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On utilisera l’approximationlog(2)'0,30.
Problème 1 : Amortissement harmonique
On étudie comment traiter la sortie d’un filtre pour diminuer l’amplitude d’une éventuelle résonance.
On suppose qu’un régime sinusoïdal est établi. On utilisera les notations complexes.
Dans les calculs de gain, on sera amené à utiliser l’approximation log(2)'0,30.
I Filtre original
On considère le filtre de la Figure 1, utilisé en sortie ouverte.
I.1. (a) Déterminer sans calcul sa nature.
(b) Établir l’expression de sa fonction de transfert en régime sinusoïdal établi de pulsation ω, notée H1. On n’y fera figurer que la pulsation ω, les constantesω0= 1/√
LCetQ=p
(L/C)/R, et des nombres sans dimension.
I
eR L
C I
s= 0
U
eFig. 1 : Filtre original, de fonction de transfertHo. (c) On noteGdBle gain en décibel. Déterminer une condition surQpour qu’il existe des valeurs de ωpour laquelleGdBest strictement positif. Établir dans ce cas les expressions du maximum de GdBet de la pulsation pour laquelle il est atteint.
I.2. Établir et tracer le diagramme de Bode en phase et en gain (en dB) pourQ=0,2 etQ=6.
I.3. Déterminer l’intervalle de fréquences pour lesquellesGdB>10siL=10 mH,C=100 nF etR=50 Ω.
II Identification de filtres
On considère le filtre de la Figure 2 utilisé en sortie ouverte.
II.1. (a) Déterminer sans calcul sa nature.
(b) Établir l’expression de sa fonction de transfert, en utilisant les ex- pressions deQ0etω00définies comme à la Section I et en déduire les expressions asymptotiques deGdB.
II.2. (a) En déduire, parmi les diagrammes de Bode de la Figure 3 celui correspondant au filtre de la Figure 2.
(b) Proposer une expression simple de la fonction de transfert du filtre de la Figure 2 en fonction de celle du filtre de la Figure 1 (dans laquelle on remplaceraitQparQ0etω0parω00).
Ie C0
L0
R0 Is= 0
Ue Us
Fig. 2 : Filtre inconnu.
10−1 100 101 102
−50
−40
−30
−20
−10 0 10 20
ω/ω00 GdB
Q0= 1/3 Q0= 1/√ 2 Q0= 5
a
10−2 10−1 100 101 102
−50
−40
−30
−20
−10 0
ω/ω00/ GdB
Q0= 1/3 Q0= 1/√ 2 Q0= 5
b
10−2 10−1 100 101 102
−50
−40
−30
−20
−10 0 10 20
ω/ω00
GdB
Q0= 1/3 Q0= 1/√ 2 Q0= 5
c Fig. 3 : Diagrammes de Bode proposés pour le filtre de la figure 2.
II.3. On étudie enfin le filtre de la Figure 4.
(a) Déterminer sans calcul sa nature. On pourra s’inspirer du résultat de la questionII.2b. En déduire l’allure du diagramme de Bode (en GdB).
(b) Préciser la valeur minimale du module de l’impédance de l’asso- ciation du condensateur et de la bobine. Pour quelle valeur de la pulsation est-elle réalisée ?
(c) Déterminer les valeurs deωpour lesquellesGdB>−3 dB. Calculer les fréquences correspondantes pour les valeurs d’auto-inductance, de capacité et de résistance de la questionI.3.
Ie R0
L0
C0 Is= 0
Ue Us
Fig. 4 : Filtre rectificateur.
III Écrêtage du filtre original
On considère le filtre original de la Section I pour lequel le facteur de qualitéQest strictement supérieur à1/√
2. On noteGdBmax la valeur du maximum de son gain.
On souhaite corriger la sortie de ce filtre pour limiter les valeurs du gains pour les pulsations au voisinage de ω0. On filtre pour cela la sortie du filtre de la Figure 1 par le filtre de la Figure 4. Le diagramme de Bode idéal en gain du filtre obtenu est représenté sur la Figure 5.
III.1. (a) Comment doit on choisir les valeurs deL0etC0 par rapport àLetCpour obtenir ce comporte- ment ? Que peut-on alors dire de la valeur deGdB pourω=ω0? On suppose ces relations vérifiées dans toute la suite.
