Rappels: ℕ={0,1,2,3, . . .} est l’ensemble des entiers naturels.
ℕ est ordonné par la relation d’ordre ⩽. C’est un ensemble infini qui a comme propriétés :
∙ toute partie 𝐴 non vide de ℕ possède un plus petit élément.
(𝐴⊂ℕ et 𝐴∕=∅) ⇒ (min(𝐴)existe)
∙ toute partie 𝐴 non vide et majorée deℕ possède un plus grand élément.
(𝐴⊂ℕ et 𝐴∕=∅ et 𝐴 majorée)⇒ (max(𝐴)existe) I - Division dans ℕ
Définition : soit deux entiers naturels 𝑎 et 𝑏 ((𝑎, 𝑏)∈ℕ2).
On dit : 𝑎 est un multiple de𝑏 ou 𝑏 est un diviseur de𝑎 ou 𝑏 divise 𝑎 (noté 𝑏∣𝑎 ) s’il existe un entier 𝑞∈ℕ tel que 𝑎=𝑏×𝑞. Autrement dit :
(𝑏∣𝑎)⇔(∃𝑞∈ℕ, 𝑎=𝑏×𝑞 .
Remarque : tout nombre entier 𝑛 ∈ ℕ divise 0, i.e (∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑛∣0 ) i.e 0 est un multiple de chaque entier 𝑛 (car 0 = 𝑛×0). En revanche, 0 ne divise qu’un seul entier, lui-même : (0∣𝑎)⇒(𝑎= 0) Propriétés élémentaires :
∙ (𝑏∣𝑎 avec𝑎∕= 0)⇒(𝑏 ⩽𝑎).
En effet, 𝑎 =𝑏𝑞 avec𝑎 ∕= 0, alors 𝑏∕= 0 et𝑞∕= 0, donc𝑞 ⩾1d’où 𝑎 =𝑏𝑞 ⩾𝑏.
∙ Conséquence : si 𝑏∣𝑎 et 𝑏 > 𝑎 alors 𝑎= 0.
∙ Si 𝑥∣𝑎 et 𝑥∣𝑏 alors 𝑥∣𝑎±𝑏 et 𝑥∣𝑗𝑎±𝑘𝑏 (pour tout (𝑗, 𝑘)∈ℤ2).
∙ Si 𝑥∣𝑦 et 𝑦∣𝑧 alors 𝑥∣𝑧 (transitivité de la relation «divise»)
Théorème de la division euclidienne dans ℕ : pour tout couple (𝑎, 𝑏) d’entiers naturels, avec 𝑏 ∕= 0, il existe ununique couple d’entiers (𝑞, 𝑟) vérifiant les deux propositions suivantes :
𝑎=𝑏𝑞+𝑟 et 0⩽𝑟 < 𝑏. Autrement dit :
∀(𝑎, 𝑏)∈ℕ×ℕ∗,∃!(𝑞, 𝑟)∈ℕ2 : 𝑎=𝑏𝑞+𝑟 et 0⩽𝑟 < 𝑏 . Vocabulaire :
𝑎=dividende, 𝑏 =diviseur,𝑞 =le quotient, 𝑟= lereste dans la division euclidienne de 𝑎 par 𝑏.
Preuve : voir programme de colle.
Remarque : si 𝑏 > 𝑎, alors 𝑎=𝑏×0 +𝑎 avec 0⩽𝑎 < 𝑏 donc 𝑞= 0 (et 𝑟=𝑎).
Proposition : soit 𝑎∈ℕ et𝑏 ∈ℕ∗. On a l’équivalence
(𝑏∣𝑎)⇔(𝑟 = 0), où 𝑟 est le reste de la division euclidienne de 𝑎 par 𝑏.
II - PGCD et PPCM
Définition : soit 𝑎 et 𝑏, deux entiers dansℕ. On définit
♥ le PGCDde 𝑎 et𝑏 vaut – 0 si𝑎= 0 et 𝑏= 0
– le plus grand diviseur commun à 𝑎 et 𝑏 sinon (i.e si𝑎 ∕= 0 ou 𝑏∕= 0).
♥ le PPCM de𝑎 et 𝑏 vaut – 0 si𝑎= 0 ou 𝑏= 0
– le plus petit multiple commun non nul à 𝑎 et 𝑏 sinon (i.e si𝑎 ∕= 0 et 𝑏∕= 0).
