Le bébé et les nombres

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Cognition numérique, Développement.

Les bébés sont-ils sensibles aux propriétés numériques des ensembles ? Les résultats actuels établissent leur capacité à encoder les informations numé- riques dans le domaine des grands nombres (4 et plus). Par contre, pour des ensembles contenant 1, 2, ou 3 objets, les résultats sont plus partagés, car plutôt que d’encoder le nombre d’objets au niveau de l’ensemble, les bébés ont tendance à suivre chaque objet individuellement.

Résumé Mots clefs

Le bébé et les nombres

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Department of Psychology 33 Kirkland St

Cambridge, MA02138 USA [email protected]

Parcours professionnel

2006-... : Stage Postdoctoral (Harvard University, USA), sous la direction de Elizabeth Spelke. Les origines des connaissances mathé- matiques.

2001-2006 : Thèse en Psychologie Cognitive (Université Paris 6) sous la direction de Stanislas Dehaene.

Caractérisation des interactions entre les représentations numé- riques verbales et non-verbales.

2000-2001 : DEA de Sciences Cognitives (Ecole des Hautes Etu- des en Sciences Sociales, Ecole

Introduction

Les animaux sont capables de réagir aux propriétés numé- riques des ensembles, qu’il s’a- gisse d’ensembles d’objets, ou de séquences de sons, de séries d’actions (1)… Cette capacité est présente chez un large éven- tail d'espèces, du pigeon au singe en passant par le rat, le chien, le lion, et le dauphin.

VERONIQUE IZARD

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Polytechnique, Ecole Normale Supérieure de Paris, Université Paris 6). Représentation des infor- mations numériques dans le contexte du langage courant.

1997-2000 : Elève Ingénieur à l’Ecole Polytechnique.

Prix et bourses

Juillet 2007 : Bourse “Initiative Post-doc du Ministère de la Recherche Français”.

Février 2007 : Prix “Le Monde de l’Education” pour une these scien- tifique.

2006 : Bourse Post-Doctorale de la Fondation Fyssen.

2005 : Bourse Jeune Chercheur de l’Ecole Polytechnique.

Principales publications

• Dehaene, S., Izard, V., Spelke, E.S., Pica, P., 2008. Log or linear? Dis- tinct intuitions of the number scale in Western and Amazonian cultures, Science 320 (5880), 1213-1216.

• Izard V., Pica P., Spelke E., Dehaene S., 2008. Exact Equality and Successor Function: Two Key Concepts on the Path towards understanding Exact Numbers, Phi- losophical Psychology, 21(4): 491-505.

• Izard V., Dehaene-Lambertz G., Dehaene S., 2008. Distinct cere- bral pathways for object identity and number in 3-month-old infants, PLOS Biology, 6(2): e11, p.

275-285.

• Izard V., Dehaene S., 2008. Cali- brating the number line, Cognition 106(3), 1221-1247.

Aussi est-il plausible de penser que le système de repré- sentation de la quantité numérique a été conservé par l’évolution et que nous, humains, sommes dotés d'un système homologue, qui pourrait apparaître très tôt au cours du développement.

Les bébés sont-ils sensibles au nombre ? Sous quel format représentent-ils les quantités ? Je résume ici les résultats de la recherche, et les réponses qui ont été apportées à ces questions.

Premières observations

Sous l'influence de Piaget et du courant constructiviste, on a longtemps pensé que le bébé naissait vierge de toute connaissance et de tout a priori sur le monde (2).

Il lui faudrait alors plusieurs années avant de compren- dre ce qu'est un nombre, à savoir la propriété d'un ensemble qui reste invariante quand on déplace les objets de l'ensemble ou les remplace par d'autres. Ce principe de conservation est acquis très tard, vers l’âge de 6 ans ; dans cette perspective il n'était pas naturel de rechercher la trace de représentations numériques dès la naissance.

Cependant, c'est bien ce que découvrent les études entreprises quelques 20 ans plus tard. En 1980, Starkey et Cooper (3) utilisent la préférence des bébés pour la nouveauté, dans un paradigme d'habituation. Ils pré- sentent plusieurs fois de suite des images contenant 2 (respectivement 3) points à des bébés de 4 mois, jusqu'à ce que les bébés semblent se lasser. A ce moment-là, survient une image test, contenant selon les cas 2 ou 3 points. Starkey et Cooper observent que lorsque la numérosité de l'image change par rapport à la phase d'habituation, les bébés regardent le stimulus significa- tivement plus longtemps que lorsque la numérosité reste la même. Des résultats identiques ont été observés quelques années plus tard chez des nouveau-nés de quelques jours (4), en suivant exactement le même paradigme.