(b) Décrire qualitativement l’effet d’une variation de la résistanceR0sans changerL0niC0. Représen- ter l’allure deGdBen fonction de ωpour une va- leur deR0notablement supérieure à celle corres- pondant à la Figure 5.
10−1 100 101
−40
−30
−20
−10 0 10
ω/ω0
GdB
Fig. 5 : Diagramme de Bode du filtre de la Figure 1 rectifié par le filtre de la Figure 4.
III.2. Contrairement au cas de la Figure 5, on observe que la valeur du gain enω=ω0reste bornée.
(a) Montrer que la prise en compte d’une résistance interne, notéerL, dans la bobineL0du filtre de la Figure 4 permet de justifier cette observation. On déterminera pour cela l’expression de la nouvelle fonction de transfert enω=ω0.
(b) On considère qu’on aR0=Ret on prend les valeurs numériques de la questionI.3. Déterminer la valeur derLsi on mesure un gain de−30 dB pour ω =ω0. On n’hésitera pas à utiliser des approximations dont on justifiera la pertinence au vu des valeurs numériques manipulées.
(c) On conserve les valeurs précédentes pourR , L , Cet on prendL0 = L;C0 = CetR0 = R.
Comment choisir la valeur derLpour avoir un gain pratiquement égal à 0 dB enω=ω0. Tracer alors l’allure du diagramme de Bode en gain du filtre obtenu.
Problème 2 : Filtrage d’un signal non sinusoïdal
On cherche à caractériser un filtre par son effet sur différents signaux périodiques.
On pourra être amené à effectuer des approximations tenant compte des valeurs numériques, après avoir justifié leur pertinence. Dans les calculs de gain, on sera amené à utiliser l’approximation log(2)'0,30.
On suppose qu’un régime périodique est établi. On utilisera les notations complexes quand il sera sinu- soïdal.
I Comportement temporel d’un filtre du 1
erordre
On considère un filtre amplificateur de tension dont la fonction de transfert a pour expression :
H= 1 1 +jωω
c
. (1)
I.1. (a) Déterminer la nature de ce filtre ainsi que sa pulsation de coupure.
(b) Établir et tracer son diagramme de Bode en phase et en gain en dB, en utilisant une échelle loga- rithmique pour les pulsations.
(c) Proposer (et justifier) un montage électrique réalisant cette fonction de transfert en utilisant un résistor et une bobine.
I.2. (a) La tension d’entrée est :
ue=U0cos(ωt), (2)
avecω=ωc/10. Déterminer la tension de sortieus(t).
(b) Même question si la tension d’entrée est :
ue=U0sin(ωt), (3)
avecω=ωcpuis avecω= 10ωc.
I.3. La tension d’entréeueest désormais un créneau valant :
(ue =1 V pourt∈]0;T/2]
ue =0 V pourt∈]T/2;T] (4)
(a) Déterminer la tensionus(t)en sortie siT ωc1. On tracera son allure qu’on superposera à celle deue(t)et on précisera les valeurs de son maximum et de son minimum.
(b) Même question pourT ωc1.
II Détermination d’un filtre
On étudie désormais un filtre inconnu. Le signal d’entréeue(t)est dans tous les cas un signal triangulaire.
Les courbes de la Figure 6 représentent le signal d’entrée triangulaire et le signal de sortie pour différentes valeurs de la fréquence du signal d’entrée.
II.1. On s’intéresse tout d’abord au cas correspondant à la Figure 6c.
(a) Mesurer la fréquence du signal d’entréeue.
(b) Proposer une opération mathématique transformant le signal d’entrée en signal de sortie.
II.2. On étudie maintenant le cas de la Figure 6a. Proposer de même une opération mathématique transfor- mant le signal d’entrée en signal de sortie si on approxime ce dernier par un signal créneau.
II.3. On admet que le filtre est du deuxième ordre, caractérisé par deux paramètres positifs : le facteur de qualitéQ(sans dimension) et la pulsation caractéristiqueω0(homogène à une pulsation).
