Rappels Structures Polyèdres et Triangulations Interrogation du modèle Brep. transformations géométriques Parties cachées. O.

Représentation frontière (3D) Représentation frontière (3D)

-- 2 2 ^{ième ième} partie partie --

Rappels

Structures Polyèdres et Triangulations Interrogation du modèle Brep

Opérations booléennes, Opérations booléennes,

transformations géométriques Parties cachées

O.Stab 2019

Produit Vectoriel (3D) Produit Vectoriel (3D)

V U W

r r

r = ∧

Rappels de géométrie (1)

W w Wr r

r = ^{Wr = Ur Vr} sin(θ)

















=

z y x

u u u U

r

U r V

r W

r

θ 













−

=

−

=

−

=

=

z y y

x z

z x x

z y

y z z

y x

v u v

u w

v u v

u w

v u v

u w

W

. .

. .

. .

Produit scalaire (3D) Produit scalaire (3D)

Rappels de géométrie (2)

V U w

r r

= .

U r

) cos(θ V

U w

r

= r

V V V

r r r

2 .

= V U w=^t *

Projection d’un vecteur V sur l’axe ur

















=































=

z y x

z y x

z y

z x

z

z y y

x y

z x y

x x

u

u w

u w

u w

v v v

u u

u u

u

u u u

u u

u u u

u u

V P

. . .

. .

. .

. .

*

2 2

2

x

y P

O

ur V r

θ

Écriture matricielle de la projection :

z z y

y x

x v u v u v

u

w = . + . + . u

V

Vr r r ) cos(

'= θ

' V

r

z

ur

Projection d’un vecteur V sur l’axe u

.

Produit mixte (3D) Produit mixte (3D)

Rappels de géométrie (3)

) .(U V W

m

r r

r ∧

=

Écriture matricielle :

V r

P₂ P₃

P

















=

∧

z z

z

y y

y

x x

x

v u

w

v u

w

v u

w Det V

U

W.( ) r r

r

x y

θ

W U r

r ^P2

P₄

Le plan Le plan

Représentation algébrique (RA) ?

Calcul de la RA à partir de 3 points ?

2. Représentation informatique

2. Représentation informatique

#VRML V2.0 utf8

…

Geometry IndexedFaceSet { ccw TRUE

solid TRUE convex TRUE

coord Coordinate { point [

Description des

Description des polyèdres polyèdres

X₃ Y₃ Z₃ X₄Y₄ Z₄

Face-based data structure (edge-based data structure)

Indications

2 blocs : les points et les faces

coord Coordinate { point [

# Coordonnees des points X₁Y₁ Z₁

X₂Y₂ Z₂

… ]}

coordIndex [

# Les faces 1 2 3 4 -1

…

Exemple de format de données de type : X3D, VRML, Inventor…

f₁

X₁ Y₁ Z₁ X₂ Y₂ Z₂

Limitations

Représentation

Représentation informatique informatique

f₁ a₄

a₃

a₁

a₂

s₃ s₁

s₄

s₂ a₇

F = { f₁,f₂…f₆} A = { a₁, a₂…a₁₂} S = { s₁,s₂…s₈ } interne, Cas 3D

Edge-based data structure (face-based data structure)

f₂

f₃ a₁

a₅ s₇

s₂ a₆

a₇

a₁₀

Relations :

v F A S

b(v) = {f , f …f }

Représentation

Représentation informatique informatique

f₁ a₄

a₃

a₁

a₂

s₃ s₁

s₄

s₂ a₇

F = { f₁,f₂…f₆} A = { a₁, a₂…a₁₂} S = { s₁,s₂…s₈ } Edge-based data structure (face-based data structure)

f₂

f₃ a₁

a₅ s₇

s₂

s₆ s₅

a₆

a₉

a₇

a₁₀

Relations :

v F A S

b(v) = {f₁, f₂…f₆}

b(f₃) = {a₂, a₆, a₁₀, a₇} b(a₆) = {s₆,s₂}

Représentation

Représentation informatique informatique

f₁ a₄

a₃

a₁

a₂

s₃ s₁

s₄

s₂ a₇

F = { f₁,f₂…f₆} A = { a₁, a₂…a₁₂} S = { s₁,s₂…s₈ } Edge-based data structure (face-based data structure)

…

f₂

f₃ a₁

a₅ s₇

s₂ a₆

a₇

a₁₀

Relations : s₆ dans a₆, s dans a …

Représentation

Représentation informatique informatique

DECL : Double Edged Connected List

(DCEL, winged-edge)

Edge-based data structure (face-based data structure)

HDS : Half-edge Data Structure

c.interne->interne

c.interne

CGAL, OpenMesh...

