Optimal Network Estimation of Origin-Destination Flow from Sufficient Link Data

HAL Id: hal-00348413

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00348413

Submitted on 18 Dec 2008

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Optimal Network Estimation of Origin-Destination Flow from Sufficient Link Data

Fabien Leurent, Frédéric Meunier

To cite this version:

Fabien Leurent, Frédéric Meunier. Optimal Network Estimation of Origin-Destination Flow from Sufficient Link Data. Annual Meeting of the Transportation Research Board, Jan 2009, Washington, United States. pp.TRB#09-1885. �hal-00348413�

"# $ %

! "#$#" %

&'( )*

+ , $ + ", -!. % / " *

* 0 1

"-23 ! &" !

! + ", # " ,4 , -" - " 5 '' - ' # " !,6-"

* "& '2" $ - ' /6, ,&" "! 77899 "! ' 5 ''# $ : " !%

'. 0))1 *;8 *9 ***

:. 0))1 *;8 *9 *8

4/ '.2 !3' &" ! < !6%32"

"#$#" % &! "

! + ", # " ,4 , -" - " 5 '' - ' # " !,6-"

* "& '2" $ - ' /6, ,&" "! 77899 "! ' 5 ''# $ : " !%

'. 0))1 *;8 *9 * * :. 0))1 *;8 *9 *8

4/ '.2" $ " %3/ &! "< !6%32"

= . ;

8

> )

! %

! "

& $

,(, / % / -$ , 6"-+ $ $ - , / ! -" ? ! $ , ! -! 2'-@ ! @-"A ' + ' -! , , -2 ' !A " 22 % %-&! , @ , "&% &" 3 , / -" , / ! / ' + " !% /-!? &! , $ ' ! " %-/ ! -!, -2 ' !A , / -",3 6"- ' / - 2 !$ -6 / ' , / -" , , $ , ' ! " ,(, / ! !-$ 6- ! ',B , !$-@ $

@ ! % 6"-6 " , -2 : , !% !$ &! C& ! ,, @ % !D-( , "&% &" ' ?" 6 4 , $

! "6" -!3 ,,&/ !? !$ 6 !$ ! '-% ' , / -", ! C& + ' ! $& ' 6"- ' / , -2 / ! / E !? /6" % , -! ! "?( % "" $ ( ! @-"A 2'-@3

, / -! / -$ $- , !- " C& " ,,&/6 -!, -! "-& % - % 6"-6-" -!,3

"-&? -& 6 6 " " ' , % % , , $$" ,, $ - - $ ,%&,, 6" % % ' ,,& ,

!$ - $ /-!, " ,-'& -! / -$3 Keywords

" 6 %& 3 " 6 6' % !3 , ' $ 22 " ! ' 6"- ' /3 /6" % , -! 2'-@3 ! , $ , / -"3 5 " !% / ! / E -!3

' # $ (

) * +, *

, " !,6-" -! ! @-"A , 6&"6-" $ - % ""( " 6, 2"-/ -" ? ! 6- ! , - $ , ! -!

6- ! , 6 "! -2 2'-@ ( -" ? !4$ , ! -! 0 1 6 " , / D-" ,,& -

'-% ' ' + ' -2 ! @-"A ' !A ! -"$ " - " + ' , ,6 ' 2&!% -! , " !,6-"

' / ! !$ ?'- ' ' + ' -2 @ -' ! @-"A ! -"$ " - !$ % @ % ' !A,

!$ "-& , $- %%-//-$ ,6 % 2 % 2'-@,3 F!-@ !? ! @-"A 6 "! -2 2'-@, ! ' , 6' !! " - $ , ?! "-& , ?! '' !? !$ - " ! @-"A -6 " -! 6' !, ,

@ '' , - + '& $ C& %( -2 ! @-"A ,% / , - ! $, -2 " !,6-" &, ",3 6 % 2 % ''( / " : -2 2'-@, 0 ( / 6 " -$ !$ &, " %' ,,1 , , % !6& !

! @-"A ,, ?!/ ! /-$ ', @ % " &, $ - , /&' " !,6-" ,% / , !$ - + '& " %-, , !$ ! 2 , 0# $ %13

, , /- + $ $ + '-6/ ! -2 ,6 % 2 % ,&"+ (, - - ! !2-"/ -! 0&1.

2"-/ -&, -'$4 -" 2 "/4 , $ ! "+ @ ,&"+ (, $ ,%" " 6, / $ (

! "+ @ -+ " ? + ! 6 " -$ - ! "-& ,&"+ (, ! @ % " 64/ A " , ,A $ -& , -" ? ! !$ $ , ! -! 6- ! , 6 ,, !? ( G%-"$-!H ,&"+ (, ! @ % ? + !

" 64/ A " , $ ! 2 $ %-&6' -2 " !, 6- ! ,3 '' -2 ! @-"A4 , $ ,&"+ (, ( '$ '-% ' !2-"/ -! @ % /6' , ,(, / -2 '-% ' ,&"+ (, , " C& " $ -

$ ,%" 6 "! -2 2'-@, ! @-"A ' + '3

- D % + -2 , 6 6 " , - " !? -& ! -6 / ' , , % ' , / -" -2 " 6 2'-@ -2 ! 6 " ! @-"A ' + ' -! , , -2 ' !A4 , $ 2'-@ , / -",

@ % ( ,,&/6 -! " &! , $ -2 ? + ! %%&" %( !$ !$ 6 !$ ! 3 ! @-"A , / -" , &! , $ !$ , / ! / ' + " !% /-!? &! , $ , / -", "

' ! " %-/ ! -!, -2 '-% ' , / -",3 @ !? - ?" 6 4 -" % ! '(, , -6 / ' ' ! " %-/ ! -! , % " % " E $ , ,-'& -! -2 C& $" % / ! / E -!

6"-?" / ,& D % - ' ! " %-!, " ! ,3 , , ,-'+ $ ! ! 22 % ! @ ( ( '$ !? ,(

?" 6 4 -" % 2-"/&' 2-" / ! !$ + " !% + '& , -2 -6 / ' , / -" -2 2'-@ ! @-"A ' + '3 , % " C& " / ! 2-" : , !% , !( 6 2"-/ -" ? ! - $ , ! -! /&, " + ", '-!? ' , -! -2 ' !A, @ '-% '

!2-"/ -!3 , ,-'& -! / -$ , ,( - /6' / ! -! %-/6& " -&"

/ -$-'-?( @-&'$ &, 2&' ! !( 6' !! !? , &$( ! @ % ! / " : , -

" %-+ " $ 2"-/ G" ' + '( &!$ ! H '-% ' !2-"/ -! I / ! !? /-" ! ,&22 % ! . , % , " , , !- '( ! ! "&" ! "- $@ ( " 22 % , &$ ,3

" / !$ " -2 6 6 " , -"? ! E $ ! 2-&" 6 " ,3 % -! 6"-+ $ , , , % '

! '(, , -2 ' !A4 , $ ,&"+ (, !$ " %-/ ! -! - , / ! 2'-@

! @-"A ' + ' ! - -/4&6 66"- % 3 (4 !$ %-/6& -! , , -@! -

!+-'+ $ @ % $ /-!, " , ,%-6 2-" ,(, / % %-/6& "4 , $ 6"-% $&" 3 ! % -! ) 6"- ' / -2 -6 / ' , / -! , @-"A $ -& !$ !$-@ $ @ ,-/

?" 6 4 -" % 6"-6 " , -2 % " % " E -! : , !% !$ &! C& ! ,,3 , , -@! - C& + ' ! - ! @-"A ' % " % ' 6"- ' / @ ' !A " , , !% C& ' - ' !A

%%&" %( 0-2 '-% ' , / -" -2 ' !A 2'-@13 ,-'& -! / -$ , &$ $ ! % -! 8 , , " ? 2-"@ "$ 66"- % - ,-'+ % " % " , % 6"-6 " ( -2 % -! ) ( %-/6& !? ,6 % 2 % !-$ 6- ! ',. , 66"-6" !$ 22 % ! @ ! '' ' !A, "

!2-"/ + !$ ',- @ ! ,-/ ' !A, " &! !2-"/ + 0!- $ !% !2 ! + " !% 1 -! , , -2 ?" 6 %-! " % -!3 , '( % -! 9 6"-+ $ , %-!%'&$ !?

