Réflexions sur le problème des comètes

Texte intégral

(1)Article. Réflexions sur le problème des comètes. TIERCY, Georges. Reference TIERCY, Georges. Réflexions sur le problème des comètes. Archives des sciences physiques et naturelles, 1933, vol. 5e période, vol. 15, p. 385-408. DOI : 10.5169/SEALS-740594. Available at: http://archive-ouverte.unige.ch/unige:131217 Disclaimer: layout of this document may differ from the published version..

(2) Vol. 15.. 1933. Septembre-Octobre. REFLEXIONS SUR. LE PROBLÈME DES COMÈTES PAR. Georges TIEKCYi (Avec. 5. figures.). RÉSUMÉ On admet ici, comme loi de probabilité de la vitesse e d'un corps cométaire, à son point d'émergence dans la sphère d'activité du Soleil, une loi du type : ç(p). e-W»-U">*. où U est une certaine vitesse dite « vitesse normale » et dont la fréquence est maximum; une autre vitesse t> a d'autant moins de prohabilité qu'elle s'écarte davantage de cette vitesse U normale. Il s'agit de calculer, dans cette hypothèse, le rapport des fréquences relatives des orbites elliptiques et hyperboliques des comètes théoriquement etstMes, c'est-à-dire des corps cométaires pour lesquels la distance périhélie p est inférieure à 4. 1 et p Pour ft 25, m 1, on trouve que les orbites elliptiques sont environ 300 fois plus nombreuses que les hyperboliques; et l'on voit que les chances de voir réalisée une excentricité plus grande que 1,01 sont, pour ainsi dire, inexistantes. 2 et p Avec ft 100, m 1, on trouve que le rapport ci-dessus de 550 vaut environ 300, toujours pour p < 4. au lieu On voit clairement que la valeur de U est déterminante, et que le. choix de la fonction. <p. (e) est. arbitraire.. *. Voir une première étude sur ce même sujet dans les Commeratam AfaîfteTOatici //c/ccU'ci, vol. 3, 1932; la même dans Pu6l. Oôs. Genècs, fasc. 19. Archives. Vol.. 15. —. Septembre-Octobre 1933.. L'UfilVEBSITÊ.

(3) 386. RÉFLEXIONS SUR LE PROBLÈME DES COMÈTES. I. — Introduction.. Hypothèses et condition de visibilité. — Il s'agit encore ici de rechercher s'il existe des raisons qui rendent très rares les comètes hyperboliques, et parmi celles-ci, celles dont l'excentricité n'est pas très voisine de l'unité. Comme précédemment, nous supposerons que les comètes « naissent » à une très grande distance du Soleil, distance considérable par rapport aux dimensions du système solaire, mais cependant assez faible pour que l'action du Soleil l'emporte sur l'action des étoiles. Nous considérons donc que les comètes 1.. sont des corps étrangers au système soE laire, et qui n'y font apparition que par suite de circonstances spéciales; par exemple, dans sa course dans l'espace, le corps cométaire s'approche assez du Soleil pour que l'action de celui-ci devienne dominante; le corps cométaire est alors capté, temporairement ou définitivement par le Soleil. Ce qui ne veut pas dire qu'il sera forcément visible par la suite pour l'observateur terrestre. Désignons par r la distance qui sépare le Soleil du point E d'émergence de la comète (fig. 1), c'est-à-dire du point où elle entre dans la sphère d'activité du Soleil. Soit & la distance périhélie, qui doit satisfaire à la condition c < 4 pour que la comète. soit observable. Désignons le rapport de r à. /s. par. a. —. ;. p. r étant un très gros nombre (par exemple 40 000), il faut, pour que la comète soit observable, que ce rapport soit plus grand qu'une certaine limite inférieure «, égale ici à 10 000. L'inégalité a > « est donc ce qu'on peut appeler la cwwtàt'o/i cfe miôifâé; si /s > 4, on aura « < n, le corps restera invisible et on l'ignorera. Soit maintenant a l'angle que fait la vitesse de la comète avec le rayon ES (fig. 1); a est un angle aigu; et nous supposerons encore que tous les angles a possibles sont également vraisemblables. Il est évident qu'il y a là quelque arbitraire. Rappelons.

