation vis et l’aimantation. Journal

de Physique, 1968, 29 (4), pp.329-336. �10.1051/jphys:01968002904032900�. �jpa-00206655�

CONTRIBUTION

A

L’ÉTUDE

DE

L’INTERACTION ENTRE UNE DISLOCATION

^{VIS ET}

L’AIMANTATION

Par M.

KLEMAN,

I.R.S.I.D., 185, ^{rue du} Président-Roosevelt,

78-Saint-Germain.

(Reçu

le 11 octobre

1967.)

Résumé. 2014 On étudie l’interaction entre une dislocation vis et l’aimantation en tenant

compte

des contraintes

supplémentaires

^{dues au} relâchement des

incompatibilités élastiques

de

magnétostriction [4].

^Les

équations

utilisées doivent en

général

^{être non} linéaires, ^{sauf dans} les cas où les dimensions du solide contenant la dislocation sont

petites

^{devant la}

largeur

^d’une

paroi,

^{ou bien}

quand

^le

champ appliqué

^{est fort. Dans}

Ni3Fe,

^où

l’anisotropie magnétocristalline

est faible, le calcul

complet

pour ^un milieu infini donne une déviation maximale de l’aimantation de l’ordre de 30° à une distance de 600 Å de la dislocation. On

peut

^estimer que ^cette déviation serait de l’ordre de 10° dans Ni.

Abstract. ²⁰¹⁴ The interaction between a screw dislocation and

magnetization

^{is studied}

taking

into account the

supplementary

^{stresses due} to the relaxation of the

magnetoelastic incompatibilities [4].

^The

equations

^{used are}

generally

^{non linear}

except

when the dimensions of the solid

containing

the dislocation are small in

comparison

with the width of the domain wall, ^or when the

applied magnetic

^{field is} strong. ^In

Ni3Fe,

^{where the}

magnetocrystalline anisotropy

^is small, the full calculation for an infinite medium

gives

^{a maximum deviation}

of the

magnetization

of the order of 30° at a distance of 600 Å from the dislocation. A

quali-

tative estimation shows that this deviation should be of the order of 10° in Ni.

Introduction. ^- L’interaction ^entre dislocations et

aimantation est un

probl6me qui

^a

deja

donne lieu a de nombreux travaux. Brown

[1]

^a calcule la

r6par-

tition de 1’aimantation en

6quilibre

^{avec une disloca-}

tion coin sous l’influence d’un

champ applique.

Vicena

[2],

Kronmuller et

Seeger [3]

^ont,

depuis,

calcule l’influence de distributions de dislocations sur

le

champ

^{coercitif et}

1’approche

^a la saturation ma-

gn6tique.

Ces diverses theories cherchent donc a

expliquer

^le comportement

ferromagnetique

^{des cris-}

taux déformés sous

champ applique ;

^{elles ont ce}

caract6re commun d’etre «

largement »

^macrosco-

piques,

^en consid6rant 1’effet _moyen d’une

r6partition statistique

de dislocations

judicieusement

^{choisie et en}

ne tenant pas compte des effets de surface

(1).

Le

point

^{de vue}

adopt6

ci-dessous est tout a fait diff6rent. Nous 6tudions la

r6partition

de l’aimantation

au

voisinage

^d’une

dislocation, compte

^{tenu des}

termes de contraintes

supplémentaires

^{dues au relache-}

ment des

incompatibilités

de distorsion d’une

r6parti-

tion non uniforme de 1’aimantation

(Kleman [4], [5]),

compte ^{tenu des termes} de contraintes

images (effets

de

surface),

^et aussi bien dans le cas

general

que dans le cas

approché, adopt6

par la

plupart

des auteurs,

ou les

equations

^a 1’aimantation sont lin6aris6es

(6ner- gies

^{6crites au} second ordre _par

rapport

^{aux cosinus} directeurs de

1’aimantation) .

I.

ftablissement

des

dquations g6ndrales.

^- 1.

EQUATIONS

^A L’AIMANTATION ^ET

EQUATIONS

^AUX

CONTRAINTES. ^- Les

equations a

1’aimantation s’ob-

tiennent,

^{selon la} methode de Brown

[1],

^{en mini-}

misant

1’energie

totale par

rapport

^a 1’aimantation.

