Ensemble initial

(1)

{F,P}

Objet

Ensemble initial

Objectif : dénombrer les issues possibles d’une expérience

ex : pile ou face

expérience Univers = {issues}

# = ?

Univers =

{PP, PF, FP, FF} : # = 4 deux lancers

ex : lancer un dé

{1,2,3,4,5,6}

Univers =

{111, 112, 113, …} : # = ? trois lancers

1. Dénombrements

(2)

Raisonnement : cas différents ?

Ordre ? O/N

Répétition ? O/N n = # d’éléments disponibles

p = # d’éléments à choisir

Nombre total d’issues possibles

ex : pile ou face

{P,F} : n = 2

Exemple d’issue :

3 lancers p = 3

ex : jeu de 52 cartes

{…} : n = 52

Exemple d’issue :

prendre 3 cartes p = 3

P P F

(3)

1.2.1 p-listes

Ordre ? Oui

Répétition ? Oui n = # d’éléments disponibles = 5

p = # d’éléments choisis = 2

Les issues sont nommées « p-listes » (ici : 2-listes) Ensemble initial :

{1,2,3,4,5} : n = 5

issues : nombres de 2 chiffres

p = 2

Nombre d’issues possibles : 25

1. Dénombrements

(4)

Construisons un ARBRE DE CHOIX :

1^er chiffre

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

2^d chiffre

Cet arbre à deux niveaux montre 25 terminaisons :

5 fois 5 branches = 5²

Pourquoi 5 ? n = 5

Pourquoi 2 niveaux ? p = 2

Nombre de p-listes : 5² = n^p = 25

1.2.1 p-listes

(5)

Ordre

O N

Répétition O p-listes : n^p N

Définition : Une p-liste est une liste Ordonnée de p éléments pris dans un ensemble, avec répétition possible.

Résultat : le nombre de possibles p-listes formées parmi n éléments est n^p. Exercice 8 :

* De combien de façons peut-on placer 2 objets dans 3 tiroirs ?

* Combien de nombres de 4 chiffres contiennent uniquement 1, 2 ou 3 ?

* Combien de mots de 5 lettres obtenons-nous avec {a ; b ; e ; m ; i ; r ; o} ?

1. Dénombrements

1.2.1 p-listes

(6)

Exercice 8 :

De combien de façons peut-on placer 2 objets dans 3 tiroirs ?

Combien de nombres de 4 chiffres contiennent uniquement 1, 2 ou 3 ?

Combien de mots de 5 lettres obtenons-nous avec {a ; b ; e ; m ; i ; r ; o} ?

1.2.1 p-listes

t1 t2 t3

n = 3

p = 2

Ensemble initial issues

At1 Bt3 At3 Bt1 At1 Bt1

= 2-listes

Nb issues = 3² =9

1 2 3

n = 3

p = 4

2312 2321

= 4-listes

Nb issues = 3⁴ =81

a b e m i r o

n = 7

p = 5

bimor

= 5-listes

Nb issues = 7⁵ =16807 biomr

biror

(7)

1.2.2 Arrangements

Ordre ? Oui

Répétition ? Non n = # d’éléments disponibles = 5

p = # d’éléments à choisir = 2

Les issues sont nommées « arrangements » Ensemble initial :

{1,2,3,4,5} : n = 5

issues : nombres de 2 chiffres

différents p = 2 Nombre d’issues possibles :

20

1. Dénombrements

(8)

Construisons un ARBRE DE CHOIX : 1^er chiffre

1 2 3 4 5

2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4

2^d chiffre

Cet arbre à deux niveaux montre 20 terminaisons :

5 fois 4 branches = 5×4

Pourquoi 5 ? n = 5

Pourquoi 4 ? p = 2 ⇒ 2 niveaux pas de répétition

⇒ 1 possibilité en moins à chaque nouveau niveau nombre d’arrangements :

5×4 = 20

1.2.2 Arrangements

(9)

Ordre

O N

Répétition O p-listes : n^p N Arrang.

Définition : Un arrangement est une liste ordonnée de p éléments différents pris dans un ensemble.

Résultat : Le nombre de possibles arrangements de p éléments pris dans un ensemble de n éléments est

A_n^p

A =_n^p ^n!

(n-p)!

1. Dénombrements

1.2.2 Arrangements

(10)

entrer n

touche : OPTN

menu écran : PROB menu écran : nPr entrer p

touche : EXE Casio

entrer n

touche: MATH menu écran : PRB menu écran : nPr

ou Arrangements entrer p

touche: ENTER TI

1.2.2 Arrangements

Exercice 9 :

* Combien de couples délégué/assistant à partir de 25 étudiants?

