Introduction à la logique

(1)

Introduction `a la logique

1^erd´ecembre 2014

1 Introduction

2 Calcul propositionnel informel

3 La formalisation du calcul propositionnel

D ´EFINITION3.1 Axiomes du syst`eme formelLdu calcul propositionnel (L1)(A→(B→A));

(L2)((A→(B→C))→((A→B)→(A→C))) (L3)(((∼A)→(∼B))→(B→A))

4 Calcul informel des pr´edicats

4.1 Langage du premier ordre

Dans un langage du premier ordre L on ne donne un alphabet de symboles :

– des variablesx₁, x₂, . . .,

– un ensemble (possiblement vide) de constantes individuellesa₁, a₂, . . ., – un ensemble (possiblement vide) de symboles repr´esentant des pr´edicats,

Aⁿ_i, o ùnreprésente le nombre d’entrées du prédicat,

– un ensemble (possiblement vide) de symboles représentant des fonc- tionsfⁿ_i, o ùnreprésente le nombre d’entrées de la fonction,

– les symboles de ponctuation(,),,, – les connecteurs∼et→,

– le quantificateur∀.

(2)

D ´EFINITION4.1 SoitLun langage du premier ordre. UntermedeLest d´efini comme suit :

(i) Une variable ou une constante individuelle est un terme.

(ii) Sifⁿ_i est un symbole de fonction dansL ett₁, . . . , t_n sont des termes deL, alorsfⁿ_i(t₁, . . . , t_n)est un terme deL.

(iii) L’ensemble des termes deLest généré par (i) et (ii).

D ÉFINITION4.2 Soit Lun langage du premier ordre. Uneformule atomique deLest définie commeA^k_i(t₁, . . . , t_k), o ùAⁿ_i est un symbole de prédicat deLet t₁, . . . , t_nsont des termes deL.

D ´EFINITION4.3 Une formule bf deLest d´efinie par : (i) Toute formule atomique deLest une formule bf deL.

(ii) SiAetBsont des formules bf deLetx_iest une variable, alors(∼A),A→B et(∀x_i)Asont des formules bf deL.

(iii) L’ensemble des formules bf deLest généré par (i) et (ii).

D ÉFINITION4.4 Dans la formule bf (∀x_i)A, on dit que Aest lechamp d’ac- tiondu quantificateur. Plus généralement, si(∀x_i)Aapparait comme sous-formule d’une formule bfB, on dit que le champ d’action du quantificateur dansBestA.

Une occurrence de la variablex_idans une formule bf est diteli´eesi elle apparait, soit dans le champ d’action d’un(∀x_i)dans la formule ou si elle est lex_idu(∀x_i). Dans le cas contraire, elle estlibre.

D ´EFINITION4.5 Soit Aune formule bf de L. Un terme test dit libre pour x_i dansAsi pour toute variablex_j apparaissant danst,x_i n’apparait pas libre dans le champ d’action d’un(∀x_j).

4.2 Interpr´etations

D ÉFINITION4.6 UneinterprétationId’un langageLest la donnée de : – un ensemble non videD_I, appelédomainedeI,

– une collection d’éléments distingués{a¯₁,a¯₂, . . .}(a¯_i est l’interprétation de a_i),

– une collection de fonctionsf¯ⁿ_i,i > 0,n > 0(f¯ⁿ_i est l’interpr´etation defⁿ_i), – une collection de relationsA¯ⁿ_i,i > 0,n > 0(A¯ⁿ_i est l’interpr´etation deAⁿ_i).

(3)

4.3 Satisfaction d’une formule bf dans une interpr´etation

D ÉFINITION4.7 SoitIuneinterprétationId’un langageL. Unevaluationest une fonctionvde l’ensemble des termes deLdansD_Iavec les propriétés suivantes

(i)v(a_i) =a¯_ipour chaque constante individuellea_i deL.

(ii) Sifⁿ_i est un symbole de fonction dansL ett₁, . . . , t_n sont des termes deL, alorsv(fⁿ_i(t₁, . . . t_n)) =f¯ⁿ_i(v(t₁), . . . , v(t_n))

D ÉFINITION4.8 Deux valuations vetv⁰ sonti-équivalentes siv(x_j) = v⁰(x_j) pour toute variablex_j, o ùj6=i.