Un _processus

analogue

de minimisation _par

rapport

aux variables

élastiques

^{conduit aux}

equations

^aux

contraintes

[5], [6]. Rappelons

bri6vement les resul-

tats relatifs a ces derni6res

equations

^et

qui

^seront

utilises _par la suite. Les contraintes ^et distorsions de

magnétostriction comprennent

^{deux termes :}

(i)

^Le

premier correspond

^{a un} 6tat d’aimantation uniforme

local; chaque

element de volume du solide

ferromagnétique,

^considere

isol6ment,

^{est soumis aux}

contraintes :

les distorsions

c)

6tant li6es aux contraintes _par la loi de Hooke. _a,

,

y

d6signent

^{les cosinus} directeurs de

1’aimantation, B1

^et

B2

les coefficients de

magn6to-

striction

(2).

(ii)

¹¹ n’est pas

possible

de r6unir en un solide

compatible

^les elements de volume soumis a ces

contraintes et

distorsions,

^{sans faire}

apparaitre

^des

(1)

^{Brown a, le}

premier,

^{calcule la}

r6partition

^de

1’aimantation autour d’une dislocation coin

unique

^et

d’un

dipole

coin, ^et superpose les ^solutions individuelles pour obtenir les effets

macroscopiques.

^{Il ne tient} pas

compte

des effets de coeur.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01968002904032900

330

contraintes et distorsions

supplémentaires at, et, d’incompatibilités élastiques oppos6es.

^{Les mots « com-}

patible »

^{et «}

incompatible »

^sont

pris

^{ici au sens de}

Kroener

[7].

Les contraintes totales _aij ⁼

6°

⁺

at

^ob6issent

aux

equations :

les autres

equations

6tant obtenues _par

permutation

circulaire des indices.

Ces

equations s’appliquent

^{au cas du nickel et de}

ses

alliages,

^{ou les} constantes de

magnétostriction Bl, B2

^sont

grandes

^{devant 2nM2.} Pour le fer et ses

alliages,

l’influence des termes

magnétostatiques peut

^etre

pr6dominante,

^{et les}

equations pr6c6dentes

^doivent

etre modifi6es

[5].

^Mais nous ne nous int6ressons _pas à ce cas par la suite.

En

presence

^de

singularites

^{de reseau}

(dislocations

par

exemple),

^on peut ^montrer

[5] qu’en premiere approximation

les contraintes solutions de

(2)

^{et les}

contraintes dues aux

singularites

^se

superposent.

2. APPLICATION ^{A LA} DISLOCATION VIS. ^- Nous nous

limitons ici a 1’etude d’une dislocation vis dans un

milieu ou 1’aimantation ne

depend

pas de la ^coor- donnee

Oy

^suivant

^celle-ci,

^{et nous} 6tudions successi-

vement le cas linearise et le cas non linearise. M est

suppose parall6le

^{a la} dislocation loin de

celle-ci,

V

d6signe

^le

potentiel

^des

charges magn6tiques,

^K

1’anisotropie magnétocristalline, Hy

^un

champ appli- que

^{selon la}

dislocation,

^{C la constante}

d’6change.

L’établissement des

equations qui

^{suivent est fait}

dans la reference

[5], chapitre

^{IV. Dans le cas lin6a-}

ris6,

^les

equations

^a 1’aimantation et aux contraintes s’écrivent

(p - 1,

^{a et} y du

premier ordre) :

(condition

^de

compatibilite)

eX’ll’ eZ’ll ^sont les distorsions relatives a la

magn6tostric-

tion propre;

ex. , ez,

celles relatives a la dislocation

vis,

^{de vecteur}

de

Burgers b.

Dans le cas

non-linearise,

^les

equations

^{ont une}

forme

simple

^si l’on suppose ^{en outre} que le solide est

isotrope

^{a tous les}

points

^{de vue :}

B,

⁼

B2 = B,

K ⁼ 0

(3).

La solution est alors de

sym6trie cylindrique;

notons (Xp la

composante

^de

M/M

^{selon le} rayon vecteur, ao la

composante

^de

Af/Af perpendiculaire

au rayon ^vecteur. Les

equations

^a 1’aimantation s’6cri-

vent

(g

^{est un}

multiplicateur

^de

Lagrange

^{relatif a la}

condition a2

+ p2

⁺

y2

⁼

^{1) :}

^:

I1

apparait

imm6diatement _que l’on

peut

^faire ap ⁼

dvjdp

⁼ 0. L’aimantation decrit autour de la dislocation des helices définies _par

1’angle

cp que fait 1’axe

Oy

^{avec la} tangente ^{a I’h6lice}

dirig6e

^selon

1’aimantation.