Triangulations frontières

Triangulations frontières

Structure de données Structure de données

1,7,2

1 7

2 2,0,6

0 2

Face-based data structure (edge-based data structure)

1 7

6

Algo de parcours ?

EXERCICE : décrire le tétra.

EXERCICE : décrire le tétra.

dans la structure de données dans la structure de données

4

3

ITRNOE ITRTRI

1

2 3

COORD NOETRI

Faces planes et/ou courbes Faces planes et/ou courbes

n₁

Surface plane Surface courbe

n₁

n₂ n₃

Combien d’information faut-il stocker dans le 1^er modèle ?

PovRay

PovRay : Triangulation : Triangulation

mesh {

PovRay

« smooth_triangle »

N_i3

N_i2 N_i1

i

mesh {

triangle { <X₁₁, Y₁₁, Z₁₁>, <X₁₂, Y₁₂, Z₁₂>, <X₁₃, Y₁₃, Z₁₃>

[texture { nom_texture }] } smooth_triangle {

Formats … Formats …

solid name

STL

OFF

OFF

# cube.obj

# list of vertices

OBJ

#VRML V2.0 utf8

…

Geometry IndexedFaceSet {

# optionnel mais utile : ccw TRUE

solid TRUE convex TRUE

coord Coordinate { point [

WRL

https://poly.google.com/

solid name

…facet normal n_in_jn_k outer loop

vertex v1_xv1_yv1_z vertex v2_xv2_yv2_z vertex v3_xv3_yv3_z endloop

endfacet

…endsolid name

OFF # cube.off

# A cube 8 6 12 1.0 0.0 1.0 0.0 1.0 1.0

-1.0 0.0 1.0 0.0 -1.0 1.0 1.0 0.0 -1.0 0.0 1.0 -1.0 -1.0 0.0 -1.0 0.0 -1.0 -1.0 4 0 1 2 3 4 7 4 0 3 4 4 5 1 0 4 5 6 2 1 4 3 2 6 7 4 6 5 4 7

# cube.obj

# list of vertices v 1.0 0.0 1.0 v 0.0 1.0 1.0 v -1.0 0.0 1.0 v 0.0 -1.0 1.0 v 1.0 0.0 -1.0 v 0.0 1.0 -1.0 v -1.0 0.0 -1.0 v 0.0 -1.0 -1.0

…# list of faces f 1 2 3 4 f 8 5 1 4

…

# mais aussi :

# f node/norm/texture f 6/4/1 2/5/3 7/6/8 6/4/5

point [

# Coordonnees des points X₁Y₁ Z₁

X₂Y₂ Z₂

… ]}

coordIndex [

# Les faces 1 2 3 4 -1 5 6 2 1 -1

… ] }

EXERCICE : EXERCICE :

Étapes de l’algorithme de

reconstruction d’une frontière à partir du format STL

solid name

STL

solid name

…facet normal n_in_jn_k outer loop

vertex v1_xv1_yv1_z vertex v2_xv2_yv2_z vertex v3_xv3_yv3_z endloop

endfacet

…endsolid name

EXERCICE : fichier «

EXERCICE : fichier « OFF OFF » »

Représentez par un dessin la

géométrie correspondant au fichier

« OFF »

OFF OFF # cube.off

# A cube 8 6 12 1.0 0.0 1.0 0.0 1.0 1.0

-1.0 0.0 1.0 0.0 -1.0 1.0 1.0 0.0 -1.0 0.0 1.0 -1.0 -1.0 0.0 -1.0 0.0 -1.0 -1.0 4 0 1 2 3 4 7 4 0 3 4 4 5 1 0 4 5 6 2 1 4 3 2 6 7 4 6 5 4 7

EXERCICE : structure de données EXERCICE : structure de données

?

?

Quelles structure de données minimales peut-on utiliser pour représenter :

?

?

