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RAPPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES
Ce chapitre contient essentiellement des rappels sur des notions rencontrées au lycée, même si elles n’ont pas nécessairement été formalisées de la sorte.
Il s’agit principalement de techniques de calcul afin de clarifier ce qu’on a le droit de faire et ce qu’on n’a pas le droit de faire, par exemple lors de la résolution d’une équation ou d’une inéquation.
La plupart des règles énoncées ici doivent vous paraître évidentes, et si elles ne le sont pas maintenant, il faudra qu’elles le deviennent rapidement.
Que vous soyez capables de me réciter ces règles par cœurne m’intéresse pas, ce qu’il
faut, c’est que vous soyez capables de les utiliser à bon escient quand vous en aurez besoin1 1Et accessoirement que les calculs que je ferai en cours vous semblent naturels et que vous ne passiez pas 5 minutes à vous demander comment j’ai fait à chaque ligne de calcul.
. Plusieurs résultats restent admis pour le moment, mais seront démontrés plus tard dans l’année.
1.1 ENSEMBLES DE NOMBRES
1.1.1 Ensembles usuels
La construction des ensembles de nombres usuels n’est pas au programme de sup, et donc à aucun moment nous ne définirons proprement ce qu’on appelle un entier naturel ou un réel. Vous avez déjà, sans n’avoir jamais eu le besoin de la formaliser, une excellente intuition de ce que sont ces ensembles et des règles de calcul qui y sont valables. Nous nous contentons donc de rappeler les notations en vigueur pour ces ensembles de nombres :
I Rdésigne l’ensemble des nombres réels.
I Cdésigne l’ensemble des nombres complexes.
I Ndésigne l’ensemble des nombres entiers. naturels2 :N={0,1,2,3, . . .} 2C’est-à-dire positifs.
I Zdésigne l’ensemble des nombres entiers relatifs :Z={. . . ,−2,−1,0,1,2, . . .}. I Qdésigne l’ensemble des nombres rationnels, c’est-à-dire ceux qui s’écrivent sous
forme de fraction dont le numérateur et le dénominateur sont entiers.
On a donc des inclusionsN⊂Z⊂Q⊂R⊂C.
C
i
−1+2i
eiπ3 R
√2
π
e−1 Q
1 2
−11 3 101 102 Z
−1
−12
−42 N42 1 02
FIGURE 1.1 – Les inclusions entre les ensembles usuels. Notons que toutes ces inclusions sont strictes : il n’y a pas égalité entre deux de ces ensembles.
Il est souvent délicat de prouver qu’un nombre est irrationnel3 3C’est-à-dire qu’il n’est pas rationnel, donc pas le quotient de deux entiers.
, mais que vous connaissez déjà de tels nombres, par exemple√2,π,e. Les preuves de leur irrationalité seront données plus tard.
On note égalementC∗l’ensemble des complexes non nuls, et de même on noteR∗,Q∗et N∗.
On noteR+ =[0,+∞[l’ensemble des réels positifs etR−=]− ∞,0]l’ensemble des réels
négatifs. De mêmeR∗+=]0,+∞[etR∗−=]− ∞,0[. On ne parle pas du signe d’un complexe, donc les notationsC+,C−, etc n’ont aucun sens.
EtC ?
1.1.2 Intervalles de R, parties majorées, minorées, bornées
Définition 1.1 –Un ensembleI ⊂Rest appelé unintervalle de Rsi quels que
soientxetydansI vérifiantx 6y, sizest un réel tel quex 6z6y, alorsz∈I. Cela signifie qu’il n’y a pas de
«trous» dansI : dès que deux nombres sont dansI, tous les nombres compris entre ces deux nombres sont aussi dans I.
Intuitivement
Exemples 1.2
IR+est un intervalle car six <ysont deux nombres positifs, et six 6z6y, alors z>x >0, doncz∈R+.
II =[−2,1[est un intervalle. En effet, six 6ysont dansIet six 6z6y, alors
−26x 6z6y<−1⇒ −26z<−1⇒z∈I.
IR∗n’est pas un intervalle, car−1∈R∗, 1∈R∗,−16061, et pourtant 0<R∗. Il est facile de classifier les intervalles deR, c’est l’objet de la proposition suivante, qui sera démontrée plus tard.
Proposition 1.3 : SiI est un intervalle non vide deR, alorsI est de l’une4des formes 4Et une seule !
suivantes :
I intervalles ouverts :
• ]− ∞,+∞[=R
• ]− ∞,a[={x ∈R|x <a}, aveca∈R
• ]a,+∞[={x ∈R|x >a}, aveca∈R
• ]a,b[={x ∈R|a<x <b}, oùaetbsont deux réels tels quea6b.
I intervalles fermés :
• [a,b]={x ∈R|a 6x 6b}, aveca 6b. Un tel5intervalle est appelé un 5Fermé et sans borne infinie.
segment.
• ]− ∞,a]={x ∈R|x 6a}, oùa∈R
• [a,+∞[={x ∈R|x >a}, oùa∈R I intervalles semi-ouverts :
• ]a,b]={x ∈R|a<x 6b}(semi-ouvert à gauche)
• [a,b[={x ∈R|a6x <b}(semi-ouvert à droite)
Remarques. On vous expliquera l’an prochain queRest aussi un intervalle fermé, mais cela n’a aucune importance pour l’instant.
Notons que les singletons, c’est-à-dire les ensembles ne contenant qu’un seul nombre sont aussi des intervalles. En effet,{a}=[a,a].
Enfin, on utilisera souvent la notation avec des doubles crochets pour désigner des intervalles d’entiers : siaetbsont deux entiers relatifs aveca6b, alors on note
na,bo={n∈Z|a6n6b}={a,a+1,· · ·,b−1,b}. Par exemple,n2,6o={2,3,4,5,6}.
