Circuits en courant sinusoïdal

(1)

Circuits en courant sinusoïdal

uC

, L R

C

mcos e =E ωt

uB

I₈.

A une certaine fréquence f =2ω

π, la tension d'alimentation e, la tension aux bornes du condensateur de capacité C et la tension aux bornes de la bobine d’inductance L et de résistance R ont toutes trois des amplitudes égales.

uC

uB i

1) Que peut-on dire alors :

a) du rapport des amplitudes complexes ^C

B

u u ?

b) du rapport des impédances complexes du condensateur et de la bobine ? 2) Exprimer L et C en fonction de R et ω .

3) Quelle est la différence des phases du courant i et de la tension e ? i est-il en avance ou en retard sur e ?

DS : circuits en courant sinusoïdal, page 1

II₂₆.

1) Une usine, alimentée sous la tension sinusoïdale u de valeur efficace U = 220 volts et de fréquence f = 50 hertz, consomme une puissance moyenne P = 100 kW ; son facteur de puissance est cosφ=0, 8. Calculer l’intensité efficace I.

2) L’usine a un caractère inductif à cause de ses machines. Représenter qualitativement

dans le plan complexe les amplitudes complexes de u et de i en prenant comme référence de phase u.

USINE i

iC

iT

C u

3) On met en parallèle avec l’usine un condensateur de capacité C de sorte que le facteur de puissance de l’ensemble soit maximal. Comment est alors l’amplitude complexe du courant iT par rapport à celle de u?

4) Compléter la figure de la question 2) en y représentant les amplitudes complexes de iC etiT de façon conforme à la question précédente.

5) Calculer numériquement la valeur IC efficace de iC, puis la valeur que doit avoir la capacité C.

6) Comment l’énergie perdue par effet Joule dans les lignes qui amènent le courant dépend-elle de la valeur efficace IT de iT ?

7) Calculer en pourcentage l’économie réalisée par le fournisseur de l’énergie électrique, l’industriel consommant toujours la même puissance.

III50. Détérioration de composants électriques.

On réalise un circuit R-L-C série avec un conducteur ohmique de résistance , un condensateur de capacité et une bobine de résistance et d'inductance . Ce circuit, représenté ci-contre, est alimenté par un G.B.F délivrant une tension alternative sinusoïdale

0 25

R = Ω C =1, 0µF

15

r = Ω L =1, 0 H

2 cos

ue =U ωt de valeur efficace Uconstante, mais dont la fréquence peut être ajustée à toute valeur inférieure à 1 kHz. On note u_s la tension aux bornes du condensateur, H la fonction de transfert H u_s/ _e et H le module de cette fonction de transfert.

R0 L r, ue

C us

= u

On pose ₀ ₀

0

1 1

, , , _dB 20 log

R R r Q G H.

LC RC

= + ω = = =

ω

1- Exprimer le module H de la fonction de transfert en fonction de Q et de

0

x . Le résultat sera donné sous forme d'un quotient dont le numérateur est égal à 1.

= ω ω

x 2- Calculer :

a) la valeur numérique du facteur de qualité Q.

b) la valeur numérique x₀ de x pour laquelle le module de la fonction de transfert atteint sa valeur maximale H_max c) la valeur numérique de H_max.

3- Calculer le module de la fonction de transfert pour x = 1,0194 et x = 0,9794. Que représentent ces deux valeurs particulières ?

1 2

4- Parmi les quatre courbes de la figure 2 ci-dessous, laquelle correspond au graphe simplifié de la courbe ; expliquer les raisons de votre choix.

(log ) GdB =f

(2)

5- Sachant que la bobine et le conducteur ohmique ne peuvent supporter sans risque de destruction un courant d'intensité efficace 500 mA et que le condensateur est détruit lorsque la tension efficace à ses bornes atteint 200 V, à quelle valeur doit-on limiter impérativement U pour qu'aucun composant ne soit détérioré lorsqu'on fait varier la fréquence de 0 à 1 kHz ?

IV10.

1) A une certaine fréquence, l’amplitude du courant i ne varie pas quand R varie. Exprimer C en fonction de L et ω.

2) Pour quelle valeur de R le courant i est-il alors en phase avec e ?

V6. Ligne à retard.

Soit une ligne constituée de cellules identiques LC ; on note ω₀ =1/ LC . En courant sinusoïdal de pulsation , donner la relation de récurrence entre les amplitudes complexes

ω

un.

