Séminaire du 12 04 2018 laboratoire math info La Réunion

Références

Processus de Wiener,

Intégrale d’Itô,

Équations différentielles stochastiques

1

Partie

Sylvain Dotti

Laboratoire d’Informatique et de Mathématiques de La Réunion

12 Avril 2018

Les processus stochastiques

Le hasard est représenté par la variable ω qui appartient à l’espace probabilisé (Ω, F , P).

Le temps est représenté par la variable t ∈ R+_.

L’information disponible au temps t est modélisée par une sous-tribu Ft

de F . Une famille (Ft)_t∈R+ croissante de sous-tribus de F est appelée filtration.

Un processus stochastique X est une fonction X : Ω × R+→ (E , B(E )) où E est un espace topologique appelé espace des états, telle que ∀t ∈ R+

fixé, X (., t) : (Ω, F , P) → (E , B(E )) soit une variable aléatoire. Un processus est dit adapté à une filtration (Ft)_t∈R+ si ∀t ∈ R+fixé,

X (., t) est Ft-mesurable.

À ω ∈ Ω fixé, la fonction X (ω, .) : R+_{→ (E , B(E )) est appelée} trajectoire du processus X .

Existence d’un mouvement Brownien réel

Un processus B : Ω × R+

→ (R, B(R)) adapté à la filtration (Ft)_t∈R+ est appelé mouvement Brownien ou processus de Wiener si

I ∀0 ≤ s < t < +∞, B(., t) − B(., s) est indépendante de la tribu Fs

I ∀0 ≤ s < t < +∞, B(., t) − B(., s) est de loi N (0, t − s) I p.s. B(ω, 0) = 0

I p.s., les trajectoires de B sont continues.

À une modification près, le processus défini ∀t ∈ R+_par

B(ω, t) = L2_{(Ω,F ,P)}N→+∞lim N X n=0 Z t 0 en(s)dsYn(ω)

où (en)n∈N est une base Hilbertienne de L2(R+; dt) et (Yn)n∈N une suite

i.i.d. de variables aléatoires de lois N (0, 1) définies sur (Ω, F , P), est un mouvement Brownien adapté à la filtration σ (B(., t))

Unicité du mouvement Brownien réel

Un mouvement Brownien réel B satisfait les propriétés suivantes I ∀0 ≤ t1< ... < tn< +∞, (B(., t1), ..., B(., tn)) est un vecteur

gaussien centré

I _{∀0 ≤ s, t < +∞, E (B(., t)B(., s)) = min (t, s)} I p.s., B(ω, 0) = 0.

Un processus stochastique B vérifiant les trois conditions précédentes admet une modification qui soit un mouvement Brownien adapté à la filtration σ (B(., t))

t∈R+.

La définition, caractérisation et futures propriétés du mouvement Brownien sont tirées du livre [Gal08] de Léonard Gallardo, qui lui-même suit d’assez près l’ouvrage de Daniel Revuz et Marc Yor [RY13].

Espérance conditionnelle, Martingales

L’espérance conditionnelle E (X |Ft) de X ∈ L1(Ω, F , P) relativement à

une sous-tribu Ft de F est la meilleure approximation de X connaissant

les observations au temps t ∈ R+_{, dans le sens où} I _{E (X |F}t) ∈ L1(Ω, Ft, P). I ∀U ∈ Ft, Z U E (X |Ft) d P = Z U Xd P.

Un processus M : Ω × R+_{→ (R, B(R)) adapté à la filtration (F}

t)_t∈R+ est appelé martingale si

I ∀0 ≤ t < +∞, M(., t) ∈ L1 (Ω, P)

I _{∀0 ≤ s < t < +∞, E (M(., t)|F}s) = M(., s) p.s.

Le mouvement Brownien est une martingale relativement à sa filtration ; idem pour le processus ω ∈ Ω 7→ B(ω, t)2− t

inégalités importantes des martingales

Une généralisation de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour les martingales est donnée par l’inégalité Lp _{de Joseph Leo Doob :}

Si X est une martingale càdlàg, alors pour tout intervalle I ⊂ R+ : I ∀λ > 0, ∀p ∈ [1; +∞[, λp P sup t∈I |X (., t)| ≥ λ
≤ sup t∈IE |X (., t)| p
I _{∀p ∈]1; +∞[, E}  sup t∈I |X (., t)|p  ≤  p p − 1 p sup t∈I E |X (., t)| p

Pour le mouvement Brownien B, on a l’égalité maximale ∀λ > 0, P sup

s∈[0,t]

Régularité en temps du mouvement Brownien

Les trajectoires du Mouvement Brownien B sont presque sûrement localement α-Hölderiennes, ∀α ∈]0,1₂[, mais pas pour α = 1₂ i.e.

ps, ∀t1, t2∈ I compact ⊂ R+, |B(ω, t1) − B(ω, t2)| ≤ C (ω) |t1− t2|α. Presque sûrement, les trajectoires du mouvement Brownien ne sont dérivables en aucun point.