On n’utilisera les doubles crochets que pour écrire des intervalles fermés.
Par exemple on évitera d’écrireo3,8o. De toutes façons l’ensemble qu’on au- rait envie d’écrire ainsi n’est autre quen4,8o.
Remarque
Définition 1.4 –SoitAune partie6 6C’est-à-dire un ensemble formé de nombres réels.
deR.
1. on dit queAestmajorées’il existeM∈Rtel que pour toutx ∈A,x 6M. Un telM, s’il existe, est alors appelé unmajorantdeA.
2. on dit queAestminorées’il existem∈Rtel que pour toutx ∈A,m6x.
Un telm, s’il existe, est alors appelé unminorantdeA.
3. on dit queAestbornéesi elle est à la fois majorée et minorée. C’est-à-dire s’il existe deux réelsmetMtels que pour toutx ∈A,m6x 6M.
Remarques. IDans la définition de partie majorée,M ne peut pas dépendre dux choisi dansA, il faut que ce soit le même pour tous lesx ∈A.
Par exemple, il est hors de question de dire queRest majorée au prétexte que pour tout x∈R, si on poseM =x+1, alorsx 6M, car alorsM dépend dex.
IUne partieAdeRest majorée si et seulement si il existe un majorant deA.
ISiAest une partie majorée deR, alors elle possède une infinité de majorant7 7Et donc on prendra soin de parler d’unmajorant deAet nondumajorant deA.
En effet, siM est un majorant deA, alors pour tout réel M0 > M, et pour toutx ∈ A, x 6M6M0. Et donc tous les éléments de[M,∞[sont encore des majorants deA.
Exemples 1.5
IR∗+n’est pas majoré. En effet, supposons par l’absurde qu’il existeM ∈Rmajorant A. Puisque 1∈R∗+, on a donc 16M
Et doncM<M+1
|{z}∈R∗+
, contredisant la définition de majorant.
ILes seuls intervalles bornés deRsont les intervalles de la forme]a,b[,]a,b],[a,b[ ou[a,b], aveca<b.
De même, les seuls intervalles majorés sont ceux dont la borne de droite est un réel, c’est-à-dire ceux qui sont bornés ou ceux de la forme]− ∞,a]ou]− ∞,a[.
1.2 RAPPELS CALCULATOIRES
1.2.1 Puissances, racines carrées
Définition 1.6 –Six > 0, alors on note√x, et on appelleracine carrée dex l’unique nombre positif dont le carré vautx.
B
Si on a toujours8 8C’est la définition de laracine carrée.
, pourapositif,(√
a)2=a, on n’a pasx2=a⇔x=√a, mais x2=a⇔(x=√
aoux =−√ a). En revanche, pourx >0, on a bienx2=a⇔x=√a.
Proposition 1.7 :Pourx,ypositifs, on a√xy=√
x√yet siy,0,rx y =
√x
√y.
En revanche, on n’a générale- ment pas
√x+y=√ x+√y ni√x−y=√
x−√y.
ADanger !
Démonstration. Le réel√x√yest positif, et son carré est
√x√y2
= √x2 √y2
=xy
donc nécessairement9 9Car il existe ununiqueréel
positif de carré égal àxy.
,√x√y=√xy.
On raisonne de même pour le quotient.
Vous connaissez déjà bien entendu√1=1,√4=2, . . . ,√81=9 et√100=10.
Si vous ne les connaissez pas déjà, il est conseillé d’apprendre√
121=11⇔112=121,
√144=12⇔122=144 et√169=13⇔132=169.
Un moyen souvent pratique de simplifier une expression contenant une somme ou une différence de racines est de faire apparaître la quantité conjuguée, où la quantité conjuguée de√a+√
best√a−√
bet vice-versa. La quantité conjuguée est
obtenue en changeant le signe entre les deux racines.
Autrement dit
Exemple 1.8 On a
√5−1
√5+1−8√
5= (√ 5−1)2 (√
5+1)(√
5−1)−8√ 5
= 5−2√5+1 (√
5)2−12 −8√ 5
= 3 2−
√5 2 −8√
5= 3 2−17√
5 2 . Enfin, quelques rappels sur les puissances :
Définition 1.9 –Pourx ∈Retn∈N, on note
xn =
1 sin=0
x·x· · ·x
| {z }
nfois
sin>0 0nest toujours nul, sauf
sin = 0 : par définition, 00=1.
En particulier
Sixest non nul, et sinest un entier strictement négatif, alors on note xn = 1
x
!−n
= 1 x·x· · ·x
| {z }
nfois
.
Proposition 1.10 :Pourx,y∈Retm,ndansN, on a
xm+n =xm·xn,xmn =(xm)n=(xn)m et(xy)n =xnyn.
La puissancenèmed’une somme n’est pas la somme des puissancesnèmes : en général
(x+y)n,xn+yn.
ADanger !
Si de plusxetysont non nuls, alors ces formules restent valables pourm,ndansZ.
Exemple 1.11
Pour toutn∈N, on a 3·16n+1+(−4)2n+1+(−2)4n
8n−(−2)3n+2 = 3·16·16n−4· 42n
+ 24n
8n−4· (−1)3n
· 23n
= 16n(3·16−4+1) 8n 1+(−1)n+1·4
= 16n 8n
3·15 1+4·(−1)n+1
= 16 8
!n 45
1+4·(−1)n+1 =
−15·2n sinest pair 9·2n sinest impair
1.2.2 Équations et égalités
Résoudre une équation d’inconnuex, c’est déterminer l’ensemble (généralement notéS) des valeurs de l’inconnuex satisfaisant l’équation. Autrement dit, on veut avoir l’équiva- lence : «x satisfait l’équation»⇔x ∈S.