H1= 1 1 +jQωω
0−ω2
ω20
H2= 1
1 +jQ
ω ω0−ω0
ω
H3=
−ω2
ω20
1 +jQωω
0−ω2
ω20
(5)
(a) Parmi les trois fonctions de transfert proposées dans l’équation (5), laquelle permet d’expliquer les comportements observés dans les questions précédentes ? Quelle est la nature du filtre corres- pondant ?
(b) Déduire des mesures de l’amplitude des signauxus dans les courbes des Figures 6a et 6c les valeurs deω0etQ.
(c) Proposer un circuit utilisant un résistor de résistanceR, une bobine d’auto-inductaneLet un condensateur de capacitéCréalisant le comportement observé. On proposera des valeurs pour R,LetC.
II.4. (a) Quelle sera la nature de la tension de sortieus(t)si la pulsation de la tension d’entrée estω0? (b) Justifier la forme observée pour la tension de sortieusdans le cas de la Figure 6b. On la décrira
pour cela comme une somme de sinusoïdes dont on estimera les fréquences et les amplitudes.
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
·10−2
−1
−0,5 0 0,5 1
t(s) ue(V)
−40
−20 0 20 40
us(mV)
(a)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
·10−2
−1
−0,5 0 0,5 1
t(s) ue(V)
−150
−100
−50 0 50 100 150
us(mV)
(b)
0 0,5 1 1,5 2 2,5
·10−4
−1
−0,5 0 0,5 1
t(s) ue(V)
−3
−2
−1 0 1 2 3
·10−2
us(V)
(c)
Fig. 6 : Tensions d’entréeue(en traits interrompus) et de sortieus(en trait continu) pour le filtre inconnu.
La fréquence du signal d’entrée varie d’une courbe à l’autre.
Exercice 1 : Structures de Lewis
Numéros atomiques : Z(H) = 1;Z(C= 6);Z(N) = 7;Z(O) = 8;Z(P) = 15;Z(Cl) = 17.
1. On étudie la structure moléculaire de quelques composés du phosphore. Dans tous les cas l’atome de phosphore est central.
(a) Établir des structures de Lewis pour les composés POCl3et PO43–. En déduire celle de l’acide orthophosphorique H3PO4.
(b) Proposer une structure de Lewis pour l’acide phosphoreux H3PO3sachant qu’il s’agit d’un di- acide, ayant la forme d’un tétraèdre dont P occupe le centre.
2. On envisage différents enchaînements des atomes C, N et O.
(a) Proposer des structures de Lewis pour l’ion cyanate NCO–et l’ion fulminate CNO–(l’ordre d’en- chaînement est celui donné par la formule). On précisera la géométrie de la molécule.
(b) Pourquoi n’observe-t-on pas l’ion CON–?
Exercice 2 : Températures d’ébullition
Numéros atomiques : Z(H) = 1;Z(C= 6)Z(F= 9).
1. Les éléments F ; Cl ; Br et I appartiennent tous à la même colonne. Préciser leur famille chimique et don- ner, en les justifiant, les numéros atomiques manquants sachant qu’ils sont dans des périodes consécu- tives.
2. Les éléments C ; Si ; Ge et Sn appartiennent tous à la même colonne. Donner, en les justifiant, les numé- ros atomiques manquants sachant qu’ils sont dans des périodes consécutives.
3. Déterminer la géométrie des molécules H Br et SiH4. 4. Les températures d’ébullition de différentes es-
pèces chimiques sont données sur la figure ci- contre.
(a) Pourquoi les espèces de HF à HI ont-elles des températures d’ébullition supérieures à celles des espèces de CH4à SnH4?
(b) Pourquoi la température d’ébullition augmente-telle de HCl à HI et de CH4 à SnH4?
(c) Comment expliquer l’« anomalie » pour HF ?
Correction du problème 1 I Filtre original
I.1. (a) Les modèles équivalents en haute et basse fréquence assurent qu’il s’agit du passe-bas du 2eordre vu en cours.
(b) Un pont diviseur de tension (puisqu’on est en sortie ouverte) assure :
H=
1 jCω
R+jLω+jCω1 = 1 1 +Qωjω
0−ω2
ω20
, (6) avec les paramètres proposés.
(c) Comme vu en cours, le gain H|H| admet un maximum strictement positif si Q >
1/√
2 en ω =ω0
p1−1/(2Q2) où il vaut Hmax=Q/p
1−1/(4Q2). On a alorsGdBmax= 20log(Hmax) =16.