Notation :
«PGCD de 𝑎 et𝑏» = pgcd(𝑎, 𝑏) = 𝑎∧𝑏 et «PPCM de 𝑎 et𝑏» = ppcm(𝑎, 𝑏) =𝑎∨𝑏 . Définition : on dit que les entiers 𝑎 et𝑏 sontpremiers entre eux lorsque pgcd(𝑎, 𝑏) =𝑎∧𝑏 = 1.
Un exemple : prenons 𝑎= 12 et 𝑏= 30.
Les diviseurs de 𝑎= 12 forment l’ensemble𝐷(12) ={1,2,3,4,6,12}.
Les diviseurs de 𝑏 = 30 forment l’ensemble 𝐷(30) ={1,2,3,5,6,10,15,30}.
Par conséquent : pgcd(12,30) = 6 = 12∧30.
Les multiples non nulsde 𝑎= 12 forment l’ensemble 𝑀(12) ={12,24,36,48,60,72,84, . . .}.
Les multiples non nulsde 𝑏= 30 forment l’ensemble 𝑀(30) ={30,60,90,120, . . .}.
Par conséquent : ppcm(12,30) = 60 = 12∨30.
Remarque : on peut donc aussi définir ces notions par
pgcd(𝑎, 𝑏) = max (𝐷(𝑎)∩𝐷(𝑏)) et ppcm(𝑎, 𝑏) = min (𝑀(𝑎)∩𝐷(𝑏)). Existence du PGCD
Soit𝑎∈ℕ: on note𝐷(𝑎) =l’ensemble des diviseurs de𝑎dansℕ. Donc 𝐷(𝑎) = {𝑛∈ℕ∣𝑛 divise 𝑎}. On a la caractérisation : (𝑛∈𝐷(𝑎))⇔(∃𝑘 ∈ℕ, 𝑎=𝑘×𝑛).
Exemples : 𝐷(18) ={1,2,3,6,9,18},𝐷(1) = {1}, 𝐷(2) ={1,2}, 𝐷(5) ={1,5},𝐷(4) = {1,2,4}.
On observera :𝐷(0) =ℕ! Mais si𝑎 ∕= 0, alors𝐷(𝑎)est un ensemble fini (car𝑛∈𝐷(𝑎)⇒1⩽𝑛⩽𝑎).
Remarque : si 𝑏 est un diviseur de 𝑎 (i.e 𝑏∣𝑎), alors on a l’inclusion𝐷(𝑏)⊂𝐷(𝑎).
Si 𝑎=𝑏= 0 : par définition, pgcd(𝑎, 𝑏) = 0.
Si 𝑎= 0 et 𝑏∕= 0 : alors 𝐷(𝑎) = 𝐷(0) = ℕ donc l’intersection de 𝐷(𝑎) et 𝐷(𝑏) (i.e l’ensemble des diviseurs communs à 𝑎 et à 𝑏) est 𝐷(𝑎)∩𝐷(𝑏) = ℕ∩𝐷(𝑏) =𝐷(𝑏), où 𝐷(𝑏)est un ensemble fini car 𝑏 ∕= 0, et le plus grand élément de 𝐷(𝑏)est 𝑏. Donc pgcd(0, 𝑏∕= 0) =𝑏.
De même, pgcd(𝑎∕= 0,0) =𝑎.
Si 𝑎∕= 0 et 𝑏∕= 0 : 𝐷(𝑎)∩𝐷(𝑏)est une partie non vide deℕ (car contient1, diviseur commun à 𝑎et 𝑏), majorée (car si 𝑛 ∈𝐷(𝑎)∩𝐷(𝑏) alors 𝑛 ⩽min(𝑎, 𝑏)), donc possède un plus grand élément, c’est le PGCD de𝑎 et𝑏 (plus grand commun diviseurde 𝑎 et𝑏). Ainsi :
(𝑑=𝑎∧𝑏=pgcd(𝑎, 𝑏) = pgcd(𝑏, 𝑎)) ⇔ (𝑑 est le plus grand entier vérifiant 𝑑∣𝑎 et 𝑑∣𝑏) . Remarque : on peut également prouver la caractérisation suivante
(𝑑=pgcd(𝑎, 𝑏))⇔(𝑑∣𝑎 et 𝑑∣𝑏 et (𝛿∣𝑎 et 𝛿∣𝑏)⇒(𝛿∣𝑑)).