Nous formaliserons un peu plus tard la notion d’équivalence logique, mais cela signifie
queSdoit contenirtoutesles solutions de l’équation, et rien d’autre.
Exemples 1.12
Par exemple, si on s’intéresse à l’équationx2 =4 d’inconnuex ∈ R, alors 2 est clairement solution. Mais on n’en conclut pas queS={2}, car on oublierait alors l’autre solution réelle qui est−2.
Autrement dit, on ax =2⇒x2=4, mais pasx =2⇔x2=4.
Six=2, alorsxest solution.
En revanche,sixest solution, alorsxn’est pas nécessaire- ment égal à 2.
En français
Ce qui est correct, c’est que
x2=4⇔(x=2oux =−2)⇔x ∈{−2,2}. Donc l’ensemble des solutions dex2=4 estS={−2,2}. De même, si on s’intéresse à l’équationx−2=√
x+10, alors on peut remarquer
que six est solution, puisque10 10Une racine carrée est tou-
jours positive par définition.
√x+10>0, alorsx−2>0, et doncx >2.
Ceci ne prouve surtout pas queS=[2,+∞[. En effet, nous avons prouvé que les solutions éventuelles de l’équation sont dans[2,+∞[. Mais pas que tous les réels de [2,+∞[sont des solutions de l’équation.
Autrement dit,x−2=√
x+10⇒x >2, l’implication réciproque étant fausse11 11Par exemplex =3 n’est pas solution, bien qu’étant supérieur à 2.
DoncS⊂[2,+∞[, mais cette inclusion n’est pas une égalité. . En revanche, le raisonnement suivant est correct :
x−2=√
x+10⇔ f
x−2>0et(x−2)2=x+10g
⇔ f
x >2etx2−5x−6=0g . Une résolution de l’équationx2−5x−6=0, de discriminant 49 nous donne alors deux solutions qui sont 6 et−1.
Et doncx−2=√
x+10⇔[x >2et(x=6oux =−1)⇔x=6]. Et par conséquent, l’ensemble des solutions de l’équation estS={6}.
Le recours aux équivalences, bien que pratique12 12À condition d’être à l’aise avec les équivalences...
n’est pas obligatoire.
On peut aussi raisonner de la manière suivante : x−2=√
x+10⇒(x−2)2=x+10⇔x2−5x−6=0⇔[x =6oux=−1]. Notons que la première flèche étant seulement une implication, et pas une équiva- lence, même si les autres sont des équivalences, nous avons «seulement» prouvé
x−2=√
x+10⇒(x =−1oux =6).
Donc les solutions de l’équation13ne peuvent valoir que−1 et 6. 13S’il en existe !
Reste à vérifier si−1 et 6 sont des solutions.
Pourx =6, on ax−2=4 et√
x+10=√
16=4=x−2, donc 6 est solution.
Pourx=−1, on ax−2=−3 et√
x+10=√
9=3,−3, donc−1 n’est pas solution.
Et donc l’ensemble des solutions de l’équation estS={6}.
Généralement, le contexte14 14L’énoncé dans le cadre
d’un exercice.
nous dit dans quel ensemble se trouve l’inconnuex, notam- ment si on cherche des solutions réelles, complexes, ou entières.
Exemple 1.13
Prenons l’exemple de l’équationx4=4. On a x4=4⇔(x2)2−22=0
⇔(x2−2)(x2+2)=0
⇔x2−2=0oux2+2=0
⇔x2=2oux2=−2.
Si on cherche les solutions réelles, alorsx2 =−2 n’a pas de solution, et les deux solutions dex2=2 sont√
2 et−√
En revanche, si on cherche les solutions complexes, alors les solutions de2. x2=2 sont toujours√2 et−√2, maisx2=−2 possède deux solutions qui sonti√2 et−i√2.
Donc l’ensemble des solutions complexes dex4=4 est(√ 2,−√
2,i√ 2,−i√
2) .
On commencera toujours la résolution d’une équation (ou d’une inéquation) par la re- cherche du domaine de validité de l’équation, c’est-à-dire les valeurs dex pour lesquelles l’équation a un sens (à bien distinguer des valeurs pour lesquelles elle est vraie, qui sont les solutions).
Par exemple, une équation avec un logarithme n’a de sens que si la quantité située dans le logarithme est strictement positive. De même s’il y a des racines.
Exemple 1.14
Considérons l’équation 2 ln(x)+ln(2x+5)=ln(2−x).
Elle n’est valable que si on a à la foisx > 0,2x +5 > 0 et 2−x > 0, soit si et seulement six∈]0,2[.
Pourx ∈]0,2[, on a alors :
2 ln(x)+ln(2x+5)=ln(2−x)⇔ln
x2(2x+5)
=ln(2−x)
⇔x2(2x+5)=2−x
On a bien une équivalence car la fonction ln est stricte- ment croissante, et donc ne prend pas deux fois la même valeur.
Détails
⇔2x3+5x2+x−2=0.
Notons que−1 étant solution de cette équation, le membre de gauche se factorise parx+1 : 2x3+5x2+x−2=(x+1) 2x2+3x−2
.
Et alors, un calcul de discriminant nous donne 2x2+3x−2=0⇔x=−2oux =1 2. Donc bien que l’équation(x+1)(2x2+3x−2)=0 possède trois solutions, une seule d’entre elles est dans]0,2[, et donc notre équation de départ possède 1
2 comme uniquesolution.