10−1 100 101
−50
−40
−30
−20
−10 0 10 20
u1 u2
10
−40 dB
·decade
−1
ω/ω0
GdB
Q= 1/5 Q=6,32
Fig. 7
I.2. On détermine les asymptotes du gain à basse et haute fréquenceGdB= 0etGdB=−40dB/décade.
Les phases dans ces domaines valant respectivement0et−πet−π/2enω =ω0. Le diagramme de Bode correspondant est représenté sur la figure 7 (on y a représenté le cas de la question suivante, avec Q=6,3).
I.3. Pour les valeurs proposées, on calcule :
f0= 1 2π√
LC =5,03·103Hz Q= 1 R
rL C =6,3.
Le gain maximal vaut (cf.I.1c)GdBmax'20log(Q) =16. Il sera supérieur à 10 pour les fréquences comprises entrefc1etfc2pour lesquellesH= 1010/20≡H1. On résout donc, en utilisantu≡f/f0.
1 q
(1−u2)2+Qu22
=
√ 10→fc1
f0
=8,45·10−1etfc2
f0
=1,12→fc1=4,25 kHz etfc2=5,65 Hz.
(7)
II Identification de filtres
II.1. (a) • À haute fréquence la bobine est équivalente à un interrupteur ouvert et un pont diviseur de tension assure queU s=Ue.
• À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert et aucun courant ne circule dans l’association série de la bobine et du résistor : la tension y est donc nulle.
Le filtre est donc un passe-haut.
(b) Un pont diviseur de tension assure que sa fonction de transfert, notéeH0est :
H0= R0+jL0ω R0jL0ω+jC10ω
= jR0C0ω−L0C0ω2 1 +jR0C0ω−L0C0ω2 =
jQω0ω00−ω2
ω00
1 +jQω0ω00−ω2
ω00
(8)
H0 ∼
ωω00j ω
Q0ω00 GdB∼ −20log(Q) + 20log(ω/ω00) (9) H0 ∼
ωω001 GdB∼0 (10)
II.2. (a) Par rapport au passe-haut du deuxième ordre habituel, l’asymptote basse fréquence est à 20 dB/decade et a une ordonnée à l’origine qui dépend deQ, d’autant plus basse queQest élevé.
Son diagramme de Bode est donc celui de la figure 2c.
(b) La tensionUsestUs =Ue−UC0 avecUC0 la tension aux bornes du condensateur qui était la tension de sortie du filtre de la figure 1. On a donc :
H0= 1−Ho. (11)
II.3. (a) Que ce soit à haute ou basse fréquence, l’impédance de l’association série de la bobine et du condensateur tend vers l’infini car l’un de ces deux dipôles est alors équivalent à un interrup- teur ouvert. Un simple diviseur de tension assure alors queUs=Ue. Le filtre est donc passant à haute et basse fréquences. Il s’agit vraisemblablement d’un coupe-bande.
On peut également retrouver ce résultat en adap- tant le raisonnement de la questionII.2b. On sait que la tension aux bornes du résistor d’un RLC série permet d’obtenir un passe-bande (de fonc- tion de transfertHR), la tension aux bornes de l’association série deL0etC0permet donc d’ob- tenir la fonction de transfertHcb= 1−HR: elle est donc nulle pourω=ω00= 1/√
L0C0et égale à1pourωω00etωω00.
Son diagramme de Bode est représenté sur la fi- gure ci-contre.
10−2 10−1 100 101 102
−50
−40
−30
−20
−10 0
ω/ω0
GdB
Q= 1/3 Q= 1/√ 2 Q= 5
Fig. 8
(b) L’impédance de l’association série deL0etC0estjL0ω+ 1/(jC0ω): elle est nulle pourω00 = 1/√
L0C0.