Autrement dit : 𝑑=pgcd(𝑎, 𝑏) signifie que 𝑑 est un diviseur de 𝑎 et𝑏 tel que tout diviseur de 𝑎 et𝑏 est nécessairement un diviseur de 𝑑.
Propriétés du PGCD : pour tout 𝑎 ∈ℕ, pour tout 𝑏∈ℕ,
∙ pgcd(0,0) = 0 et pgcd(𝑎,0) =𝑎 et pgcd(𝑎, 𝑎) =𝑎 et pgcd(𝑎,1) = 1
∙ si 𝑘∣𝑎 et𝑘∣𝑏 alors 𝑘∣pgcd(𝑎, 𝑏)
∙ (𝑎∣𝑏)⇔(pgcd(𝑎, 𝑏) =𝑎)
L’algorithme d’Euclide: pour déterminer le PGCD de deux entiers naturels𝑎et𝑏(avec 𝑏∕= 0), on effectue la division euclidienne de 𝑎 par 𝑏. Si le reste est non nul, on effectue la division euclidienne du diviseur précédent par ce reste. On répète cette opération jusqu’à ce que le reste obtenu soit nul.
Le PGCD de 𝑎 et 𝑏 est le dernier reste non nul calculé.
Preuve : elle tient au théorème d’Euclide suivant1,
« si 𝑎 =𝑏𝑞+𝑟, alors 𝐷(𝑎)∩𝐷(𝑏) = 𝐷(𝑏)∩𝐷(𝑟) donc pgcd(𝑎, 𝑏) = pgcd(𝑏, 𝑟) ».
et au fait que la suite des restes obtenus dans l’algorithme est strictement décroissante (dans ℕ), donc est finie et de dernier terme nul. En notant 𝑟′ le dernier reste non nul,
𝐷(𝑎)∩𝐷(𝑏) =𝐷(𝑏)∩𝐷(𝑟) =⋅ ⋅ ⋅=𝐷(𝑟′)∩𝐷(0) =𝐷(𝑟′)∩ℕ=𝐷(𝑟′) de plus grand élément 𝑟′ =𝑎∧𝑏.
Conséquences :
∙ pour tout 𝑛∈ℕ, pgcd(𝑛𝑎, 𝑛𝑏) = 𝑛×pgcd(𝑎, 𝑏).
∙ si 𝑑=pgcd(𝑎, 𝑏), alors pgcd (𝑎
𝑑,𝑏 𝑑
)
= 1. Les entiers 𝑎 𝑑 et 𝑏
𝑑 sont premiers entre eux.
Autrement dit : si 𝑑=pgcd(𝑎, 𝑏)alors 𝑎=𝑑×𝑎′ et 𝑏=𝑑×𝑏′ avec pgcd(𝑎′, 𝑏′) = 1 (𝑎′ et 𝑏′ premiers entre eux)
Existence du PPCM
Si 𝑎= 0 ou 𝑏= 0 : par définition, ppcm(𝑎, 𝑏) = 0.
Si 𝑎∕= 0 et 𝑏∕= 0 : on note
𝑀(𝑎) = l’ensemble des multiples non nuls de 𝑎 = {𝑎,2𝑎,3𝑎,4𝑎, . . .}={𝑚 ∈ℕ∗ ∣ 𝑎∣𝑚}.
De même,
𝑀(𝑏) = l’ensemble des multiples non nuls de𝑏 ={𝑏,2𝑏,3𝑏,4𝑏, . . .}={𝑚∈ℕ∗ ∣ 𝑏∣𝑚}.
Alors l’intersection de 𝑀(𝑎)et 𝑀(𝑏) (i.e l’ensemble des multiples communs non nuls à 𝑎 et à 𝑏) est 𝑀(𝑎)∩𝑀(𝑏) = {𝑚∈ℕ∗ ∣ 𝑎∣𝑚 et 𝑏∣𝑚}, c’est une partie deℕ, non vide car elle contient𝑎𝑏(qui est un multiple commun à 𝑎 et𝑏), donc, par propriété deℕ, cette partie possède un plus petit élément : c’est le PPCM de 𝑎 et𝑏 (plus petit commun multiple de𝑎 et 𝑏). Ainsi :
(𝑚=𝑎∨𝑏=ppcm(𝑎, 𝑏) =ppcm(𝑏, 𝑎)) ⇔(𝑚 est le plus petit entier non nul vérifiant 𝑎∣𝑚 et 𝑏∣𝑚) . Remarque : on peut également prouver la caractérisation suivante
(𝑚=ppcm(𝑎, 𝑏))⇔(𝑎∣𝑚 et 𝑏∣𝑚 et (𝑎∣𝜇 et𝑏∣𝜇)⇒(𝑚∣𝜇)).