Rappelons rapidement ce qu’on «a le droit de faire» lorsqu’on manipule des égalités15 15Et donc a fortiori lors- qu’on manipule des équa- tions.
.
Proposition 1.15 :Soienta,b,cdes réels. Alors I Sic,0, alorsa=b⇔ac=bc.
I a=b⇒a2=b2. Si de plusaetb sont de même signe, alorsa=b⇔a2=b2.
L’équivalence ne tient plus si aetbsont de signes opposés, par exemple 12=(−1)2mais 1,−1.
ADanger ! I ab=0⇔(a=0oub=0)a.k.a. «un produit est nul si et seulement si l’un de ses
facteurs est nul».
I Sib >0, alorsa=√
b⇔(a2=beta >0).
I Si f est une fonction, et queaetbsont dans le domaine de définition de f, alors a=b⇒ f(a)=f(b).
Si de plusf ne prend jamais deux fois la même valeur, et en particulier sif est stric- tement monotone (ce qui est notamment le cas des fonctions logarithme, exponentielle, cube et racine carrée, mais pas de la fonction carré), alorsa=b⇔ f(a)=f(b).
B
La réciproque du dernier point est généralement fausse : on ne peut pas en toute généralité affirmer que f(a)= f(b)⇒a =b. Pensez par exemple à la fonction carré, la fonction cos, ou pire, à une fonction constante.Ajoutons enfin une dernière propriété, plutôt intuitive, et que nous utiliserons régulière- ment :
Proposition 1.16 :Soientx1, . . . ,xn des réelspositifs. Alors x1+· · ·+xn =0⇐⇒x1=x2=· · ·=xn =0.
Autrement dit, une somme de nombres positifs est nulle si et seulement si tous ces nombres sont nuls.
Démonstration. Il est évident que si lesxi sont tous nuls, alors leur somme est nulle.
Inversement, supposons que l’un desxi soit non nul. Quitte à les renuméroter, on peut supposer qu’il s’agit dex1. Alorsx1>0 etx2>0, . . . ,xn >0.
Doncx1+· · ·+xn >x1+0+· · ·+0>x1>0.
Ainsi, si l’un desxi est non nul, leur somme est non nulle, ce qui signifie donc que si la
somme est nulle, alors tous lesxi sont nuls.
Remarque. La proposition reste valable si lesxi sont tous négatifs16 16Appliquer la proposition aux−xi.
, mais pas s’ils ne sont pas tous de même signe, comme le montre l’exemple 3+(−1)+(−2)=0...
Exemple 1.17
Cherchons les couples de réels(x,y)solutions de 5x2+y2−2xy−4x+1=0.
On ay2−2xy+x2=(y−x)2et 4x2−4x+1=(2x−1)2, donc l’équation de départ s’écrit encore(y−x)2+(2x−1)2=0.
Puisqu’un carré est un nombre positif, il vient donc (y−x)2+(2x−1)2=0⇔
(y−x)2=0
(2x−1)2=0 ⇔
y−x =0
2x−1=0 ⇔(x,y)= 1 2,1
2
! . Et ainsi l’équation possède une unique solution, qui est le couple 1
2,1 2
! .
1.2.3 Inégalités et inéquations
Les inéquations ne diffèrent pas vraiment des équations, si ce n’est que la manipulation des inégalités demande un peu plus de précaution que celle des égalités.
Rappelons rapidement les principales règles de manipulation des inégalités.
Proposition 1.18 :Soienta,b,c,d des réels. Alors
I Sia6b etc 6d, alorsa+c6c+d. (On peut ajouter des inégalités).
De même, sia 6b etc <d, alorsa+c <b+d. Et par conséquent, sia <b et c<d, alorsa+c <b+d.
La somme membre à membre de deux inégali- tés larges est une inégalité large.
En revanche, dès qu’au moins l’une des inégalités est stricte, alors la somme est une inéga- lité stricte.
En résumé
I Sic >0, alorsa6b⇔ac6bc.
Sic <0, alorsa 6b ⇔ac >bc. (Donc multiplier une inégalité par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité).
I Si0 6a 6b et0 6c 6d, alorsac 6bd. (On peut multiplier des inégalités formées de nombres positifs).
I Sif est une fonction croissante17 17Et queaetbsont dans le
domaine de définition def.
, alorsa6b⇒ f(a)6f(b).
Sif est strictement croissante, alorsa6b⇔ f(a)6f(b)eta<b⇔ f(a)<f(b). En particulier, la fonction carré étant strictement croissante surR+, sia etb sont positifs, alorsa6b⇔a26b2.
I Sif est une fonction décroissante, alorsa6b ⇒f(a)> f(b).
Il s’agit juste de la définition de fonction décroissante : une fonction décroissante est une fonction qui change le sens des inégalités.
Remarque
Si f est strictement décroissante, alors a 6 b ⇔ f(a) > f(b) et a<b⇔ f(a)>f(b).
Ceci vaut en particulier pour la fonction inverse, qui est décroissante surR∗+et sur R∗−, mais pas surR∗.
Donc siaetbsontde même signe, alorsa6b⇔ 1 a > 1
b.
B
Comme nous l’avons vu, il existe des règles pour ajouter ou multiplier des inégalités, nous n’en énoncerons pas concernant la soustraction ou le quotient d’inégalités, opérations qui demandent un peu de vigilance (en tous cas on ne peut surtout pas soustraire ou diviser membre à membre des inégalités).Nous avons mentionné que sif est croissante, on a seulement une implicationa 6b⇒ f(a)6f(b), et non une équivalence (alors que c’est le cas pour une fonction strictement croissante).
Autrement dit, on n’a pasf(a)6f(b)⇒a6b.