%-// ! , -? " @ ,-/ " , "% -6 %,3

8> )

-) " *' * ! !% . ! ' %* / * ! ' *

! , % -! - -/4&6 66"- % , A ! - %-!$&% , , % ' ! '(, , 2"-/

'-% ' ' + ' -2 ' !A - ?'- ' ' + ' -2 ! @-"A3 ' !A ' + ' / ! ,,& , - - ! , , % ' , / -" -2 ' !A 2'-@. &,& ' / -$ , -

%-/ ! ! , / -" -2 ' !A 2'-@ 0 & , % -! 3*1 - ! , / -" -2 6"-6-" -! -2 6 " @ ! ' !A 2'-@ 0 & , % -! 3 1 ! /&' 6' % + @ ( 0 & , % -! 3)13 ! @-"A ' + ' ' !A , / -", /&, %-/ ! $ ! 6 " '' ' '-!? ! G !2-"/ + ?" 6 %& H @ ! -" ? ! !$ $ , ! -! !-$ , 0 & , % -! 3813

&" "/-" @ ! , + " ' !2-"/ + %& , " + ' ' 2-" ? + ! 6 " , /-"

22 % ! - / A &, -2 '' !2-"/ + ' !A,. , , %%-/6' , $ "-&? ( , ! / : 0 & , % -! 3913

&" - -/4&6 66"- % @ '' ''&, " $ &, !? " !% !, !% -2 ! "&" ! "- $

" 22 %. ! - -&4 " ! , " ? -! '-% $ ! / $@ ( -2 " , !$ -"$ &:

' !A ,&"+ (, @ " 6 "2-"/ $ -! , -2 / ! "- $, ( %-!,&' !%( 2 "/ # #

&$4 & , . , ?&" *3 A !? % , -2 !?-&'J/ , -" ? ! !$ -% 2-" ,

$ , ! -! " " 2 + !2-"/ + ' !A, $ !- $ ( - !$ $ 6 % $ ! ?&" 3 ?" 6 %& K L , ! !2-"/ + %& 2-" 6 "B ,- , K L %& 3 ' , * !$ 6"-+ $ ,,-% $ $ - :6' ! $ ! %-&", -2 , % -!3 / " ' ! % -! , A ! 2"-/ 0'13

!" #

$ %

" &'

(

)* ' + , " &' -

"$. . / +

$

/6' , E M

$ (, -2 %-&!

/6' / ! -2 $ '( %-&!

(N

/6' %-"" % $ , !$ "$ $ + -!

OP0) 1 Q

!$ "$

""-"

P(N Q

*9 * ) 8 738

9 ) 7) * ; 9;)39

, * 7 * 7 7 ; 3*

7)9 ) ;89 *93

* 9 7); ) 8 *39

"$. ) . + # +

/6' , E M % , , -2

/6' / !

!$ "$

""-"

!A 2'-@

$ M % , , N P N Q (N P(N Q

* )) ** 3 )R 3 9R 3 ;3)

;7; *) *3 R 39)R 7*3 37

, * 8) 3 R 3 R 3

* ) *8 *3 *R 3 7R 3 739

* 998 *8 3 R 3 8R 9*38 *;39

-) 0

&, $ !- ( ! "% @ % , ! -" ! $ ' !A - &, $ ( " 6 -!'( !

$ " % -! 2"-/ , ' !-$ - , $ !-$ 3 * , -2 ! @-"A "%,3 !-

( + , -2 6 ",. ! 2 % ! 6 " , %-&6' -2 @- E-! ,

%%-//-$ -" ? ! P" ,63 $ , ! -!Q !$6- ! , -2 " 6,3

,,& , - , / ' !A !$ 0 1 2'-@ ( @ % , !$, 2-" / ! 2'-@

-+ " , -2 -/-? ! -&, / 6 " -$, 2-" !, !% $ (, ! ( "3 %' ,, % ' , / -" (N -2 ( , $ 2 ! $ , 6"-$&% -2 @- "/, 2 ", ! , / -" (N -2 ' !A 2'-@ ( !$ , %-!$ ! , / -" N -2 6"-6-" -! '-!? ' !A3 !

!?-&'J/

-% 2-"

! ,

-?! %

0 ,

1

2 ) 3 4

! 4 ! $ !?#'(

;> )

, / -" (N , &,& ''( $ " + $ ( A !? 0&!@ ? $1 / ! -2 , /6' $ 6 " -$

2'-@,P) Q _=*33 . -'$,

= = )

( * _*

N 3

,,&/ !? , /6' !? ,% / , &! , $ ' !A 2'-@ , / -" , &! , $ !$

-+ " 6-6&' -! -2 , /6' ,.

( ) )

( = * ₌ P Q= P Q= N Q

P _* 3

, /6' , ',- &, 2&' - , / + " !% -2 ' !A 2'-@ -+ " $ , " & -!

-2 6 " -$, ( / !, -2 2-''-@ !? 2-"/&' -2 %-"" % $ , /6' + " !%

= −

∗

= −

( ( (

, _*P N Q

*

* 3

,,&/ !? &! , $ !$ 6 !$ ! , /6' !? -'$, , /6' / ! , , !$ "$

$ + -! -2

( (_N = + "P(N Q=σ >

σ 3

, , 66"-: / $ @ -& , ( , /6' , !$ "$ ""-" ! / '(

(

,(

(N Q > _N

P = ^∗ ≈σ 3

* $ ) ! ' * / ! 2'-@ -! ' !A , , / $ , * + >$ ( @

, !$ "$ ""-" -2 738 + >$ (3

-)- 0 0

! : ,A , - , / 6"-6-" -! -2 6 " @ ! ' !A 2'-@ ( 3

%' ,, % ' , / -" N -2 , $ " + $ 2"-/ ! ! "-& ,&"+ ( ! @ % , /6' -2 " 6, , A ! ,- , - " + ' " -" ? ! !$ $ , ! -! 6- ! ,3 !$ " !-

, ,,&/6 -! -& -2 , /6' $ " 6, " " " 6, @ % '-!? - 6 "

( '$ !? 2-''-@ !? , / -" -2 /6 " % ' 2" C& !%(.

=

N 3

, , % &, ! "( + " ' G= " -" - - '-!? - 6 " H L

∈K*

- 2-" " 6, "-&? ' !A , / ! !$ , /6' / ! -2 N = >

, !% = _=*- 3 ! -+ " 6-6&' -! -2 , /6' ,

= N Q P

-" -+ " ! "( + " ' , $ , " & -! + " !% 0*− 13 + "

6-6&' -! -2 , /6' , " !$-/ + " ' N , + " !% + "P Q> =σ_- >

!% , !$ "$ $ + -! -2 σ_- > 3 !$ " !$ 6 !$ !% ,,&/6 -!

&!%-"" % $ , /6' + " !% ,_- =0 _=*P- − N QS1> " $&% , - N 0*− N 1B , !$ "$ ""-" -! N ,

σπ

− ≈

= − _N

* N 1

* N 0 N Q

P 3

* $ 3 ! ' * 6"-6-" -! -2 6 " !?-&'J/ 4 -% 2-" ! " 22 % -2 ' !A , , / $ , N = 3 )R @ , !$ "$ ""-" -2 3 9R3

-)1 2 %

' , ,A '-% ' ' + ' , - /&' 6'( , / -" -2 ' !A 2'-@ (N ( -2 6"-6-" -! N - ( '$ , / -" (N -2 ' !A !$ -" ? !4$ , ! -! 0 1 2'-@

(

( = ! / '(

( (N = N N 3

,,&/ !? - , % , / -", " &! , $ !$ ( " !$ 6 !$ ! -2 % - " " 6"-$&% , ! &! , $ , / -" -2 ( , !% .

( ( (

(N Q= PN Q PN Q= =

P 3

&" "/-" , 2-" !( @- !$ 6 !$ ! " !$-/ + " ' , . !$ / " 6"-$&% , + " !% + "P./Q=+ "P.Q+ "P/Q+ P.Q + "P/Q+ P/Q + "P.Q 0^*1 -'$,

N Q + "P N Q

P N Q

+ "P N Q

P N Q

+ "P N Q + "P N Q

+ "P( = ( + ( + (

!% P(N Q≈ P(N Q PN Q+(N PN Q+ N P(N Q3

* $ 3 2'-@ -2 6 " !?-&'J/ 4 -% 2-" "-&? ' !A , , / $ (

> =

(N 3 + >$ ( @ P(N _> Q= ;3) + >$ (3

/ " ' ! & , % -! 3* !$ 3 , , !$ "$ , , % ' %A?"-&!$ , 3?3 0013 -@ + " 6"-$&% -2 " !$-/ + " ' , , ' ,, @ ''4A!-@! -6 % 6 " 2"-/

/ ! 2-"/&' @ ! . !$ / " !$ 6 !$ ! P./Q= P.Q P/Q3 + " !%

2-"/&' @ , 66' $ - ! 2'-@ ! 0113

-)3 $ & 4 0 $#

&, !-@ &"! -&" ! -! - ! @-"A 2'-@. , !( " 6 , / $ '-!? ! @-"A

"-& 2'-@ , A ! , - ' "-& 2'-@ -+ " '' "-& , A 2"-/

-" ? ! - $ , ! -!3 -" -+ " , !% ' !A 2'-@, " " ! "-& 2'-@, "

+ ' ' ' &, , "% 2-" ,& , -2 ' !A, ! "% 6 '' "-& , ! 6" % ,

@ ( % -! @ ! ! "% 6 -! %- 22 % ! -2 T*. ! - ' ' !A 2'-@ -+ "

,& , / A , ! , / -" -2 2'-@3 ! ?" 6 -"( ,&% ,& , , % '' $

?" 6 %& 2=P,. U,Q , 6 " !? $ , ! -! !-$ 2"-/ -" ? ! !-$ . , / $

&6 -2 G6 " '' 'H "%, , 6 " !-$ ,& , , @ % !%'&$ , 2"-/

* + "P./Q= P.S/SQ− P./QS = P.SQ P/SQ− P.QS P/QS = P.SQ0 P/SQ− P/QS1 QS1

P SQ QS0 P

P/ . − .