(c) On exprime la fonction de transfert :
Hcb= 1− 1 1 +jQ0
ω
ω00 −ωω00= jQ0
ω ω00 −ωω00 1 +jQ0
ω
ω00 −ωω00= 1
1− j
Q0
ω ω0 0
−ω 0 ω0
→Hcb= 1 s
1 + 1
Q2
ω ω0 0
−ω 00 ω
2
(12)
Les pulsations pour lesquellesH= 1/√
2sont celles pour lesquellesQ ω
ω00 −ωω00
=±1. Les cal- culs sont les mêmes que pour la finesse du filtre passe-bande faits en cours : les solutions positives sont :
ω±= ω00 2Q0
p1 + 4Q02±1
→f+=5,45 kHz f−=4,65 kHz→f+−f−= f00 Q0. (13)
III Écrêtage du filtre original
III.1. Le montage devient celui de la figure 9. Attention, sa fonction de transfert n’est pas le produit de celle du passe-bas par celle du coupe-bande puisque le passe-bas n’est pas en sortie ouverte.
(a) On doit choisir la fréquence centrale du coupe bande pour qu’elle coïncide avec la fréquence ω0
du passe-bas du 2ndordre, soit :
ω00=ω0→LC=L0C0. (14)
En effet, comme l’impédance de l’associationL−Csera nulle pour cette fréquence, la tension en sortie de filtre y sera nulle.
(b) Les expressions (14) assurent que plusQ0est grand plus les fréquencesf+etf−sont proches.
AugmenterR0diminueraQ0et élargira donc la zone coupée, ce qui diminue également les valeurs maximales atteintes par le coupe-bande comme on le voit sur la figure 10.
Ie R L
C U1 R0
L0
C0 Is= 0
Ue Us
Fig. 9 : Filtre passe-bas de la figure 1 rectifié par le coupe-bande de la figure 4.
10−1 100 101
−40
−30
−20
−10 0 10
ω/ω0 GdB
Q0= 5 Q0= 1
Fig. 10 : Effet du facteur de qualité du filtre coupe-bande sur le passe-bas rectifié.
III.2. (a) L’impédance de l’association sérierL−L0−C0est : Z=rL+jL0ω+ 1
jC0ω =
ω=ω00
rL (15)
La fonction de transfert du filtre coupe-bande a donc pour valeur, en ω=ω00 : H0= Z
Z+R0 =
ω=ω00
rL
rL+R0 6= 0, (16) dont le minimum n’est plus nul. On imagine alors que l’annulation de la tension de sortie enω0de la pulsation n’est plus possible. On le confirme en calculant explicitement la fonction de transfert du filtre de la figure 9.
L’expression de l’équation (16) permet de calculer l’amplitude du filtre de la figure 9. On a en effet, en notantZ0l’impédance de l’association parallèle du condensateurCet de l’association série de R0,L0etC0:
H= Us
U1
U1
U2
=H0 Z0 Z0+R+jLω. On calcule par ailleurs :
1
Z0 =jCω+ 1
R0+jL0ω+jC10ω+rL ω=ω=0
jCω0+ 1 R0+rL
→Z0 =
ω=ω0
R0+rL
1 +j(R0+rL)Cω, soit, pourLC ω02= 1, en utilisantQ=L ω0/R= 1/(RC ω0):
H =
ω=ω0
rL
rL+R
R0+rL
R0+rL+R+jLω+jR(R0+rL)Cω−(R0+rL)LCω20
= rL
R+jLω0+jR(R0+rL)Cω0
= rL/R 1 +j
Q+R0QR+rL
→GdB= 20log(rL/R)−10log 1 +
Q+R0+rL
QR 2!
. (17)
Cette expression de la fonction de transfert n’est effectivement plus nulle nω=ω0. (b) En supposant(rL+R)/(QR)Q, on aGdB '20log(rL/R)−10log 1 +Q2
et on calcule alorsGdB=−30 dB pourrL/R=0,2 soitrL=3,2 Ω. On vérifie que l’hypothèse est bien légitime puisque pour ces valeurs(R+rL)/(QR)'1/QQpourQ=6,3.
(c) L’expression précédente donne, pour avoir GdB= 0enω=ω0:
rL=Rp
1 +Q2=319 Ω. (18) Le calcul sans approximation donnerL=385 Ω.
On représente sur la figure 11 le diagramme de
Bode correspondant.
10
−110
010
1−40
−30
−20
−10 0
ω/ω
0G
dBFig. 11 : Rectification de la résonance d’un passe- bas du 2eordre par un coupe-bande pour obtenir un gain nul enω=ωc.