Notant _que

aojp

⁼ tg 9, 1’elimination

de g

^entre

les deux dernieres

equations

^de

(4)

^{conduit a :}

eee ^et eyy s’obtiennent ^a

partir

^des

equations

^aux

contraintes en coordonn6es

cylindriques [8] :

ou A ⁼

ddU + u + eYlI

^{est la}

dilatation,

^{U le}

d6pla-

dp

p ^w

cement radial. eyy ^{est une} constante, dont la valeur s’obtient en

remarquant

que la dilatation moyenne des contraintes de relaxation

at

^{doit etre nulle. 11}

vient alors :

D D rP

II. Dislocation vis. Cas lindarisd. ^- Ce cas est

justifie,

^{comme on le verra,} pour des solides

ayant

^au moins une dimension

petite,

^{ou des}

champs Hy

^tres

forts. Nous 6crivons les conditions aux limites ^et faisons les calculs

qui

^suivent pour ^une lame mince

perpendiculaire

^{a l’axe}

Ox, d’6paisseur

^D.

L’origine

des coordonn6es est

prise

^sur la face inferieure de la lame. La dislocation a pour coordonn6es

(d, ^0, 0).

(3)

^{Ce cas se}

pr6setite experimentalement

pour

Ni3Fe.

Les conditions aux

limites, qui compl6tent

^les

6qua-

tions

(3)

^et

(4),

^{sont alors :}

1. METHODE DE RESOLUTION DES

EQUATIONS (3)

ET

(4).

^{- On} peut

d6composer

^{oc et} y ^en deux termes

’X ⁼

ell +

el2’

Y == YI +

Y2, tels que :

dans le volume

en surface.

L’aimantation _{xl, y,} ne cr6ant ni

charges

^{de volume}

ni

charges

^de

^surface, V,

^{= 0. De}

plus, d’apr6s (4),

exy,1=

eyz, 1

^{= 0.}

Donc,

^on peut

d6composer (3)

^de

la mani6re suivante :

ou l’on ^a

pose :

On remarque que les

equations (11) correspondent

a un 6tat d’aimantation favorise _par une lame tres

mince, puisque,

^en raison des conditions aux

limites, Ml

^est

pratiquement parall6le

^a la lame. Comme nous montrerons que le cas lin6aire n’est effectivement valable _{que pour} des lames tres

minces,

il faut donc s’attendre a ce que les termes rl2 ^et y2 soient

petits

devant _OCJ et yl.

2. CALCUL ^DE _Ot, ^ET _Yl. ^- _ocl ob6it a des conditions de Dirichlet en

surface,

^ainsi que

e" (on

^tient

compte

des forces

images

^{de la}

dislocation);

Yi

comme e z V ly

ob6issent a des conditions de Neumann. On

peut

^donc

exprimer ev ez"

^a 1’aide des fonctions de Green

r ro (- I - )

^{nulles en surface et}

go(- I - )

^et

gx(r- ro)

de d6riv6es normales nulles en surface.

On établit d’abord sans difficult6 les

expressions

suivantes _pour

ey

^et

ev

Le calcul de _ocl et y, ^se fait alors a I’aide des inte-

grales

habituelles de fonctions de

Green, int6grales

que l’on

peut

^{mettre sous une forme tres}

simple

^en

utilisant la relation

(cf. [9]) :

Tous calculs

faits,

^on obtient les

expressions :

sur

lesquelles

^{on v6rifie sans}

peine

que la relation

a7"

_P

a7l

= 0 est satisfaite.

ax az

Pour le

nickel,

^{cette valeur de} x

correspond

^{a un}

champ applique

de l’ordre de 100 0152. Ce cas est le

plus

ais6ment calculable :

L’allure de la

réparti tion

^se calcule aisement _pour d ⁼

Df2 (dislocation

^au milieu de la

lame).

^{On sait}

sommer al, mais non YI :

1

La

figure

^{1 donne}

cxl(x

⁼

D/2)

^au niveau de la dislocation.

FiG. 1. ^- Deviation de

M/M

dans un

plan perpendiculaire

4 la dislocation.

332

La valeur maximale de _a est obtenue _{pour z -}

D,

oc

b’fJ D

et

le maximum est relativement lat

xm ~

- 87t2

^et Ie maximum est relativement

plat puisque,

pour z ⁼

2D/7r,

oc, n’a diminue _que de 2

%.