(4) 387. RÉFLEXIONS SUR LE PROBLÈME DES COMÈTES. ici que, pour une valeur. (ou de a) donnée, le domaine des valeurs possiWes de a est compris entre a 90° et a a' tel. quetg*a'. de. ^.. ,o. Si, en outre, on désigne par a" tg®. a" une valeur de. a. telle que. —. a —. 1. les valeurs de « comprises entre a" et a' correspondent hyperboles; les ellipses correspondent à a" < a < 90°.. à,. des. Le domaine de a réservé aux hyperboles est donc très petit, /> étant supposé donné. Il nous faut encore une hypothèse sur les vitesses c des comètes au point d'émergence E. Nous admettrons une certaine vitesse relative e U, que nous appellerons ette.sse retoi'ee normale, et dont la fréquence serait maximum; par exemple U km 0,2 (valeur suggérée par les observations, comme nous le verrons plus loin); une autre vitesse relative e aurait alors d'autant moins de probabilité qu'elle s'écarterait davantage de cette vitesse U normale. La loi de probabilité d'une vitesse c pourrait alors être représentée par une formule telle que: ç,(e). (1). ç,(„). (î'). ou bien:. ou encore, d'une façon plus générale: ç(,,). g-K(»"-U»)2i.. (1"). La première formule, donne une courbe de probabilité en forme de cloche symétrique par rapport à l'ordonnée corresU. pondant à e La seconde expression conduit à une cloche non symétrique par rapport à cette même ordonnée; la branche de descente à droite plongera plus vite vers l'axe des e que ce n'est le cas dans.

(5) 388. RÉFLEXIONS SUR LE PROBLÈME DES COMÈTES. 25 et A; la première courbe. On fera par exemple g 100, 0,2 (fig. 2): avec U La seconde courbe correspond peut-être mieux que la première. aux observations; il est bien entendu que celles-ci, ne concernant que les cas où /s < 4, c'est-à-dire les comètes proprement dites, elles ne sauraient concerner les corps cométaires non visibles; et l'on sait que sur 420 comètes calculées (jusqu'en 1910), on trouvait: 100 ellipses, 300 paraboles ou ellipses extrêmement allongées, 20 hyperboles. Il semble donc bien que, pour les. comètes oèsereées,. la courbe de probabilité de. p. doive être la. seconde.. Mais comme d'autre part une partie (et la plus grande) des comètes nous ont échappé, on peut aussi bien admettre la première courbe. On pourra donc examiner les deux éventualités suivantes pour la probabilité d'avoir une vitesse comprise entre p et (p. +. de):. *(„)dp. e-25<"-<>.2>'dp. ç,(p)dp. r"0(^-Ô5*)'dp.

(6) 389. RÉFLEXIONS SUR LE PROBLÈME DES COMÈTES. II.. —•. Le problème. (jq.. 2. —• L'une des équations nécessaires est l'angle «, l'excentricité e et le rapport a; elle /. i ;. /. ®. e. 2. + t. la relation entre s'écrit:. (fonction décroissante. e(a^ — 1) — (a —. '. 1)®. de e). ou bien: •. 2. *. ~. (2). + 1 l)a* + 2a. e. (e. —. '. elle montre que l'excentricité connu) que de (a — 1)® — e a** — 1. ^. e. ne peut varier (p ou a. a. e. étant. c©. 90° à a l'angle a suivant, en décroissant, de a a'; la a" (pour un p donné) correspond à e direction a 1; et 90° et a a" (cas des ellipses), il est facile de voir qu'entre a l'excentricité est comprise entre les limites très rapprochées («. e. -,. (T —. 1)2. l. et. e. 1,' soit,' dans le cas de a. 10 000, entre. 0,9998 et 1.. — La seconde équation nécessaire sera tirée du théorème des forces vives: 3.. p* -fFs. —. 2. constante. R. où K est la constante képlérienne. La constante du second. membre est égale. /g. à ^. 1. \. 1;. comme on a toujours. /*. —. l'équation des forces vives s'écrit: e*. 2. r. T»" R. '. et comme, au point d'émergence E, on a R. r, il vient:. a,.