Correction du problème 2
I Comportement temporel d’un filtre du 1
erordre
I.1. (a) On reconnaît un filtre passe-bas du premier ordre, de pulsation de coupureωc. (b) Son diagramme de Bode est représenté sur la figure 12.
(c) On peut par exemple le réaliser avec le montage représenté sur la figure 13 dont on vérifie rapidement les comportements asymptotiques.
L
R s(t) is= 0
e(t)
Fig. 13
I.2. (a) Pour ω=ωc/10, on peut considérer ω/ωc '1et doncH '1. La sortie est donc identique à l’entrée :
us=U0cos(ωt). (19)
(b) Pourω=ωc, on a :
H= 1
1 +j =e−jπ/4
√2 →us= U0
√2sin(ωt−π/4). (20)
10−2 10−1 100 101 102
−40
−20 0
100 101
−20 dB
·d
´ecade
−1
−3 dB
ω/ωc
GdB
(a)
10
−210
−110
010
110
2−
π2
−
π4
0
10
0ω/ ω
cϕ
(b) Fig. 12 : Diagramme de Bode d’un passe-bas du 1erordre.
Pourω= 10ωcon peut considérerω/ωc1soit :
H'−j
10 =e−jπ/2
10 →us=U0
10sin(ωt−π/2) =U0
10cos(ωt). (21)
I.3. Le signal créneau en entrée dans cette question n’est pas sinusoïdal. On doit donc considérer sépa- rément l’effet du filtre sur chacun de ses harmoniques. Le signal d’entrée est périodique de période T1/ωc. Il se compose d’un signal constant àU0≡0,5 V et d’un créneau symétrique oscillant entre
−U0=−0,5 V etU0=0,5 V de périodeT.
Dans tous les cas la composante constante est transmise à l’identique par le filtre : le signal en sortie comportera donc une composante constante àU0=0,5 V. L’effet du filtre sur la composante variable dépendra quant à lui de la pulsation de cette dernière.
(a) On a ici ω= 2π/T ωc. Tous les harmoniques de pulsationk ωaveck∈ Nsont donc dans le domaine où le filtre est intégrateur car pourωωc, on aH'ωc/(j ω). La composante variable est donc intégrée selon :
Us= ωc
jωUe→dus
dt =ωcue→us(t)−us(t0) =ωc t
Z
t0
ue(t)dt. (22)
Le signal de sortie est donc triangulaire (voir la figure 14). Pour déterminer l’amplitude, on in- tègre entret=T/4(où le signal vaut sa valeur moyenneU0≡0,5 V) etT/2où il est maximal en Usmax. On a donc :
Usmax−U0=ωcU0T
4 . (23)
0,5 1 1,5 2
0 Umin
U0
Umax
t/T us
Fig. 14
(b) Quand maintenantT ωc 1, la fréquence du créneau est très faible devant ωc. Les premiers harmoniques du créneau sont dans le domaine passant et seuls les harmoniques de rang élevé sont amortis : le signal est donc très proche du créneau original. Plus précisément, on peut revenir à l’équation différentielle complète du filtre :
us+ 1 ωc
dus
dt =ue(t). (24)
Sur l’intervalle]0 ;T/2],ueest constant à2U0, les solutions sont donc de la forme :
us= 2U0+Ae−t/τ avec:τ= 1 ωc
, (25) avecAune constante dépendant des conditions initiales. On vérifie que la solution pour touttest la fonction périodique de périodeT définie sur ]0 ;T]par (et illustrée sur la figure 15) :
(t in]0;T/2] us = 2U0 1−e−ωct
t in]T/2;T] us = 2U0e−ωc(t−T/2) (26) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 0
1/(ωcT) 2U0
t/T us
Fig. 15
II Détermination d’un filtre
II.1. (a) Sur la figure 6c on lit 2 périodes pour une durée de 1,33·10−3s, soit une fréquence de 1,5·103Hz.
On peut également mesurer de même sur la figure 6a une fréquence de 60 Hz et sur la figure 6b une fréquence de 210 Hz.
(b) On observe que pour un signal d’entrée linéaire croissant, la sortie ressemble à une parabole de coefficientapositif : on peut supposer que le filtre a un comportement intégrateur.
II.2. On observe que le signal de sortie est la superposition d’un créneau et de régimes pseudopériodiques amortis. En négligeant ces derniers, le filtre transforme un signal linéaire en un signal constant : on peut supposer qu’il a un comportement dérivateur.