+ - + " ? $ @ ,(// " % ' , / ! -2 + "P/.Q

> )

%-/6' / ! "( !-$ ,& , U, @ % !%'&$ , . + "( − "-& " + ", , 2 ' , -!% !$ !&/ " -2 -" ! $ " + ", ', -2 2 ( /-&! , - T* &, , ,2( !? " C& " / ! -! ! "% 6 -! %- 22 % ! 3

! "% , ! 2 " @ 6-, + -" ! -! $ !- $ ( ₂0 1.=+* 2 , ' , !,

!$ , $ ! U, -" @ ! ? + -" ! -! $ !- $ ( ₂0 1.=−* 2 , ' , ! ,

U !$ , $ ! ,3 ',- ₂0 1.= 2-" ∉23 '-!? %& 2 ! @-"A 2'-@ , , / $ ,

= ∈_{2 2}

2 (

(N _> 0 1N 3

,,&/ !? &! , $ 2'-@ , / -", , , ! &! , $ , / -" , !%

2 2 2 2

2 ( ( (

(N Q= _∈ 0 1 PN Q= _∈ 0 1 =

P _> 3

,,&/ !? 2&" " !2-"/ -! ,-&"% , " !$ 6 !$ ! !

= ∈₂

2 (

(N Q + "PN Q

+ "P _> !%

= ∈₂

2 (

(N Q PN Q

P _> 3

* $ 3 &, %-/ %A - -&" : /6' 3 ,& , K L / A , 2 ", %& 2"-/

!?-&'J/ - -% 2-" @ (N _> = *9837 + >$ ( !$ P(N _> Q= )837 + >$ (3 , %-!$ %& K L 6"-+ $ , ! , / -! -2 (N _> = 9*39 + >$ ( !$

= N Q

P( _> ) 3) + >$ (3

& -2 ' "! + !2-"/ + %& , @ % -! , -&'$ 6" 2 "" $ 2-" -&" 6&"6-, -2 , / -!V ! & + !,@ " , - , ' % %& -2 / ! / ' + " !% !% -2 / : / ' %%&" %(3 ! -&" : /6' 2 ", %& , " ! , %-!$ -! , !%

N Q

P( _> W P(N _> Q3

-) 5 ( # 4# 4 # $

+ ' ' ( -2 ' "! + !2-"/ + %& , ' $, &, - / ! - D % + ! , 6 6 ". -@ %-&'$ @ %-/ ! + " -&, '-% ' ' !A4 , $ 2'-@ , / -", ! ! 22 % ! @ ( !$ + ! & ''( ! ! -6 / ' @ (V

-!, $ " !? ? ! -&" : /6' , / -" -2 ' !A , " $&!$ ! @ 6 " '' '

%-/ ! -! -2 ' !A, . ,&% " $&!$ !%( , -&'$ !- !$&% &, - " D % ' ,,

!2-"/ + ,-&"% & " " - %-/ ! - ,-&"% , ,- , - / : / E " ,&' !?

%%&" %(3

" ' + ! , , % ' --' , % '' $ ( , ! / : &" -2 !2-"/ -! ,-&"% ,.

( , ! ! '(, , , 6&"6-" $ - %-/ ! % & ' - , "+ -! @ 6" -" !2-"/ -! ! -"$ " - ( '$ 6-, " -" !2-"/ -!3 -" !( @- " ' !$ 6 !$ ! " !$-/ + " ' , .

!$ / $ ,%" &! C& 6 !-/ !-! ( , ! / : . ⊗/ , " !$-/

+ " ' @ + " !% ,&%

Q + "P

* Q + "P

* Q + "P

*

/ .

/

. = +

⊗

& !- " @ ( %%&" %( -2 / : , ,&/ -2 -, -2 , % + " ' ,3

&" "/-"

Q Q P

+ "P Q + "P

Q Q P

+ "P Q + "P

Q

P /

/ / . .

. / / .

. ⊗

⊗ +

=

⊗

@ % / !, / : / ! , %-!+ : %-/ ! -! -2 , % / !, @ ? $

( " " ' + , " ! / : %%&" %(3 -" ' -" 2-"/&' : , 2-"

/&' $ / !, -! ' + " ' , 0$ !- !? ( 3_. / " : -2 + " !% 4%-+ " !% -2

" !$-/ + % -" . / : &" 4 =.⊗/ , ,2 , 3₄^−*=3⁻_.^*+3_/^−* !$

Q P _.^* _{. /}^* _/

4

4 =3 3⁻ +3⁻ 13

! !, !% -2 66' % -! 6 " !, - , /6' !? ,% / , @ " ,6 % - , /6' , E 2-"

+ " ' .3 : !? , /6' -2 , E @ !- " , /6' -2 , E ( '$, , /6' -2 , E + 3 + " !% , -2 , /6' / !, , ,2(

. .N Q + "P Q>

+ "P = . .N Q + "P Q>

+ "P =

1

>0 Q + "P N Q

+ "P. ₊ = . +

@ % %-"" ,6-!$, - 2-"/&' -2 / : + " !% , !% .N ₊ = .N ⊗.N 3 / !, -2 , /6' , ',- %-/6'( @ 2-"/&' -2 / : / ! , !%

N Q P N Q

P Q P N Q

P

. .

. .

+ +

+

+

=

= 3

-" -&" 6&"6-, -2 2'-@ , / -! ' α !$ β $ !- @- ' !A ,& , , " !?

" $&!$ ! !2-"/ -! (N_α (N_β. !

N Q P N Q

P N Q

PN_{α β} ⁻ _α ⁻ _β

− ( ⊗( = ( + (

N Q P N Q

P N Q PN N Q

P N Q

P N Q PN N Q

PN _β

β β α α

α β α β

α

+ ⊗

= ⊗

⊗ (

( ( ( (

( ( ( (

(

* $ 3 -/ !? %A - -&" : /6' ( 6 " '' ' %-/ ! -! 6--' !? -2 ' !A, ( '$, 06 " '1 2'-@ -2 / ! + '& *8 3; + >$ ( !$ , !$ "$ ""-" -2 ) 3 + >$ (3 : !? @ 2'-@ -! ' !A ( '$, 6 " ' 2'-@ -2 / ! + '&

* 37 + >$ ( !$ , !$ "$ ""-" -2 3) + >$ (3 6 " '' ' %-/ ! -! -2 6--'

@ ' !A ( '$, ! -+ " '' 2'-@ -2 / ! + '& * *3; + >$ ( !$ , !$ "$ ""-"

-2 ) 39 + >$ (3 , / A , , ?! 2 % ! /6"-+ / ! -+ " , !$ "$ ""-" -2 !(

!2-"/ + %& !$ 6"-+ $ , ! ! "/ $ "( , / -2 / ! 2'-@ @ % , + '& ' % &, -2 ' "? $ ,%" 6 !%( @ ! ' "! + %& , / ,3

-)6 ,

@- ,,&/6 -!, -2 !$ 6 !$ !% 6' ( %"&% ' "-' ! ! '(, ,3 ", ' !A ' + ' @ " C& " ' !A %-&! !$ ,&"+ ( - !$ 6 !$ ! . !$ $ , , , "-!? ,,&/6 -! ,6 % ''( ,- ! ! "&" ! "- $ " 22 % @ " " , %-!, $ " '

$ (4 -4$ ( + " -! @ " , 2-" %-!-/ % ' , A , ,&"+ ( , 2-%&, $ -! -! -"

2 @ $ (,3 ! , /6' -2 6 ", $- , " 6" , ! " 22 % -2 ,&"+ ( $ 6 " -$0,1 " " ! @ -' 6-6&' -! -2 " 6, %"-,, , -2 6 " -$,3 , , ! ,,& -2 ''4" 6" , ! -! -" -2 !$ " % $ 6 !$ !%( " " ! -2 , , % '

* > )

$ 6 !$ !%( , !% , , % ' 6"- -%-', 2-" ' !A %-&! , -! -! !$ ' !A ,&"+ ( -! - " !$ / ( 6 "2 % '( @ '' !$ 6 !$ ! B -@ + " / " , " % -! -2 ,&"+ ( !$&% , ! !$ " % $ 6 !$ !%( "-&? ,6 % 2 % , "&% &" -2 " 22 % ! ,&"+ ( $ 6 " -$ , %-/6 " $ - -+ " '' , "&% &" -2 " 22 % %"-,, , -2 6 " -$,3

%-!$ ! 2" / @-"A -2 ( , ! / : &" , % + " ' , " " C& " $ -

!$ 6 !$ ! . &, ! : /6' @ @ " $" + ! - A 6 " !$ $ ! 2( ,

" $&!$ ! @ K L !, $ -2 6--' !? K L @ K L !