Par la suite, d'autres études ont répliqué ces mêmes résultats sur les numérosités 2 et 3 à différents âges et

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• Dehaene S., Izard V., Pica P., Spelke E.S., 2006. Core knowledge of geometry in an Amazonian Indi- gene group, Science 311(5759), p.

381-4.

• Pica P., Izard V., Lemer C., Dehaene S., 2004. Exact and approximate arithmetic in an Amazonian Indigene Group, Science 306 (5695), p. 499-503.

• Piazza M., Izard V., Pinel P., Dehaene S., 2004. Tuning curves for approximate numerosity in the human intraparietal sulcus, Neuron 44 (3), p. 547-555.

avec différents stimuli (dessins de taille variable (5), 10-12 mois; formes en mouvement (6), plusieurs âges entre 5 et 13 mois; syllabes (7), 4 jours; sauts d'une poupée (8), 6 mois).

Les contrôles nécessaires

En fait, les études citées ci-dessus souffrent toutes d'un manque de contrôle sur quelque paramètre non numé- rique. En effet, même si les auteurs ont toujours voulu écarter les stratégies alternatives, les fortes contraintes liées à ce type d'expérimentation ont en général introduit des failles dans le dessin expérimental.

Par exemple, dans leur expérience historique Starkey et Cooper présentent des points alignés. Ils décorrèlent le nombre de la largeur et de la densité du stimulus, mais ne font pas en même temps varier la taille des points : la quantité de matière (somme des aires de tous les points) augmente donc avec le nombre. La même cri- tique vaut pour Antell et Keating qui utilisent exactement le même protocole. De la même façon, dans toutes les études citées précédemment on peut facilement exhiber des paramètres selon lesquels la tâche peut être résolue sans faire appel à la numérosité : quantité de matière, position temporelle de l'accent tonique pour l'étude sur les syllabes, quantité de mouvement pour l'étude sur les sauts de poupée.

Devant un tel constat, certaines équipes se sont vérita- blement demandé si les résultats positifs précédents étaient liés à la perception de la numérosité, ou plutôt d'un autre paramètre. Par exemple, après une période d'habituation à deux ou trois éléments, Clearfield et Mix testent la réaction des bébés à deux sortes de stimuli : les premiers sont nouveaux du point de vue de la numérosité (passage de 2 à 3 points et réciproquement) mais familiers par la quantité de matière présente, les deuxièmes au contraire sont familiers par la numérosité et nouveaux par la quantité de matière (9). Les résultats sont sans appel : les bébés montrent un regain d'intérêt lorsque la quantité de matière change (mais la numéro- sité reste la même), et restent indifférents lorsque la

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numérosité change (mais la quantité de matière reste la même). La même observation a été répliquée ensuite par Feigenson, Carey et Spelke (10), sur des stimuli de numérosité 1 et 2. Ces résultats ne permettent pas de conclure que c'est effectivement la quantité de matière qui guide les réponses des nourrissons; mais ils montrent que ce n'est en tout cas pas la numérosité.

Quelques expériences échappent cependant à la cri- tique sur le contrôle des paramètres non numériques.

Ainsi, Starkey, Spelke et Gelman (11) étudient la capa- cité des bébés à généraliser le nombre à travers diffé- rentes modalités, et confrontent les bébés à la fois à des stimuli auditifs et visuels. Dans leur expérience prin- ceps, deux images apparaissent sur un écran : l'une contient 2 objets et l'autre en contient 3. Au bout d'une seconde, un stimulus auditif est joué : il s'agit d'une séquence de 2 ou de 3 sons. A deux reprises et avec 7 ans d'écart, Starkey, Gelman et Spelke montrent que les bébés de 7 mois regardent plus longuement l'image qui contient autant d'objets que la séquence auditive contient de sons. Cependant, ces résultats apparaissent aujourd’hui fragiles, car plusieurs tentatives de réplica- tion ont obtenu des résultats soit contraires (les bébés préfèrent regarder plus longuement la diapositive qui contient un nombre d'objets différent du nombre de sons entendus), soit nuls (12).