On cherche une solution de cette relation de la forme u_n =aⁿ. Donner l’équation satisfaite par a.

Montrer que, si ω<2ω₀, a est de la forme a =exp(jϕ ω⁽ ⁾) et déterminer la fonction ϕ ω⁽ ⁾. En déduire que _n = exp(jnϕ)+Bexp(− ϕjn ) t

u t n

= − τ

u A . Exprimer u . Montrer que si la source du signal est à

gauche du montage, le principe de causalité impose u t et calculer .

n( )

( ) 0( )

n τ

A.N. avec L = 1 mH et C = 15 pF, calculer τ.

Nota : le procédé de télévision SECAM utilise une ligne de retard pour balayer une ligne sur deux de l’écran.

VI27.

On observe sur un oscilloscope les tensions u et u en fonction du temps et on constate que les passages par zéro de u ont lieu à des instants temporellement équidistants des passages par zéro de u .

1 2

1) En déduire une relation entre L, C, r et R.

2) Représenter u₁ et u₂ en fonction du temps, en justifiant le sens de leur avance ou retard.

m

cos e = E ω t

i

R L

C

C A0

• A1

L • C

A2

• u1

L u2 C

L A3

• C

mcos e =E ωt

C r

u2

u1

L R

L u3

u0

VII₃₄.

1) Définir la valeur efficace d’un courant i t( ) fonction du temps t.

2) Quelle est la valeur efficace du courant i= +2 3 cos 1000( t) ( en secondes, it en ampères) ? VII₂₅.

Sur le tableau de distribution d'une installation triphasée, nous trouvons quatre bornes :

– la première appelée neutre et notée N ;

– les trois autres appelées phases notées et l, 2, 3 (figure 1).

Entre le neutre et chacune des trois phases existent trois tensions dites "simples" :

1 2 3

2 4

2 cos 2 cos 2 cos

3 3

v =V ωt v =V ⎛⎜⎜⎜⎝ω −t π⎞⎟⎟⎟⎠ v =V ⎛⎜⎜⎜⎝ω −t ⎟⎟⎟

π⎞ =220 V.

1) Calcul ₃

⎠ où V er v₁+v₂+v .

(3)

e "tensions c posées" les tensions entre phases comme : Donner l’expression in

2) On appell om u₁₂ =v₁−v₂.

stantanée de u₁₂ sous la forme acos(ωt+ϕ).

3) On branche trois lampes identiques de pui ance entre le neutre et chaque phase ; quel est le o

èm 10 watts entre le neutre et la phase 1 ; quel est dans ce cas le courant in

nt st coupé (figure 4). Calculer le potentiel instantané du point O en

su .

ornes sont toujours aux mê

20

énérateur de force électromotrice e = Emcos ωt et d'impédance interne ss P =^{110 watts} urant dans le fil neutre i_N ? (figure 2)

4) On rajoute une deuxi e lampe de 1 c

stantané dans le neutre i_N ? (figure 3).

5) Par suite d'un accide , le fil neutre e v_O

pposant que la résistance des lampes est indépendante de la tension appliquée à leurs bornes 6) En déduire les puissances P₁, P₁′, P₂ et P₃dans chaque lampe. On rappelle que les trois b

mes potentiels v₁, v₂ et v₃. IX .

z = r + jx Z = R + jX e = Emcosωt

Un g z = +r jx débite

dans un dipôle d'impédance Z =R+jX.

1) Exprimer la puissance P reçue par le dipôle d'impédance Z.

2) Comment faut-il choisir Z pour que cette puissance soit maximum ?

e ce maximum. Pour

ce

nt est nn

’optimum si l’hypothèse n’est pas

Réponses

I. 1) et 2)

3) On désire que la résistanc R_u de la figure ci-contre reçoive la puissan

Rg

eg

Ru

jA

jB la, on interpose entre elle et le g érateur de fem e_g et de résistance interne R_g deux

impédances imaginaires pures jA et jB. Démontre que la solution du problè précéde applicable à ce problème, moye ant une certaine hypothèse.

4) Calculer A et B dans cette hypothèse (ne pas chercher l vé

én

r me

rifiée).