D ÉFINITION4.9 Soit A une formule bf de Let I une interprétation deL. Une valuationvdansIsatisfait àAsi on peut montrer par induction qu’elle satisfait à Aen utilisant les pas d’induction suivants :

(i) v satisfait `a la formule atomique Aⁿ_j(t₁, . . . t_n) si A¯ⁿ_i(v(t_i), . . . , v(t_n)) est vraie dansD_I.

(ii)vsatisfait `a(∼B)sivne satisfait pas `aB.

(iii)vsatisfait à(B→C)sivsatisfait à(∼B)ouvsatisfait àC.

(iv)vsatisfait à(∀x_i)B, si pour toute valuationv⁰qui esti-équivalente àv, alors v⁰satisfait àB.

PROPOSITION4.10 SoitA(x_i)une formule bf dans laquellex_iest libre, et soitt une terme qui est libre pourx_idansA(x_i). Soitvune valuation etv⁰la valuationi-

équivalente àvdans laquellev⁰(x_i) =v(t). Alors,vsatisfait àA(t)si et seulement siv⁰ satisfait àA(x_i).

D ÉFINITION4.11 Une formule bfAestvraiedans une interprétationIsi toute valuation dansIsatisfait àA. On noteraI |=AsiAest vraie dansI. La formule Aestfaussesi aucune valuation dansIne satisfait àA.

PROPOSITION4.12 Si les formules bfA et(A → B)sont vraies dans une interpr´etationI, alorsBest vraie dansI.

PROPOSITION4.13 Soit A une formule bf de L et I une interpr´etation de L. Alors,I|=Asi et seulement si, pour toute variablex_i,I|=(∀x_i)A.

COROLLAIRE4.14 SoitAune formule bf deL,Iune interpr´etation deL. Alors, I |= A si et seulement si, pour toute suite de variables y₁, . . . y_n de L, I |= (∀y₁). . .(∀y_n)A.

(4)

PROPOSITION4.15 Soit A une formule bf de L et I une interpr´etation de L.

Alors, v satisfait à la formule (∃x_i)A si et seulement si il existe au moins une valuationv⁰qui esti-équivalente àvet quei satisfait àA.

D ÉFINITION4.16 On considère une formule bf A₀ du langage formel L. Une formuleAobtenue en rempla¸cant chaque variable propositionnelle deA₀ par une formule bf deLest dite unematérialisation par substitutiondeA₀dansL. D ÉFINITION4.17 Une formule bfAdeLest unetautologiesi c’est la matérialisa- tion par substitution d’une tautologieA₀deL.

PROPOSITION4.18 Une formule bfAdeLqui est une tautologie est vraie dans toute interpr´etation deL.

D ´EFINITION4.19 Une formule bfA deLest ferm´eesi elle ne contient pas de variables libres.

PROPOSITION4.20 SoitIune interprétation deLetA, une formule bf deL. Si vetwsont deux valuations deLqui prennent la même valeur pour toute varaible libre deA, alorsvsatisfait àAsi et seulement siwsatisfait àA.

COROLLAIRE4.21 SoitIune interpr´etation deLetA, une formule bf ferm´ee de L. AlorsI|=Aou bienI|=(∼A.

D ÉFINITION4.22 Une formule bfAdeLestlogiquement validesiAest vraie dans toute interprétation deL. Elle est ditecontradictoiresi elle est fausse dans toute interprétation.

5 Calcul des pr´edicats formel

D ÉFINITION5.1 Soit L un langage du premier ordre. On définit un système formel déductifpar les axiomes et règles de déduction suivantes :

Axiomes.SoientA,B,C des formules bf deL. Alors, les formules bf suivantes sont des axiomes deK_L.

(K1) (A→(B→A)).

(K2) (A→(B→C))→((A→B)→(A→C)).

(K3) (∼A→∼B)→(B→A).

(K4) ((∀x_i)A→A), six_in’est pas libre dansA.