Starkey, Gelman et Spelke réalisent un deuxième test, utilisant une procédure classique d'habituation. Les bébés sont habitués à voir des images de numérosité constante (2 ou 3), et ensuite testés dans la modalité auditive avec des séquences de sons, tandis qu’un disque noir statique apparaît sur l’écran. Les bébés regardent alors plus longuement le disque lorsque le nombre de sons dans la séquence correspond au nombre d'objets auquel ils ont été habitués dans la modalité visuelle. Bien que l'effet d'habituation reporté soit inversé par rapport aux effets classiques, ces résultats traduisent une différenciation sur la base de la numéro- sité habituée, qui ne peut plus s'expliquer par des com- portements de bas niveau. Récemment, Féron, Gentaz

et Streri (13) ont obtenu un résultat similaire chez des bébés de 5 mois, avec un transfert de la modalité haptique (le toucher) à visuelle. Différents objets sont suc- cessivement placés dans la main des nourrissons, puis, après cette période de familiarisation, un écran est sou- levé pour révéler un certain nombre d’objets en face du bébé. Dans ces conditions, comme dans la condition de transfert visuel-auditif décrite précédemment, les bébés ont tendance à regarder plus longuement lorsque le nombre d’objets découverts correspond au nombre d’objets présentés dans leur main (pour des numérosi- tés de l’ordre de 2 ou 3).

Ces derniers résultats appuient fortement l'hypothèse d'une représentation abstraite de numérosité. Le passage d’une modalité à l’autre au moment du test permettrait d'attirer l'attention de l'enfant, suffisamment pour susciter une réaction au changement de numéro- sité ; alors que quand on reste dans la même modalité, ce regain d'attention n'a pas lieu et par conséquent l'enfant n'accède pas à la numérosité, trop peu saillante.

Dans la même veine, Feigenson a montré récemment que certaines conditions expérimentales permettaient d’attirer l’attention des bébés vers la numérosité, tout en restant dans la modalité visuelle (14). C’est le cas par exemple lorsqu’on leur présente un ensemble hétérogè- nes d’objets, présentant chacun un attribut caractéris- tique. Dans ce cas, les bébés réagissent au nombre d’objets, tant et si bien qu’ils se révèlent indifférents aux variations des paramètres non-numériques.

Domaine des grandes numérosités

S'écartant du domaine des petits nombres, l'équipe de Spelke s'est intéressée à la perception des grandes numérosités. Dans leur première expérience, Xu et Spelke (15) habituent des bébés de 6 mois à des images contenant 8 ou 16 points, en prenant soin de varier la taille des points, et leur disposition. Elles présentent ensuite aux bébés des images test contenant 8 ou 16 points. Des contrôles sophistiqués sur la taille et la den- sité des points assurent que ces paramètres ne sont pas

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corrélés avec le changement de nombre. Dans ces conditions, les bébés regardent plus longuement l'i- mage lorsque la numérosité est nouvelle. Xu et Spelke ont par ailleurs appliqué exactement le même dessin expérimental à des numérosités plus proches entre elles (8 et 12) : dans ce cas les bébés de 6 mois ne montrent aucune réponse particulière.

La perception des numérosités chez le bébé suit ce qu’on appelle la loi de Weber : c’est le quotient entre les deux nombres étudiés qui permet de prédire s'ils seront distingués ou pas. Il s’agit d’un trait caractéris- tique de la perception des numérosités que l’on retro- uve également chez les animaux (16) et chez les adultes (17). En effet, dans les mêmes conditions qui ont per- mis d’établir leur succès pour distinguer 8 et 16 (mais pas 8 et 12), les bébés de 6 mois distinguent 16 points de 32, mais confondent 16 points et 24 points. En tes- tant des bébés plus âgés, Xu et Arriaga (18) se sont aperçues que les capacités numériques s'affinent ensuite avec l'âge. Ainsi, à 9 mois, le bébé perçoit la différence entre deux numérosités séparées par un quotient de 2/3, ce qu'il ne faisait pas à 6 mois.

Quel est le degré d'abstraction de la représentation qui permet au bébé de distinguer des numérosités visuelles ? En étudiant la modalité auditive, Lipton et Spelke(19) ont montré que les bébés encodent les numérosités pré- sentées auditivement avec exactement la même préci- sion que dans la modalité visuelle : ils réagissent à un quotient de 1/2 à 6 mois, et à un quotient de 2/3 à 9 mois. Par ailleurs, ces observations ont depuis été géné- ralisées à d’autres types de grandeurs : durée (20), sur- face (21). Au-delà d’une représentation abstraite de la quantité numérique, il se peut donc que les bébés représentent la quantité de manière générale et indiffé- renciée, quel que soit le type de quantité considérée (22).

Enfin, on peut se demander si les bébés ont accès à des propriétés sémantiques des numérosités, au-delà de leur capacité de distinguer les numérosités entre elles, et sont capables de faire des calculs approximatifs sur

Topographie et décours temporel de la réponse cérébrale au changement de nombre chez des bébés de 3 mois.