Presque sûrement, les trajectoires de B ne sont pas à variations bornées,

i.e. ps, ∀s, t ∈ R+, sup s=t0<t1<...<tn=t n−1 X k=0 |B(ω, tk+1) − B(ω, tk)| = +∞

La variation quadratique [B]_{t de B sur [0, t] ⊂ R}+est égale à t

i.e. ∀t ∈ R+_{, [B]} t(ω) = lim |π|→0 n−1 X k=0 |B(ω, tk+1) − B(ω, tk)| 2 = L2_(Ω,P)t pour toute subdivision π : 0 = t0< t1< ... < tn= t de l’intervalle [0, t].

l’intégrale d’Itô des processus élémentaires

Un processus X : Ω, F , (Ft)_t∈R+, P
× [0, T ] → R est élémentaire s’il existe une subdivision 0 = t0< t1< ... < tn= T de [0, T ] ⊂ R+, des

variables aléatoires Xi ∈ L2(Ω, Fti, P) ∀i ∈ {0, .., n − 1}, telles que

X (ω, t) =

n−1

X

i =0

Xi(ω)1[ti,ti +1[(t), ∀t ∈ [0, T ], ∀ω ∈ Ω. Son intégrale d’Itô contre le mouvement Brownien B, adapté à la filtration (Ft)_t∈R+, est la variable aléatoire

I[0,T ](X ) = Z T 0 X (ω, t)dB(ω, t) = n−1 X i =0 Xi(ω) B(ω, ti +1)−B(ω, ti)
, ∀ω ∈ Ω.

Elle vérifie les propriétés

I X 7→ I[0,T ](X ) est linéaire ; E Z T 0 X (ω, t)dB(ω, t) ! = 0 I _E " Z T 0 X (ω, t)dB(ω, t) !2# = E Z T 0 X (ω, t)2dt !

Extension de l’intégrale d’Itô

On a donc une isométrie pour T ∈ R+∗ :

X ∈ E2⊂ L2_{(Ω × [0, T ], F}

T⊗ B[0, T ], dt ⊗ P) 7→ I[0,T ](X ) ∈ L2(Ω, F , P) où E2est l’ensemble des processus élémentaires définis précédemment. Un processus stochastique Y : Ω × [0, T ] → R dont chaque restriction à Ω × [0, t] est Ft⊗ B[0, t]-mesurable (∀t ∈ [0, T ]) est dit progressivement

mesurable. La tribu engendré par ces processus est notée Prog . Les processus élémentaires sont progressivement mesurables. La fermeture de E2_{dans l’espace de Hilbert}

L2_{(Ω × [0, T ], F}

T⊗ B[0, T ], dt ⊗ P) est L2(Ω × [0, T ], Prog , dt ⊗ P).

L’isométrie X ∈ ¯E2_{7→ I}

[0,T ](X ) ∈ L2(Ω, F , P) permet de définir l’intégrale d’Itô à toutes les intégrandes L2_{(Ω × [0, T ], Prog , dt ⊗ P).}

L’intégrale d’Itô en tant que processus stochastique

Pour la suite, l’espace probabilisé sera muni d’une filtration I complète i.e. F0 contient les ensembles de P-mesure nulle. I _{continue à droite i.e. ∀t ∈ R}+_{, F}

t =

\

s>t

Fs

Ainsi, nous pourrons travailler avec les classes de processus modifiés presque sûrement à chaque t fixé.

Toute modification d’un processus progressivement mesurable est progressivement mesurable.

Les intégrales d’Itô de deux processus X et Y tel que ∀t ∈ R+_{, X (ω, t) = Y (ω, t) ps, sont égales.}

Toute martingale a une modification càdlàg. Le processus (ω, t) 7→Rt

0X (ω, s)dB(ω, s) est adapté à la filtration (Ft)_t∈R+, c’est une martingale de carré intégrable qui admet une

Calcul stochastique

Soient A, C ∈ L2_{(Ω × [0, T ], Prog , dt ⊗ P) deux processus stochastiques,}

X (ω, t) = X (ω, 0) + Z t 0 A(ω, s)ds + Z t 0 C (ω, s)dB(ω, s)

défini ∀t ∈ [0, T ], ω ∈ Ω, est appelé processus d’Itô. L’égalité précédente se note dXt= Atdt + CtdBt, et s’appelle différentielle d’Itô.

Soient deux processus d’Itô X et Y , avec dYt = ¯Atdt + ¯CtdBt.

On a la formule d’intégration par parties suivante :

d (X × Y )_t = XtdYt+ YtdXt+ CtC¯tdt Soit f ∈ C2,1 (R × R+_{), on a la formule d’Itô :} d (f (Xt, t)) = (∂tf ) (Xt, t)dt + (∂xf ) (Xt, t)dXt+ 1 2C 2 t × (∂xxf ) (Xt, t)dt.

Équation différentielle stochastique

Une équation différentielle stochastique est une équation de la forme

dX (ω, t) = a (X (ω, t), t) dt + b (X (ω, t), t) dB(ω, t)

où l’inconnue X est un processus d’Itô, les fonctions a, b : R × R+ → R sont boréliennes.

La condition initiale X (., 0) : Ω → R du problème de Cauchy doit être F0-mesurable.

Exemples d’équations différentielles stochastiques

Soient a, b ∈ R, l’équation de Langevin

dXt = −a × Xtdt + bdBt, t ∈ [0, T ] sous une donné initiale X0= x0∈ R admet pour unique solution le processus d’Itô défini par

X (ω, t) = e−at  x0+ b Z t 0 easdB(ω, s)  , ∀t ∈ [0, T ]. Soient (a, b) ∈ R+ ∗ × R∗, l’équation de Black-Scholes-Merton

dXt = a × Xtdt + b × XtdBt, t ∈ [0, T ] sous une donné initiale

X0= x0∈ R+admet pour unique solution le processus d’Itô défini par

X (ω, t) = x0eat− 1 2b

2_t+bB(ω,t)

, ∀t ∈ [0, T ].

Remarque : Si dans la dernière équation, on prend a = 0, b = 1, x0= 1, le processus solution est appelé exponentielle stochastique.

Bibliographie I

Léonard Gallardo.Mouvement brownien et calcul d’Itô : cours et exercices corrigés. Hermann, 2008.

Daniel Revuz et Marc Yor.Continuous martingales and Brownian motion. T. 293. Springer Science & Business Media, 2013.