(5)

(K5) ((∀x_i)A(x_i) → A(t)), siA(x_i) est une formule bf dans L ett est un terme deLqui est libre pour la variablex_i dansA(x_i).

(K6) ((∀x_i)(A → B) → (A → (∀x_i)B), si A ne contient pas d’occurrence libre de la variablex_i.

R`egles.

(1)Modus ponens: SiAetBdes formules bf deL. On d´eduitBdeAetA→B. (2)Generalisation: SiAest une formule deLetx_iest une variable, on d´eduit

(∀x_i)A)deA.

D ÉFINITION5.2 1. Une preuve dansK_Lest une suite de formules bfA₁, . . . , A_ndeLtelles que pour touti, soitA_iest un axiome deK_L, soitA_idécoule desA_j,j < ipar modus ponens ou généralisation. On dira queA_nest un théorèmedeK_L

2. SiΓ est un ensemble de formuels bf deL, unedéduction deγdansK_Lest une suite de formules bfA₁, . . . ,A_ndeLtelles que pour touti, soitA_i est un axiome deK_L, soitA_iest dansΓ, soitA_idécoule desA_j,j < ipar modus ponens ou généralisation. On dira queA_n est uneconséquence dansK_L deΓ.

PROPOSITION5.3 SoitAune formule bf deL. SiAest une tautologie, alorsA est un th´eor`eme deK.

PROPOSITION5.4 Tout axiome obtenu `a partir des sch´emas d’axiomes (K4), (K5) et (K6) est logiquement valide.

THEOR´ EME` 5.5 (Théorème de s ûreté ou Soudness theorem) pour toute formule bf AdeLsi`

KA, alorsAest logiquement valide. On en d´eduit queKest coh´erent.

THEOR´ EME` 5.6 (Théorème de déduction pourK) SoientAetBdeux formules bf deLetΓ un ensemble (possiblement vide) de formules bf deL. SiΓ ∪{A}`

K B, et la déduction ne contient aucun pas de généralisation avec une variable qui est libre dansA, alorsγ`

K (A→B).

COROLLAIRE5.7 SiΓ∪{A}`

K Bet siAest ferm´ee, alorsΓ `

K (A→B).

COROLLAIRE5.8 Pour toutes formules bf,A,B,CdeL, {(A→B),B→C)}`

K (A→C).

(6)

PROPOSITION5.9 SoientAetBdes formules bf deL, etΓ un ensemble de formules bf deL. SiΓ `

K (A→B), alorsΓ ∪{A}`

KB.

5.1 ´Equivalence, substitution

PROPOSITION5.10 SoientAetBdes formules bf deL. Alors,`

K (A↔ B)si et seulement si`

K (A→B)et`

K (B→A).

D ÉFINITION5.11 Soient AetB des formules bf deL. On dit queA etB sont démontrablement équivalentes si`

K(A↔B).

COROLLAIRE5.12 SoientA,B,Cdes formules bf deL. SiAetBsont démontra- blement équivalentes, etB etCsont démontrablement équivalentes, alorsAetC sont démontrablement équivalentes.

PROPOSITION5.13 Six_iapparait libre dansA(x_i)etx_jest une variable qui n’est ni libre, ni li´ee dansA(x_i), alors`

K((∀x_i)A(x_i)↔(∀x_j)A(x_j)).

PROPOSITION5.14 Soit A une formule bf de L dont les variables libres sont y₁, . . . , y_n. Alors`

KAsi et seulement si`

K(∀x₁). . .(∀x_n)A.

D ÉFINITION5.15 SoitAune formule bf deLdont les variables libres sonty₁, . . . , y_n. Alors la formule bf(∀y₁). . .(∀y_n)Aest appeléefermeture universelledeA et notéeA⁰.

PROPOSITION5.16 SoitAetBdeux formules deL. Supposons queB₀est obtenue d’une formuleA₀ en substituantB `a une occurrence ou plus deAdansA₀. Alors,

`

K ((A↔B)⁰ →(A₀↔B₀)).

COROLLAIRE5.17 SoitA,B,A₀,B₀comme dans la proposition ci-dessus. Si`

K

(A↔B), alors`

K (A₀ ↔B₀).