2 3 B i

C

u e

u

± π

= ; ³ C 2

= R

ω ; et

3 L = R

ω ; 3) i est en avance de sur II. 1)

π/ 6 e. 568 A

cos I P

=U =

ϕ ; 3) ⁱ_T est en phase avec ^u ; 5) ^I_C =^341A ; 4, 93.10 3F

IC

C U

= = −

ω ; 6) proportionnelle au carré de I_T ; 7) 36 %.

i u

i iC u iT

(4)

III. 1) ₂

2 2 2

1

(1 )

H x

x Q

=

− +

; 2.a) ω0 =1000 rad/s Q =25 ; 2.b) ₀ 1₂

1 0, 9996

x 2

= − Q = ; 2.c)

max 25

m

H Q

≈x = ; 3) Q/ 2 ; les fréquences de coupure ; 4) graphe a (filtre passe-bas avec un pic de résonance) ; 5) efficaces.

8 V U =

IV. 1) C ²₂

= L

ω ; 2) R =Lω.

V. ¹ ₂¹

2

n n

n u u

u LC

+ + −

= − ω ;

2 2 20

2 1 0

a +⎛⎜⎜⎜⎜⎝ωω − ⎞⎟⎟⎟⎟⎠a+ = ;

2 20

cos 1

2 ϕ = − ω

ω ;

( ) cos( arg( ) ) cos( arg( ) )

u tn = A ωt+ A +nϕ + B ωt + B − ϕn ;

0

τ= 1

ω ;τ= LC =0,122 sµ . VI. 1) Rr =L C/ ; 2) voir ci-contre.

VII. 1) la valeur efficace est la racine carrée de la moyenne du carré ; 2)I_eff =2, 92 A.

VIII. 1) v₁+v₂+v₃ =0 ; 2) u₁₂=V 6 cos(ωt+π/ 6) ; 3) i_N =0 ; 4) 2 cos 0, 5 2 cos en ampères

N

i P t t

=V ω = ω ; 5) ¹ 2

4 4 cos

v V

= ωt ; 6)

; .

1 1 62 W

P =P′= P₂ =P₃ =144 W IX. 1)

2 2

1

2 [( ) ( ) ]

REm

P = R r X x

+ + + ² ; 2) Z est le complexe conjugué de z ; 4)

( )

^et ^{u g}² ^ou

( )

^et ^{u g}²

u g u u g u

g u g u

R R R R

A R R R B A R R R B

R R R R

= − =− =− − = +

− − .

(5)

Corrigés

I.

1) et 2) Comme e =u_B +u_C, les représentations complexes de ces trois tensions sont les cotés d’un triangle. Comme leurs amplitudes sont égales, le triangle est équilatéral, donc

2 j3 B C

u e

u

± π

= . Or le rapport des tensions est _C^B ⁽ 1 ⁾ ²

u R jL i

LC jRC

u i

jC + ω

= =− ω + ω

ω

tandis que

2

3 1

2 2

e j j

± π

=− ± 3

, donc ² 1

LCω =2 et 3

RCω = 2 . D’où 3

C 2

= R

ω et 1 ₂ 2 3

L L R

= C ⇒ =

ω ω .

e

uC

uB

Autre résolution.

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

1 1

( )

1 1

2 1 1

0 2

1 1 3 3

2 3

4 4

B c B c

e u u u u

R jL i R jL i i

jC jC

R L R L

C C

L L

C C C

R R C R

C C C R

= + = =

⎛ ⎞⎟

⎜ + ω+ ⎟ = + ω =

⎜ ⎟

⎜⎝ ω ⎠ ω

⎛ ⎞⎟

+⎜⎜⎜⎝ ω − ω ⎟⎟⎠ = + ω = ω

− + = ⇒ =

ω ω

+ = ⇒ = ⇒ = =

ω ω

ω ω ω L

3) ^e_i ⁼^R⁺^jL^ω⁺ _jC¹_ω ⁼^R⁺^j ^R₃⁺ _j²^R₃ ⁼^R

(

¹⁻^j ¹₃

)

d’argument 6

−π. Donc ⁱ ^I^m^cos

(

₆

)

^et

ce courant, qui est maximum à

t π

= ω +

t 6π

=−

ω, alors que e est maximum à l’instant 0, est en avance sur e. II.

1)

105

cos 568 A

cos 220 0, 8 P UI I P

= ϕ ⇒ =U = =

ϕ ×

2) u =Z i où on suppose que u est réel ; l’usine ayant un caractère inductif, Z est de la forme Z =R+jLω, donc a un argument compris entre 0 et 90° ; alors i a un argument compris entre – 90° et 0, d’où le dessin ci-contre.

u i

iT

3) cosϕ est maximum quand ϕ =0, donc quand i_T est en phase avec u.