Cette réponse correspond à la différence entre la réponse pour des images où un changement de nombre a été introduit et la réponse aux images sans changement de nombre. Les points réportoriés sur la topographie correspondent aux électrodes utilisées pour comparer les différentes conditions numériques en fonction de la taille des nombres utilisés (histogramme en haut à droite), et tracer le décours temporel de la réponse (en bas).

Adapté depuis Izard V, Dehaene-Lambertz G, Dehaene S /PLoS Biology/ Vol. 6, No. 2, e11 doi:10.1371/journal.pbio.0060011".

des grandes numérosités. Ainsi, Brannon a montré que dès l’âge de 11 mois, les bébés sont capables de recon- naître les relations d’ordre entre les numérosités (23).

Dans cette expérience, les bébés sont habitués à voir des séquences de nuages de points de numérosité croissante (ou décroissante selon les bébés), et on observe une réac- tion lorsque l’ordre de la séquence change. Par ailleurs, McCrink et Wynn ont montré que dès 5 mois, les bébés

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réponse dans une tâche de recherche d'objets cachés (28) : ayant vu un expérimentateur cacher 4 objets dans une boîte devant eux, les enfants ne montrent pas plus d'empressement à continuer à chercher après avoir trouvé deux objets, que si seulement 2 objets avaient été cachés. Enfin, les expériences de transfert de la modalité haptique à visuelle chez les bébés introduisent une dissociation analogue : après que trois objets diffé- rents ont été placés dans leur main, les bébés discrimi- nent cet ensemble par rapport à un ensemble de 2 objets, mais pas par rapport à un ensemble de 6 objets (13).

Pour expliquer cette dissociation, Feigenson, Dehaene et Spelke (29) ont proposé une théorie où les bébés disposent de deux systèmes séparés pour représenter les nombres. Le premier système permettrait d’encoder les grandes numérosités de manière approximative, en utilisant des représentations analogiques (magnitude interne). Pour les petits nombres, il existerait un deuxième système, inspiré de la théorie des pointeurs attentionnels ("object files" en anglais) (30). Lorsque peu d'objets sont présents, les bébés engagent des pointeurs attentionnels pour repérer et suivre ces objets. A partir de ces pointeurs, il leur est possible d'inférer la numérosité des ensembles d'objets ; par exemple deux ensembles peuvent être comparés en opérant une cor- respondance terme à terme au niveau des pointeurs.

Cependant, le système des pointeurs, s'il permet des manipulations sur les numérosités, n'a pas pour voca- tion de représenter la numérosité. Ce système repré- sente la numérosité de manière implicite, c’est-à-dire que l’information numérique peut être dérivée à partir du nombre de pointeurs engagés, mais elle n’est pas représentée directement.

Doit-on pour autant supposer que les bébés ne peuvent pas former une représentation analogique, du type de celle décrite plus haut, face à un ensemble peu numé- reux ? Il est difficile de répondre à la question précé- dente en utilisant seulement des méthodes comporte- mentales, car les bébés répondent toujours selon sont capables de réaliser des opérations approximatives

sur des ensembles d’objets (24). Ainsi, si on leur montre qu’on ajoute deux groupes de 5 objets derrière un écran (condition additive), ils sont surpris de ne voir que 5 objets une fois l’écran abaissé (par rapport à un résultat de 10 objets). Dans la condition soustractive, 10 objets sont cachés initialement, puis 5 d’entre eux sortent: cette fois, les bébés se montrent surpris lorsque 10 objets sont révélés à la fin, par rapport à un ensemble de 5 objets.

Dissociation entre grands et petits nombres Alors que l’état courant des recherches donne une image cohérente des capacités des bébés dans le domaine des grands nombres, les petits nombres semblent jouir d’un statut particulier. Les résultats les plus frappants sont ceux de Xu (25). On se souvient de sa démonstration que les bébés de 6 mois sont capables de distinguer des nuages de 8 points et de 16 points. En utilisant le même protocole, Xu montre dans le même article que les bébés distinguent 4 points de 8, mais confondent des nuages de 2 points et de 4 points. Or, selon la loi de Weber, ces deux conditions devraient être discriminées de la même façon puisque les numérosités considérées forment un même rapport (1/2).