Par exemple, pour la fonction croissante dessinée ci-contre, on a f(a) 6 f(b)bien que a>b.
b a
Exemple 1.19
Supposons qu’on ait 26a65 et 16b63.
Pour encadrera−b, on procède de la manière suivante :
1. on commence par encadrer−b :−36−b 6−1 La multiplication par−1 change le sens de l’inégalité.
Détails 2. puis on ajoute les encadrements deaet de−b :
2−36a−b 65−1⇔ −16a−b64.
De même, pour encadrer le quotientab, on commence par encadrer1 b :1
3 6 1 b 6 1
1 puis on multiplie les inégalités : 2
3 6a b 65.
Rappelons également que les tableaux de signe sont un très bon moyen d’étudier le signe d’un produit ou d’un quotient, mais qu’ils ne sont utiles que dans ces cas là, et qu’on n’utilisera jamais de tableau de signe pour étudier le signe d’une somme(ou d’une différence).
Pour prouver une inégalité, il est parfois efficace de se ramener à l’étude du signe d’une fonction, qui peut alors s’obtenir en étudiant les variations de cette fonction
Exemple 1.20
Prouvons que pour toutx ∈R,ex >1+x.
On aex >1+x⇔ex−1−x >0.
Nous allons donc prouver cette seconde inégalité, et pour cela, définissons une fonctionf surRen posantf(x)=ex−1−x.
Alors f est dérivable surR, et f0(x)=ex−1. On a donc f0(x)>0⇔ex−1>0⇔ex >1⇔x >0.
Doncf est croissante surR+et décroissante surR−. Son tableau de variations est alors donné par :
FIGURE 1.2– La fonctionf.
x f0(x)
f(x)
−∞ 0 +∞
− 0 +
00
Ainsi le minimum def est égal à 0, de sorte que pour toutx ∈R, f(x)>0⇔ex >1+x.
Remarquons au passage que cette inégalité possède une interprétation géométrique très simple : la tangente à la courbe représentative Cde l’exponentielle en 0 est la droiteDd’équationy=x+1.
Et doncex >1+x signifie que Cest au-dessus deD, ce qui n’est finalement pas une surprise puisque la fonction exponentielle est convexe.
1
FIGURE 1.3– L’exponentielle et sa tangente en 0.
Établir des encadrements, des majorations ou des minorations est un art subtil, qui demande de faire des compromis entre d’une part la précision des inégalités («est-ce que je commets une grande erreur en majorantAparB ?» ou encore «est-ce queApeut être très proche deBou non ?») et d’autre part la rapidité et la facilité des calculs.
Exemple 1.21
Essayons d’encadrer la fonction f : x 7→ x+1+cos(x)
x2−x+2 sur le segment [1,2]. IPremière méthode : pour x ∈ [1,2], on a −1 6 cos(x) 6 1 et donc 16x+1+cos(x)64.
De même, 16x264 et−26−x 6−1, donc 16x2−x+265.
Par passage à l’inverse, on en déduit que1
5 6 1
x2−x+2 61.
Et donc pourx ∈[1,2],1
5 6 f(x)64.
ISeconde méthode : essayons d’encadrer plus subtilement le numérateur : soit д:x 7→x+1+cos(x). Alors sa dérivée estд0:x 7→1−sin(x)>0.
Doncдest croissante sur[1,2], et donc pourx ∈ [1,2],д(1) 6д(x) 6д(2). En notant que cos(1)>0 et cos(2)60, on arrive par exemple à 26д(x)63.
De même, la fonctionx 7→x2−x+2 est croissante sur[1,2], et donc pourx ∈[1,2], on a 2612−1+26x2−x+2622−2+264.
Donc au final, pourx ∈[1,2],12 6f(x)6 32. Notons que cet encadrement est plus fin que le précédent, mais qu’il a demandé un peu plus de travail.
Remarque
ITroisième méthode : le moyen d’obtenir un encadrement optimal, est de dres- ser le tableau de variations def, afin d’en déterminer le maximum et le minimum.
Mais ici le calcul def0nous fait rapidement comprendre qu’étudier son signe ne sera pas chose facile...
Pour l’avoir vérifié informatiquement, je sais qu’on trouverait alors quef est dé- croissante sur[1,2], et donc que pour toutx ∈ [1,2], f(2) 6 f(x) 6 f(1), avec f(1)'1.27 etf(2)'0.65.
1.2.4 Quelques compléments sur les polynômes
Définition 1.22 –Unefonction polynomiale Par abus de langage, on dit souvent «polynôme» au lieu defonction polynomiale.
Il existe une différence (sub- tile) entre les deux, que nous expliquerons plus tard dans l’année, et il m’arrivera sou- vent de dire polynôme au lieu de fonction polynomiale.
Terminologie est une fonction f de la forme
f :x 7→a0+a1x+a2x2+· · ·+anxnoùn∈N, eta0, . . . ,ansont des réels , qui sont appelés lescoefficients def de degré 0, de degré 1,. . ., de degrén.
Sian ,0, on dit quef est dedegrén.
On appelle alorsracine def tout réelxvérifiant f(x)=0.
Exemple 1.23
La fonctionf :x7→4x3−5x2+2 est une fonction polynomiale de degré 3.
Vous savez très bien étudier les fonctions polynomiales de degré 1, qui sont les fonctions affines, mais également les fonctions polynomiales de degré 2 auxquelles vous avez consa-
cré beaucoup18de temps en première. Vous savez notamment en dresser le tableau de 18Trop ?
variations, le tableau de signe, et en trouver les racines.