Autrement dit : 𝑚 =ppcm(𝑎, 𝑏) signifie que 𝑚 est un multiple de 𝑎 et 𝑏 tel que tout multiple de 𝑎 et 𝑏 est nécessairement un multiple de 𝑚.
Propriétés du PPCM : pour tout 𝑎∈ℕ, pour tout 𝑏 ∈ℕ,
∙ ppcm(0,0) = ppcm(𝑎,0) =ppcm(0, 𝑏) = 0 et ppcm(𝑎, 𝑎) =𝑎 et ppcm(𝑎,1) = 𝑎
∙ si 𝑎∣𝑘 et𝑏∣𝑘 alors ppcm(𝑎, 𝑏)∣𝑘 .
∙ (𝑎∣𝑏)⇔(ppcm(𝑎, 𝑏) = 𝑏)
Remarque : on peut prouver (𝑎∨𝑏)(𝑎∧𝑏) =𝑎𝑏 i.e pgcd(𝑎, 𝑏)×ppcm(𝑎, 𝑏) = 𝑎𝑏.
1. Et au résultat évident : si𝑎=𝑏𝑞+𝑟alors on a l’équivalence (𝑑∣𝑎et𝑑∣𝑏)⇔(𝑑∣𝑏 et𝑑∣𝑟)
IV - Nombres premiers
Définition : on dit qu’un entier naturel 𝑝 est un nombre premier s’il admet exactement deux diviseurs (nécessairement1 et lui-même,𝑝, appelés diviseurs stricts de l’entier 𝑝).
Autrement dit : (𝑝 premier) ⇔ (card(𝐷(𝑝)) = 2) ⇔ (𝑝⩾2 et𝐷(𝑝) = {1, 𝑝}).
Le nombre 0a une infinité de diviseurs, donc n’est pas premier. le nombre 1n’a qu’un seul diviseur, lui-même, donc n’est pas premier. Le premier nombre premier est 2, et c’est le seul nombre pair qui est premier.
Notation :entre nous, on noteraℙ=l’ensemble des nombres premiers={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29, . . .}.
Proposition :
tout entier 𝑛 ⩾2qui n’est pas premier possède au moins un diviseur 𝑑 vérifiant 1< 𝑑 < 𝑛.
Preuve : c’est évident, par définition𝑛n’est pas premier donc𝑛⩾3𝑛et possède au moins3diviseurs, donc au moins un différent de 1 et de lui-même. On peut observer qu’il y a une équivalence pour ce résultat : si 𝑛 possède un diviseur𝑑 tel que 1< 𝑑 < 𝑛alors 𝑛 n’est pas premier !
Conséquence :
si 𝑛⩾2 n’est pas premier, on peut écrire𝑛 =𝑎×𝑏 avec 1< 𝑎 < 𝑛 et1< 𝑏 < 𝑛. Proposition :
tout entier 𝑁 ⩾2 possède au moins un diviseur premier.
Preuve : on raisonne par récurrence forte sur𝑁 ⩾2en posant
𝐻(𝑁) : « il existe un nombre premier 𝑝 tel que 𝑝divise 𝑁».
∙ 𝐻(2) est vraie, car, par exemple,𝑝= 2 est premier et divise 𝑁 = 2.
∙Soit un entier𝑁 ⩾2: supposons que𝐻(𝑘)vraie pour tout𝑘 = 2,3, . . . , 𝑁. Vérifions que𝐻(𝑁+ 1) est vraie. Il y a deux cas à étudier.
Premier cas : si 𝑁 + 1 est un nombre premier, alors en prenant 𝑝 = 𝑁 + 1, on dispose bien d’un nombre premier qui divise 𝑁 + 1. Donc 𝐻(𝑁 + 1) est vraie.