Tandis que ce résultat montre un échec pour les petits nombres, d’autres paradigmes révèlent la dissociation inverse. Par exemple, Feigenson, Carey et Hauser (26) cachent des biscuits dans deux boîtes devant des enfants de 10 et 12 mois. Les biscuits sont cachés un par un, puis l'expérimentateur se retire et les enfants sont alors libres de se déplacer vers les boîtes. Lorsque les boîtes contiennent respectivement 1 et 2 biscuits, presque tous les enfants choisissent de se diriger vers la boîte contenant le plus de biscuits. Par contre, lorsque ces boîtes contiennent 3 et 4, ou même 3 et 6 biscuits, ils semblent choisir aléatoirement. De même, lorsqu'on leur donne le choix entre 1 et 4 biscuits, ils ne montrent pas de préférence entre les deux (27). Des enfants plus âgés de quelques mois montrent le même type de

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l’attribut qui leur semble le plus saillant, et les autres informations encodées restent donc invisibles à l’expé- rimentation.

Pour résoudre cette question, nous avons donc utilisé une méthode d’imagerie cérébrale, avec des bébés de trois mois (31). Tandis que nous enregistrons un électro-encéphalogramme, nous présentons aux bébés des images contenant chacune un certain nombre de personnages (tous identiques). La plupart des images contiennent le même nombre de personnages, cependant de temps en temps nous insérons une image test, qui peut différer des autres (ou non) de par le nombre de personnages présents. Afin d’étudier la différence entre les petits et les grands nombres, nous avons formé trois groupes de bébés, qui étaient confrontés soit à des petits nombres (2 et 3), soit à des grands nombres (4 et 8, ou 4 et 12).

Les résultats montrent qu’il existe une réponse céré-

brale au changement de nombre, par rapport à la situa- tion où le nombre reste constant. Cette réponse est pré- sente quelle que soit la taille des nombres considérés (voir figure). Les bébés de trois mois sont donc sensibles à la numérosité, et utilisent un format de représenta- tion commun, quelle que soit la taille des nombres considérés.

Il apparaît donc que les bébés représentent non seulement la numérosité des grands ensembles, mais aussi la numérosité des petits ensembles ; cependant cette information ne leur est accessible que dans certaines conditions particulières (transferts entre modalités, ensembles hétérogènes), car la plupart du temps elle est occultée par d’autres propriétés de l’ensemble. Ces représentations de numérosité communes à tous les nombres peuvent ensuite servir de base à l’enfant pour l’apprentissage de concepts mathématiques élaborés, tels que les nombres entiers, et le comptage (32).

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BIBLIOGRAPHIE (1) Davis et Perusse (1988). Behavioral BrainSciences11,

602.

(2) Piaget et Szeminska (1967). Neuchâtel : Delachaux

& Niestlé.

(3) Starkey et Cooper (1980).Science210, 1033.

(4) Antell et Keating (1983).Child Development54, 695.

(5) Strauss et Curtis (1981).Developmental Psychology52, 1146.

(6) Van Loosbroek et Smitsman (1990). Developmental Psychology26, 916.

(7) Bijeljac-Babic, Bertoncini et Mehler (1993).Develop- mental Psychology29, 711.

(8) Wynn (1996).Psychological Science7, 164.

(9) Clearfield et Mix (1999).Psychological Science10, 408.

(10) Feigenson, Carey et Spelke (2002).Cognitive Psycho- logy44, 33.

(11) Starkey, Spelke et Gelman (1983).Science222, 179;

Starkey, Spelke et Gelman (1990).Cognition36, 97.

(12) Moore, Benenson, Reznick, Peterson et Kagan (1987).Developmental Psychology23, 665; Mix, Levine et Huttenlocher (1997).Developmental Psychology23, 665.

(13) Féron, Gentaz et Streri (2006).Cognitive Development 21, 81.

(14) Feigenson (2005).Cognition95, B37.

(15) Xu et Spelke (2000).Cognition74, B1.

(16) Cantlon et Brannon (2006).Psychological Science17, 401.

(17) Piazza, Izard, Pinel, Le Bihan et Dehaene (2004).

Neuron44, 547.

(18) Xu et Arriaga (2007).British Journal of Developmen- tal Psychology25, 103.

(19) Lipton et Spelke (2003).Psychological Science 14, 396.

(20) Brannon, Lutz, et Cordes (2006). Developmental Science9, F59.

(21) Brannon, Suanda, et Libertus (2007)Developmental Science10, 770.

(22) Feigenson (2007). Trends in Cognitive Sciences11, 185.

(23) Brannon (2002).Cognition83, 223.

(24) McCrink et Wynn (2004).Psychological Science 15, 776.

(25) Xu (2003).Cognition89, B15.

(26) Feigenson, Carey et Hauser (2002). Psychological Science13, 150.

(27) Feigenson et Carey (2005).Cognition97, 295.

(28) Feigenson et Carey (2003). Developmental Science6, 568.