4) i_C = jCωu a pour argument 90° et i_T = i +i_C ; d’où la figure ci-contre. iC u 5) I_C =Isinϕ =I 1−cos²ϕ =568 1−0, 8² =341A. i

341 3

4, 93.10 F 220 100

IC

C =U = = ⁻

ω × π .

6) Comme P_ligne =R_{ligne T}I², l’énergie perdue dans les lignes amenant le courant est proportionnelle au carré de I .

I I

T

7) Sans condensateur, la puissance perdue dans les lignes est R ; avec condensateur, elle est R . L’économie est

ligne 2 2

ligne T

2 2

2 1 cos2 0, 36

ligne ligne T ligne

R I R I

R I

− = − ϕ = .

III.

1) D’après le théorème de Millman,

2 2

0

2 2 2 2

1 1

1 1 ( ) 1 1

1

(1 )

e s

u R jL

u jC R jL H jC R jL jRC x x jQx x

H x

x Q

+ ω

= ⇒ = = =

+ ω + ω + ω − + −

ω+

+ ω

=

− +

1

= =

2.a) ω₀ 1000 rad/s Q 25

(6)

2.b)

2 2

1

1 2(1 ) 0

( ) d H

d x Q x

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟⎟

⎜⎝ ⎠= − − > si ² 1 ¹₂ x 2

> − Q qui est positif, soit ₀ 1 ¹₂ 0, x x 2

> = − Q = 9996, donc le gain est maximum pour x₀.

2.c) _max 25

m

H Q

≈x =

3) Pour les deux valeurs proposées, on trouve H =17, 685 alors que 17, 678 2

Q = , donc ces valeurs sont les fréquences de coupure, c’est-à-dire les extrémités de la bande passante.

4) Le bon graphe est le graphe a, car le filtre est un filtre passe-bas avec un pic de résonance. La fréquence variant de 0 à 1 kHz, c’est quand que les tensions sont les plus élevées dans le condensateur et dans la bobine.

0 1000 rad/s ω =ω =

5) Quand la fréquence varie de 1 à 1000 Hz, elle passe par la fréquence de résonance f0 =ω0/ 2π=159 Hz, fréquence pour laquelle les tensions aux bornes du condensateur et de la bobine sont maximales. Le condensateur peut être détruit à la résonance si sa tension à la résonance excède 200 V =QU soit 200

25 8 V

U = =

Le courant dans la bobine est maximum à la résonance et vaut alors ⁸ ^{200 mA} ^{500 mA} 40

U

R = = <

Donc la tension fournie par le GBF ne doit pas excéder ^U =^{8 V} efficaces.

En pratique, les GBF ne sont pas, comme le dit l’énoncé, une source de tension, mais une source de tension en série avec une résistance de 50Ω ; il est rare qu’ils détruisent un composant à cause d’une tension efficace trop grande.

IV.

1) On veut que ^Z ² ne dépend pas de ^R.

( )

2 2 2

2

2 2 2 2 2

(1 ) (1 )

1 1 1

1 1

R LC jL R LC L

Z RjL Z

jC jC R jL jC R jL C R L

R jL

− ω + ω − ω + ω

= + = + ω = =

ω + ω + ω ω + ω ω + ω

ω

2 2 2

Or

2 2

aR b cR d +

+ ne dépend pas de R si a b

c =d ; de même, à la question suivante, ^aj ^b cj d +

+ ne dépend pas de si j a b

c =d.

Donc (1 LC ^{2 2}) 1 1 LC ² 1 LC ² 2 C ²₂

− ω = − ω = ± ω = =L

ω . 2) Alors

2 R jL Z jRC

− + ω

= ω − est réel et positif, donc indépendant de , soit j

2

2 2

R L L

R L

RC R

L

= ω = = ω

ω

. Autre solution

( )

2 2 2

2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1

Im 0

1 0

2

RjL RjL R jL

Z jC R jL jC R L

Z

R L

C R L

R L R LC R

R L

ω ω

= + = +

ω + ω ω + ω

=

− + ω =

ω + ω

+ ω = ω =

= ω

− ω

V.

