mathsbdp.fr NOM : ________________ Devoir de mathématiques n°3 2nde Ex1 : Soit la mesure, en degré, d’un angle aigu d’un triangle rectangle tel que :
cos = .
Déterminer la valeur exacte de sin .
cos + sin = 1 donc sin = 1 − cos
donc sin = 1 − cos = 1 − =
Ex2. Soit ( O ; I, J) un repère orthogonal du plan. On considère les trois points 1 ; 3 , 1,5 ; 8 et 4 ; 5 .
1. Calculer les coordonnées du milieu K de [BC].
!
, "#;
$"soit ! 2,75 ; 6,5
2. Calculer les coordonnées de D, symétrique du
point A par rapport au point K.
K est le milieu de [AD]
donc (
)=
*+"*,soit 2,75 =
"*,soit 1 + (
-= 5,5
soit (
-= 5,5 − 1 = 4,5 .
)=
/+"/,soit 6,5 =
"/,soit 3 + .
-= 13
soit (
-= 13 − 3 = 10
D ( 4,5 ; 10 )
8 2,5 6
K 3. Faire une figure et représenter le quadrilatère ABDC.
Déterminer sa nature en justifiant.
Les diagonales [AD] et [BC] ont le même milieu K donc le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.
Ex 3. Soit un triangle COM. On appelle H le pied de la hauteur issue de C tel que H ∈ [MO]. On donne MH = 8; HA = 2,5; et CH = 6.
1) Le triangle CAM est-il rectangle ? Justifier la réponse en détaillant la démarche.
Dans le triangle CHM
d’après le théorème de Pythagore 6 = 8 + 6 = 100
donc 6 = √100 = 10
Dans le triangle CAH d’après le théorème de Pythagore
= 2,5 + 6 = 42,25 donc = 842,25 = 6,5 Dans le triangle CAM
6 + = 10 + 42,25 = 142,25 6 = 10,5 = 110,25 ≠ 142,25
6 + ≠ 6 donc le triangle n’est pas rectangle.
2) On considère le point K projeté orthogonal de H sur la droite (MC).
a) Construire le point K sur la figure.
b) Calculer l’aire du triangle CHM. En déduire la longueur de KH.
10
15 60°
Aire(CHM)= :;<=×?;@A=@B = $×C = 24 u.a Aire(CHM)= DE×)F = G×)F = 24
soit 10 × !H = 48 soit !H = #$ G = 4,8
Ex 4. Déterminer le sinus, le cosinus et la tangente de l’angle HI ( valeur exacte ), puis en donner une valeur approchée à 0,1 degrés près.
cos HI = 9,6 10,4 sin HI = G,# # tan HI = M,C # . HI = arccos 9,6
10,4 ≈ 22,6°
Ex 5. Dans le triangle NOT, on donne : ON = 10 cm, OT = 15 cm et QRST = 60°.
La hauteur issue de N coupe le côté [OT] en W.
1. a) Prouver que OW = 5 cm.
cos 60° =
UVGdonc RS = 10 × cos 60° = 5
b) Calculer NW ( arrondi au dixième ).
sin 60° =
WVGdonc QS = 10 × sin 60°
?
QS = 10 >
√5√3 O 8,7
2. a) Calculer TW.
XS RX RS 15 5 10
b) Calculer l'angle QXST ( arrondir au degré ).
tan QXS T WV
VY
√ G QXS T arctan √
G O 41°
3. Calculer l'aire du triangle NOT.
Z[\] ^_`
aZb]>cZde]d\f
gh>h√i
f
ij, h√i O kh d. Z
BONUS
Un carré de 125 cm2 a été divisé en cinq parts de même aire :
quatre parts carrées et une en forme de « L », comme le montre la figure.
Quelle est la longueur du plus petit côté du « L » ? ( valeur exacte )
Le côté du grand carré est √gfh
h√h( car son aire vaut 125 mn
f)
Les cinq parties ont chacune une aire égale à 25 mn
f gfhh fh