Ordres de

grandeur :

pour le nickel _{aM N}

0,9

^{X 104 D.}

On voit que ^ce resultat n’est admissible _{que pour}

0,9

^X

104D « 1,

^soit pour des lames

d’6paisseur

^D

bien inferieure a 1 000

A.

La distance

caractéristique

^est de l’ordre de

1’epais-

seur de la lame.

Dans les memes conditions

(d

⁼

D/2),

YI ^est nul pour x ⁼

D/2,

^{et a 1’allure donnee} par la

figure

²

pour x ⁼ D. Sa valeur maximale _YM est de l’ordre

I

FIG. 2. ^- Deviation de

M/M

dans un

plan

contenant la dislocation.

de YJh D 132

^{-rc; on} peut ^{faire les} memes remarques que

plus

^{haut en ce}

qui

^concerne les ordres de

grandeur.

En

resume,

pour Z ⁼

0,

1’aimantation tourne dans le sens direct autour de la dislocation _pour

B2 n6gatif,

inverse pour

B2 positif.

^{Parall6le a la} dislocation en son

voisinage immédiat,

^elle

acquiert

^une

composante perpendiculaire

^{a celle-ci}

quand

elle s’en

6loigne, composante qui

^{atteint son maximum} sur une zone

circulaire de _rayon

approximatif DI7t.

^{Ce maximum}

est assez

plat,

ensuite de

quoi

^M redevient lentement

parall6le

^a la dislocation.

Au

voisinage

^de x ⁼

0,

^le

comportement

n’est pas essentiellement different de celui

deja

calcul6. On

peut

d’ailleurs

d6velopper

^{en s6rie} enti6re de _x les fonctions de Green sous reserve

que I Z I 7r 2/D2.

Ce crit6re donne des conditions sur D

plus larges

que les

pr6c6dentes

pour Z ⁼

0,

^{et son}

application

pour des valeurs de

Z :A

⁰ donne donc une valeur de D par exc6s. Pour

Hy

⁼

^0,

^on obtient dans le cas du nickel D 10 _fJ..

Pour x

>

7t2jD2,

^le

d6veloppement

^{en s6rie}

de Z

n’est

plus licite,

^{mais on} voit facilement _que les solu- tions lin6aris6es sont encore valables : les 6carts à l’uniformit6 de M s’amortissent alors tres

rapidement

au

voisinage

^{de la}

dislocation,

^le

champ applique

etant fort.

Pour x

^-

7t2ID2,

c’est-a-dire _pour des

champs

appliques

^{forts en sens} inverse de

1’aimantation,

^le

comportement

^est

sinusoidal,

^{mais nous n’avons} pas 6tudi6 ses

propri6t6s

^{en detail.}

3.

EVALUATION

^DE _X, ^ET _Ys- ^{- Les} conditions aux

limites relatives aux

equations (12)

^{sont :}

Pour 6valuer l’ordre de

grandeur

^de ex2 ^et Y2, ^on peut supposer

avlax

⁼

47rMoc,,

c’est-a-dire que le

champ

de désaimantation est

oppose

^a l’aimantation.

Cette

hypoth6se

^{est d’autant mieux} v6rifi6e que la lame est

plus

^mince.

Les

equations (4) permettent

alors d’écrire e0153y ^et e,,

sous la forme :

On voit imm6diatement

que p

= q = 0. Les

6qua-

tions

(12)

^se r6duisent donc a :

a2 est, pour

1’essentiel,

^{une fonction}

exponentiel-

lement d6croissante

avec ) z I,

le facteur

exponentiel

etant

dl - 4TC12

^{C, donc tres}

^grand.

^{Pour voir}

comment les conditions aux limites modifient ^ce terme,

on

procede

^comme

plus ^haut,

^en introduisant la fonc- tion de Green

g (r- I -ro) :

ç

^{est une}

quantité toujours positive,

de l’ordre 4n27t2.,.

de

47rM2/C.