(7) 390. RÉFLEXIONS SUR LE PROBLÈME DES COMÈTES. où Cq et désignent la vitesse ou bien,, puisque /s? — moyenne de la Terre et sa distance moyenne au Soleil:. Posons maintenant:. est alors la vitesse au point d'émergence E; A est ainsi une donnée du problème, r étant la distance SE, supposée connue et égale à 40 000, par exemple. On voit ici que A pourra varier. où. p. entre — 2, sa limite inférieure, et un très gros nombre N, 40 000 ou 80 000, par exemple. Pour trouver nos inconnues e et a, nous avons donc l'équation (2) et l'équation (3); nous écrirons celle-ci sous la forme plus simple: A (5) a (e — 1). — Par élimination de l'inconnue a entre (2) et (5), on trouve pour l'excentricité: 4.. e*. 1. + A (A +. 2). sin" a. ;. (6). et la relation (5) donnera ensuite p: a. — P. e. —. 1. (7). Telle est la solution générale du problème; il s'agissait en effet de trouver les éléments e et p de l'orbite cométaire, en partant des données initiales (r, a, p). Rappelons que le nombre A est une donnée telle que: —. 2. ^A^N. et que le nombre a obtenu par (6) et (7) doit être supérieur à re. 10 000..

(8) 391. RÉFLEXIONS SUR LE PROBLÈME DES COMETES 5.. A. — Cas de Z'eZZZpse. C'est le cas de A négatif; en posant — B, les équations deviennent: e*. ^. 1. —. —B. — B) sin^ a. (2. ;. ^ 1. —. La condition de visibilité. e. a. >. n s'écrit alors. L. _Ä. 1. —B. 2. (8). '. B ne pouvant dépasser 2; le second membre, fonction croissaute de B, augmente de 0 à 2;. siB. —. jusqu'à, l'infini, quand B varie de 2. il devient égal à l'unité pour B. est compris entre 2 et. ^^. i. n. ^. ^. Par conséquent,. l'angle a n'est pas limité. par l'inégalité (8). Cela veut dire que, pour toute vitesse e suffisamment faible au point d'émergence E, on aura une comète mtèZe à son 90°. Pour passage au périhélie, quelque soit a entre a'et a les vitesses. a. plus grandes, et telles que B soit inférieure. l'angle a est limité par (8) ; et seules seront eisi&Zes les comètes dont la vitesse initiale fait avec ES un angle suffisamment. petit. Dans les deux cas, l'excentricité. e. dépasse. (l — ®), à cause. de (5). 6.. à la. — Cas. de Z'/M/perZ>oZe.. C'est le cas de A positif et inférieur. limite N.. La condition de visibilité exige que e soit inférieure à la condition peut alors s'écrire. /\ ' *. 2 H.. 2. A ^ A +. CoTOmeralarit .MaiAemaCci fïeZceiici, loc. cit. Cototo. MafZicm. ffeZc., loc. cit.. ^1. +. ;.

(9) 392. RÉFLEXIONS SUR LE PRORLÈME DES COMÈTES. 11. le second membre est décroissant par rapport à. - pour A. 0, à — pour. A. co. Ainsi sin^. A; il varie de. « est. étroitement. limité. La comète hyperbolique ne sera vue de la Terre que si vitesse initiale est très peu inclinée sur ES.. sa. — Graphiquement, nous procéderons comme suit: nous porterons en abscisse la donnée A et en ordonnée la quantité sin^ a î/ ; A est comprise entre — 2 et N; et la condition de sin^ a soit compris entre l'axe des a; miôi/ùé exige que y (ou des A) et la courbe KBCD (fig- 3): 7.. La courbe comporte un segment KB parallèle à Oa;, entre 2 ri £ — 2 et BCD a pour équation: ^ Partie ——. t. ». - + 4rr n. ~2+- *. '. nous l'appellerons l'hyperbole limitative. Pour une valeur de a: (ou de A), l'excentricité a pour valeur: e-. 1. + A (A +. 2). sin-a. ;. (6). son maximum est atteint (pour une valeur donnée de A) lorsque sin^ a est donné par l'ordonnée de la courbe KBCD- Cette valeur extrême de e est représentée sur la figure 4 par la ligne. KEGF..