, " ? 2-"@ "$ @ (3 ! 6" % % , " ? 2-"@ "$ 6--' !? -2 !2-"/ + %& ,

@-&'$ -2 %-&", ( '$ /6"-+ / ! -+ " , ' % -! -2 -!'( -! !2-"/ + %&

-2 ' , + " !% 3 A !? / ! -2 @- %& , @-&'$ ( '$ / ! 2'-@ -2 )3* + >$ ( I ',- ! ! "/ $ "( + '& I !$ ! 66"-: / 0( 2' @ $1 , !$ "$

""-" -2 ;3 + >$ (3

" 2-" / ! ,,& , - $ , ?! ,(, / % 6"-% $&" - %-/ ! '-% '

!2-"/ -! ,-&"% , ! - ! @-"A , / -" -2 2'-@3 $/ $'( ' -&? -&"

: /6' @ , $ , ?! $ , %' ,,"--/ % , , (4 !$ " / ! @ , ,-/ @

!+-'+ $ !$ $ -&,3 ! : % -!, 6"-+ $ ,(, / % 6"-% $&" -2 @ %

%-/6& " /6' / ! -! , ,(3

1) *' % " *' .* 7 8 7*, % * "

&, !-@ , 6"- ' / -2 -6 / ' , / -! !$ 6"-+ $ / / % ' ! '(, ,

!$ % " % " E -!3 ! & , % -! )3* ,-/ !- -! , ? + ! !$ ,-/ ?" 6 4 -" % 6"-6 " , " " % '' $3 ! ! & , % -! )3 6"- ' / -2 -6 / ' , / -! , , $ -! , -2 ' ! " %-/ ! -!, -2 ' !A 2'-@, , ! &! , $ %-/ ! -! -2 / ! / ' + " !% . @- ' // , " '62&' 2 ", - % " % " E ! &! , $ ' ! "

%-/ ! -! !$ , %-!$ - " ' - ! @-"A 2 '$ -2 !-$ 6- ! ',3 :

& , % -! )3) , $ +- $ - $ " + -! -2 -6 / ' ( %-!$ -!, @ % /-&! - ' ! " ,(, / ! !-$ 6- ! ',3 ! & , % -! )38 ,,& , -2 : , !% !$

&! C& ! ,, -2 ! -6 / ' , / -" " $$" ,, $3 & , % -! )39 6"-+ $ , ! ' "! + C& + ' ! 2-"/ , ! ' % " % ' ! @-"A 6"- ' / -2 ! "?( / ! / E -!

@ " ! "?( 6 " !, - , , % ' /6" % , -!3 , '( 2" / @-"A , $ 6 $ -

" ' : ,,&/6 -! -2 !$ 6 !$ !% @ ! '-% ' , / -",3

1) 4 #

= %-!, $ " ! @-"A ?" 6 5=P *Q @ " , , -2 !$ * , -2 @ ' !-$ !⁺ !$ $ !-$ ! 3⁻ @- 6 " %&' " !-$ , " ? + !.

6 !$ 3 ! @-"A , , C& !% -2 $ , !% "%,

* 333 ,&% 2-" !( $ -2 , ' -2 _+*3

&, " % '' $ 2 ! -! -2 !-$ 4 "% !% $ !% 2&!% -!,.

4 6-, + !% $ !% 2&!% -!. ⁺0 1=* 2 ' + , -" - "@ , 4 ! ? + !% $ !% 2&!% -!. ⁻0 1=* 2 ! ", -" - "@ , 4 0! 1 !% $ !% 2&!% -!. 0 1= ⁺0 1− ⁻0 13

7 , ×* / " : @ -, ! " , " 0 13 2 ?" 6 Q

P *

5= , @ ? , -! , "%, 68 7 , ×*

/ " : @ -, ! " , " 0 1 3

7 -2 /&' ?" 6 5=P *Q @ "% @ ? , ,

,(// " % × / " : $ 2 ! $ (

= 1 X 0

"%

! , 1 0 -"

1 0 2

$D % ! 4

!-!

"

X

!$

!$

X 2

X 2

1 0 1 0 .

1 0 .

′

− ′

≠

=

′ ≠

≠

' , ' ! / !, 2 !$ X " $D % ! + '& -2 %-"" ,6-!$ !? ! "( ! 6' % ! / " : , ,&/ -2 @ ? , -2 '' "%, + !? !$ X , !$6- ! ,3

! 6 " %&' " 2 5 , , /6' ?" 6 , ,&/ , /-, -! "/. _{0 ′1} -" _{0 ′ 1} 0@ " 0 ′1 -" 0 ′ 1 : , ,13

2-''-@ !? 6"-6 " ( @ '' &, 2&' - &,.

= 3

6 " =0 1 , , "+ % $ ( -4$ "-& , ∈9 ,&% !( "% % !!-

" + ", $ /-" ! -!% ( . ! "%4"-& !% $ !% 2&!% -! 0 1 , $ 2 ! $ (

* 1

0 = 2 ∈ -" 0 1= 2 ∉ 3 2'-@ ( , / $ &6 -2 "-& 2'-@,

∈

∈ =

= ₉ ( (

( 3

&" - D % + , - " %-+ " / ! 2'-@ ( -2 &!$ "'( !? " !$-/ + " ' (

@ % !$&% , " !$-/ 2'-@, ( -2 / ! + '& ( 3 !2-"/ -! ,-&"% , " ' !A 2'-@ , / -", (N @ % @ ,,&/ - + !- , !$ + " !% σ 3

&" "/-" 2'-@ , / -", -2 $ , !% ' !A, " ,,&/ $ - !$ 6 !$ ! !% %-+P(N (N Q= 2 ≠ 3

1)- & 4 #

&, !-@ , 6"- ' / -2 -6 / ' , / -" ! 6" % , @ ( , 2-''-@,.

:5 (N σ

∈ λ

= _* (

(N N 8

8 λ 8 8 8 ; ; P(N Q=(

∈ σ λ

= _*

(N Q

+ "P 6 8 <;

&" / / % ' ! '(, , , / $ - $ /-!, " -" / 2-''-@,3

0 9 # & 4 ) =8

∈ λ

= _* (

(N . N 8 8 λ =π0!⁻1−π0!⁺1

- ≈0!⁺ !⁻1∈* 8 8 π∈ℜ 8 6

-

* > )

* 1 0

1 0

L K 2-"

1 10 0

= π

= π

∉

=

σ π

%

0*1 ,(, / -+ , ' ! " %-!, " ! , !$ &!A!-@!,3 !% , ,( -

%-/6& ' ! " &! , $ , / -" -2 -6 / ' + " !% 02-" !, !% -! , , -2

&,, ! ' / ! -!13 = ! (N , !- + ' ' 2-" ,-/ "%, , , '' 6-,, ' -

%-/6& , ' ! " , / -" @ , /6' % ! C& -2 ?" 6 %-! " % -! , :6' ! $ ! ! : % -! 06"-+ $ $ " ' , -! − %& @ (N

+ ' ' -! + "( "%13

6"--2 -2 -" / * , , $ -! @- ' // ,. 2 ", - % " % " E ! &! , $ ' ! " , / -" ( , -2 %-!$ -!, -! %- 22 % ! , 0λ 1 _∈* '-!? !( −

"-& B , %-!$ - " 6' % , %-!$ -!, -& "-& , ( ! C& + ' ! %-!$ -!

@ % 6 " !, - !-$ 6- ! ', !$ , /&% /-" " % ' 3

% 9 + & 4 ) =8 (N = _∈*λ (N

8 − - 8 _∈ λ =* −

∈9 ;

3 " !$-/ + " ' (N , ! &! , $ , / -" 2 !$ -!'( 2

= ∈

=( (

(N Q

P 3 0 1

", (N = _∈*λ (N 3 %-!$ (N = _∈ (N _> ! @ % 2'-@ -2 "-& ,

! "% 6 $ -! "% , !$ : $ ',- ( G > H - !$ % , / -" , !- -! ' 0 , !- " C& " $ - + @ -!'( &, ' !A , / -"1. , @ ,,&/ &! , $ ' !A 2'-@ %-!, , ! '( !- -! ' , / -" , -&'$ &! , $ !%

( (N Q=

P _> 3 ! %-/ ! !? @ ? P(N Q= _∈*λ _∈ P(N _> Q !%

∈ ∈ λ

= ( _*

( P Q3 0)1

-" , / -" (N - + !- , - 0 1 !$ 0)1 /&, -'$ 2-" !( + '& -2 / !