* Empilements de 3 blocs, choisis parmi 10 blocs de couleurs différentes ?

* Combien de mots de 5 lettres différentes existent avec {a, b, e, m, i, r, o} ?

(11)

1. Dénombrements

1.2.2 Arrangements

Exercice 9 :

Combien de couples délégué/assistant à partir de 25 étudiants?

Empilements de 3 blocs, choisis parmi 10 blocs de couleurs différentes ?

Combien de mots de 5 lettres différentes existent avec {a, b, e, m, i, r, o} ? E1 E2 …

E25

n = 25

p = 2

E4 E12 E12 E4 E4 E4

= arrangements

Nb issues = A²₂₅ =600

Rouge Vert Bleu Jaune…

n = 10

p = 3

RVJ VRJ

= arrangements

Nb issues =

a b e m i r o

n = 7

p = 5

bimor

= arrangements

Nb issues = biomr

biror VRR

3

A10 =720

5

A7 =2520

(12)

1.2.3 Combinaisons

Ordre ? Non

Répétition ? Non n = # d’éléments disponibles = 5

p = # d’éléments à choisir = 2

Les issues sont nommées « combinaisons » Ensemble initial :

{1,2,3,4,5} : n = 5

issues : prendre 2 chiffres différents

p = 2

Nombre d’issues possibles : 10

(13)

Comparons combinaisons et arrangements :

Combinaisons : {1,2} ; {1,3} ; {1,4} ; {1,5} ; {2,3} ; {2,4} ; {2,5} ; {3,4} ; {3,5} ; {4,5}

# = 10

(1,2) (2,1)

permutations

de la combinaison {1,2}

# = 2

(1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5) (3,1) (4,1) (5,1) (3,2) (4,2) (5,2) (4,3) (5,3) (5,4)

ensemble des arrangements

# = 20

Nombre de combinaisons : = 10

1. Dénombrements

1.2.3 Combinaisons

(14)

Ordre

O N

Répétition O p-listes : n^p

N Arrang. Combin.

Définition : Une combinaison est un ensemble (pas d’ordre) formé de p éléments différents pris dans un ensemble.

Résultat : le nombre de possible combinaisons de p éléments pris dans un ensemble de n éléments est

A_n^p

C =_n^p ^n!

p!(n-p)!

C^p_n

1.2.3 Combinaisons

(15)

entrer n

touche : OPTN

menu écran : PROB menu écran : nCr entrer p

touche : EXE Casio

entrer n

touche : MATH menu écran : PRB menu écran : nCr

ou Combinaisons entrer p

touche : ENTER TI

1. Dénombrements

1.2.3 Combinaisons

Exercice 10 :

* Combien de couples possibles de délégués, parmi 25 étudiants ?

* Combien de mains de 8 cartes à partir d’un jeu de 32 ?

* Combien de tirages de 6 entiers différents, à choisir entre 1 et 49 ?

(16)

1.2.3 Combinaisons

Exercice 10 :

Combien de couples possibles de délégués, parmi 25 étudiants ?

Combien de mains de 8 cartes à partir d’un jeu de 32 ?

Combien de tirages de 6 entiers différents, à choisir entre 1 et 49 ? E1 E2 …

E25

n = 25

p = 2

E4 E12 E12 E4 E4 E4

= combinaisons

Nb issues = C²₂₅ =300

Aco Rtr 8pi Vca Rpi …

n = 32

p = 8

Rtr8pi…

8piRtr…

= combinaisons

Nb issues =

1 2 3 … 48 49

n = 49

p = 6

13-2-7-21-9-43

= combinaisons

Nb issues = 13-7-2-21-9-43

13-2-2-21-9-43 8pi8pi…

8

C32 =10518 300

6

C49 =13 983 816

(17)

1.2.4 Combinaisons dans une partition

Ensemble initial :

{A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N, O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z} :

n = 26, n₁ = 20, n₂ = 6

Ω = {issues}

Piocher trois lettres Simultanément

p = 3

1. Dénombrements

A = {3C}

CRS TGV BTS PLS

…

B = {2C1V}

EDF DUT BAC PLI

… C = {1C2V}

FOU IUT ACE ELU

…

D = {3V}

EAU AIE YEA OUI

…

( )

^A ^C³²⁰ ^C⁰⁶ ^{1 140}

Card = × =

( )

^C³²⁶ ^{2 600}

Card Ω = =

( )

^B ^C²²⁰ ^C¹⁶ ^{1 140}

Card = × =

( )

^C ^C¹²⁰ ^C²⁶ ³⁰⁰

Card = × =

( )

^D ^C²⁰⁰ ^C³⁶ ²⁰

Card = × =