Contraintes

Contraintes d d ’’intégrité intégrité

Cas 2D

Intersection réduites aux sommets communs

Cas 3D

• Intersection réduites aux arêtes communes

Cas 3D

sommets communs Un sommet appartient exactement à 2 arêtes

Existe une orientation des arêtes telle que chaque

sommet est origine d’une arête et extrémité d’une autre.

arêtes communes

• Une arête appartient exactement à 2 faces

• Existe une orientation des faces telle que chaque arête est parcourue dans un sens puis dans l’autre.

3. Interrogation du

3. Interrogation du modèle modèle

?

Interrogation du

Interrogation du modèle modèle (3D) (3D)

Intersection d ’une droite avec le modèle ? Un point (x,y) est-il à l ’intérieur ou

l ’extérieur du polyèdre ? Volume d’un polyèdre ? Volume d’un polyèdre ?

...

Intersection d’une Droite avec un Plan Intersection d’une Droite avec un Plan

Rappels de géométrie (1)

PI

Intersection d’une Droite avec un Plan Intersection d’une Droite avec un Plan

Plan : Ax+By+Cz+D=0 Droite : x(t)=a₁t+a₂

y(t)=b₁t+b₂ z(t)=c₁t+c₂

Rappels de géométrie (1)

PI

z(t)=c₁t+c₂

=> équation linéaire : ti = Aa₁+Bb₁+Cc₁

Aa₂+Bb₂+Cc₂+D PI (x(ti), y(ti), z(ti) )

Intersection

Intersection d’une d’une droite droite avec un

avec un Polyèdre Polyèdre (1) (1)

METHODE :

Projeter le polygone dans le plan perpendiculaire à la droite

Pour toutes les faces du polyèdre…

Intersection ?

Intersection

Intersection d’une d’une droite droite avec un

avec un Polyèdre Polyèdre (2) (2)

Intersection ? 1) Intersection de la droite avec le plan

2) Projection du polygone et du point

d’intersection dans un plan

3) Point dans polygone ?

Point

Point dans dans polyèdre polyèdre ? ?

PRINCIPE : idem 2D, parité du nombre d’intersection avec une ½ droite

• METHODE :

• Projection des faces

• Traitement des cas singuliers

Point dans polyèdre ? Point dans polyèdre ?

Cas singuliers

Intersection ? SUR A

Point dans polyèdre ? Point dans polyèdre ?

Cas singuliers

Intersection : OUI

Point dans polyèdre ? Point dans polyèdre ?

Cas singuliers

Point dans polygone ?

Intersection : OUI DANS

Point dans polygone ?

Point dans polyèdre ? Point dans polyèdre ?

Cas singuliers

Point dans polygone ? Point dans polygone ?

Intersection : NON HORS

Point dans polyèdre ? Point dans polyèdre ?

Point dans polygone replié ?

3

1

Point

Point dans dans polyèdre polyèdre (1) (1)

Point

Point dans dans polyèdre polyèdre (2) (2)

Hors

Point

Point dans dans polyèdre polyèdre (3) (3)

Dans

Point

Point dans dans polyèdre polyèdre (4) (4)

Hors

Calcul

Calcul du volume du volume

0,0 0,1

1,0 z₁

z₃ z₂

0,0 0,1

x = x(u,v) y = y(u,v)

(u,v) dans [0:1]x[0:1]

et u+v <= 1

EXERCICE : Calcul du volume EXERCICE : Calcul du volume

Algorithme :

Approche pratique

Détection/Calculer/Eviter des Détection/Calculer/Eviter des

intersections entre polyèdres intersections entre polyèdres

Hierarchical AABB-Tree in CGAL

Minkowski 3D in CGAL

4. Modification du

4. Modification du modèle modèle

Niveau élémentaire :

◦ Opérateurs d ’Euler f – a + s = 2cc Niveau supérieur :

◦ Transformations géométriques

◦ Opérations booléennes

◦ Dilatation/erosion :

Somme de Minkowski

A B

AnB

4.1. Transformations

4.1. Transformations

Transformations Transformations

Rotations :

( ) ( ) ( )

( ) ( )







=

ψ ψ

ψ ^{0 1 0}

sin 0

cos

Ry

( ) ( ) ( )

( ) ( )







−

= θ θ

θ ^{0 cos sin} 0 0

1 Rx

( )











 −

=

1 0

0

0 )

cos(

) sin(

0 ) sin(

) cos(

α α

α α

z α R

Composition : est la rotation

d’angles d’Euler (lacet, tangage, roulis).