"-& 2'-@ ( . ( $ ! 2 % -! /&, -'$

∈9

∀ _∈*λ =*3 081

% -9 ! & ) 0λ 1 _∈* 7 - 8 5

ρ - ; =8 _∈ λ =ρ 9 −

- 8 7 π=Pπ0 1. ∈ Q∈ℜ 8 8

3 π0 1= 3 π0 1=ρ

3 λ =π0!⁻1−π0!⁺1 - ≈0!⁺ !⁻1∈*;

) &, $ 2 ! λ = _∈ λ 2-" !( "-& !$ $ !- ( ≥ P" ,63 < Q &6, " / ,& 6 -2 2"-/ , -" ? ! &6 - P" ,63 6 " -2 , " % '(

$-@!, " / -2 Q3 !$ $ 2 ,&% ! @-"A 6- ! ' π : , , ! λ , ,2 ,

" + ''( λ =ρ 2-" !( − "-& 3 -!+ ", '( ,&66-, ,&% λ : , ,3 2 !

. 1

0 =

π 3 -" !( !-$ ! 5 $ , !% 2"-/ !$ ,&% " , ! − "-&

6 ,, !? "-&? $ 2 ! π 0 1.=λ _≥ . ! 2 % π 0 1 $- , !- $ 6 !$ -! , !% 2-"

!( - " -4$ "-& > 6 ,, !? "-&? 2"-/ %-!, " ! , -! λ @ + ρ

= λ +

π 0 1 _≤ , @ '' , π _′0 1+λ _′≤ =ρ & 0 ≥ 1 0 ′≤ 1 / A , ! ! "-&

!% λ _≥ +λ _′≤ =ρ @ % /6' , λ _≥ =λ _′≥ =π0 13 &, !-@ % %A

6- ! , 3

3 π0 1= ( $ 2 ! -!3

3 π0 1=ρ , !% ,&/ -2 λ -! "-& 2"-/ - , C& ' - ρ3 3 A ! "% ≈0 ′1 " + ", $ ( ! ! "-& . , ρ=λ _≥ +λ +λ _{≤ ′} @

1 π0

=

ρ A!-@ !? λ _≥ =π0 1 !$ λ _{≤ ′} =π0 1−π0 ′1 -'$,

1 0 1 0 ′ −π π

=

λ 3

% & ''( // -'$, 2-" ,& ! @-"A 5 =P * Q $ 2 ! $ (

−

≡ + @ !-$ , ⁺ %-/6" , $ -2 '' !-$ , " % ' 2"-/ ( 6-, + − "-& !$ !-$ , ⁻ / $ &6 -2 '' !-$ , %-!! % $ - ( 6-, + − "-& "% , * !? " , " % -! -2 * - "%, @ - $ !$ ' ! 3 - !,&" // - -'$ 2-" @ -' -2 * ' π0 1.=π0 1 -! ⁻ U ⁺ ' π0 1.=π0 1 -! ⁺ U ⁻ !$ ' π0 1.= -& -2 ⁺∪ ⁻3 &,

=

λ 2-" ∈*U* @ % , %-!, , ! @ ( = !$ σ = , !% !- −

"-& 6 ,, , "-&? 3

// , ! / @ , $ + , $ 2 " 0?13

" !? !? $ 2 ! -! -2 ! -6 / ' , / -" -? " @ // * ' ! "

%-/ ! -! 0λ 1 _∈* , -6 / ' 2 !$ -!'( 2 ,-'+ , 2-''-@ !? %-!+ : 6"-?" /.

ℜ ∈

∈ λ

λ σ

* *

! B λ =*

∈

2-" + "( − "-& 3 091

! 6" , ! 2-"/ , -2 %-!, " ! , , ! :6-! ! ' $ ,%" 6 -!3 ! &, !?

// - " $&% !&/ " -2 %-!, " ! , 6"-?" / -+ , C& + ' ! -

1 0

1

0 P 0 1 0 1Q

!

*

π

′ − π σ

′∈ ′

ℜ

∈ π

B π0 1= B π0 1=* 0;1

-" ! /-" %-/6 % @ (

! _σπ

ℜ

∈ π

B π0 1= B π0 1=*3 071

- ,-'+ , %-!+ : / ! / E -! 6"-?" / ,& D % - ' ! " %-!, " ! , ' &, @"

?" !? ! 2&!% -! L = _σπ +µ π0 1+µ Pπ0 1−*Q ! @ % G$& 'H + " ' , µ

!$ µ " ,,-% $ - 6- ! ' %-!, " ! , !-$ !$ " ,6 % + '(3 22 " ! !? ?" !? ! @ " ,6 % - + " ' , π0 1 2-" ∈ ( '$,.

1 10 1 0

0 = π

π

∂

∂

σ σ

L 2-" ∉K L 0 1

*8> )

µ + π π =

∂

∂

σ σ 10 1 1 0

0

L !$

µ + π π =

∂

∂

σ σ 10 1 1 0

0

L 3

, , ,( - $ 2 ! µ !$ µ ,- , - , ,2( -+ " ' -!, 2-''-@ !?

%-!$ -!, " ! % ,, "( !$ ,&22 % ! 2-" -6 / ' ( -2 6- ! ' 2 '$ π. 1

10

0 _{σ σ}π = 2-" ∉K L 0 1

* 1

0 =

π 1

0 =

π

@ % , : % '( %' / ! -" / * , !%

σ σ

σ = 3

1)1 0 # ( $ 4 # :#

6"- ' / , , $ ! 071 , C& $" % / ! / E -! 6"-?" / @ !-! ! ? +

%- 22 % ! ,. " : , , ! -6 / ' ,-'& -! 2 !$ -!'( 2 " , 2 , ' ,-'& -!

@ % % ! $ " + $ -! , , -2 2-''-@ !? // 3

% 19 ! & " # )=8 6 @" -

- 8 ! 2=P,. U,Q

8 σ <∞; =8 π0 1.= ∈,

* . 1

0 =

π ∈ U,;

3 2 " , ! ! "-& @ % $- , !- " + ", !( !2-"/ + "% ! ,

/6-,, ' - , / 2'-@ , !% "-& 2'-@ % !!- , / $3

! % ,, "( !$ ,&22 % ! %-!$ -! 2-" !- &! !2-"/ + − "-& - : , , !

!2-"/ + %& : , , , 6 " , 2"-/ . , ,&22 % ! % &, 6"- , : , !% -2 ! &! !2-"/ + − "-& !$ , ! % ,, "( % &, 2 !- ,&% %&

: , , ! " " , ! &! !2-"/ + − "-& -" " , !- − "-&

/ ! !? ! !2 , ' 6"- ' /3 2 , ' ,-'& -! ,,-% $ - ! !2-"/ + %& 2 ( '$, λ .= ₂0 1>σ '-!? %& !$ λ .= -& -2 3

-& &! C& ! ,, ! ? ! " ' ' ! " ,(, / 6"-+ $ $ ( -" / * , !-!4, !?&' "

/ ! !? -6 / ' ' ! " , / -" , &! C& 3 -" 6" % , '( @ + 2-''-@ !? "-6-, -!3

9 + :# ) + 8 (N 8 -

8 8 - @" - 8 =8 # ! 6 ;

) &, ,&66-, " " @- -6 / ' ' ! " , / -", (N = λ (N !$

λ′

=

′ (

(N N @ + "P(N Q=+ "P(N′Q3 -'$,

N Q + "P 1 N Q + "P N Q

+ "P 0

N Q + "P 1 0

N Q 5 "P N

N Q + "P

*

*

*

( (

(

( (

( (

= λ′

+ λ

≤

′ = +

≤ ^{λ +λ′}

3 , %-!$ ! C& ' ( , /, 2"-/ 2 % 0λ +λ′ 1 ≤ 0λ +λ′ 13

!% '' ! C& ' , " C& ' , !$ 0^{λ +λ′} 1 =^*0λ +λ′ 1 2-" + "( "% ,&%

N Q

+ "P( ≠ 3 3 λ =λ′ 2-" + "( "% ,&% + "P(N Q≠ 3

-" !, !% 2 " " , + " ' − %& , @ + " !% E "- ,(, / , , !?&' "3 " 2 " " ' $ " / "A -& ! -6 / ' ' ! " , / -" -2 !&'' + " !% E "- ,

? + ! @ % / ( , /6' 2( ! ,-/ % , , %-!, "&% -! -2 , / -"3

-) + 8 8 8 8

− ;

) A ! -6 / ' ' ! " , / -" -2 + " !% E "-3 = ! + " λ ≠ @ + N Q

+ "P( = 3 !% λ %-/ 2"-/ 6- ! ' 2 '$ π " , !-!E "- λ -! !(

− 6 0$ " % $ -" !- 13 !% 2 @ $ ' '' "%, @ λ ≠ !$ " !