Posons J

= ç

+

D2 ’

l’int6gration

de _CX2

conduit,

pour la dislocation au milieu de la

lame,

^{à une}

expression

^du type :

.. n

11

apparait

que a2, contrairement _{a ocl,}

n’augmente

pas ^avec D de maniere

uniforme,

^{mais tend vers zero}

pour D infini. De

plus,

^le

dénominateur [Ln remplace

le d6nominateur n de _oc, par

vi n2

⁺

(D2 ç/47t2),

^c’est-

a-dire par ^{un terme} d’autant

plus grand

que D ^est

plus grand,

^et de l’ordre de

vi n2

⁺ 25 pour D ⁼ 1000

A;

^{de la meme}

manière,

^{le terme d’amor-}

tissement n’est

plus n I z I

^mais

n2 D2E

⁺

^-r2013r

^47r

^{I z I. I}

^{z .}

Ceci revient a dire que l’on

peut majorer

CX2 par la

somme des termes de rang n > 5 de _ai, ^termes

petits puisque

al converge tres

rapidement.

Remarques analogues

pour Yl. Si l’on

remplace OVIaz

par

47rMY2,

^alors

ý72 Y2

^-

ç Y2

⁼

^0,

^et Y2 ⁼ 0.

Ceci

justifie

^{donc la} methode de

decomposition.

III. Dislocation vis. Th£orie non lindarisde. ^- e00 - eyy

- B ^2U

^{est une}

^{q uantite}

^du

^signe

^{dc B}

(cf. 6q. (8))

^monotone croissante

pour B positif,

^et

de derivee nulle pour p ⁼

0,

^si oce ^{a un}

comportement

1

suffisamment

r6gulier

pour

que p 1 2 fp 0

^{p 0}

^{pOC2 0 dp}

^tende

vers zero avec p

(4).

^Pour p

infini,

eee ^- eyy tend ^vers zero. Nous substituons _{a eee} - eyy dans

(6)

^{sa valeur}

pour p infini. Cette

equation

^s’6crit

alors,

pour

H,

⁼

^0,

cas

auquel

^{nous nous limitons :}

Nous montrerons

plus

loin que

F approximation

^faite

sur eee - e., ^est raisonnable.

Nous nous int6ressons ^aux solutions

qui

^sont

6gales

a 0 ou n pour p infini. Notons que si

y(p)

^{est solution}

de

(23),

^{il en est de meme de 7t +}

p(p),

il suffit donc d’étudier les solutions nulles a l’infini. A

l’origine,

^si

le materiau

ferromagnétique

^s’6tend

jusqu’a

p 0

(coeur plein),

la seule solution admissible est p = 0.

On peut ^{en effet}

d6montrer,

^dans

l’hypothèse

^contraire

(cp

^#-

0)

^{et en}

supposant 1’6quation (23) justifi6e

^au

centre, que

1’6nergie d’echange

^d’un

cylindre

^de

rayon p, serait infinie

(de

^{la forme}

ln(p.1/p),

p tendant

vers

zero).

^De

plus,

si p etait different de

zero, toujours

dans

l’hypothèse

^{du coeur}

plein,

^{et meme si}

1’equa- (4) Rappelons

que p et 0

d6signent

^les coordonnees

cylindriques

^d’un

point

par

rapport

^{a la} dislocation, ^et cp

I’angle

^entre 1’aimantation et la dislocation.

tion

(23)

^ne

s’applique

pas ^sur la

ligne

^de

dislocation,

il

apparaitrait

^{sur cette} derniere des

charges magn6- tiques, charges qui

^{devraient etre}

6quilibr6es

par la

presence

^de

charges oppos6es,

soit dans le

volume,

soit sur la surface ext6rieure du

materiau,

^{et nous avons}

explicitement suppose

pour 6tablir

(23) qu’il

^{n’en est}

rien

(cxp

^{= F=}

0).

La

question

de savoir si

(23) s’applique

^{au centre}

n’a d’intérêt que si la solution de

(23)

d6montre la

presence

^d’effets

physiques importants

^a des distances du centre de l’ordre du _rayon du coeur. Nous verrons

qu’il

^{n’en est} pas ainsi.

1. COMPORTEMENT DE p ^ENTRE L’ORIGINE ET L’INFINI.

-

Linéarisée, 1’6quation (23)

^{se réduit à une}

équation

de Bessel avec second membre dont la

solution,

^nulle

a

l’origine

^{et a}

l’infini,

^{est :}

avec

C’est une

fonction, toujours negative pour B positif, qui poss6de

^un seul minimum _{pour P N} 4 000

A,

y - 10

rad,

^la tangente ^a

l’origine

6tant infinie. En raison de la valeur de _cp au

minimum,

^{cette fonction}

est

inacceptable

^comme solution de

(23).