La recherche des racines des fonctions polynomiales de degré 3 ou 4 est bien plus fastidieuse (et nous ne verrons pas de formules générales), et celle des polynômes de degré 5 ou plus
est très difficile. On sait même qu’il n’existe
pas de formule générale (comme on connaît−b±√
∆ pour le degré 2) permettant2a de déterminer les racines d’un polynôme de degré 5 ou plus (théorème d’Abel).
Pour la culture En revanche, un principe général, que nous justifierons bientôt, mais qu’il faudrait maîtriser
rapidement est le suivant : sif est une fonction polynomiale dontα est une racine, alors f(x)se factorise par(x−α).
Plus précisément, sif est de degrén, alors f est le produit dex−αpar un polynôme de degrén−1.
Exemple 1.24
Soitf(x)=2x4−10x3+20x2−18x+6.
Alors on constate quef(1)=0, et donc 1 est une racine de f. Par conséquent,f(x) se factorise parx−1, sous la forme f(x)=(x−1)(ax3+bx2+cx+d).
De manière générale, pour étudier un polynôme de degré 3 ou plus, commencer par chercher une racine
«évidente», généralement parmi−2,−1,0,1,2.
Si vous en trouvez une, vous pourrez alors factoriser pour faire apparaître un polynôme de degré moins élevé.
Méthode
Pour trouvera,b,cetd, il faut développer cette expression et procéder par identifica- tion. Par exemple, lorsqu’on développe, le terme enx4estax4, donc nécessairement a=2.
Puis le terme enx3est−ax3+bx3 = (b −a)x3. Ce terme doit valoir−10x3, et puisquea=2, alorsb =−8.
En continuant ainsi, il vientf(x)=(x−1)(2x3−8x2+12x−6).
Mais on constate alors que 1 est encore racine de 2x3−8x2+12x−6, qui se factorise encore parx−1. Et alorsf(x)=(x−1)(x−1)(2x2−6x+6).
Un calcul de discriminant prouve alors que 2x2−6x+6=0 n’a pas de solution réelle, et donc que la seule solution réelle def(x)=0 estx =1.
La factorisation obtenue def nous permet également de dresser facilement son
tableau de signe19 19C’est d’ailleurs un bon
exercice.
.
Notons également que, quitte à faire un changement de variable, nombre d’équations se ramènent à une équation polynomiale.
Exemple 1.25
Résolvons l’équatione3x−2e2x+1=0.
PosonsX =ex, de sorte que l’équation s’écrit encoreX3−2X2+1=0.
Puisque 1 est clairement racine du polynômeX3−2X2+1, celui-ci se factorise par X −1 :X3−2X2+1=(X −1)(X2−X −1).
Et doncX3−2X2+1=0⇔X =1ouX2−X−1=0.
Les racines deX2−X−1 sontX1= 1+√ 5
2 etX2= 1−√ 5 2 .
Il ne faut alors pas oublier de revenir à la variable de départ20 : on a donc 20Icix.
e3x−2e2x+1=0⇔ex ∈
1,1+√ 5 2 ,1−√
5 2
.
Une exponentielle étant toujours positive, on ne peut avoirex =1−√5 2 . Et on aex =1⇔x =0 etex =1+√5
2 ⇔x =ln* ,
1+√5
2 +
- . Ainsi, l’ensemble des solutions de l’équation de départ est
0,ln*
, 1+√
5
2 +
-
.
1.2.5 Prouver des identités
La maîtrise du calcul n’est pas seulement nécessaire pour résoudre des équations ou des inéquations, et on vous demandera souvent de prouver des égalités/inégalités valables dans un contexte plus ou moins général.
Cela demande souvent un peu d’intuition pour partir dans la bonne direction.
Il existe tout de même une méthode qui fonctionne assez souvent, et peut constituer un bon point de départ lorsqu’on n’a pas d’idée : utiliser des équivalences.
En effet, dans un raisonnement par équivalences, la proposition21de départ est vraie si et 21Égalité ou inégalité.
seulement si la proposition d’arrivée est vraie.
Et donc une option est de transformer l’identité de départ par équivalences jusqu’à arriver à une identité que l’on sait prouver, ou qui est trivialement vraie.
Exemple 1.26
Prouvons que pour tous réelsa,b,c, on aa2+b2+c2>ab+ac+bc. On a
a2+b2+c2>ab+ac+bc⇔a2+b2+c2−ab−ac−bc >0
⇔2
a2+b2+c2−ab−ac−bc
>0
⇔
a2+b2−2ab +
a2+c2−2ac +
b2+c2−2bc
>0
⇔(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2>0.
Cette dernière inégalité est trivialement vraie, puisqu’un carré est toujours positif, donc l’inégalité de départ est vraie.
Enfin, touchons deux mots du principe de substitution : si vous savez qu’une identité est
vraie22 22Je pense notamment aux
identités remarquables que vous connaissez déjà.
pour toutx, alors vous pouvez donner àx la valeur de votre choix, même si cette valeur dépend d’autres variables.
Exemple 1.27
Sixetysont deux réels, alors(x−y)2>0⇔x2−2xy+y2>0⇔2xy6x2+y2. Cette inégalité est très clas- sique et à savoir redémontrer si besoin.
Astuce En particulier, siaetbsont deux réels strictement positifs, alors en substituantaàx
etb2ày, on a
a2+b4=a2+ b22
>2ab2. De même, on aa4+b2= a22
+b2>2a2b. En passant à l’inverse, on en déduit que 1
a2+b4 6 1
2ab2et 1
a4+b2 6 1
2a2b. Et donc a
a4+b2+ b
a2+b4 6 a 2a2b + b
2ab2 6 1 2ab + 1
2ab 6 1 ab.
Nous venons donc de prouver que pour tous réels strictement positifsaetb, a
a4+b2 + b
a2+b4 6 1 ab.