(29) Feigenson, Dehaene et Spelke (2004). Trends in Cognitive Sciences8, 307.

(30) Leslie, Xu, Tremoulet et Scholl (1998). Trends in Cognitive Science2, 10; Simon (1999).Trends in Cognitive Sciences3, 363.

(31) Izard, Dehaene-Lambertz et Dehaene (2008).PLOS Biology6(2), e11.

(32) Halberda, Mazzocco et Feigenson (2008). Nature.

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Infants are Numerate

Introduction

Animals react to the numerical properties for various types of sets, including arrays of objects, sequences of sounds, sequence of actions (1)… This number sense is present in many species, such as pigeons, monkeys, rats, dogs, lions, or dolphins. Therefore, the number sense seems to be evolutionary ancient, and it is very likely that humans are dotted with a homologue ver- sion of this system, and that representations of numerical quantities appear very early in the life time.

Are infants sensitive to numbers? In which format do they represent quantities? Here, I review relevant results from the field of developmental psychology, and I contrast the successive theories that have been propo- sed in response to these questions.

Some first observations

Following Piaget and the constructivists, infants were thought to be born without any a priori knowledge about the world (2). In this framework, the acquisition of numbers was thought to develop slowly, along several years. Indeed, Piaget developed a famous line of research and showed that before the age of 6 years, chil- dren do not understand the principle of conservation of number (e.g. that the cardinal of a set stays constant, when objects are moved around or replaced by other objects), which he held to be fundamental to understanding numbers. Given this dominant theoretical perspective, researchers did not try to look for the funda- ments of numerical knowledge in infants.

Nevertheless, some 20 years later, Starkey and Cooper (3) discovered that infants can indeed represent the number of objects in sets. They used the infants’ natu-

Development, Numerical cognition.

Are infants sensitive to the numerical properties of sets? Research from the last decade has demonstrated that they are able to encode numbers for sets containing large numbers of objects. In contrast, for sets containing only 1, 2, or 3 objects, results are mixed, because infants tend to track each object individually, rather than to focus on global properties of the sets, such as number.

Abstract Keywords

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ral preference for new items and events, in a habituation paradigm: 4-months-old infants were presented with successive images of 2 (resp. 3) dots, until their interest started to decline. At this point, a test image was presented, which could contain either 2 or 3 dots.

Starkey and Cooper observed that when the numerosity of the test image had changed, compared to the habituation image, the infants were looking at the stimulus significantly longer than when the numerosity stayed the same. Using the exact same paradigm, Antell and Keating obtained identical results with newborn infants, aged a couple days (4).

Then, other studies replicated this first result with numerosities 2 and 3 at different ages and with different types of stimuli (drawings of variable size (5), 10- 12 months; moving shapes (6), several ages from 5 to 13 months; syllables (7), 4 days; puppet jumps (8), 6 months).

The need for controls

In fact, all the studies cited above failed to control for some kind of non-numeric parameter. Even if the authors always wanted to exclude the possibility that infants used alternative strategies to solve their tasks, this type of experimentation is highly constrained by the short attention spam of the participants, and it is difficult to imagine an experimental design which would accord to these constraints and at the same time implement all the necessary controls.

For example, in their historical experiment, Starkey and Cooper presented dots on a line. Number was decorrelated from the width or the density of the stimulus, but the size of the dots was held constant: therefore, the total amount of stuff, or total area of the stimulus, increased with number. The same criticism applies to Antell and Keating who used the exact same experimental methods with newborns. Similarly, in all the studies cited previously, there is at least one dimen- sion that was correlated with number: total amount of stuff, temporal position of the vocal stress for the study

using syllables, momentum for the study using puppet jumps…

Some really wondered whether the positive results observed were truly linked to a perception of numerosity, or to some other parameter. For example, Clearfield and Mix tested infants on their reaction to variations of numerosity or of total amount of stuff (9). After a habituation phase with stimuli containing 2 or 3 items, infants were presented with two types of test stimuli:

the stimuli of the first type differed from the habituation stimuli in terms of numerosity (going from 2 to 3 dots or the inverse), while being familiar in terms of quantity of stuff; the second type of test stimuli were familiar in terms of numerosity but differed in terms of amount of stuff. The results were very clear: infants showed a regain in interest after a change in the amount of stuff (constant numerosity), while they did not react to changes in numerosity (constant amount of stuff).

Later, Feigenson, Carey and Spelke (10) replicated this observation with stimuli of numerosity 1 and 2. These results do not necessarily show that the parameter driving the responses is the amount of stuff (because this parameters was correlated with other parameters, such as contour length), but at least they show that numerosity was not driving the responses.