COROLLAIRE5.18 Si la variable x_j n’apparait pas (ni libre, ni li´ee) dans une formule bfA(x_i), et siB₀est obtenue d’une formuleA₀en substituant(∀x_j)A(x_j)

`a une occurrence ou plus de(∀x_i)A(x_i)dansA₀, alors`

K(A₀↔B₀).

(7)

5.2 Forme pr´enexe

PROPOSITION5.19 SoientAetBdes formules bf deL.

(i) Six_in’apparait pas libre dansA, alors

`

K((∀x_i)(A→B)↔(A→(∀x_i)B)), et

`

K((∃x_i)(A→B)↔(A→(∃x_i)B)).

(ii) Six_in’apparait pas libre dansB, alors

`

K((∀x_i)(A→B)↔((∃x_i)A→B)), et

`

K((∃x_i)(A→B)↔((∀x_i)A→B)).

LEMME5.20 SoientAetBdes formules bf deL, etx_iune variable. Alors, 1. `

K(A→B)si et seulement si`

K (∼B→∼A). 2. `

K∼(A→B)si et seulement si`

K Aet`

K∼B.

3. `

KA→(∃x_i)A.

D ´EFINITION5.21 Une formule bfAdeLest sousforme pr´enexesi elle est de la forme

(Q₁x_i₁)(Q₂x_i₂). . .(Q_nx_i_n)D,

o `uDest une formule bf sans quantificateur et chaqueQ_jest soit∀, soit∃.

PROPOSITION5.22 Pour toute formule bfAdeL, il existe une formuleB sous forme prénexe qui est équivente de manière prouvable àA.

D ´EFINITION5.23 (i) Soitn > 0. Une formule bf sous forme pr´enexe est une Π_n formule si elle commence par un quantificateur universel et a n− 1 alternances de type de quantificateurs.

(ii) Soit n > 0. Une formule bf sous forme pr´enexe est une Σ_n formule si elle commence par un quantificateur existentiel et an−1alternances de type de quantificateurs.

(8)

5.3 Le théorème d’adéquation pourK

D ÉFINITION5.24 Uneextension deKest un système formel obtenue en chan- geant et/ou augmentant l’ensemble des axiomes de telle sorte que tout théorème de Ksoit un théorème de l ’extension deK. On peut de même définir une extension d’une extension deK.

D ´EFINITION5.25 Unsyst`eme du premier ordreest une extension deK_Lpour un langage du premier ordreL.

D ÉFINITION5.26 Un système du premier ordreSestcohérent s’il n’existe pas de formule bfAtelle queAet(∼A)soient simultanément des théorèmes deS.

PROPOSITION5.27 SoitS un système cohérent du premier ordre etAune formule bfferméequi n’est pas un théorème deS. Alors, l’extensionS^∗deSobtenue en ajoutant(∼A)comme axiome additionnel est cohérent.

D ÉFINITION5.28 Un système du premier ordre S est complet si, pour toute formule fermée bfA, soit`

S A, soit`

S (∼A).

PROPOSITION5.29 SoitSun système cohérent du premier ordre. Alors, il existe une extension cohérente deSqui est complète.

PROPOSITION5.30 SoitSun système cohérent du premier ordre. Alors, il existe une interprétation deLdans laquelle chaque théorème deSest vrai.

THEOR´ EME` 5.31 (Théorème d’adéquation) SiAest une formule bf deLqui est logiquement valide, alorsAest un théorème deK_L.

5.4 Mod`eles

D ÉFINITION5.32 (i) SoitΓun ensemble de formules bf deL. Une interprétation deLdans laquelle chaque formule deΓ est vraie est appelée unmodèlede Γ.

(ii) SoitSun système du premier ordre. UnmodèledeSest une interprétation deLdans laquelle chaque théorème deSest vrai.

PROPOSITION5.33 SoitSun système du premier ordre et Iune interprétation deLdans laquelle chaque axiome deSest vrai. Alors,Iest un modèle deS.

(9)

PROPOSITION5.34 Un système du premier ordreSest cohérent si et seulement si il a un modèle.