$ , !% %-!! % $ %-/6-! ! , 0%-!! % $ ! , !, -2 &!$ "'( !? &!$ " % $

?" 6 13 " , " 2-" ! − %& @ λ ≠ 2-" '' , "%, !% + "P(N Q= 2-" '' , "%, /6'( !? %& , / -" , + " !% E "- !$ , -6 / '3

1)3 5 ; & $

! ' ! " ,(, / % " % " E , -6 / ' !-$ 6- ! ', % !-$ %-!, " ! 2-"/&' $ , ∂L>∂π0 1= !-$ % ! ! "6" $ , 2'-@ %-!, "+ -!

%-!, " ! 3 , ' $, &, - $ , ?! 6"- ' / -2 ! @-"A 2'-@ 6" % , '( !-!' ! "

$ , " & -! 6"- ' / @ % , C& + ' ! - !-$ 6- ! ' 6"- ' / !$ ! ' , -!

- $ ' @ &! !2-"/ + ' !A, ! , " ? 2-"@ "$ @ (3 &, " , ,(, / 0 1 ,.

1 10 1 0

0

* = π + =

π

∂

∂

σ σ

L 0* 1

@ =µ > =µ > !$ = ∀ ∈ UK L3

, _σπ=Pσ 0π0!⁺1−π0!⁻11Q _∈* !$

−

+ ∈

+

∈

−

∈

− +

σ σ

π

− π σ

− π

− π σ

=

π

− π σ

= π

*

*

*

11 0 1 0!

0 11

0!

1 0 0

11 0!

1 0!

0 1 0 1

10 0

,(, / , C& + ' ! -

*

* σ π −π − σ π −π =

∈

∀ _∈ ⁺ P 0!⁻1 0 1Q _∈ ⁻ P 0 1 0!⁺1Q

! " 6' % !? σ Pπ0!⁻1−π0!⁺1Q ( ! "% 2'-@ 7 @ ?

*

* 7 − 7 =

∈

∀ _∈ ⁺ _∈ ⁻ 0**1

-" ! / " : !- -! 7=

@ % , , %-!, "+ -! -2 2'-@ !-$ -" /-" 6" % , '(. !-$

! @-"A 2'-@ 7=P7 Q _∈* " % + , ! !2'-@ 2"-/ -& , $ 3 !-$ , $ , !%

2"-/ !$ ! !2'-@ , E "- / ! !? 2'-@ %-!, "+ -!3 ! @-"A /6-" , @ " , ! @-"A /6-" , . ! /&, -'$ =− 3

*;> )

= ',- % " % " E 2'-@ 7 ( " C& " / ! " : , , 6- ! ' + % -" π ,&% 7 = σ Pπ0!⁻1−π0!⁺1Q3 9 =*>σ 2 σ > -" 2 σ =∞ -" 9_{/ :} - "@ , I ! " " " '( ' "? + '& - %-6 @ % , -2 E "- σ @ % / !,

$ "/ ! , % A!-@' $? -2 ' !A 2'-@ ( !$ ' *O ,& , -2 !2-"/ + ' !A, @ σ <∞. -'$,

O

∈*

∀ π0!⁻1−π0!⁺1=9 7 0* 1

! &! !2-"/ + "% , !2 ! + " !% ,- 7 , 2 ! -!'( 2 π0!⁻1=π0!⁺1 @ % 2&" " " C& " , 9 7 - E "-3 , , %-/6 ' @ 0* 1 66' $ - ∈*U*O @

=

9 ,- 2"-/ !-@ -! $ , !% -! @ ! *O !$ * % ! ?!-" $3 ! / " :

!- -! ' !? _* = ?P9 . ∈*Q : !, -! -2 0* 1 -* , " , $ ,

*7

= π

− 0*)1

, -2 %-!$ -!, 0**1 0*)1 /-&! , - 6" / '4$& ' -6 / ' ( %-!$ -!, -2 2-''-@ !? -6 / E -! 6"-?" /.

= ∈

≡ _{* *}

7 071 ^*7 7 ^* 9 7

/ ! ,3 3 7= 0*81

, !% -, 6" / '4$& ' %-!$ -!, " / $ &6 -2 0**1 -? " @ E "- !? -2

?" !? ! $ " + + , ∂L >∂7 =9 7 +π0!⁺1−π0!⁻1 ! @ % π0 1 !-@ , !$, 2-"

$& ' + " ' ,,-% $ - !4 %-!, " ! 0 710 1= 3

&, ! @-"A 2'-@ , ! -6 / ' ,-'& -! - 6"- ' / -2 / ! / E !? ,-/ A !$

-2 ' % " % ' ! "?(3 "% " , , !% 9 =*>σ , " % 6"-% ' -2 ' !A + " !%

!% , -/-? ! -&, - 6" % , -! 0-" %%&" %(1 ! ( , ! / : &" 3 = % ! ',- !A -27 , ! /6" % , -! 2'-@ ! %-!, , !%( @

!&/ "

, , !%

1 0 1

0 5 " !%

!

/6" % , - ≈ ≈σ ∆π ≈σ ∆π ≈7 ∆π

- ,&/ &6 -&" $ ,%&,, -! ' &, , .

0 -9 $ 3 8 6 8 5=P *Q 8 !

7 8 6 7 _* ! 8 9 =*>σ

8 8 +* −* 8 ; =8

7 8 A 071=^*7 _*7 2 7= -

1

π0 = 7 >σ ; 6 λ .= >0π0 1−π0 11 8

∈*

λ 1

0 (N .= _∈*λ (N

8 − ( 8 8 6 !

(N σ ;

" !? -2 '?-" /, @ " $ , ?! $ - ,-'+ ' % " % ' ! @-"A 6"- ' / 0*81

!%'&$ !? / -$, ! '-?-&, - " 22 % ,, ?!/ ! '?-" /, , !% ' % " % ' C& ' " &/ %'-, '( " , / ' , " 22 % C& ' " &/ I , 3?3 0@ #B13

1) 0 $ 4 4 $

2 ' !A , / -", (N " !$ 6 !$ ! ! " %-+ " !% , ,2 , %-+P(N (N Q= 2 ≠ 3 -@ + " ,-/ $ 6 !$ !% , / ( " , ( '$ !? !-! E "- %-+ " !%

/&, A ! ! - %%-&! 3 , , " ? 2-"@ "$ - : !$ !-$ 6- ! ' 6"- ' / -

% , . $ !- !? ( .=%-+P(N (N Q !$ A!-@ !? σ =%-+P(N (N Q + " !% -2 ! @-"A , / -" %-/ ,

∈ λ λ

= _*

(N Q

+ "P 3 0*91

= " ,6 % - !-$ 6- ! ', " , '' ! -"$ " , !% ! &! , $ , / -" ,

" C& " $ !

∈

+

− +

− −π π −π

π

=

=

π1. + "P(N Q _* P 0! 1 0! 1QP 0! 1 0! 1Q

0 0*;1

6"- ' / -2 + " !% / ! / E -! , '' , 2 ", 4-"$ " -6 / ' ( %-!$ -!, "

' ! " ! π0 1 + " ' , , !%

∈ ≠

+

− +

− −π + π −π

π σ π =

∂

∂

* 0 1K P 0! 1 0! 1Q P 0! 1 0! 1QL

1

0 0*71

' ! " ,(, / -2 E "- !? ?" !? ! $ " + + , %-/ ! ∂ >∂π0 1 @ 6- ! ' %-!, " ! , !-$ , !$ , , '' ,( - ,-'+ 3 2 , ' ( !$

: , !% %-!$ -! , , / , ! !$ 6 !$ ! % , % &, ,, ! '

" C& " / ! , - + ! !2-"/ + %& , 6 " !? 2"-/ / $ &6 -2

!$ 6 !$ ! -" $ 6 !$ ! '-% ' , / -",3

3) *' % " *' * , *,

2 / ,&" (N , + ' ' 2-" + "( "% &, $ ( − 2'-@ , ' ! "

, / -" , , '( %-/6& $ 2"-/ ,(, / ! -" / * "-&? &,, ! ' / ! -!3 ! , % -! @ @ '' , -@ - $ ' @ "%, 2-" @ % !- !2-"/ -!