(10) RÉFLEXIONS SUR LE PROBLÈME DES COMÈTES. 393. montre bien que, dans la région elliptique (A < 0), l'excentricité e diffère très peu de l'unité; tandis qu'elle peut s'en écarter sensiblement pour la région hyperbolique. Rapportons maintenant l'ÂyperèoZe-ZimitaitVe aux axes ION et IK, choisis dès maintenant comme axes des # et des p; l'équation de la courbe devient: Ce graphique. /. \ »V _ 1. r. 2/!_ Vre. 1. _. \. reV. 1. et son asymptote parallèle à 0« est à l'ordonnée —.. F. KB. H. G.. ;. c. I!. M H&). /A. o. AT. Fig.. 8. —-. -n. _ i. 4.. Il s'agit maintenant de voir si les orbites elliptiques sont. plus ou moins fréquentes que les hyperboliques. Pour les premières, les données A et a sont figurées par un point de l'aire IKBCO (fig- 4); pour les secondes, par un point de l'aire OCDNLa probabilité de choisir un élément ctefo/ de la surface est de la forme:. /(» 2/)(tedf/. ;. et il s'agit de trouver la fonction / (z, y). La probabilité de choisir a entre a et (a + d*) est donnée par l'expression:. 2Vr^ puisqu'on. a posé p. sin^. <*..

(11) 394. RÉFLEXIONS SUR LE PROBLÈME DES COMÈTES. D'autre part, la loi de fréquence de la vitesse relative fournie par l'expression: e~25(i;-0,2)^. ®i(p)de. p. est. ;. et, vu le choix de notre origine I, on a: A +. x. 2. où l'on sait que:. y.——2. a avec. 40 000 et. — 7*. 30. Pq. kl, il vient. :. 0. *. 40 000. ^. (-'Y; \Co/. ®i(p)de. 0,075. e. 0,075^;. de. 200. Po. -0,5625(Vx-^Y ^. _. ;. V#. telle est la probabilité qu'il y a d'avoir a; entre a: et (a; + da;). La probabilité de choisir un élément daafi/ de surface est donc:. /(a;, 2/)dxdî/. M.. .-A ("M)' 7=— 2/) V*(l—. dx dy. (10). En résumé, la conséquence directe de nos hypothèses sur les lois de probabilités pour p et a est d'admettre que les fréquences relatives des orbites elliptiques et hyperboliques des comètes pm'i/es sont dans le même rapport que les intégrales doubles suivantes: /. «/. 7=: (1—2/) V*. /. J. d.c du. et. /. /. V*(l. —. dx dy 2/). qui s'écrivent immédiatement et respectivement:. _JLA/-_iV r_2Vr^7.r "V " ^ dx 2. \/*. t.'. et. v#. t/ 2. i/ étant fonction de. a;.. —. (il).

(12) 395. RÉFLEXIONS SUR LE PROBLÈME DES COMÈTES. ir® intégrale (cas des ellipses). On a: _2_. n+~l. 2. / 0. ./' + 0. 2. /;. 2. n+1. dans la première partie du second membre, le champ est limité 1 ; on a donc pour cette supérieurement par la droite KB ou j/. partie : 2. (_2. f" «/. 2. a/®. +. T". 2 «.. o. j"-**. A/®. o. dans la seconde partie du second membre, y est limité par la courbe BCD (équation 9); d'où:. et puisque. partie:. -\/l. —= \/l — y—1,. il vient pour cette. 2 71+ 1. 2. et l'on remarquera que le radical de 9' s'annule pour a; yy-y L'intégrale des ellipses devient donc, par addition des deux parties ci-dessus:. ;.

(13) 396. RÉFLEXIONS SUR LE PROBLÈME DES COMÈTES. •y/,. -d"--). ^. 2. dx. ,«). 2. n+1. 2®. intégrale (cas des hyperboles). L'ordonnée y étant limitée par la courbe BCD, on a, à cause de 9':. .-(t'""')' dx J\. i, _ #Vi_ \n /i"/. V. m. V;£. +. 2. '. 1. r.-G*")"* / _ \/x. 2. Et il s'agit maintenant. (13). de calculer le. rapport. de l'expression. (12) à l'expression (13); les facteurs 2 disparaissent. 9.. — Calcul du numérateur (12) du rapport, après division. par 2. Posons:. yVl-1 /—. VJ dx. Vx. \. '. 4. x((-l). (14). 3. 8. ^d( ^. ;. on trouve pour la première intégrale de (12) : + 0,0605. +. yy 3. -I. y. dî. 0. ^. 0,0605. e~'"dl. +. -1 -l. -1 1. ^V~^dz +. 0,0605. e~^dî^J. ;.