Associatif mais pas commutatif…

( ) ( )

−^sin ψ ^{0 cos} ψ 

( ) ( )

^{0 sin} θ ^cos θ

( ) ( ) ( )

z R R

R

( ) ( ) ( )

Rotation autour d’un axe Rotation autour d’un axe

















=

2 2

2

. .

. .

. .

z y

z x

z

z y y

x y

z x y

x x

N

n n

n n

n

n n n

n n

n n n

n n

A



 0 − n n

















=

z y x

n n n N

y

N

P

O’ P’

θ

I-A_N= -B_N²

















−

−

−

=

0 0

0

x y

x z

y z

N

n n

n n

n n

B

M = A + cos(θ).(I-A ) + sin(θ).B

x y

O

Rotation autour d’un axe Rotation autour d’un axe

















=

z y x

n n n N

y

N

P

O’ P’

θ

OP = OO’ + O’P OP = OO’ + ||O’P|| i

OP’ = OO’ + cos(θ) ||O’P|| i + sin(θ) ||O’P|| j OP’ = OO’ + cos(θ) O’P + sin(θ) N n O’P

Approche vectorielle et démonstration

M = A_N + cos(θ).(I-A_N) + sin(θ).B_N z

x y

A_N est la matrice de projection sur l’axe N,

O OP’ = OO’ + cos(θ)(OP-OO’) + sin(θ) N n OP

OO’ = (N.OP) N = A_N.OP = B_N OP

Géométrie projective et Géométrie projective et coordonnées homogènes coordonnées homogènes

Le calcul doit être rapide :

Projection (œil) = plan de la caméra

La composition dépend du type de

La composition dépend du type de

transformation

Coordonnées Homogènes Coordonnées Homogènes

z

















= 1

y x

 Pc







=  y Pc x

Coordonnées Homogènes géométrie projective d=2

( ) ( ) ( )

( ) ( )















 −

=

1 0

0

0 cos

sin

0 sin

cos

θ θ

θ θ

z θ R







= 

1 /

1 / y Pc x

Matrice de transformation dans R^d+1

z=1

x y z

P_c



 0 0 1

















=

1 0

0

1 0

0 1

y x

T t

t

M 











 1

y

P_c ‘ = M_T * P_c x

Translation et mise à l’échelle (d=3) Translation et mise à l’échelle (d=3)





















=

1 0

0 0

1 0

0

0 1

0

0 0

1

z y x

T t

t t M

P M

P ' =













= 0 0 0

0 0

0

y x

S S

M

P ' = M

P

M_T *(x,y,z,1) = (x+t_x,y+t_y,z+t_z,1) (x+t_x,y+t_y,z+t_z)

Rotations (d=3) Rotations (d=3)

x y

ψ

( )

( ) ( )

( ) ( )



















 −

=

1 0 0

0

0 1 0

0

0 0 cos

sin

0 0 sin

cos

φ φ

φ φ

z φ R

( ) ( )

 cos ψ 0 sin ψ 0

z

θ

φ ^{( )} _{( ) ( )}







 







= −

1 0

0 0

0 cos

0 sin

0 0

1 0

ψ ψ ψ

Ry

( ) ( ) ( )

( ) ( )





















= −

1 0

0 0

0 cos

sin 0

0 sin

cos 0

0 0

0 1

θ θ

θ θ θ

Rx

( )

'

.

.

P = RP = R R R P

3,3

0

1

H t

R T M

 

=  

 

 

ur

Matrice homogène de Matrice homogène de transformation

transformation

'

.

P = M P

 

1

1 3,3

3

( ) .