^Notons que

ce minimum est tres

etale,

^{ne variant} pas de

plus

de 10

%

pour des valeurs de _p variant entre 2 000

A et 8 000 Á.

Le

comportement

de la solution lin6aris6e

indique

le

comportement

de la solution de

(23)

^a

l’origine.

La solution lin6aris6e se

d6veloppe

^sous la forme :

Quoique

^la solution de

(23)

^n’ait pas ^un

d6velop-

pement

^aussi

simple (il

^faut

ajouter

^a

(25)

^d’autres

termes

singuliers,

^{de la forme}

pP ln Pp (1

^{+ s6rie en-}

ti6re),

^termes

qui

^{tendent vers zero}

plus rapidement

que

(25)),

^{on voit}

cependant

que

p(p)

^{a aussi une}

tangente ^{infinie a}

l’origine. Remarquons qu’un

^d6ve-

loppement

_d’etre

_r6gulier

^du

type (25)

^{assure a} eee - e,y

- - B

pour p ⁼ 0.

[L

Nous montrons en annexe que

cp(p)

^{tend vers}

l’infini en

pr6sentant

^{un seul}

minimum,

^{sans oscilla-}

tions,

^comme la solution lin6aris6e. Ce minimum est

compris

^{entre :}

(po ^est de l’ordre de ^- 380 _pour

Ni3Fe (b

⁼

^2,49

^X

10-8 cgs, [L ⁼

7,45

^{x 1011} cgs, C ⁼

6,8

^{x 10-1}

cgs).

Le fait

qu’il n’y

^ait pas d’oscillations ^est

raisonnable, puisque

^ainsi on assure une faible contribution de

1’energie d’6change.

A

l’infini, y(p)

^{a le meme}

comportement asympto-

tique

que

1’6quation

lin6aris6e. C’est donc dans la

region intermédiaire,

^entre

l’origine

^et

l’infini,

que

334

le

comportement

^de

cp (P)

^est différent de celui de

1’6quation lin6aris6e,

^ce

qui

^{se traduit par une dimi-}

nution

de I y au

^minimum.

2. RECHERCHE DU MINIMUM DE

qp(p).

^{- On} peut rechercher ce minimum en se donnant une fonction d’essai

dependant

^de

param6tres qui

^{seront fix6s par}

la

propriete

de minimiser une certaine

int6grale.

^Ici

l’on choisit comme fonction d’essai :

Cette forme a

1’avantage

d’interdire

a (p

^{de devenir}

inferieur a ^- 450. De

plus,

^a

l’origine, (26)

^satisfait

a

(23)

^ou l’on aurait linearise en tg

2(p

^{et non pas}

en qp. A

l’infini, (26)

^{a un}

comportement analogue

^au

comportement asymptotique

^de qp, le coefficient du

terme

exponentiel

^n’6tant

cependant

pas

fix6,

^{car nous}

utilisons cette forme a des distances de

l’origine

^rela-

tivement faibles

(p

>

pmin)’ L’int6grale

^a

minimiser, qui

^{conduit a}

1’6quation (23),

^{est :}

1’integration

6tant faite entre p ⁼ 0 et P ⁼

1 000 27tClbB", 2,5

^{X 10-3 cm. Pour} p ⁼ Pmax, ^on

impose

^a

d(p/dp

d’etre nul

(condition

^aux

limites).

Nous avons

obtenu,

par calcul sur

ordinateur,

^les

r6sultats suivants :

Nous avons

neglige

eee - e.,

- 2 2u

^{pour eta-}

blir

(23).

eoo - e., ^est donne _par

(8).

^{Nous avons}

calcule la

uantite

quantité

( ) x

⁼ e ee - e., vv

B B

^a

_partir

2.

^p

des

expressions (26) qui

minimisent

(27).

^{On obtient :}

pour p ⁼ 0 :

pour P ⁼ Pmin : ^:

pour p ⁼

30pmin :

alors que

B12fJ.

^est

6gal

^a

4,5

^{X 10’5. Ainsi}

Bj2pL

^est

d’un ordre de

grandeur sup6rieur

^a

g(x),

^ce

qui justifie

la methode suivie.

L’int6grale

^W

(6q. (27)), qui

par minimisation

d’Euler-Lagrange

^donne

1’6quation (23),

^{est encore}

la somme de

1’6nergie d’echange

^{et de}

1’6nergie

^de

magnétostriction

^{limit6e aux termes «} d’aimantation uniforme »

(cf. Introduction)

^{et aux termes dus a la}

dislocation.