PROPOSITION5.35 SoitS, un système du premier ordre cohérent, etAune formule bf qui est vraie dans tout modèle deS. AlorsAest un théorème deS.

THEOR´ EME` 5.36 (Théorème de Löwenheim-Skolem) Si un système du premier ordre a un modèle, alors il a un modèle dénombrable.

THEOR´ EME` 5.37 (Théorème de compacité) Si chaque sous-ensemble fini de l’ensemble des axiomes d’un système du premier ordreSa un modèle, alorsSlui-même a un modèle.

COROLLAIRE5.38 SoitΓun ensemble infini de formules bf deK_L. Alors,Γa un modèle dès que chaque sous-ensemble fini deΓ a un modèle.

6 Quelques syst`emes formels du premier ordre

6.1 Systèmes du premier ordre avec égalité

L’égalité est un prédicat à deux entrées. Nous le noteronsA²₁. Une fois que nous aurons pris l’habitude de manipuler les axiomes nous nous per- mettrons aussi de noterA²₁(x, y)parx=y.

Dans un système du premier ordre avec égalité, nous ajoutons aux axiomes (K1)-(K6) les axiomes (E7), (E8) et (E9) définis comme suit :

D ÉFINITION6.1 Toute extension deK_Lqui inclut dans ses axiomes les axiomes (E7), (E8) et (E9) définis ci-dessous est appelésystème du premier ordre avec

égalité. Les axiomes suivants sont appelésaxiomes de l’égalité: (E7) A²₁(x₁, x₁).

(E8) A²₁(t_k, u)→A²₁(fⁿ_i(t₁, . . . , t_k, . . . , t_n), fⁿ_i(t₁, . . . , u, . . . , t_n)), o `ut₁, . . . , t_n, usont des termes quelconques etfⁿ_i est un symbole de fonction deL.

(E9) A²₁(t_k, u)→(Aⁿ_i(t₁, . . . , t_k, . . . , t_n)→Aⁿ_i(t₁, . . . , u, . . . , t_n)), o `ut₁, . . . , t_n, usont des termes quelconques etAⁿ_i est un symbole de pr´edicat deL.

PROPOSITION6.2 Soit S, un système du premier ordre avec égalité. Alors, les formules bf suivantes sont des théorèmes deS:

(i) (∀x_i)A²₁(x₁, x₁),

(ii) ∀x₁)(∀x₂)(A²₁(x₁, x₂)→A²₁(x₂, x₁)),

(10)

(iii) (∀x₁)(∀x₂)(∀x₃)(A²₁(x₁, x₂)→(A²₁(x₂, x₃)→A²₁(x₁, x₃))).

PROPOSITION6.3 Soit S, un système du premier ordre cohérent avec égalité.

Alors,Sa un modèle dans lequel l’interprétation de A²₁ est=. Un tel modéle est appelémodèle normaldeS.

6.2 La th´eorie des groupes

Le langage du premier ordre,L_G, approprié à la théorie des groupes a l’alphabet suivant de symboles :

– des variablesx₁, x₂, . . . ;

– une constantea₁correspondant `a l’identit´e ;

– des symboles de fonctions :f¹₁correspond `a l’inverse etf²₁au produit ; – un symbole de pr´edicat :A²₁que l’on notera aussi=;

– des symboles de ponctuation :(,),,; – des symboles logiques :∀,∼,→.

On d´efinitG, l’extension deL_L_Gdont les axiomes propres sont (E7), (E8), (E9) et

(G1) f²₁(f²₁(x₁, x₂), x₃) =f²₁(x₁, f²₁(x₂, x₃)). (Associativié) (G2) f²₁(a₁, x₁) =x₁. ( Élément neutre à gauche)

(G3) f²₁(f¹₁(x₁), x₁) =a₁. (Inverse `a gauche) 6.3 L’arithm´etique du premier ordre

Le langage du premier ordre,L_N, approprié à l’arithmétique a l’alphabet suivant de symboles :

– des variablesx₁, x₂, . . . ;

– une constantea₁correspondant `a0;

– des symboles de fonctions : f¹₁ correspond à la fonction successeur (on notera aussi t⁰ = f¹₁(t)), etf²₁, f²₂ correspondant à la somme et au produit et pour lesquels on utilisera aussi la notation usuelle+et×; – un symbole de prédicat :A²₁que l’on notera aussi=;

On d´efinitN, l’extension de KL_N dont les axiomes propres sont (E7), (E8), (E9) et les sept axiomes ou sch´emas d’axiomes suivants

(N1) (∀x₁)∼(f¹₁(x₁) =a₁).