En appliquant le théorème de Millman en An :

1 1

2 2 2

n n

u u

jL jL

u u

jC LC jL

+ −

+ +

ω ω

= ⇒ =

− ω

+ ω ω

n n

u =a est solution de la relation précédente si

2 2 20

2 1

a +⎜⎜⎜⎝⎛⎜ωω − ⎞⎟⎟⎟⎟⎠a+ =0 ; c’est une équation du second degré dont le discriminant est

2 2 2

2 2

0 0

2 4 4

⎛ω ⎞⎟ ω ⎛ω ⎟

⎜ ⎜

∆=⎜⎜⎜⎝ω − ⎟⎟⎟⎠ − =ω ⎜⎜⎜⎝ω − ⎟⎟⎟

2 20

⎞

⎠.

(7)

∆<0 si ; les racines de l’équation en a ont pour produit 1 et sont deux nombres complexes conjugués ; elles sont donc de la forme

2 0

ω < ω

ej^ϕ et e^{− ϕ}^j . Alors, u_n =Ae^jn^ϕ +Be^{− ϕ}^jⁿ où ⁽ ⁾

2 20

Re cos 1

a = ϕ= −2^ω ω

( ) Re( exp( )) cos( +arg( )+ ) cos( arg( ) )

n n

u t = u j tω = A ωt A nϕ + B ωt+ B − ϕn

=ϕ ω

Posons τ / . Le premier terme A cos(ωt +arg( )A +nϕ)= A cos(ω(t +nτ)+arg( )A) représente un signal qui se propage vers la gauche en mettant le temps τ d’une cellule sur l’autre ; le deuxième terme

( )

cos( arg( ) ) cos arg( )

B ωt + B − ϕn = B ω t− τn + B

t ₋ t

ω

représente un signal qui se propage vers la droite en mettant le temps τ d’une cellule sur l’autre.

Si la source du signal est à gauche, u_n^{( )} doit être en retard sur u_n ₁^{( )}, donc A=0 et u t_n^{( )}=u t₀⁽ − τn ⁾ . Si ω ₀, comme cosϕ ≈ − ϕ1 ²/ 2,

0 0

ω 1

ϕ ≈ =ωτ ⇒ τ =

ω ω et

( )

cos( ( ) arg( )) 0

un = B ω − τt n + B =u t− τn .

Comme le temps de retard τ est indépendant de la fréquence, cette ligne à retard retarde du même temps toutes les composantes en fréquence d’un signal ; elle retarde un signal de forme quelconque sans le déformer. L’approximation est d’autant meilleure pour un retard total donné que τ est petit et le nombre de cellules grand.

3 12

10 15.10 0,122 s

LC ⁻ ⁻

τ= = × = µ

t

. VI.

1( )

u t et u₂^{( )} sont en déphasées de π/ 2, donc Re(u₂/u₁)= 0. Soit i le courant, u1 =⁽R+jLω⁾i et 2 1

u r

jC

⎛ ⎞⎟

=⎜⎜⎜⎝ + ω⎟⎟⎠i,

( )

2

2 2 2

1

1 1

R R r

u jC jC

u r jL r L

⎛ ⎞⎟

+ ω ⎜⎜⎜⎝ + ω⎟⎟⎠ − ω

= =

+ ω + ω

jL ,

( )

2

2 2 2

1

1 Re

R Rr L

u jC C Rr L

u r jL r L

+ −

⎛ ⎞⎟ ω

⎜ ⎟= = ⇒ =

⎜ ⎟

⎜⎝ ⎠ + ω + ω C

t

.

1( )

u t est en avance sur e t^{( )} et u₂^{( )} en retard, d’où le graphe ci-contre.

VII.

1) La valeur efficace est la racine carrée de la moyenne du carré.

2) I_eff² = i² = (2+3 cos 1000( t))² = 2²+12 cos 1000( t)+3 cos 1000² ²( t) . Comme cosωt =0 et comme cos2ωt =1/ 2, I_eff = 2² +3 / 2² = 8, 5= 2, 92 A .

VIII.

1) v₁ =V 2e^{j t}^ω v₂ =V 2e^{j t}⁽^{ω − π}^{2 / 3}⁾ v₃ =V 2e^j⁽^{ω − π}^t ^{4 / 3}⁾.

2 / 3 4 / 3

1 2 3 2 ^{j t} 1 ^j ^j 0 1 2 3

v +v +v =V e ^ω ⎡⎢⎣ +e^{− π} +e^{− π} ⎤⎥⎦= ⇒ v +v +v =0 .