, + ' ' !$ -@ - % %A 2 " " !-&? / ,&" , (N - $ " + ! @-"A , / -" (N 3 , % ! 6"-+ $ ,-/ !$ % -! ! $ , ?! -2 ! - , "+ -! ,% / 3

+ " ' : /6' , -2 / -$ @ '' ? + !3 , '( @ , '' ! '(E

%-/6& -! ' %-/6' : ( -2 '?-" /3

3) .0 2 & $ <

% & ''( !,@ " , ,(3 ! %-!+ : 6"-?" / ! 6"--2 -2 -" / *

!$ : , -2 ,&/ σ λ , " , " % $ - -, "%, 2-" @ % / ,&" (N , + ' ' -2 2 ! + " !% σ <∞3 -@ 2-" !( "% ≈0 ′1 2-" @ % !-

!2-"/ -! , + ' ' 3 3 σ =∞ ' &, $ 2 ! λ .= !$ A %-!+ ! -!

3∞= 3 , $- , !- ' " -6 / ' + '& -2 %-!+ : 6"-?" / 2 , 2 , '

!$ !-@ ,&/ -2 λ '-!? !( − "-& , @ ''4$ 2 ! $ !$ C& ' - *3

" / !$ " -2 6"--2 -2 -" / * %-/ , + ' $ !$ ( '$, π0 1=π0 ′1

@ " + " !- '-% ' !2-"/ -! , + ' ' -! "% 0 ′13 , / !, @ %-&'$ +

%-! " % $ !( ,&% "% @ -& /-$ 2( !? ,-'& -!3 -2 ! "% ,

* > )

%' ,, % ' -6 " -! ! ?" 6 -"( 0##13 % '' !? , ! "% -2 @ % !$6- ! , " $ ! % ' - ! "% / !,.

• - &! 2( , @- !$6- ! , ! - , !?' !-$ B

• - $ ' '' '--6, / ( + 66 " $3

/ -$ 2-" 2 !$ !? , ' ! " , / -" % ! ,&// " E $ , 2-''-@,.

3 8 8 ; =8 8 -

=8 # 8 6 8 8 8 8 8 !

; - 6 8 6 6 8 6 8

8 8 8 6

8 λ 8 8 ;

- , C& !% -2 %-! " % -!, , , '( %-/6& $ 2-" !, !% -! , , -2 2-"@ "$4, " " 6" , ! -! -2 ! @-"A3 %-! " % $ ?" 6 ( '$, ' ! " ,(, / -2 " $&% $ $ / !, -! @ % ''-@, 2-" 22 % ! ,-'& -!3

3)- " 4 $ 0 4 0 #

%%-"$ !? - 6" + -&, & , % -! 2 2 " '' 6-,, ' %-! " % -!, !-$ , !$

+ ! &! 2 $ ! !- ! 2'-@ % ! , / $ 2"-/ + ' ' / ,&" ,3

! ' "! + , ,.

8 8 ; * 8 −

- 8 ;

- , ,( - , 2 @- !-$ , " ! , / %-!! % $ %-/6-! ! 0@

$ 6 42 ", 4, "% 2-" !, !% 13

-" -+ " '--6, @ + ' ' / ,&" " $ ' $ $&" !? %-! " % -! , 6, "

&, ' ,,. / ,&" , -! ,&% '--6, " '-, 3 !%

= 8 8

− ;

3)1 (

$ ) -!, $ " ?" 6 @ @- "%, ! , " ,. 0 1 !$ 0 1 , !

?&" ) 3 &66-, @- / ,&" , (N_{0 1} !$ (N_{0 1} " + ' ' !$ + , / , !$ "$ $ + -! σ =*3 &,

−

−

−

−

σ =

*

*

*

*

*

*

&, 66'( -" / *. π0 1= π0 1=* !$ −π0 1+ π0 1−π0 1= 3 &, 1 *

0 =

π 3 -6 / ' %- 22 % ! , 2-" "%, 0 1 !$ 0 1 " - C& ' - ^*3 -6 / ' , / -" (N , C& ' - ^*(N_{0 1}+^*(N_{0 1} ! %%-"$ !% @ ! & -!

, " ' %-/ ! -! -2 - , "+ -!, /-&! , - 6--' !? / @ ,6 % 2 %

@ ? ,3

$ ) -!, $ " ?" 6 @ @- "%, !$ X ! 6 " '' ' , ! ?&"

) 3 &66-, @- / ,&" , (N !$ (N _X + , / , !$ "$ $ + -!

X =* σ

=

σ 3 %%-"$ !? - -" / * -6 / ' %- 22 % ! , " - C& ' -

* 1 0 1

0 −π =

π 3 -6 / ' , / -" (N , ! C& ' - (N +(N _X ! %%-"$ !% @ ! & -! 6 " '' ' $ %-/6-, -! -2 2'-@ %-"" ,6-!$, - ,&// -!3

0 $ ( " $ -) -!, $ " " ' , % : /6' ! % -! 3 -! " % -! -2 &! !2-"/ + "%, ( '$, ?" 6 $ 6 % $ ! ?&" 83 , ?" 6

, " !-$ ,. !$ !$ 2 + "%, * C 3 3 !- !? ',- (

3 C

* + " !% , -2 %-"" ,6-!$ !? "%, @ - !

3 C 3

C

3 3

*

*

C

* C

*

+ + +

−

−

−

−

−

−

− +

+ +

−

−

− +

σS =

66' % -! -2 -" / * ( '$, π0 1=* !$ ',-

1 0 1 0

1 0 1 0

1

0 + + + + π − + + π =

π

−* * 3 3 3 , ' $, -

3

* 3

+ + +

+

= +

π0 1 -?! % !-$ 3

!% λ_* =π0 1≈ 38* λ_C =* λ₃ =λ =λ =*−π0 1≈ 39 3

&, -6 / ' , / -" -2 2'-@ ,

C

*

3 ( ( ( (

(

(N ≈ 39 0 + + 1+ 38* +*3

λ ≈* + >$ (

@ ' , + " !% /-&! , - λ σ ≈ 38*S03+ + 1+ 39 S*+*3 SC≈ ) ( '$ !? ≈) 8 + >$ (3

, , %-!, , ! @ !$ , /6' " ! (4 !$ %-/6& -! ! % -! 3

2 5 ,

3 / ,( ( " &' - ( + ,

!?-&'J/

-% 2-"

-?! % ,

> )

3)3 , # $0 4 $ ( 5

0" ,63 1 $ !- !&/ " -2 !-$ , 0" ,63 "%,1 ! -" ? ! ' ! @-"A !$

, E -2 , = -2 !2-"/ + ' !A,3

?" 6 %-! " % -! - A 6 -!'( !2-"/ + ' !A, !$ - $ ' '--6, " C& " ,

!&/ " 0 + 1 -2 ' / ! "( -6 " -!,3 - 6"-+ , %' / ! 22 % ! '?-" / , 6"-+ $ $ " 2 " , !% ! Y+ /6' / ! -! @-&'$ ' $ - %-/6' : ( -2

1

0 3 '?-" / !%'&$ , 2-''-@ !? , 6,.

4 * ; 3 ,,&/ 2-"@ "$4, " " 6" , ! -! -2 -" ? ! ' ! @-"A @

!-$ 2 '$ P Q - !$ % 2 ", 6-, -! -2 ! -& ?- !? "% ∈*⁺ !

"" ( -2 "%, !$ "% 2 '$ P Q - !$ % $ !-$ -2 "% 3

4 * $ $ 3 ,,-% - % !-$ , !%-/ !? "%, ( & '$ !? %A@ "$4 , " " 6" , ! -! -2 -" ? ! ' ! @-"A @ !-$ 2 '$ P Q - !$ % 2 ", 6-, -! -2 ! !%-/ !? "% ∈*⁻ ! %A@ "$ "" ( -2 "%, !$ "% 2 '$

Q

P - !$ % ' !-$ -2 "% 3 ! &: ' "( 2 '$ P Q , " C& " $ -

%-&! "%, %-/ !? ! 3 , @-"A, , 2-''-@,.

• .=* P Q.= D

• .=* .= P Q P +*Q−* P P QQ.= P P QQ+*D

• P*Q.=*D

• .=* P +*Q.= P Q+ P Q P Q.= D

• .=* .= P Q P +*Q−* .= P Q

= + P QQ. Q

P P P Q.= P Q+*;

4 , $ 4 $ 3 ,, ?! % !-$ - , %-!! % $ %-/6-! ! !