(14) 397. RÉFLEXIONS SUR LE PROBLÈME DES COMÈTES ce. qui donne:. 8iv; [^(0,84270). + ^(0,06818) 2 4 \A(0,91088). ] 2,7529. (2,3633) (0,91088). Quant à la seconde intégrale de (12), on trouvera sa valeur numérique approchée comme suit, après suppression du facteur 2. Etudions d'abord la fonction de a: représentée par le radical (9'); le tableau numérique suivant montre qu'on peut. intégrer d'abord de. 2. ^. 1. à — puis de ^. 1. 2; pour. — à x. a;. la seconde partie de cette intégration numérique, on peut traiter le radical comme une constante et lui donner sa valeur moyenne 0,9995; le résultat correspondant ne sera ainsi modifié que d'une quantité inférieure au ^/moo de sa valeur. n. —y flavec. Valeur. 10.000 moyenne. —y f avec 1. X. n. 10.000. Valeur moyenne. 1. n. +. 0. 0,69. 0,0015. 1. 4999. 0,61. 3000. 1. 1. 0,003. 0,77. 2000. 0,83. 0,024 1. 4990. 1. 0,045. 0,90. 1000. 0,925. 0,093 1. 1. 4900. 0,14. 0,95. 500. 0,972. 0,17 1. 4800. 1. 0,20. 0,995. 50. 0,997. 0,26 1. 4500. 1. 0,32. 0,9990. 10. 0,38 1. 4000. 1. 0,45. h-ï». ~2~. 1. +. 0,53. j. 1. 3000. 0,61. 1. 0,9995 2. 0-1-. i I. 0,99995.

(15) 398. RÉFLEXIONS SUR LE PROBLÈME DES COMÈTES. Cette seconde partie de l'intégrale devient donc:. ~. 0.9995J. 7-F2-1 4. Cx — î V. o. \/x. 0,1. -. (0,9995). / e~'"d«. |Vô7t 4. -. 1. + 0,06050. 2,6653^e~~^dî. - 0,76283 ou bien: 0.06050. di + /*e. 2,6653. --0,76283. dt. 0 -. — 2,6653. 0,76283. + yv~. 0,0605q. dz. 'o. (— 2,6653). Il faut. a/t:. — [0,71 932. +. 0,06818]. +. -. y g- ^ o. — 7,056022. maintenant calculer la première partie de l'intégrale,. de —7—- à c'est-à-dire: 71+1 10 ' 0,1. -(|Vï-i)- da -\/a:. 2. n+1. on morcellera le domaine d'intégration, en donnant par exemple à a; les valeurs indiquées dans le tableau précédent; et, dans chacun des petits domaines, on donnera au radical •y/1 — y sa valeur moyenne; l'erreur ainsi commise est très petite. On obtient le tableau suivant:.

(16) RÉFLEXIONS SUR LE PROBLÈME DES COMÈTES. /. J. X. e. ^. /-. '. dx. 8. -3 J. «. ,2. *. /l -y. 399. Produit divisé par 8. /ïT. |--+-. 2,36325. 4. 2. n. +. 1. négligeable. 0,0015. id.. 0,024. id.. 0,093. id.. 0,17. 0,0002000. 0,0002004 0,000204 0,000208. |. 0,00022. ^. 0,26. 0,0000338. (0,00033). 0,38. 0,0001254. V5T. (0,00084). 0,53. 0,0004452. V5T. (0,00126). 0,69. 0,0008694. +ÏT.. (0,00399). 0,83. 0,0033117. 0,925. 0,0040053. +ÏT.. (0,00013). 0,00025. 0,00033. 0,00050. 0,001. |. 0,002. -v/ÏT. (0,00433). •| VtT. (0,03445). 0,972. 0,0334854. | V+-. (0,07452). 0,997. 0,0742964. Total:. 0,1165728. 0,02. 0,1. et: 0,1. —. y 2. 71+1. — (2,36325) (0,1165728). — 0,275495.

(17) 400. RÉFLEXIONS SUR LE PROBLÈME DES COMÈTES. Le numérateur (soit l'expression (12) divisée par 2) vaut donc: 1" intégrale: + 2,1529. 2" intégrale (Z^So)' ~ ^356 Numérateur 10. — Voyons. 0,0173. maintenant le dénominateur (13), après. division par 2. Pour £ 2, on a:. Vi-y y/i-4 pour. a;. N. 0,999950. 40 000:. a/I. 2/. —. y/. 1. —. ~ 2. 0,999999998. n-. ;. on peut donc pratiquement considérer le radical -\/l — ^ comme quantité constante et égale à la valeur moyenne 0,999.975; et le dénominateur devient:. 2. — 0,999 975). (1. —. \/£. 0,000025. /. \/. 2. soit, avec N. 40 000. :. '. 4^® (0,000 025). 1 ^ y'/ lt/2 4. (0,000 066 67). 11.. e. -. (1. 149. ' dï. 0,000 066 67. /. e. ^. dï. + 0,0605. 1. — 0,06818). — Le rapport de (12). 2. à (13). 0,0173 0,000055. -L— vaut donc. soit 315. 0,000055056. à peu près:.