Second cas : si 𝑁 + 1 n’est pas un nombre premier (𝑁 + 1 > 2), alors on est assuré de l’existence d’un diviseur 𝑑 de𝑁 + 1 tel que 1< 𝑑 < 𝑁 + 1, autrement dit2⩽𝑑 ⩽𝑁. Or, on a supposé vraies 𝐻(2), 𝐻(3), . . . , 𝐻(𝑁), donc𝐻(𝑑)est vraie : l’entier 𝑑possède au moins un diviseur premier𝑝. On a alors 𝑝 divise 𝑑 et𝑑 divise 𝑁 + 1 donc, par transitivité, 𝑝divise 𝑁 + 1, ce qui prouve que𝐻(𝑁 + 1) est vraie (et l’hérédité), CQFD.
Proposition : tout nombre entier 𝑁 ⩾2peut s’écrire, et d’une seule façon, sous la forme 𝑁 =𝑝𝛼11 ×𝑝𝛼22× ⋅ ⋅ ⋅ ×𝑝𝛼𝑟𝑟
où les 𝑝𝑖 sont des nombres premiers tels que 𝑝1 < 𝑝2 < . . . < 𝑝𝑟 et les 𝛼𝑖 des entiers pris dans ℕ∗. Conséquence : si (𝑝 est premier) et (𝑝 divise le produit𝑎𝑏), alors(𝑝 divise 𝑎) ou (𝑝 divise 𝑏)
Preuve de l’existence de la décomposition (unicité admise) : on procède par récurrence forte sur l’en- tier 𝑁 ⩾2. Posons la proposition 𝐻(𝑁) : «𝑁 s’écrit comme un produit de nombres premiers».
Comme 2est un nombre premier, la proposition 𝐻(2) est vérifiée.
Pour tout 𝑁 ⩾2, supposons𝐻(2), 𝐻(3), . . . , 𝐻(𝑁) vraies. Alors
1. Premier cas : si 𝑁 + 1 est un nombre premier, nécessairement𝐻(𝑁 + 1) est vérifiée !
2. Second cas : si 𝑁 + 1 n’est pas un nombre premier, avec 𝑁 + 1 >2, il existe nécessairement un diviseur entier 𝑑1 de𝑁 + 1 vérifiant 1< 𝑑1 < 𝑁 + 1, et, en posant𝑁 + 1 =𝑑1 ×𝑑2, on a également 1< 𝑑2 < 𝑁 + 1 avec 𝑑2 entier, ce qui implique 2⩽𝑑1 ⩽ 𝑁 et2⩽ 𝑑2 ⩽𝑁. Or, par hypothèse, 𝐻(2), 𝐻(3), . . . , 𝐻(𝑁) sont vraies, donc en particulier 𝐻(𝑑1) et 𝐻(𝑑2) sont vraies i.e 𝑑1 et𝑑2 s’écrivent comme produit de nombres premiers, et par conséquent 𝑁 + 1 =𝑑1×𝑑2 également, ce qui prouve la proposition 𝐻(𝑁 + 1)!
On a prouvé : 𝐻(2) vraie et, pour tout 𝑁 ⩾2,(𝐻(2), 𝐻(3), . . . , 𝐻(𝑁))⇒𝐻(𝑁 + 1).
Par récurrence forte sur 𝑁 ⩾ 2, on en déduit que 𝐻(𝑁) est vraie pour tout 𝑁 ⩾ 2 i.e tout entier 𝑁 ⩾2 se décompose comme un produit de nombres premiers i.e est de la forme 𝑁 =
𝑟
∏
𝑖=1
𝑝𝛼𝑖𝑖. Exemples : 2016 = 25 × 32 × 71, 2017 = 20171 ∈ ℙ, 2018 = 21 ×10091, 2019 = 31 ×6731, 2020 = 22×51×1011, 2021 = 431×471, 2022 = 21×31 ×3371 , 2023 = 71×172.
Remarque : cette décomposition permet de déterminer facilement le PGCD de deux entiers. En effet, si on a la décomposition 𝑎=∏
𝑝𝛼𝑖𝑖 et𝑏 =∏
𝑝𝛽𝑖𝑖 alors 𝑎∧𝑏=∏
𝑝min(𝛼𝑖 𝑖,𝛽𝑖) et 𝑎∨𝑏=∏
𝑝max(𝛼𝑖 𝑖,𝛽𝑖) . Exemple : avec 𝑎= 1848 = 23×31×71×111 et 𝑏= 4900 = 22×52×72, on peut les ré-écrire
𝑎= 1848 = 23×31×50×71×111 et 𝑏 = 4900 = 22×30×52×72 ×110, d’où l’on tire
pgcd(𝑎, 𝑏) = 22×30×50×71×110 = 22×71 = 28 et ppcm(𝑎, 𝑏) = 23×31×52 ×72×111 = 323400.