! @-"A P *U=Q 3 3 ,& , -2 '' !-$ , ,&% " , 6 2"-/

- / $ &6 -2 "%, ! *U= @ + " "% $ " % -!3 / -$ - $ ,%-+ "

%-!! % $ %-/6-! ! , - / "A !-$ , 6"-?" ,, + '( -!'( -! / % . -! 2 ", / ! "% %-!! % -! " + ', !-$ '-!?, -

%-/6-! ! &!$ " %-!, "&% -! !-$ , !%'&$ $ ! % ! $ ' , - @ 2-"

" / ! @ % %-!, , , ! , "% !? , -@! %-!! % -!, - - " !-$ ,3 - !$ 2-''-@ !? 2 '$, " " C& " $. 2 '$ P Q - " ' !-$ - ,

%-/6-! ! @ % , " 2 "" $ - ( , / ! /&/ !-$ !$ :B %-/6-! ! !$ : Q

P - " ' !-$ - , %-/6-! ! !$ : ° !K*33ZL @ " Z , !$, 2-"

!&/ " -2 %-!! % $ %-/6-! ! ,B !$ " + ", %-/6-! ! " P °Q - " '

%-/6-! ! !$ : ° - , !-$ -2 / ! /&/ !-$ !$ :B !$ ',- G! : !-$ H

2 '$ P Q - % ! !-$ - ! : !-$ ! , %-!! % $ %-/6-! ! -" -

%-! ! 2 , ' , !-$ ! ' , 3 " " $ ' $ -6 " -!,.

• Z.= D

• .=* P Q.= P Q.= P Q.= " P Q.= D

• .=* = P Q 8 E

Z *

Z.= + P Q.=Z " PZQ.= D

=

. .= D FF D

9 E

• P Q.= P Q.=ZD

• .= P Q P +*Q−* ∉= " P P QQ= " 8 Q

P . Q

P = .= P QD

• .= P Q P +*Q−* ∉= " P P QQ= " 8 Q

P . Q

P = .= P QD

• .= P QD

= ";

4 , $ 4 3 & '$ 2-"@ "$4, " " 6" , ! -! -2 %-! " % $

! @-"A :%'&$ !? '--6, ( &, !? !-$ "" ( P °Q -2 -& ?- !? !2-"/ + "%,

!$ "% "" ( P °Q -2 $ !-$ 3 ! "% 2 '$ P °Q " ' , % "% ° !

%-! " % $ ! @-"A - , !$ : ! -" ? ! ' ! @-"A3 ! &: ' "( !-$ 2 '$

Q

P ° , " C& " $ - %-&! !&/ " -2 !2-"/ + "%, ?- -& -2 °3 ,

@-"A, , 2-''-@,.

• Z 8 A A ;

• .=* .= P Q P +*Q−* ∈= "

Q P QQ

P P ≠ " 8 P P QQ.= P P QQ+* Z.=Z+*D

• P*Q.=*D

• °.=* Z P °+*Q.= P °Q+ P °Q P °Q.= D

• .=* .= P Q P +*Q−* ∈= "

Q P QQ

P P ≠ " 8 P P QQ.= P P QQ+* QQ

P P

QQ

P P

.= + P Q.= P P QQ P Q.= ;

, % , 6 ! ' E -! !%-/ !? "%, -!! % $ %-/6-! ! , !$ -! " % $

! @-"A , %-/6& -! ' %-/6' : ( -2 0 + 1 ,- $- , , C& !% -2 /3 -@ ' !? A $ !- !&/ " -2 " 22 % $ / !$ E-! , " " Z %-! " % $A E-! , @ " ,6 % - %-! " % $ ! @-"A ( '$ !? /-, ZA ≤A 6 ",3

-" !( %-! " % $ 6 " %-/6& -! -2 -6 / ' ! @-"A , / -" , 6 "2-"/ $ '-!? 2-''-@ !? , 6,.

4 %&, -/ E -! -2 '-% ' !2-"/ -! ( '$ !? ' !A 2'-@ (N !$

+ " !% σ 0 ! 2 % σ^{0 1} 1 ( %-! " % $ "% 2-" 6 " ! Z1 0 -6 " -!,3

4 & '$ !? %&, -/ E $ 6' % ! / " : ⁰¹

σ ! Z1

0 Z1

0 = ,A , !%

/ " : , / $ &6 -2 E "- , , + 2-" %%&/&' -! -2 σ ! % '', 0!⁺ !⁻1

!$ 0!⁻ !⁺1 !$ ! $ ?-! ' ' ! 3 4 -'+ !? ^{0 1}π⁰¹

σ C& ' - , /6' + % -" ! " ? 4 !$ , $ . ( &, !?

&,, ! ' / ! -! , /-&! , - 0Z⁾1 ,A3

4 " + !? "% %- 22 % ! , λ⁰¹ 2"-/ !-$ 6- ! ', π⁰¹ ! 0Z1 ,A3

> )

+ " '' %-/6& -! ' %-/6' : ( -2 " / ! /-&! , - 0Z⁾1 / A !?

@ -' %-/6& -! -2 ! G-6 / ''( , / $H " 6 / " : ! 0ZA Z⁾+ + 1 ,A3

) , ,%+"*

,(, / % 22 % ! ( " ' + '( , /6' / -$ @ , 6"-+ $ $ - , / ! 2'-@ ! @-"A ' + ' -! , , -2 ' !A !2-"/ -! -! ,& , -2 ! @-"A ' !A,3 6"- ' / -2 -6 / ' , / -! , , $ , , / -" -2 / ! / ' + " !%

/-!? ' ! " %-/ ! -!, -2 ' !A4 , $ , / -", " &! , $3 , 6"- ' / , !$-@ $ @ ! % ?" 6 4 -" % 6"-6 " ,. !- '( %-/ ! -" %, " " $&% $ - ' ! " ,(, / ! !-$ 6- ! ', -" C& + ' ! '( 0 ! !$ 6 !$ ! % , 1 - ' ! "

,(, / ! "% 2'-@,3

&" /-$ ' $- , !- " C& " !( ,,&/6 -! -& "-& % - % 6"-6-" -!, %-! " " '( - ! "-6(4 , $ /-$ ', 0#$1 !$ " ' $ , , % ' 66"- % , 0#%13 , $ -! , 2 % 2& &" @-"A %-&'$ "? $ D- ! , / -! -2 2'-@, !$ "-& % - %

+ -&" -! , , -2 $$ -! ' !2-"/ -! -& "-& " & , !$ -2 + -&" ' /-$ ' -2 " 22 % ,, ?!/ ! - "- $ ! @-"A,3 /-!? -6 %, ',-

$ , "+ 2&" " " , "% ' &, / ! -!. &, -2 $$ -! ' ' !A %-&! , $ 6" + $ -2 ' !A ,&"+ (,B %-!, $ " -! -2 %-&! , @ ! ' !A 6 ", 6 " %&' "'( ,- @ !

%-"$-! " 6 / " : , + ' ' B " / ! -2 , $ '-% ' , / -",3

6) ! , "

0*1 %A/ !! 3 % & " 3 3 [ = !, ! 3 3 0* 9;13 , 8

= 3 \ ' ! + ", ( " ,, @ + ! -!! % %& 3

0 1 22 \ 0* 81 = ; " ! % '' !?' @--$ ' 22,

@ ", (3

0)1 " &E " 3 $ -E = ''&/, ! 3 3 0 813 6 = 3 = ' ( -!$-!3

", $ -! * 3

081 ('-" 3 3 3 \-&!? =3 0* 13 = * - E 8 6-

3 "?" ! 5 % -" &, " ' 3

091 &" ! 0 1 G ( H !

; ! "-! - ''- !$ %C& 0 $,1 -$#' , -! $& " 2 % % , $&

?"-&6 $ " + ' * 3 % , M ) 663 94* 3 " !% 3

0;1 =-!! %- 3 3 [ =-!! %- 3 3 0* *13, ( 3 %-!-/ % " ,3

071 F&@ " 3 &'' + ! 3 3 0* 71 , / !? -" ? !4$ , ! -! / " % , 2"-/

"- $, $ ,&"+ ( $ 3= 9 8 C - ))4 8 3

0 1 -%A 2 '' " 0* 81 A 3 - ! = ' (

!$ -!, @ \-"A3

0 1 = '', $ 3 3 0* 7 1 ! "-$&% -! - (, % ' (, / -$ ' !?3* 3 0* 1 ! -! 3 '' 3 0* )13 (, /, %-!, "&% -! !$ ! '(, ,3 5 !I

+ 3

0**1 , ' 0 ;13 " 6 -"(3, 6 3

0* 1 5 ! ]&(' ! 3 3 [ = ''&/, ! 3 3 0* 13 /-, ' A '( " 6 / " : , / $

2"-/ " 22 % %-&! ,3= 9 8 C 3 *4 )3

0*)1 ,% 3 ?&( ! 3 0* 13 &! 2 $ 2" / @-"A 2-" , / !? -" &6$ !?

-" ? !>$ , ! -! / " % , 2"-/ " 22 % %-&! ,3 = 9 8 C -->; 8)74 8993