(18) RÉFLEXIONS SUR LE PROBLÈME DES COMÈTES. 401. Ainsi, dans l'hypothèse aq, les ellipses seraient environ 300 fois plus nombreuses que les hyperboles (comètes emèfes théoriquement, ,o < 4). Le résultat est davantage en faveur des ellipses que ce n'est le cas dans l'hypothèse ® (c) const. Il fallait s'y attendre,. étant donné la valeur de km 0,2 admise pour la vitesse U dite « normale ». On sait, en effet, que la quantité. est comprise entre — 2 et zéro pour les cas d'orbites elliptiques; donc, pour une ellipse, on doit avoir:. (£)"^2, avec-. Cp. OU. e. < Ï42. ~. 40 000. ;. 30 km, on a: e. ^. km 0,22. ;. la vitesse U adoptée est proche de cette valeur. Si l'on avait admis la valeur U 10 km par exemple, cette valeur « normale » appartenant au domaine des hyperboles, la probabilité de voir réalisées des orbites elliptiques eut été extrêmement minime. Le choix de la valeur de U est donc détemireaiU dans le problème <jq (e). Mais il faut insister sur le fait qu'en réalité, parmi les comètes ràièZes effectivement observées, la très grande majorité sont elliptiques ou paraboliques; les hyperboles étant très rares en fait, nous étions fondés à choisir U km 0,2. Mais il est bien évident que le choix de la fonction <jq (e) elle-même est très arbitraire. Si l'on remarque qu'avec les corrections d'orbites dues à MM. Fayet et Fabry, il n'y a guère que quatre ou cinq cas pour lesquels l'écart avec le type parabolique soit assez grand pour qu'il n'y ait pas de doute au sujet du caractère hyperbolique des courbes, alors qu'on compte actuellement presque un millier de comètes enregistrées, on voit que notre calcul est sensiblement en accord avec les faits observés. Mais, au fond, il n'y a Archimîs, Vol.. 14. —. Septemi>re-O' tol.)rc 1933.. 28.

(19) RÉFLEXIONS SUR LE PROBLÈME DES COMÈTES. 402. rien là que de très naturel, puisque nous avons adopté la vitesse normale U suggérée justement par les faits eux-mêmes. Il faut simplement constater maintenant que les conclusions du calcul s'appliquent, non seulement aux comètes eues, mais aussi à tous les corps cométaires tftéorùptmewt emèZes (/s < 4) et que cependant on n'a pas vus. Il est évident que l'extension de ces conclusions au cas des corps cométaires non mtW&s serait risquée.. — Cherchons encore, toujours dans l'hypothèse <jq(e), si, parmi /es hpperôoZes, les excentricités beaucoup plus grandes 12.. que. l'unité sont plus fréquentes ou moins fréquentes que celles. voisines de. 1.. Rappelons ici que la valeur de e-. 1. + #(*. e^. —. est donnée par: 2). sin-. a. ou bien: 1. + ay (x —. 2). 1,01 est la valeur Remarquons d'abord que la valeur e limite correspondant 102; en effet, on a:. ài. 10 000, on trouve bien x 1,01 et n avec e les couples de valeurs (x, y) donnant des points. domaine. <§,. 102. Seuls. d'un certain. partie du segment (QRDN) pour lequel x. >. 102,.

