Chapitre n°8 : « Parallélogrammes particuliers » Chapitre n°8 : « Parallélogrammes particuliers »
I. Rappels
Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles.
Construction au compas
Propriétés
Dans un parallélogramme :
• les côtés opposés sont de même longueur ;
• les diagonales se coupent en leur milieu ;
• les angles opposés sont de même mesure ;
• les angles consécutifs sont supplémentaires.
II. Rectangle
Définition
Un rectangle est un quadrilatère qui possède quatre angles droits.
Illustration
On remarque qu'il a suffit de faire trois angles droits.
Propriétés
On a les propriétés communes à tous les parallélogrammes :
• les côtés opposés sont de même longueur ; les diagonales se coupent en leur milieu.
Et la propriété qu'on a seulement pour les rectangles :
• les diagonales sont de même longueur.
Exemple
JHYU est un rectangle de centre G. Fais une figure à main levée et indique toutes les longueurs égales. Code la figure.
On a :
• JH=UY ; JU=HY ;
• GJ=GH=GY=GU ;
• JY=UH.
Propriétés réciproques (en partant du parallélogramme)
• Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c'est un rectangle.
• Si un parallélogramme possède un angle droit alors c'est un rectangle.
Exemple 1
On considère le parallélogramme IJKL codé ci-contre.
Que peut- on dire ? Démontre-le.
On peut dire que IJKL est en fait un rectangle. En effet, on sait que si un parallélogramme a ses
diagonales de même longueur alors c'est un rectangle.
Or sur la figure, le codage indique que
OI=OJ=OK=OL, c'est à dire que LJ=IK. D'où la justification.
Exemple 2
On suppose que THGY est un parallélogramme tel que
THG=90°.
Fais une figure à main levée. Que peut-on dire ? Démontre-le !
Rédiger une démonstration (méthode à connaître !) Il y a trois points à respecter dans toute démonstration.
• 1 ère étape : « On donne la propriété, la définition ou un théorème utile pour répondre au problème »
Si un parallélogramme possède un angle droit alors c'est un rectangle.
• 2ème étape : « On donne les éléments de l'énoncé ou du codage qui permettent d'utiliser la propriété donnée avant ».
D'après l'énoncé, on sait que THGY est un parallélogramme. D'après le codage, on sait que THG=90°.
• 3ème étape : « On conclut » Donc THGY est un rectangle.
Axes et centre de symétries
• Il y a deux axes de symétrie : ils passent par les milieux des côtés (droites en rouge)
• Il y a un centre de symétrie : c'est le point I, centre du rectangle.
III. Losange
Définition
Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur.
Illustration
On commence par tracer deux demi-droites de même origine.
On choisit un écartement à l'aide du compas. Cela permet de construire quatre côtés de même longueur.
Propriétés
Les propriétés communes aux parallélogrammes :
• les côtés opposés sont parallèles ; les diagonales se coupent en leur milieu.
La propriété qui est propre aux losanges :
• les diagonales sont perpendiculaires .
Exemple
On considère un losange UHYT. Fais une figure à main levée. Code la figure puis donne les longueurs égales et les droites perpendiculaires.
On a :
UT=TY=YH=UH ; UO=OY ; OT=OH
UY est perpendiculaire à TH
Propriété réciproque (en partant du parallélogramme)
• Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un losange.
• Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un losange.
U
H
Y T
Exemple 1 (démonstration)
On considère un parallélogramme UJHY tel que JH=HY. Que remarques-tu ? Démontre-le ?
• On remarque que UJHY est un losange.
• On sait que UJHY est un parallélogramme et que les côtés consécutifs [JH] et [HY] sont de la même longueur (JH=HY).
• Or, si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un losange.
• D'où le résultat !
Exemple 2
On considère un parallélogramme GHJK de centre O. On suppose que GOH=90°. Fais une figure à main levée. Que peux-tu dire ? Démontre-le.
GHJK est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires (GOH=90°).
Si un parallélogramme a ses diagonales qui sont perpendiculaires alors c'est un losange.
Donc GHJK est un losange.
Axes et centre de symétries
Si ABCD est un losange de centre O alors :
• BD et AC sont des axes de symétrie ;
• O est un centre de symétrie.
U
J
H Y
G H
K J
O
IV. Carré
Définition
Un carré est un quadrilatère qui possède quatre côtés de même longueur et quatre angles droits.
Remarque
Un carré est donc à la fois un rectangle et un losange. On va donc trouver toutes les propriétés vues précédemment.
Propriétés
• Les côtés opposés sont parallèles.
• Les diagonales se coupent en leur milieu, sont de même longueur et sont perpendiculaires.
Figure codée
Propriétés réciproques
• Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur alors c'est un carré.
• Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs perpendiculaires et de même longueur alors c'est un carré.
Pour lundi 22/03
• n° 19 p 231 Pour vendredi 26/03 Contrôle (1h) à réussir !