0 1

T T

H t

R R T

M

−

=   −

 

 

 

ur

Projections Projections

focale plan image

Projection orthographique Projection orthographique

Image

[0,0,f]

Image Plan y

x z

Repère caméra (œil)





















=

1 0 0 0

0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

M _per f

[0,0,f]

x,y,f x,y,z

Projection perspective Projection perspective

Image y

x z

[0,0,f]

F=[0,0,0]

Image Plan

F=[0,0,0]

Repère caméra (œil)

[0,0,f]

M_per *(x,y,z,1) = (x,y,z,z/f) qui donne en 3D : (x*(f/z), y*(f/z), f)





















=

1 0 0

0

0 1

0 0

0 0

1 0

0 0

0 1

f

M _per x(f/z),y(f/z),f x,y,z

4.2. Opérations booléennes 4.2. Opérations booléennes

= TRUE

Opérations booléennes Opérations booléennes

Fr(B)dans A

Fr(A)dans B Fr(B)hors A Fr(AnB) = Fr(AuB) =

Fr(A) hors B Fr(A), Fr(B)

AnB AuB

A B

Opérations booléennes Opérations booléennes régularisées

régularisées

Opérations booléennes Opérations booléennes régularisées

régularisées

Fr(A)dans B Fr(B)sur- A

Fr(B)dans A

Fr(A)dans B

Fr(AnB) = Fr(A) dans B + Fr(B) dans A + Fr(B) sur + A

Opérations booléennes Opérations booléennes régularisées

régularisées

Fr(AuB) = Fr(A) hors B + Fr(B) hors A + Fr(B) sur +A Fr(A-B) = Fr(A) hors B + Fr(B) dans A + Fr(B) sur - A

Opérations booléennes Opérations booléennes

Exemple 3D

Opérations booléennes Opérations booléennes

Exemple 3D

Opérations booléennes Opérations booléennes

Exemple 3D Fr(A) hors B

Fr(B) hors A

Fr(A) dans B

Fr(B) dans A

Fr(B) sur+A

Fr(A) sur+ B

Opérations booléennes Opérations booléennes

1. Calcul des intersections

2. Classification des parties de frontière

Schéma de l’algorithme 2D et 3D

2. Classification des parties de frontière 3. Suppression des parties inutiles

4. Collage des parties restantes

Étape 1 : Arêtes = intersection des faces

Opérations booléennes

Opérations booléennes

Étape 2 : Classification des portions de frontière

Opérations booléennes Opérations booléennes

Fr(A) hors B

Fr(B) hors A

Fr(A) sur+ B

Fr(B) sur+A

Étape 3 : Suppression des portions de frontière

Opérations booléennes Opérations booléennes

Fr(A) hors B

Fr(B) hors A

Fr(AuB) = Fr(A) hors B + Fr(B) hors A + Fr(B) sur +A Fr(A) sur+ B

Fr(B) dans A

Fr(B) sur+A

Étape 4 : Collage des portions de frontière

Opérations booléennes Opérations booléennes

Fr(A) hors B

Fr(B) hors A

Fr(A) sur+ B

Fr(B) sur+A

EXERCICE :

EXERCICE : Sketchup Sketchup boolean boolean

Quelles parties de frontières sont conservées ?

A

B B

Domaine

Complétude

Propriétés

Propriétés du du modèle modèle

Complétude Unicité

Manipulation

MAYA® …

Exemples (libraires & toolkits) Exemples (libraires & toolkits)

GPL

http://www.cgal.org

Computational Geometry Algorithms Library

LGPL*

FreeCAD

LGPL*

LGPL*

http://www.opencascade.org

LGPL*

http://gts.sourceforge.net/

GNU Triangulated Surfaces Library https://www.openmesh.org/

LGPL*

Visualisation d’une triangulation (3D) : les parties cachées

1. Triangulations : structure, calcul des normales & affichage

2. Rotation et translations

3. « Backface culling »

SCILAB

Une introduction par la pratique

TP 2 : Parties cachées

4. Parties cachées : algorithme du peintre

Le

Le Clipping Clipping et le Back face et le Back face culling

culling

Face vue

Face non-vue Clipping

Face non-vue

Back plane

Front plane

Dans quel cas est-ce suffisant ?

Algorithmes à liste de priorité Algorithmes à liste de priorité (Algorithme du peintre)

(Algorithme du peintre)

Liste ordonnée de facettes

◦ trier les facettes suivant leur profondeur : Z-max

◦

facettes (planes)

◦ afficher en Z-max décroissant

◦ ambiguïtés : problème du recouvrement cyclique…

T₃

Hypothèses pour le TP Hypothèses pour le TP

Projection orthographique

Pas de recouvrement cycliques

Triplot2d(XYZcoord, itrnoe, couleur) est fournie : projection des triangles dans le plan image

Y Z

X Y

Z

X Z

R_caméra

R_scene ^{TODO :}« Backface culling » Algorithme du peintre