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Td corrigé Exercice III Les oscillations dans le haut-parleur pdf

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(1)

Nouvelle Calédonie Mars 2011 rattrapage bac 2010 CORRECTION © http://labolycee.org EXERCICE III. LES OSCILLATIONS DANS LE HAUT-PARLEUR (4 points)

CALCULATRICE INTERDITE

1. Étude théorique du mouvement de l’équipage mobile en l’absence de frottement

1.1. Le solide subit : -son poids 

P,

- la force de rappel du ressort F, - la réaction de la tige R.

1.2. F =  k.x.

i

1.3. Système : solide Référentiel terrestre D’après la deuxième loi de Newton 

P + F +

R = m.

a . Par projection suivant l’axe (O, 

i ) :  k.x = m. d x22 dt m. d x22

dt + k.x = 0

finalement on retrouve l’équation différentielle du mouvement relative à l’abscisse x du centre de gravité G du solide à la date t :

2 2

d x dt +

k m.x = 0

1.4. x(t) = Xm cos t T

   

  

  

0

2 ( )

dx t

dt =  Xm . 0 2 T

 

 

 .sin t

T

  

  

  

0

2

2 ( )

2

d x t

dt =  Xm .

2

0

2 T

 

 

  .cos t

T

   

  

  

0

2 = 

2

0

2 T

  

 

  .x(t) Ainsi 2 ( )

2

d x t dt +

2

0

2 T

  

 

  . x(t) = 0 or d’après l’équation différentielle établie

2 2

d x dt +

k

m.x = 0, alors

2

0

2 T

 

 

  = k m

 

2 2.m 02

k T

 

T m

  k

0

2

solide S

tige

x x(t)

O

i ressort

de constante de raideur k

G

Figure 2. Modélisation de l’équipage mobile du haut-parleur à la date t P

R

F

(2)

1.5. [k] ? F = k.x et d’après la deuxième loi de Newton F = m.a donc k = m a. x [k] = [M].[a].[x]1

[k] = M.L.T2.L1 [k] = M.T2

[T0] = [2] . [M]1/2.[k]1/2 [T0] = M1/2.M1/2.T2x-1/2 [T0] = T

2. Étude expérimentale du mouvement de l’équipage mobile

2.1. Les oscillations sont libres et amorties. Le régime associé est qualifié de pseudo-périodique.

2.2. Au cours du temps l’amplitude des oscillations diminue en raison des frottements de l’air sur la membrane.

2.3.

Dans l’hypothèse d’un amortissement faible, on peut considérer que la pseudo-période T est égale à la période propre T0.

Ainsi f0 = 1 T

f0 = 1 1 2 2

0,50 10 0,0202,0 10  

= 50 HZ

2.4. Afin de déterminer la masse m de l’équipage mobile, on fixe au dôme de la membrane une masse additionnelle m’ = 10 g. La fréquence propre de l’ensemble {équipage mobile + masse additionnelle} devient alors f ’0 = 45 Hz.

2.4.1. 0

'

' 2 m m

T k

  

0

' 1

2 '

f k

m m

 

14,8 cm 8T 8,1 cm

8T 8,1 cm 0,30 s 14,8 cm Donc 8T = T = T 0,020 s

(3)

2.4.2. 0

1 2 f k

m

0 0

1 2

' 1

2 '

k

f m

f k

m m

 

 

=

' k m

k m m

2 0

'

0

' k

f m

f k

m m

 

  

 

=

k m m '

m k

 

2 0

'

0

f f

 

  

 

' m m

m

2 0

0

' .

f m

f

 

  

  m + m’

2 0

0

' .

f m m

f

 

  

  = m’

m.

2 0

0

' 1 f f

   

    

   

 

= m’

m =

0 2 ' 0

' 1 m f f

   

    

   

 

On nous épargne le calcul, m = 40 g.

2.5. Exprimer la constante de raideur k du ressort modélisant la suspension du haut-parleur en fonction de la fréquence propre f0 de l’équipage mobile. En déduire la valeur de k.

0

1 2 f k

m

2

0 2

1 . 4 f k

m

k =

4 . .

2m f02

k =

4

 2

40 10

3

50

2

k 

4 10 40 10

   3

25 10

2 =

4 40 25

  k = 4,0×103 kg.s2

2.6.1. L’équipage mobile du haut-parleur est soumis à des oscillations forcées.

L’excitateur est le GBF et le résonateur est l’équipage mobile.

2.6.2. En admettant que l’amortissement des oscillations est suffisamment faible, lorsque f est voisine de f0

alors l’amplitude des oscillations augmente. Il se produit le phénomène de résonance.

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