2) u₁₂ v₁ ₂ 2 ^{j t} 1 ^j^{2 / 3} 2 ^{j t} 3 ^j ^{/ 6} ₁₂ 6 cos( / 6).

v1

u12

v3

v2

v V e ^ω ⎡ e^{− π} ⎤ V e^ω e^π u V t

= − = ⎢⎣ − ⎥⎦= = ω +π

3) _N ₁ ₂ ₃ v¹ v² v³ _N 0

i i i i i .

R + +

= + + = ⇒ =

4) 2 ¹ ² ³ ¹ ₂ 110 en

0, 5 A 2 cos 0, 5 2 cos ampères

N 220 N

v v v v P P

i I i t t

R R V V

+ +

= = = = = = ω = ω

5) Millman : ¹/ ¹/ ²/ ³/ 2 ¹ ² ³ ¹ 2

4 / 4 4 4 cos

O

v R v R v R v R v v v v V

v t .

R

+ + + + +

= = = = ω

6) Les lampes branchées sur la phase 1 subissent la tension ^v₁−^v_O =^{3 / 4}v₁ ⇒P₁ =P₁′=(^{3 / 4})²×¹¹⁰= ^{62 W} .

(8)

Les tensions appliquées aux lampes 2 et 3 sont complexes conjuguées, donc les puissances de ces lampes sont égales.

Pour la lampe 2, la tension est v₂−v_O =V 2e^{j t}^ω ⎡⎢⎣e^{− π}^j^{2 / 3}−1/ 4⎤⎥⎦ ;

( )

2 2 2 2 / 3 2 / 3

2 2 / 3 2 / 3 2 / 3

2

2 3

1 1 1 1

2 4 4 4 1 16

cos 2 / 3

1 21

1 144 W

16 2 16

j j

O j j j

v v V e

P e P e e P

R R

P P P P

+ π − π

− π − π + π

4

⎡ e ⎤

− ⎛⎜ ⎞⎛⎟⎜ ⎞⎟ ⎢ + ⎥

= = − = ⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎠⎝⎜⎜ − ⎟⎟⎠= ⎢⎢⎣ + − ⎥⎥⎦

⎡ π ⎤

⎢ ⎥

= ⎢⎢⎣ + − ⎥⎥⎦= ⇒ = =

.

IX.

1)

2 2 2

1 1

2 2 2 2

Re( *) Re( *) Re( ) 1

2 2 2 [( ) ( ) ]

m m m

I RE RE

i e u Z i P u i Z i i Z

z Z Z R r X x

= = = = = = =

+ + + + ²

x

. 2) Pour R déterminé, P X( ) est maximum si X =− . Alors, ( ) ² ₂

2( )

REm

P R = R r + ;

2 2 2

4

( ) 2 ( )

2 ( ) 2 ( )

m m

3

r R R r E

dP r R

dR R r R r

+ − + −

= =

+ +

E R

est positif si R<r ; P R( )est maximum si R=r. Donc P est maximum si Z est le complexe conjugué de z.

3) Comme les puissances sont additives et comme la puissance reçue par un dipôle d’impédance imaginaire pure est nulle, la puissance reçue par l’ensemble { est égale à la puissance reçue par . D’après la question précédente, la puissance reçue par l’ensemble serait maximum si l’impédance de cet ensemble était le complexe conjugué de . Reste à savoir s’il est possible d’obtenir effectivement cette valeur.

} } , ,

R jA jBu R_u

{^{R jA jB}_u^, ^, Rg

4) ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ( _u ) ¹

g u g

R jA

R jB R jA R jB

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟

= + + ⇒⎜⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎟⎟⎠ + = . En séparant partie réelle et partie imaginaire :

1 1

0

u u

g g

u u g

g

R A

R R B A

B R R

A AB R R

R B

⎧⎪⎪ − = ⎧⎪

⎪ ⎪ = −

⎪ ⎪

⎪⎪ ⇒⎪

⎨ ⎨

⎪ ⎪

⎪ + = ⎪ =−

⎪ ⎪

⎪ ⎪⎩

⎪⎪⎩

On voit que A et sont de signes contraires et qu’il faut pour pouvoir atteindre la condition de la question 2).

B R_u <R_g

Si R_u <Rg, il y a deux solutions :

( )

et ou

( )

et

2 2

u g u g

u g u u g u

g u g u

R R R R

A R R R B A R R R B

R R R R

= − =− =− − = +

− − .

Nota (non demandé) : si , il est inutile d’interposer un montage entre et ; si , il faut mettre en série avec et en parallèle avec .

Ru =R_g

{

e Rg^, g

}

R_u R_u >R_g jA

{

e Rg^, g

}

jB R_u