1.3 VALEUR ABSOLUE, PARTIE ENTIÈRE
1.3.1 Valeur absolue
Définition 1.28 –Soitx∈R. On appellevaleur absolue dexet on note|x|le réel positif défini par
|x|=
x six >0
−x six <0
Passer à la valeur absolue, c’est «juste» enlever un éven- tuel signe moins.
Intuition
Exemple 1.29 On a
1 2
=1
2,|3|=3 et pourn∈N,|(−1)n|=1.
Remarques. IUne valeur absolue est toujours un nombre positif.
I|x|est le plus grand des deux nombresx et−x. Autrement dit,|x|=max(x,−x).
Proposition 1.30 :Soientaetbdeux réels. Alors i) a6|a|
ii) |a|2=a2et donc|a|=√ a2 iii) |ab|=|a|·|b|
iv) sib ,0, alors a b
=|a|
|b| v) |a|=|b|⇔(a=boua=−b)
vi) Sib >0, alors|a|6b⇔ −b 6a6b et|a|>b⇔(a >boua 6−b).
Ces inégalités restent valables si l’on remplace les inégalités larges (6) par des inégalités strictes (<).
Démonstration. i)Sia >0, alors|a|=a, et donca 6|a|. Et sia60, alorsa606|a|.
ii)Sia>0, alors|a|2=a2et sia60, alors|a|2=(−a)2=a2.
Par conséquent,|a|est l’unique nombre positif dont le carré vauta2 : c’est√ a2. iii)Sia>0 etb >0, alorsab >0, et donc|ab|=ab=|a|·|b|.
Sia>0 etb 60, alorsab 60, et donc|ab|=−ab=a×(−b)=|a|·|b|. On traite de même les deux cas restants.
iv)Sib>0, alors 1
b >0, et donc 1 b
=1 b. Sib <0, alors 1
b <0 et donc 1 b
=−1 b = 1
−b = 1
|b|. Donc dans tous les cas
1 b
= 1
|b|et par conséquent23 23En utilisant le point iii)
pour la valeur absolue du produit.
a b
=
a×1 b
=|a|· 1 b
=|a|1
|b| =|a|
|b|. v)Puisque|a|et|b|sont positifs, on a
|a|=|b|⇔|a|2=|b|2
⇔a2=b2⇔a2−b2=0
⇔(a−b)(a+b)=0
⇔a−b=0oua+b =0
⇔a=boua=−b.
vi)On a|a|6b⇔|a|26b2⇔a26b2.
Et alors il est bien connu que ceci équivaut à−b6a6b.
Si vous tenez absolument à redémontrer ceci : utilisez a26b2⇔(a−b)(a+b)60 et un tableau de signe vous aidera à conclure.
Arnaque ?
B
En particulier, on prendra garde au fait que la fonctionx 7→|x|n’est pas croissante, c’est-à-dire qu’on n’a pasa6b⇒|a|6|b|.Par exemple−261 mais on n’en déduira pas que|−2|6|1|.
Définition 1.31 –Six etysont deux réels, le nombre (positif )|x−y|est appelé distance entrexety.
|x−y|
x• •y
FIGURE 1.4 –|x−y|est la longueur du segment joignantx ày.
Exemple 1.32
On a|x−1|62⇔ −26x−162⇔ −16x 63.
Autrement dit, si et seulement si la distance entrexet 1 est inférieure ou égale à 2.
2 2
−•1 •1 •3
Théorème 1.33 (Inégalité triangulaire) :Soientaetbdeux réels. Alors
|a+b|6|a|+|b|.
De plus on a|a+b|=|a|+|b|si et seulement siaetb sont de même signe.
Démonstration.
|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2ab=|a|2+|b|2+2ab.
Mais24 24Il est évident que pour
toutx ∈R,x 6|x|(distin- guer deux cas suivant le signe dex).
ab 6|ab|6|a|·|b|.
Et donc|a+b|26|a|2+|b|2+2|a|·|b|=(|a|+|b|)2. Par stricte croissance de la fonction racine, on a donc
|a+b|6
|a|+|b|
=|a|+|b|.
De plus, il y a égalité si et seulement si l’inégalitéab 6|ab|est une égalité, c’est-à-dire si et seulement siab>0, soit si et seulement siaetbsont de même signe.
B
Cette inégalité reste bien entendu valable si on remplacebpar−b, mais elle devient alors|a−b|6|a|+|−b|=|a|+|b|. Une grosse erreur serait d’écrire|a−b|6|a|−|b|.
Par exemple, poura=2 etb=3, cela nous mènerait à
|2−3|6|2|−|3|⇔16−1
ce qui est évidemment faux, une valeur absolue étant toujours positive.
Corollaire 1.34 (Inégalité triangulaire renversée) –Soientaetbdeux réels. Alors |a|−|b|
6|a+b|. Démonstration. On a|a|=|(a+b)−b|6|a+b|+|b|. Et donc|a|−|b|6|a+b|.
Sur le même principe, on a|b|−|a|6|a+b|. Et donc
−|a+b|6|a|−|b|6|a+b|⇔
|a|−|b|
6|a+b|.
Un moyen condensé de rete- nir les inégalités triangulaires en minimisant les risques d’erreur sur les signes est le suivant :
|a|−|b|
6|a±b|6|a|+|b|.
Astuce
Corollaire 1.35 (Inégalité triangulaire généralisée) –Six1, . . . ,xn sontnréels, avecn>2, alors
|x1+x2+· · ·+xn|6|x1|+|x2|+· · ·+|xn|.
On a alors l’égalité|x1+· · ·+xn|=|x1|+· · ·+|xn|si et seulement si tous lesxi sont de même signe.