Pour avoir

1’energie totale,

^{il faut} y

ajouter 1’energie elastique

^{de la} dislocation et

1’6nergie elastique

^des

contraintes de

magnetostriction supplémentaire (cf.

^In-

troduction).

^{Ces deux termes se r6duisent}

pratique-

ment au

premier, qui

^est

égal

^{à :}

La

comparaison

^{de cette}

quantite

^{avec W montre}

que les

ph6nom6nes

^de

magnétostriction

^r6duisent

1’energie

^{de la} dislocation d’environ

1/50

^{de sa}

valeur.

Nous pouvons 6valuer CPmin

lorsque l’anisotropie K

est differente de zero de la mani6re suivante. La zone sur

laquelle

s’6tend la

perturbation

de l’aimantation

autour de la dislocation est de l’ordre de

grandeur

d’une

paroi,

^{et son}

energie magn6tique provient

^essen-

tiellement de

1’6change.

^{Si on introduit un terme}

d’anisotropie

^non

nulle,

^sa contribution sera du meme ordre de

grandeur

que

1’6change,

^{mais il}

apparait

^en

outre des termes

magnétostatiques, puisque

^la

sym6trie

de revolution

disparait.

^On peut ^donc

pr6voir

^de

mani6re tres

grossi6re

que

l’angle

de deviation _cpmin de l’aimantation sera alors divise _par un facteur

3,

^soit

environ -10°.

Rappelons

que Vicena

[1]

^trouve

environ 5° _pour une dislocation

coin,

par ^un calcul

linéaire,

l’aimantation 6tant

suppos6e perpendiculaire

en moyenne a la dislocation.

Conclusion. ^- Nous montrons que l’interaction

entre une dislocation vis et

1’aimantation,

^{en l’absence}

d’anisotropie magnétocristalline,

^ne

peut

^{etre trait6e}

comme un

phenomene

lin6aire que pour des lames

d’6paisseur

relativement

faibles,

de l’ordre de 1 000

A.

Nous tenons

compte

^{dans ce cas} des effets de surface

et montrons que l’interaction diminue lentement ^a

partir

^{de son}

maximum, qui

^est de l’ordre de

1’epais-

seur de la lame. Pour des lames

plus épaisses,

^nous

utilisons

F approximation

^du

cylindre

^{infini et mon-}

trons que l’interaction ^est maximale a une distance de l’ordre de 600

A, 1’angle

de deviation de 1’aiman- tation 6tant

sup6rieur

^a

30°,

^{dans le cas ou}

l’anisotropie

est nulle

(ex. Ni3Fe) .

^Un

argument qualitatif nous

^fait

estimer cet

angle

^a 100 dans le cas

general (ex. Ni).

Remerciements. ^- Nous remercions M.

J. Friedel,

Professeur a la Faculte des Sciences

d’Orsay,

^pour

nous avoir

sugg6r6

^ce

probleme

^et pour les conseils

qu’il

^a bien voulu nous donner

pendant

^son

^etude,

ainsi _que la direction de l’IRSID _pour nous avoir autorise a

entreprendre

^{ce travail.}

ANNEXE

gtude gdomdtrique

de

l’équation (23).

^{- Posons}

v ⁼

dy/dp

^et prenons ^comme nouvelle variable _cp.

L’6quation (23)

s’6crit alors :

Selon les valeurs

de v, dvldg, ? (A. 1)

^{aura en} p soit une racine

positive,

^soit deux racines

positives,

soit aucune. L’étude du

signe

des racines nous amène a delimiter dans le

plan (v, cp)

^{des zones de deux}

types :

-- ou

bien,

il y ^{a une} seule solution

positive

^en p, ^et alors le

signe

^de

dvldq:>,

c’est-a-dire la courbure

de ? = ? (p)

^est

d6termin6e,

- ou bien il _y a deux solutions ou une seule en p, selon le

signe

^de

dvld?.