Nevertheless, in some studies the criticism about the control of non-numerical parameters does not hold.

Hence, Starkey, Spelke and Gelman (11) studied cross- modal generalisation based on number. They presented infants with both auditory and visual stimuli. In their prime experiment, two images appeared on a screen:

the first image depicted 2 objects while the other depicted three objects. After one second, an auditory sequence was played, which contained either 2 or 3 sounds. Starkey, Gelman and Spelke showed that 7- months-old infants looked more to the image that contained as many objects as sounds in the auditive sequence. These results were replicated twice, with a gap of 7 years between the two replications; however,

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they still seem fragile, as other teams have reported either an opposite pattern of looking times (infants look more to the side where the number of objects does not match the auditory sequence), or null results (12).

Starkey, Gelman and Spelke realized a second test using a classical habituation procedure. Infants were habituated to images of a constant numerosity (2 or 3), and then they were tested with auditory sequences, while a static black disk was presented on the screen. Infants looked more at the disk when the number of sounds in the sequence matched the number of objects they were habituated to in the visual modality. Although the effect reported here was inversed compared to classical habituation effects, these results can not be explained by invoking low-level strategies: they indicate that infants discriminate the auditory sequences on the basis of the numerosity they were habituated to. More recently, Féron, Gentaz and Streri (13) obtained similar results in 5-months-old infants, with a transfer from the haptic to the visual modality. Different objects were placed successively in the hand of the infants. Follo- wing this familiarisation phase, a screen was raised which revealed an array of objects. In these conditions, looking times followed the same pattern as in the visual-auditory transfer condition described above:

infants looked longer when the number of objects revealed behind the screen matched the number of objects successively placed in their hand (for 2 or 3 objects).

These last results strongly support the hypothesis that infants can represent numerosity in an abstract way.

How could we explain that infants react to changes in numerosity only in experiments where the modality varies? When stimuli are presented in a different modality in the test, this change seems to attract the attention of the infants, creating a level of attentiveness that enable them to detect variations in numerosity. In contrast, when all stimuli are presented in the same format and modality, infants are not sufficiently attentive

when the test stimuli appear, and as a result they do not access the least salient attributes of the stimuli, such as numerosity.

In the same vein, Feigenson showed that the attention of the infants can be driven to numerosity rather than amount of stuff by introducing some variation in the experimental conditions, even when all stimuli are presented in the visual modality (14): for example, she obtained a positive reaction to number when the arrays were made of heterogeneous objects, with distinctive features. In this case, infants react to the number of objects, while they totally ignore variations in the non- numerical attributes of the display.

Large numerosities

Departing from the small number range, Spelke’s team decided to study the perception of large numerosities.

In their first experiment, Xu and Spelke (15) habituated 6-months-old infants with images containing either 8 or 16 dots. They carefully varied the size of the dots, as well as their disposition on the slides. Then, they presented infants with test images containing either 8 or 16 dots. Some sophisticated controls were applied to the size and the density of the dots to ensure that none of these parameters were correlated with number. In these conditions, infants looked longer to the test images displaying a novel numerosity. Further- more, Xu and Spelke applied the exact same experimental design to a different pair of numerosities that were closer to each other (8 and 12), and showed that 6- months-old infants failed to discriminate these numerosities.

The perception of numerosities in infants follows the so-called Weber’s law: the extent to which two numerosities can be discriminated is determined by their ratio. This law is actually a characteristic signature in the perception of numerosities for animals (16) or human adults (17). At 6 months of age, infants discriminate 16 dots from 32 dots, but fail to discriminate

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16 dots from 24 dots (in the same experiment that esta- blished their ability to discriminate 8 from 16, but not 8 from 12). With age, infants become more precise in discriminating numerosities: hence, Xu and Arriaga (18) showed that 9-month-olds discriminate numerosities separated by a 2:3 ratio, contrary to 6-month-olds.

What is the level of abstraction of infants’ representations of numerosity? Lipton and Spelke (19) studied the auditory modality and showed that infants encode auditory numerosities with the same precision than in the visual modality: they react to 1:2 ratios at 6 months, and to 2:3 ratios at 9 months. Furthermore, since then similar observations have been realized with other types of magnitudes, such as duration (20), or area (21): the precision of the discrimination for these dimensions matches the precision observed with numerosities. Beyond a dedicated representation of numerosity, infants could be granted with a system of representation that refer to quantity in a very general and indifferenciated way, independently of the type of quantity considered (22).

Finally, do infants access other semantic properties of numbers, beyond the mere discrimination of numerosities? Indeed, very early, infants are able to compute some approximate operations with large numerosities.