II.3. (a) Le filtre est intégrateur pour les basses fréquences (figure 6a) et dérivateur pour les hautes fré- quences (figure 6c). On peut s’attendre à un filtre passe-bande du 2eordre, dont la fonction de transfert estH2.
(b) Cette fonction de transfert a pour approximations :
H2 '
ωω0
jω Qω0
H2 '
ωω0
ω0
jQω (27)
On peut donc écrire pour les harmoniques d’un signal non sinuoïdal :
Qω0us '
ωω0
due
dt
ω0ue
Q '
ωω0
dus
dt . (28)
Pour les signaux de la figure 6a, en notantUU BF l’amplitude du créneau etp =240 V·s−1la pente du triangle, on a :
Qω0UU BF =p→Qω0= p UU BF
=2,4·102V·s−1
17·10−3V =1,4·104rad·s−1. (29) Pour les signaux de la figure 6c, la sortie est composée d’arches de paraboles qu’on peut écrire (pour la première période) :
us =
t∈[0;T/2]
a 2x
x−T
2
us =
t∈[T/2;T]−a 2(x−T)
x−T
2
avec:a= ω0p Q . (30) Sans perte de généralité, on vérifie qu’elles vérifient en effet pourt ∈ [0 ;T/2]: dus
dt =ax = ω0px
Q . L’extension aux autres arches est immédiate au moyen d’un changement de variable. De plus la fonction ainsi définie est bienC1puisque leurs valeurs et celles de leurs pentes sont les mêmes au point de raccordement.
L’amplitude de ces arches de sinusoïde est immédiatement atteinte (au signe près) ent=T/4où on aus≡ −UHF=−aT2/16 =−1,73·10−1V. Ici, la pente vaut désormaisp=6,0·103V·s−1 et on calcule donc :
ω0p
Q =16UHF
T2 →ω0
Q =16UHFf2
p =16×1,73·10−1V×(1,5·103Hz)2
6,0·103V·s−1 =1,0·103rad·s−1. (31)
On calcule alors :
Q= sQω0
ω0/Q=
s1,4·104rad·s−1
1,0·103rad·s−1 =3,7; (32)
f0= 1 2π
s f0
QQf0= 1 2π
q1,4·104rad·s−1×1,0·103rad·s−1=6,0·102Hz. (33)
Remarque :Les valeurs utilisées dans la simulation étaient en faitQ=3 etf0 =750 Hz. L’écart avec les mesures tient principalement au fait que dans le cas de la figure 6c, on n’était qu’àf = 2f0 donc à la limite dans le domaine intégrateur. On peut également observer une illustration de cette imperfection de l’intégrateur dans le fait que les arches de parabole sont légèrement « en retard » par rapport aux segments rectilignes des triangles : les zéros des paraboles ne coïncident pas exactement avec les extremas du signal d’entrée.
(c) On peut réaliser ce passe-bande d’ordre 2 avec un circuit RLC série, pour lequel on a :
f0= 1 2π√
LC Q=Lω0
R =2π R
rL
C →f0Q= 1 RC
f0
Q = R
4π2L (34) On a trois dipôles à choisir et seulement deux conditions imposées (f0etQ), on peut donc fixerR par exemple. En choisissantR=50 Ω, on calcule :
C=9,0·10−6F L=7,8·10−3H. (35) II.4. (a) Pourω=ω0, le fondamental est transmis avec un gainGdB= 0, le premier harmonique (de rang
k= 3) est amorti d’un facteur1/p
1 +Q2(k−1/k)2 '1,2·10−2. On peut considérer qu’il est très diminué, de même que les rangs supérieurs, de telle sorte que le signal en sortie se résumera au fondamental, sinusoïdal à la fréquencef0.
(b) La fréquence du signal d’entrée est 210 Hz. On observe principalement une sinusoïde à'200 Hz et une autre à'600 Hz. Cette dernière est le troisième harmonique et sa fréquence est proche de celle de la fréquencef0du filtre : elle est donc faiblement atténuée. La première correspond au fondamental qui est dans la bande coupée, elle est suffisamment atténuée pour que son amplitude devienne comparable au 3eharmonique.