Démonstration. Prouvons le résultat par récurrence surn>2, en notantP(n)la propriété
« pour tous réelsx1, . . . ,xn,|x1+· · ·+xn|6|x1|+· · ·+|xn|avec égalité si et seulement si lesxi sont de même signe».
La récurrence a été initialisée, l’inégalité triangulaire n’étant rien d’autre queP(2). Supposons doncP(n)vraie, et soientx1, . . . ,xn+1des réels. Alors
|x1+· · ·+xn+xn+1|=|(x1+· · ·+xn)+xn+1| 6|x1+· · ·+xn|+|xn+1|
C’est l’inégalité triangulaire appliquée auxdeuxréels x1+· · ·+xnetxn+1.
Détails
6|x1|+· · ·+|xn|+|xn+1| C’est l’hypothèse de récur- rence.
De plus, on a égalité si et seulement si25
25Si l’une de nos inégalités était stricte, l’inégalité finale serait une inégalité stricte.
à chaque étape du raisonnement précédent on avait une égalité, c’est-à-dire si et seulement si
|x1+· · ·+xn|+|xn+1|=|x1+· · ·+xn+xn+1|
|x1+· · ·+xn|=|x1|+· · ·+|xn| ⇔
(x1+· · ·+xn)etxn+1de même signe
x1, . . . ,xnsont de même signe26 26C’est dans l’hypothèse de
récurrence.
⇔x1, . . . ,xn,xn+1sont de même signe.
DoncP(n+1)est vraie, et par le principe de récurrence, pour toutn > 2,P(n)est
vraie.
Proposition 1.36 :SoitAune partie deR. AlorsAestbornéesi et seulement si il existe K∈Rtel que pour toutx ∈A,|x|6K.
Démonstration. Supposons queAsoit bornée, et soient doncmetM respectivement un minorant et un majorant deA, de sorte que pour toutx ∈A,m6x 6M.
Posons alorsK=max(|m|,|M|). Alors pourx ∈A, on a−K 6−|m|6m6x 6M 6|M|6K, si bien que|x|6K.
Et inversement, siKest tel que pour toutx ∈A,|x|6K, alors pour toutx ∈A,−K 6x 6K, doncAest majorée (parK) et minorée (par−K), donc bornée.
1.3.2 Partie entière
Définition 1.37 –Soitx ∈R. Nous admettons27qu’il existe un unique entiern∈Z 27Ceci sera justifié plus tard.
tel que
n6x <n+1.
Cet entier est alors notébxcet appelépartie entière dex. La partie entière dexest l’entier immédiatement inférieur àx.
Autrement dit
Remarques. ISixest positif, alorsbxcest obtenu en enlevant les chiffres après la virgule du développement décimal dex.
Par exempleb1,5c=1 etbπc=3.
En revanche, ce n’est plus vrai six <0, puisqueb−2,5c=−3.
ISinest la partie entière dex, alorsnest inférieur àx, et donc tous les entiers inférieurs à nsont aussi inférieurs àx, et puisquen+1 est strictement supérieur àx, tous les entiers supérieurs strictement àn, qui sont supérieurs ou égaux àn+1, sont supérieurs stricts àx.
Doncbxcestle plus grand entier inférieur ou égal àx.IUn réelx est égal à sa partie entière si et seulement si il appartient àZ.
ILa double inégalitébxc6x <bxc+1 qui définitbxcpeut également s’écrire x−1<bxc6x.
Exemple 1.38
Résolvons l’équationh√ x2+1i
=2, d’inconnuex ∈R.
Par définition de la partie entière, on a p
x2+1
=2⇔26p
x2+1<3
⇔46x2+1<9 Le passage au carré est bien
une équivalence puisque nous sommes en présence de nombres positifs.
⇔36x2<8
⇔x ∈g
−2√ 2,−√
3g
∪f√
3,2√ 2f
.
Notons qu’il y a toujoursun et un seulentiernvérifiantn6x <n+1. Donc si on trouve un tel entier, celui-ci est nécessairementbxc.
Exemple 1.39
Soitx ∈Rtel quex−bxc> 2 3. Il vient doncbxc+2
3 6x <bxc+1.
Donc en multipliant par 3, on a 3bxc+263x <bxc+3.
Maisbxc+2 est un entier28 : c’est donc le seul entierntel quen63x<n+1, et 28Carbxcest entier.
donc c’est la partie entière de 3x :b3xc=3bxc+2.
B
Aucune règle générale n’existe pour la partie entière d’une somme, d’un produit ou d’un quotient, on n’a pas systématiquementba+bc=bac+bbc,babc=bacbbcou a b
=bac bbc. En revanche, on a la proposition suivante :
Proposition 1.40 :Pour toutx∈Ret toutn∈Z,bx+nc=bxc+n.
Démonstration. On abxc6x <bxc+1 donc bxc+n
| {z }
∈Z
6x+n<(bxc+n)+1
doncbx+nc=bxc+n.
1.3.3 Factorielles
Introduisons une dernière notation, qui nous servira souvent :
Définition 1.41 –Sin∈N, on noten!, et on appellefactorielle denl’entier défini par
n!=
1 sin=0
1×2× · · · ×n sin>0
Exemples 1.42
Les premières factorielles sont donc : 0! = 1,1! = 1,2! = 2 ×1 = 2, 3!=1×2×3=6,4!=24,5!=120 et 6!=720.
Notons qu’on a toujours(n+1)!=(n+1)×n!.
De plus, sik 6nsont deux entiers, alorsn!
k!= 1×2× · · · ×n
1×2× · · · ×k =(k+1)·(k+2)· · ·(n−1)n.