For exemple, Brannon showed that infants can reco- gnize order relation between numerosities at 11 months of age (23). In this study, participants were habituated to sequences of visual arrays that progressi- vely increased in numerosity (or decreased in a different group of participants), and they reacted at test when the order of the sequences changed. Furthermore, McCrink and Wynn showed that from the age of 5 months, infants are able to compute approximate addi- tions and subtraction on sets of objects (24). They presented infants with computerized animations, where two groups of 5 objects were successively added behind an occluder (additive condition). In this condition, infants were surprised if only 5 objects were revealed

when the occluder was raised (compared to a correct outcome of 10 objects). In contrast, infants were also tested in a subtraction condition where initially 10 objects were hidden behind the occluder, and then 5 objects were removed. In this condition, the looking time pattern reversed: infants were surprised when 10 objects were revealed behind the screen, compared to an outcome of 5 objects.

Dissociation between small and large numbers Although the current state of knowledge gives a clear picture of numerical competencies in infancy in the large number range, small numbers seem to have a spe- cial status. The most striking demonstration of this dissociation was given by Xu (25). Using the exact same protocol that has proven that 6-month-old infants could discriminate between 8 and 16 dots, or 16 and 32 dots (see above), she showed that infants can discriminate 4 from 8 dots, but confuse arrays of 4 dots with arrays of 2 dots. However, according to Weber’s law, these two last pairs should be equally discriminated, because the ratio is the same in both (1:2).

While this result shows a failure for small numbers, other studies have revealed the inverse dissociation. For example, Feigenson, Carey and Hauser (26) reported a study with 10- and 12-months-old involving crackers being hidden in two buckets. The experimenter added the crackers one by one in each bucket, and then left so that infants could crawl to the bucket they found most attractive. When the buckets contained respectively 1 and 2 crackers, almost all infants chose to crawl to the bucket that contained more crackers. However, when the buckets contained 3 and 4, or even 3 and 6 crackers, infants were at chance with their choice. Similarly, they did not show any preference when given the choice between 1 and 4 crackers (27). Slightly older infants showed the same pattern of responses in a different task, where they had to reach in a box for hidden objects (28). When they had seen 4 objects being hidden in the box, infants were not reaching more after retrieving the

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first two objects, than if only 2 objects had been hidden initially. Finally, the study by Féron, Gentaz and Streri investigating transfer between the haptic and visual modalities in infants showed the same pattern: a suc- cess with small numbers, and a failure when larger numbers were involved (e.g. 3 vs. 6) (13).

To explain this dissociation, Feigenson, Dehaene and Spelke (29) postulated the existence of two separated systems to represent small and large numbers in infants. The first system encodes large numerosities in an approximate way, in an analogical format of representation (internal magnitude). A second system, deri- ved from the theory of object files (30), is dedicated to the small number range. When only few objects are present, infants can engage attentional indexes to track these objects. From these indexes, they can infer the number of objects in sets; for example, they can use one-to-one correspondence with object files to compare the numerosity of two small sets. However, although this system can be used to process numerosities, this is not its primary role. Numerosities are represented in objects files in an implicit way, such that one can extract numerical information by looking at how many indexes are engaged, but numerosity is not represented directly.

It is not clear whether the first system (analogical representation) can also represent the numerosity of sets in the small number range. This question is hard to address using only behavioural methods, because infants would always react according to the attribute that seems most salient to them, and other encoded information stays undetectable to experimentation.

To address this question, we have used a cerebral ima- ging method, with 3-months-old infants (31). We recorded an electroencephalogram as infants were presented with a stream of images, each depicting an array of identical animals. Most images all contained the same number of animals, but occasionally a test image was inserted, which could differ or not from the other images by the number of animals present. In order to study the difference between small and large numbers, we included three groups of infants, which were presented either with small numbers (2 vs. 3), or large numbers (4 vs. 8, or 4 vs. 12).

We observed a cerebral response to changes in number, different from the response obtained when number stayed constant. This difference was present for all pairs of numbers studied, independently of their size (see figure). Hence, three-months-old infants are sensitive to numerosity, and infants have a system of representation for numerosity that applies to both small and large numbers.

In light of these results, it seems that infants represent the numerosity of sets not only in the large number range, but also in the small number range. However, for small numbers this information is accessible only in some specific conditions (transfer between numerosities, heterogeneous sets), and most of the time it is occulted by some other attribute of the set, which appears more salient to the infant. These shared representations of numerosity could provide a base to the child to learn more elaborate mathematical concepts, such as integers, or counting (32).