La

figure

^{A .1}

repr6sente

^ces differentes

regions

pour

- -

₂

^{cp + -}

₂ ^Dans

chaque region,

^nous

avons en outre

indique

^dans

quel

^{sens doit} etre par-

courue une courbe v ⁼

v(p)

^{pour p} croissant. La

zone hachur6e limit6e _par les deux sinusoides :

est une

region

^ou

cb/d(p

^est

toujours

different de

zero,

le

signe de v. dvld(p

⁼

d2y/dp2

^{6tant determine.}

Pour suivre une racine de

1’6quation (A - 1)

^solution

de

(23),

^nous

proc6dons

de la mani6re suivante. En

un

point (v, cp)

^{de la}

figure A .1,

^v.

dvldcp

⁼

Xo

^6tant

un

parametre,

^{la somme et le}

produit

des racines sont

donn6s par :

,, - 1 rnc 9,("B

Dans un

plan

pl, P2, consid6rons

l’hyperbole d’équa-

tion :

La solution cherchée est le

point

d’intersection de

cette

hyperbole

^et de la droite :

dont l’ordonn6e a

l’origine depend

^de

Ào.

Dans la zone du

plan (v, cp)

^{ou se trouve}

l’image

de _cp ⁼

9 (p), pm/2

^est

positif.

^{On constate donc}

FIG. A .1. ^-

Representation

^{de v =}

v (cp).

336

FIG. A. 2. ^-

Interpretation g6om6trique

^{des racines}

de

1’6quation (A. 3)

^{en un}

point (v, cp).

( fig.

^A.

2)

que, selon la valeur de

Xo,

^{on a une racine}

positive,

^{deux racines}

positives

^ou pas de racine.

Lorsque

^le

point repr6sentatif v

⁼

v(p)

^suit

l’image

de _y ⁼

cp (P) (cf. fig. A.I),

^{nous restons sur un} parcours a une racine

positive

^{ou a} deux racines

positives a

moins que, ^ou bien _pm devienne nul

(cp

^{= 0 ou v}

infini),

ou bien

Xo

^{= h sin}

2y(p,

⁼ P2 ⁼

oo ) .

^Le parcours

envisage

^{est donc}

toujours

^{du meme}

type,

^{soit a une} racine

positive,

^{soit a} deux racines

positives. Or,

^au

voisinage

^de

1’ori g ine,

^{on a}

y - I p

In p, donc :

et l’on suit un parcours a deux racines

positives.

^Ceci

entraine tout d’abord _que,

l’image

^de

y(p)

^devant

partir

^de cp ⁼

0, v

^{== 2013 oo} pour aller en (p ⁼

0,

v ⁼ 0 ne pourra pas

d6passer

^{vers les} cp

n6gatifs

^la

valeur

- 7t/2

au-dela de

laquelle

^{on est dans une}

zone

(v, y)

^{ou il}

n’y

^a,

quels

que soient

Xo

^{et v,}

qu’une

seule racine

positive.

^De

plus,

^{on en conclut} que l’on

a

toujours :

Remarquons

^de

plus qu’en

^{raison du sens de}

parcours

impose

^{dans la zone}

hachur6e, l’image

^de

9 (p)

^ne

peut

pas ^non

plus

y

p6n6trer.

Ceci conduit donc a la

representation

^{que nous en donnons}

( fig.

^A.

1),

^ou l’on voit que

l’image

^{passe en un}

point

^{ou :}

On peut ^{en outre} d6montrer que

l’image

^de

y(p)

^ne

peut traverser v ⁼ 0

qu’une

seule fois

(pas

^d’oscilla-

tions).

^Pour

cela,

6tudions le

signe

^de

d2 cp/dp2 lorsque d(p/dp

^{= 0. 11}

vient, d’apr6s (23) :

L’équation (A. 4)

^s’annule pour :

nous

repr6sentons

^{sur la}

figure

A. 3 les courbes

repre-

sentatives de cette

equation.

^Elles

presentent

^{un mini-}

FIG. A 3. ^-

Signe

^{de d2}

9/d p2

pour

dp /dp

⁼ 0. Position de la solution de

1’6quation (23)

par

rapport

^{a la}

courbe

d2,p/d p2

^{= 0.}

mum pour p ⁼

1/Ý2h,

^{qJ =} (po. On voit ^{en outre} que

d 2?/dp2

^est

positif au-dessus

de la courbe passant par p ⁼

0,

^et que la solution ^ne peut donc osciller que si

cp(P),

pour ^une certaine valeur de _p, devient

sup6rieure

^{a 7t +} cpo, ^ce

qui

^{est interdit}

d’apr6s

^1’etude

pr6c6dente.

^{Avec ce resultat sont} d6montr6es les

prin- cipales propri6t6s qui

^{nous ont conduit a la fonction}

d’essai

(26).

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