Avec cette remarque, il est clair qu’on a : pgcd(𝑎, 𝑏)×ppcm(𝑎, 𝑏) =𝑎𝑏. Autre conséquence : si 𝑝 est premier et 𝑝∣(𝑎×𝑏) alors 𝑝∣𝑎 ou𝑝∣𝑏 .
Proposition : l’ensemble ℙ des nombres premiers est infini.
Preuve : on raisonne par l’absurde (comme Euclide). S’il existait un nombre fini de nombres premiers, on les noterait 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, . . . , 𝑝𝑛(où 𝑛=card(ℙ)). On considère le nombre𝑁 =𝑝1×𝑝2× ⋅ ⋅ ⋅ ×𝑝𝑛+ 1.
On a 𝑁 ⩾ 2 donc l’entier 𝑁 possède un diviseur premier 𝑝, qui est nécessairement dans la liste 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, . . . , 𝑝𝑛, donc𝑝 divise aussi𝑝1×𝑝2× ⋅ ⋅ ⋅ ×𝑝𝑛. Par conséquent, 𝑝doit diviser 1, ce qui n’est pas possible (car 𝑝⩾2). Ceci achève la preuve : ℙ n’est pas un ensemble fini.
V - Principes de récurrence
Soit 𝐻(𝑛), une proposition mathématique dépendant d’un entier 𝑛 Récurrence simple:
( ∙𝐻(0) est vérifiée
∙ ∀𝑛⩾0 : 𝐻(𝑛)⇒𝐻(𝑛+ 1) )
⇒(∀𝑛 ⩾0, 𝐻(𝑛) est vraie) . Preuve : on suppose 𝐻(0) vraie et l’hérédité 𝐻(𝑛)⇒𝐻(𝑛+ 1) (pour tout 𝑛 ∈ℕ).
On définit l’ensemble 𝐴={𝑛∈ℕ∣𝐻(𝑛) est fausse} : on va montrer, à l’aide d’un raisonnement par l’absurde, que 𝐴 est vide, ce qui pouvera bien que toutes les 𝐻(𝑛) sont vraies avec𝑛 ∈ℕ.
Supposons donc 𝐴 non vide : c’est une partie de ℕ, non vide, donc, par propriété de ℕ, possède un plus petit élément que l’on notera 𝑛0 (𝑛0 est un minorant de 𝐴 qui appartient à 𝐴). Comme on a supposé 𝐻(0) vraie, on a 0∈/ 𝐴 donc 𝑛0 ∕= 0, d’où 𝑛0 ⩾ 1. Ainsi, l’entier 𝑛0−1 est positif (i.e dans ℕ), avec 𝑛0−1< 𝑛0 = min(𝐴), donc (𝑛0 −1)∈/ 𝐴 (car 𝑛0 est un minorant de 𝐴). Par conséquent,
de (𝑛0 −1) ∈/ 𝐴, on déduit que 𝐻(𝑛0−1) est vraie, puis 𝐻(𝑛0) est vraie (grâce à l’hérédité de la proposition 𝐻). Or cela est absurde, car impliquerait 𝑛0 ∈/ 𝐴 (contredit 𝑛0 = min(𝐴)∈𝐴).
On vient de prouver, en raisonnant par l’absurde, que l’ensemble 𝐴 est vide, CQFD.
Récurrence double: ( ∙𝐻(0) et 𝐻(1) sont vérifiées
∙ ∀𝑛 ⩾1 : (𝐻(𝑛−1) et𝐻(𝑛))⇒𝐻(𝑛+ 1) )
⇒ (∀𝑛 ⩾0,𝐻(𝑛)est vraie) . Récurrence forte:
( ∙𝐻(0), 𝐻(1), . . . , 𝐻(𝑛0) sont vérifiées
∙ ∀𝑛 ⩾𝑛0 : (𝐻(0), 𝐻(1), . . . , 𝐻(𝑛))⇒𝐻(𝑛+ 1) )
⇒ (∀𝑛 ⩾0, 𝐻(𝑛) est vraie) Preuve : on va prouver ce résultat à l’aide d’une récurrence simple !
En effet, posons la proposition 𝑃(𝑛): « 𝐻(0), 𝐻(1), . . . , 𝐻(𝑛)sont vraies ».