(20) RÉFLEXIONS SUR LE PROBLÈME DES COMÈTES. pourront conduire domaine. ê. à des. est donc situé. valeurs de «. à. droite. e ». 403. supérieures à 1,01; le de l'ordonnée QR pour. 102 (fig. 5). laquelle a: Il convient alors de chercher la ccwèe sé/waiiVe i?, qui détache du segment (QRDN) le domaine £>. Cette courbe est. donnée par l'équation: (1,01)". 1. + xy(x—. ^1. 2). îooy n. /. ou: 2<)o(- +. ^. (x — 2). (15). étant donné (ou A), l'excentricité sera supérieure à 1,01 pour des ordonnées 1/ plus grandes que celles données par la relation a;. (15).. D'autre part, les valeurs de y sont limitées supérieurement par l'hyperbole limitative CRD, dont l'équation est:. La courbe C admet des asymptotes parallèles à l'axe des «/ 0 et x 2; cette dernière seule est à considérer, pour x puisqu'on ne prend que des valeurs de a; supérieures à 2 (x. 102). ^ On vérifie. vite que la branche utile de la courbe C 102; avec coupe la courbe limitative au point R, pour x ». 0,000 001 97 pour les deux courbes. Le domaine & est donc limité inférieurement par (15) et 10 000, on a. ?/. supérieurement par (9). Le rapport des fréquences des orbites à excentricité e > 1,01 et de l'ensemble des orbites hyperboliques est le rapport des intégrales :.

(21) 404. RÉFLEXIONS SUR LE PROBLÈME DES COMÈTES. ou bien,:. dx. -\/a;. :. 102. /. dx. v#. l'on tient compte du fait que l'ordonnée du point C (fig. 5) est égale à tandis que celles des points R et D sont respectivement égales à: Si. 2. 102. 4 u 1. N\ n. 1. n-/. _±\. — -4) f,-(51 n ti-. \. 71". i_ n'y +. 1 •. 9. 1. /. /. n. J. n. 71". + -4 n-. 10 000 40 000. c'est-à-dire qu'elles sont respectivement 50 fois et 20 000 fois plus petites que celle de C; que, d'autre part, dans le domaine ë, en intégrant entre les courbes L et CRD on ne prend qu'une partie de l'ordonnée de la courbe CRD; et qu'enfin les intégrales X. /. -7=V~ 1/0. tendent vers l'unité et en diffèrent de moins de 0,000 000 01 dès que £ dépasse quelques unités (4, par exemple), on verra vite que le numérateur à une valeur considérablement plus petite que celle du dénominateur; autrement dit, dans l'hypoles chances de voir réalisée une excentricité plus thèse grande que 1,01 pour une comète théoriquement visible sont pour ainsi dire inexistantes.. III. 13.. — Le problème. tp^.. — La probabilité d'avoir une vitesse relative d'émergence. comprise entre. e. et (0. +. de) est donnée. par l'expression:.

(22) 405. RÉFLEXIONS SUR LE PROBLÈME DES COMÈTES. km 0,2 et fc avec U 100, par exemple. La forme de la cloche de probabilité est donnée par la seconde courbe de la figure (2); elle n'est plus symétrique par rapport à l'ordonnée U. 0,2 correspondant à c La courbe de (0 présentant une « chute » plus rapide que la courbe de <Pi(e) après c 0,2, on peut dès maintenant prévoir que les conclusions de la partie II de cet essai seront confirmées et renforcées. Remarquons que les courbes BCRD et .C restent les mêmes (fig. 5); elles sont indépendantes de la forme adoptée pour la fonction 9 (e) :. ^. courbe BCRD. 2 — X. i/. ;. /I—. 1. j?. ra*. i. j. (9). ;. /. =7—4. «. :. 50\. +. 200. courbe. + H. \w. a; (a:. (15) *. — 2). On a toujours que la probabilité de choisir a entre a et (a + da) est de la forme. \/l. 2. •. et aussi:. ~. 3. '. 20. dx. 3. ^. /—. 4Ô'Vr 05. comme on l'a vu au début du n° 8. La loi des fréquences de e devient donc ici: /. Q. -100{jjjjjX-0,04. 3. ,2. dx. 3. /9r—1fi\2. - -j-r. La probabilité qu'il y a de choisir un élément da;. surface limite de la figure (5) est donc de la forme:. /(x,. y) dx dî/. M. Ö. /9a:- 16\2 * ' //y /7ai'. ^. v. œ. (i —. (M. d?/. ^ de la. const.). y). Et la conséquence directe de nos hypothèses sur les fréquences de c et a est. d'admettre que les fréquences relatives des orbites.