(N2) (∀x₁)(∀x₂)(f¹₁(x₁) =f¹₁(x₂)→x₁ =x₂).

(11)

(N3) (∀x₁)(f²₁(x₁, a₁) =x₁).

(N4) (∀x₁)(f²₁(x₁, f¹₁(x₂)) =f¹₁(f²₁(x₁, x₂))). (N5) (∀x₁)(f²₂(x₁, a₁) =a₁).

(N6) (∀x₁)(f²₂(x₁, f¹₁(x₂)) =f²₁(f²₂(x₁, x₂), x₁)).

(N7) A(a₁) → ((∀x₁)(A(x₁) → A(f¹₁(x₁))) → (∀x₁)A(x₁)), pour toute formuleA(x₁)deL_Ndans laquellex₁est libre.

6.4 La th´eorie des ensembles formelle

Le système formel associé est appelésystème de Zermelo-Fraenkelet noté ZF. Le langage du premier ordre,L_ZF, approprié à la théorie des ensembles a l’alphabet suivant de symboles :

– des variablesx₁, x₂, . . . ; – aucune constante ;

– aucun symbole de fonction ;

– deux symboles de prédicat : A²₁ et A²₂ correspondant à l’égalité et à l’appartenance (on notera t₁ ∈ t₂ pour A²₂(t₁, t₂), o ùt₁, t₂ sont des termes ;

NOTATION6.4 – On introduit le symbole ⊆ comme abbr´eviation : ainsi, (t₁⊆t₂)signifie(∀x₁)(x₁∈t₁→x₁ ∈t₂).

– On introduit∃₁comme abbr´eviation signifiantIl existe un et un seul. Ainsi(∃₁x₁)A(x₁signifie((∃x₁)A(x₁))∧((∀x₂)A(x₂)→(x₂=x₁))). On d´efinitZF, l’extension deK_L_ZF dont les axiomes propres sont (E7), (E8), (E9) et les huit axiomes suivants

(ZF1) (x₁=x₂↔(∀x₃)(x₃∈x₁ ↔x₃∈x₂)). (Axiome d’extensionnalit´e) (ZF2) (∃x₁)(∀x₂)∼(x₂∈x₁).(Existence de l’ensemble vide)

(ZF3) (∀x₁)(∀x₂)(∃x₃)(∀x₄)(x₄ ∈x₃↔ (x₄=x₁∨x₄ =x₂). (Axiome des paires)

(ZF4) (∀x₁)(∃x₂)(∀x₃)(x₃ ∈ x₂ ↔ (∃x₄)(x₄ ∈ x₁∧x₃ ∈ x₄). (Axiome de l’union des ´el´ements dex₁). On notera S

x₁ l’ensemblex₂ obtenu et on utilisera l’abbr´eviation(t₁∪t₂)pourS{t₁, t₂}.

(ZF5) (∀x₁)(∃x₂)(∀x₃)(x₃ ∈ x₂ ↔ x₃ ⊆ x₁). (Axiome de l’ensemble des parties d’un ensemble)

(12)

(ZF6) (∀x₁)(∃₁x₂)A(x₁, x₂) → (∀x₃)(∃x₄)(∀x₅)(x₅ ∈ x₄ ↔ (∃x₆)(x₆ ∈ x₃∧A(x₆, x₅))), pour toute formuleAdans laquellex₁etx₂sont libres et dans laquelle les quantificateurs(∀x₅)et(∀x₆)n’apparaissent pas.

(Axiome de remplacement : l’ensemble x₄ est formé des images de tous les éléments dex₃par la fonction déterminée parA.)