Supposons
𝐻(0), 𝐻(1), . . . , 𝐻(𝑛0)vraies et, pour tout 𝑛 ⩾𝑛0, (𝐻(0), 𝐻(1), . . . , 𝐻(𝑛))⇒𝐻(𝑛+ 1).
On a donc 𝑃(𝑛0) vraie (c’est exactement 𝐻(0), 𝐻(1), . . . , 𝐻(𝑛0) vraies).
Supposons 𝑃(𝑛) vraie pour un entier𝑛 ⩾𝑛0 i.e supposons 𝐻(0), 𝐻(1), . . . , 𝐻(𝑛) vraies.
Par hypothèse d’hérédité, on peut en déduire que 𝐻(𝑛+ 1)est vraie. Or, avec𝐻(0), 𝐻(1), . . . , 𝐻(𝑛) vraies, on a alors 𝐻(0), 𝐻(1), . . . , 𝐻(𝑛), 𝐻(𝑛+ 1) vraies, ce qui signifie exactement 𝑃(𝑛+ 1) vraie ! On vient de prouver : 𝑃(𝑛0) vraie et, pour tout 𝑛 ⩾𝑛0, 𝑃(𝑛)⇒𝑃(𝑛+ 1).
Par récurrence simple sur 𝑛 ⩾𝑛0, cela permet d’affirmer :
pour tout𝑛 ⩾𝑛0, 𝑃(𝑛) est vraie i.e 𝐻(0), 𝐻(1), . . . , 𝐻(𝑛)sont vraies, d’où, en particulier, en découle le résultat : pour tout 𝑛⩾0,𝐻(𝑛)est vraie, CQFD.
VI - Relations d’équivalences
Définition : on dit queℛ est une relation binaire sur un ensemble𝐸 si, pour𝑥et𝑦 éléments de 𝐸,𝑥ℛ𝑦 est une proposition vraie ou fausse, en fonction du couple (𝑥, 𝑦).
Exemples de relations binaires : «⩽» dans ℝ, «=» dans ℂ, «∕=» dans ℝ, «∣» (divise) dans ℕ, «⊥»
dans l’ensemble des droites du plan, «∼» dans (ℝ∗)ℕ, «♥» dans la PCSI1, etc...
Définition : soit ℛ une relation binaire sur un ensemble𝐸. On dit que :
∙ ℛest réflexive si : ∀𝑥∈𝐸, 𝑥ℛ𝑥.
∙ ℛest symétrique si : ∀𝑥, 𝑦 ∈𝐸, (𝑥ℛ𝑦)⇒(𝑦ℛ𝑥).
∙ ℛest transitive si : ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈𝐸, (𝑥ℛ𝑦 et 𝑦ℛ𝑧)⇒(𝑥ℛ𝑧).
Définition : on dit que ℛ est une relation d’équivalence siℛ est réflexive, symétrique et transitive .
Remarque : on dit que ℛ est unerelation d’ordre siℛestréflexive,antisymétrique ettransitive avec ℛ estantisymétrique si : ∀𝑥, 𝑦 ∈𝐸, (𝑥ℛ𝑦 et𝑦ℛ𝑥)⇒(𝑥=𝑦).
Exemples : «⩽» dansℝ, «∣» dansℕ, «⊂» (l’inclusion) sur l’ensemble des parties d’un ensemble.
Exemples de relations d’équivalence :
∙ la relation «avoir le même âge que» dans l’ensemble PCSI1.
∙ «=» dansℝ, 𝑧ℳ𝑧′ si∣𝑧∣=∣𝑧′∣ dans ℂ, «//» i.e le parallèlisme sur l’ensemble des droites.
∙ Soit𝑛 ∈ℕ∗, un entier fixé. Dansℕ, on définit𝑎ℛ𝑛𝑎′ si𝑎et𝑎′ ont le même reste dans la division euclidienne par 𝑛 :ℛ𝑛 est une relation d’équivalence surℕ. On a (𝑎ℛ𝑛𝑎′)⇔(𝑎=𝑎′[𝑛]).
∙ «∼» dans(ℝ∗)ℕ où𝑢∼𝑣 si lim
𝑛→+∞
(𝑢𝑛 𝑣𝑛
)
= 1avec(ℝ∗)ℕ=l’ensemble des suites réelles à termes non nuls.