(23) 406. RÉFLEXIONS SURLE PROBLÈME DES COMÈTES. elliptiques et hyperboliques emèZes sont dans le même rapport que les intégrales suivantes: '. i. /'/'<• '. lô y-. 9x— •. /. +. •/••. V. a/.c»' (tl — y) Î/). /*/'-'. ^ «. OIKBC. 9x-16 ^2 da:. dy. V+ (1—2/). «. OC.DN. c'est-à-dire:. /". E. 9x — 16\2. f. 2. +1. 2. L. 2/JOIKBC -"OIKBC. ^. •. d.r. V+. et. /. H. :. 2. L—. V I — 2/jyy^ •\/.r. •. V. '•. 9M-16 \-. /. 40. d.x. La première intégrale, proportionnelle au nombre d'ellipses, s'écrit: 2 2. 71-f. 1. /-/-/= 0o. o. _2_. 71+1 T. E. +. _. / 9JC-. /. 2. 16. \ ;. 40. v. d.r. VT. 0. /9x-16\2 9x- 16. V'++(++'~^+++^> ./ '— vv /. >. ". 2.. 71+1 71+1 2. / 9.x-. 2. E. 2 0. /. 16. /». \d.r. e. V+. I f. /. 1. "". 1\. 2/1. +. " /. /9x—16\ V. 40. J. '. 2. ~i. (1(.

(24) RÉFLEXIONS SUR LE PROBLÈME DES COMETES. 407. La seconde intégrale, proportionnelle au nombre d'hyperboles, s'écrit: N f 9x- 16 \2 /9x-16y H. —. V. 2. dx. ft' /. £. TT. V-a; —16 \ 2 9x -16 //9x y. n. +. On. / 2. a. //"„. 2. / J. 40. V. '. (16'). —. V®. donc, pour le rapport cherché: 9~. //"/-. T /». / 9x - 16 \2 _/9x-16V ^ ^dx e. ". / V'. a/x. I. 0. i. 2/1. 1. /Qr-1fi\2. ;. *. A/X. 2. n+ 1 — 16 \2 9x— / 9x lb y. N". n. /'. Y/l —4 —-(- — 4) V \n tt. /9.x-l&\2 40. dx. rr/. a;. V'x. ^ •. dx. e. a/ x. I. ou bien, en posant: 3 S. dx. 4^='' 3. '. ^T. 9x — 16 40. 16. /— 2. l' —. ®. T'"'. 2. 5. '. 1,0605. 1,0605. dl ° 3. v/ V 8(n-fi) Vn T». (l. V K. 3. /'2f2—2\2. /. 77—TT. T~T. /2^—2\2 dt. ^ 4. 1,0605. 3V| 4. (N. 40.000).

(25) 408. RÉFLEXIONS SUR LE PROBLÈME DES COMÈTES. On remarquera que le radical. /. y/l— ~. 9. s'annule pour —-—-—— c'est-à-dire à la limite inférieure 2=1/ ^ V S (n + 1 ' de la seconde intégrale du numérateur; tandis que l'exposant des exponentielles s'annule pour 2 1. Le calcul numérique ne présente aucune difficulté; on y 10 000 et N 40 000; et l'on utilisera une table de la fera n fonction exponentielle e~". On trouve rapidement que E H. ~. 15 650 28. à peu près.. Ainsi, dans l'hypothèse aq, les ellipses seraient environ 550 fois plus nombreuses que les hyperboles. Répétons qu'il s'agit ici des corps cométaires 2Âéon'</w.e»iert2 emMes, c'est-à-dire pour lesquels on aurait p < 4; et l'on sait que l'on n'en observe effectivement qu'une partie.. — Il va sans dire que, dans l'hypothèse a>2 comme dans l'hypothèse <jq, le choix de la valeur de la vitesse U dite « normale » est déterminant, comme on l'a fait remarquer à la fin du n" 11. Et rappelons que si l'on a choisi la valeur U 0,2, c'est en se basant sur les observations enregistrées jusqu'ici (comètes effectivement vues) ; le résultat que nous obtenons s'étend à tous les corps cométaires théoriquement visibles, dont un grand nombre nous ont échappé. D'ailleurs, on trouverait, dans l'hypothèse <jq comme dans l'hypothèse qq, que les orbites hyperboliques à excentricité plus 14.. grande que 1,01, par exemple, sont excessivement rares; elles sont pratiquement inexistantes. Remarquons enfin qu'en prenant la fonction de probabilité (1") un peu plus générale:. ç(,) on disposerait des trois nombres U, p et m, en plus du coefficient K; on pourrait donc modifier à volonté la forme et la position de la cloche de probabilité. Ce qui montre encore une fois combien le choix de la fonction œ(e) est arbitraire..

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