(ZF7) (∃x₁)(∅ ∈ x₁ ∧(∀x₂)(x₂ ∈ x₁) → x₂ ∪{x₂} ∈ x₁)). (Axiome de l’existence d’un ensemble infini) Note : on d´efinit le singleton {x₂} comme la paire{x₂, x₂}.

(ZF8) (∀x₁)(∼x₁ = ∅ → (∃x₂)(x₂ ∈ x₁∧ ∼(∃x₃)(x₃ ∈ x₂ ∧x₃ ∈ x₁))) (Axiome de fondation : tout ensemble non-videx₁contient un ´el´ement qui est disjoint dex₁.)

PROPOSITION6.5 L’axiome (ZF2) et le schéma d’axiome de remplacement (ZF6) permettent de montrer que le schéma d’axiomes de compréhension (aussi appelé schéma d’axiomes de séparation) est un théorème de ZF : siAest une formule bf deL_ZFcontenant une variable libre, alors

`

ZF(∀x₁)(∃x₂)(∀x₃)(x₃∈x₂↔(x₃ ∈x₁∧A(x₃)).

7 Fonctions et relations r´ecursives, ensembles r´ecursifs

Fonctions r´ecusives de base

1. La fonction z´eroz:N→N, d´efinie parz(n) =0pour toutn∈N.

2. La fonction successeurs:N→N, d´efinie pars(n) =n+1pour tout n∈N.

3. Les fonctions projectionsp^k_i : N^k → N, d´efinies parp^k_i(n_i, . . . , n_k) = n_i pour toutn₁, . . . , n_k∈N.

D ÉFINITION7.1 L’ensemble des fonctions récursives est l’ensemble des fonctions obtenues des fonctions de base par un nombre fini d’applications des trois opération suivantes :

1. Lacompositiondeg : N^j → Navec (h₁, . . . h_j), o `uh_i :N^k → N, est la fonctionf=g◦(h₁, . . . , h_j) :N^k→Nd´efinie par

f(n₁, . . . , n_k) = (g(h₁(n₁, . . . , n_k), . . . , h_j(n₁, . . . , n_k)).

(13)

2. Lar´ecurrencede baseg :N^k → Net de pash :N^k+2 → Ndonnant une fonctionf:N^k+1→Nd´efinie par

f(n₁, . . . , n_k, 0) =g(n₁, . . . , n_k),

f(n₁, . . . , n_k, n+1) =h(n₁, . . . , n_k, n, f(n₁, . . . , n_k, n)).

3. L’opérateur plus petit nombre: soit g : N^k+1 → Nune fonction telle que pour toutn₁, . . . , n_k∈Nil existen∈Ntel queg(n₁, . . . , n_k, n) =0. Alors, la fonctionf:N^k→Nobtenue degpar l’opérateur plus petit nombre est définie ainsi

f(n₁, . . . , n_k) =min{n|g(n₁, . . . , n_k, n=0}. On notef(n₁, . . . , n_k) =µn[g(n₁, . . . , n_k, n) =0].

Une fonction obtenue des fonctions de base en utilisant seulement les opérations de composition et de récurrence est diteprimitive-récursive.

D ÉFINITION7.2 SoitRune relation surNàkentrées. La fonction caractéristique deR, notéeC_R, est définie par

C_R(n₁, . . . , n_k) =

0, siR(n₁, . . . , n_k)est vraie, 1, sinon.

D ÉFINITION7.3 Soit Aun sous ensemble deN^k. La fonction caractéristique de A, notéeC_A, est définie par

C_A(n₁, . . . , n_k) =

0, si(n₁, . . . , n_k)∈A, 1, sinon.

D ÉFINITION7.4 Une relation surN àkentrées estrécursivesi sa fonction ca- ractéristique est récursive. Un sous-ensemble deN^k est récursif si sa fonction ca- ractéristique est récursive.

PROPOSITION7.5 SoientRetSdeux relations récursives àkentrées. Alors, les relations∼R,R∨SetR∧Ssont récusives.

PROPOSITION7.6 Tout singleton deNest un sous-ensemble r´ecursif deN.