Définition : si ℛ est une relation d’équivalence sur un ensemble 𝐸, pour tout 𝑥 ∈𝐸 on définit la classe de 𝑥, noté cl(𝑥), par l’ensemble des éléments de 𝐸 qui sont en relation avec 𝑥 pour ℛ.
Ainsi : cl(𝑥) = {𝑦∈𝐸∣𝑥ℛ𝑦}.
Exemples
∙ avec «=» dans ℝ, cl(𝑥) = {𝑥}.
∙ avec ℳdans ℂ, cl(𝑧) = 𝒞(0,∣𝑧∣)(cercle centre 𝑂, rayon ∣𝑧∣).
∙ Avec ℛ𝑛 dans ℕ, on a cl(𝑎) = {𝑟, 𝑟+𝑛, 𝑟+ 2𝑛, 𝑟+ 3𝑛, . . . , 𝑎 =𝑟+𝑞𝑛, . . .}= cl(𝑟), ensemble des entiers égaux à 𝑎 modulo 𝑛 (ici, 𝑟 est le reste dans la division euclidienne de 𝑎 par 𝑛).
Exemple, avec 𝑛= 6 : cl(20) ={2,8,14,20,26,32,38, . . .}=cl(14) =cl(32) =cl(2).
Proposition : 𝑦∈cl(𝑥)⇔cl(𝑥) =cl(𝑦) et cl(𝑥)∩cl(𝑦)∕=∅⇒cl(𝑥) =cl(𝑦). VII - Sommes doubles
Définition : si 𝐼 et 𝐽 sont deux ensembles finis, et (𝑎𝑖,𝑗)(𝑖,𝑗)∈𝐼×𝐽 une famille de nombres (com- plexes), alors ∑
(𝑖,𝑗)∈𝐼×𝐽
𝑎𝑖,𝑗 représente la somme des éléments de la famille (𝑎𝑖,𝑗)(𝑖,𝑗)∈𝐼×𝐽.
Cas courant : 𝐼 = [[𝑚; 𝑛]] et𝐽 = [[𝑝; 𝑞]], la somme double est alors indéxée par un rectangle, elle s’écrit ∑
𝑚⩽𝑖⩽𝑛
𝑝⩽𝑗⩽𝑞
𝑎𝑖,𝑗, et peut se calculer de deux façons (interversion de l’ordre de sommation : somme en ligne puis en colonne ou somme en colonne puis en ligne) :
∑
𝑚⩽𝑖⩽𝑛
𝑝⩽𝑗⩽𝑞
𝑎𝑖,𝑗 =
𝑛
∑
𝑖=𝑚 𝑞
∑
𝑗=𝑝
𝑎𝑖,𝑗 =
𝑞
∑
𝑗=𝑝 𝑛
∑
𝑖=𝑚
𝑎𝑖,𝑗.
À rapprocher du calcul des sommes des termes d’une matrice rectangle en ligne ou en colonne.
Un cas très particulier : si les termes 𝑎𝑖,𝑗 s’écrivent comme des produits 𝑎𝑖,𝑗 =𝑏𝑖×𝑐𝑗, alors
∑
𝑚⩽𝑖⩽𝑛
𝑝⩽𝑗⩽𝑞
(𝑏𝑖×𝑐𝑗) =
𝑛
∑
𝑖=𝑚
[ 𝑞
∑
𝑗=𝑝
(𝑏𝑖×𝑐𝑗) ]
=
𝑛
∑
𝑖=𝑚
[ 𝑏𝑖
( 𝑞
∑
𝑗=𝑝
𝑐𝑗 )]
= [ 𝑛
∑
𝑖=𝑚
𝑏𝑖 ]
× ( 𝑞
∑
𝑗=𝑝
𝑐𝑗 )
.
Somme double indexée par un triangle : soit la famille de nombres (𝑎𝑖,𝑗)𝑚⩽𝑖⩽𝑗⩽𝑛, indexées par le triangle {(𝑖, 𝑗)∣𝑚⩽𝑖⩽𝑗 ⩽𝑛}. On peut calculer la somme de ces termes de deux façons (somme en ligne ou en colonne) :
∑
𝑚⩽𝑖⩽𝑗⩽𝑛
𝑎𝑖,𝑗 =
𝑛
∑
𝑖=𝑚
( 𝑛
∑
𝑗=𝑖
𝑎𝑖,𝑗 )
=
𝑛
∑
𝑗=𝑚
( 𝑗
∑
𝑖=𝑚
𝑎𝑖,𝑗 )
.
