Parallélogrammes
Remarque
1) Parallélogrammes
2) Parallélogrammes particuliers
3) Aire d’un parallélogramme
Remarque
ABCD est un quadrilatère
non croisé. ABDC est un quadrilatère
croisé.
Dans la suite, nous ne parlerons que de quadrilatères non croisés.
A
B
D
A
B
D C C
1) Parallélogrammes
a) Définition
b) Propriétés
c) Comment reconnaître un parallélogramme
a) Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère
dont les côtés opposés sont parallèles.
b) Propriétés
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales ont le même milieu et ce point est
le centre de symétrie de ce parallélogramme.
O est le centre de symétrie, donc :
AB = CD BC = AD
ABC = CDA DAB = BCD
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors :
• ses angles opposés ont la même mesure;
• ses côtés opposés sont de même longueur.
B
D C
A
O
c) Comment reconnaître un parallélogramme
Les réciproques de ces propriétés sont vraies.
Exemple
: Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme.
Si :
O milieu de [AC] et de [BD].
Alors :
ABCD est un parallélogramme.
C D
O
B
A Si :
O milieu de [AC] et de [BD].
Ces réciproques peuvent permettre de :
• tracer un parallélogramme ;
• reconnaître un parallélogramme ;
• démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme.
• Si un quadrilatère a
ses côtés opposés égaux, alors c’est un parallélogramme.
• Si un quadrilatère a
2 côtés opposés parallèles et égaux, alors c’est un parallélogramme..
• Si un quadrilatère a
ses angles opposés de même mesure, alors c’est un parallélogramme.
2) Parallélogrammes particuliers
a) Le rectangle
c) Le carré
b) Le losange
a) Le rectangle
• Propriétés
Si un quadrilatère est un rectangle, alors :
• il a quatre angles droits ;
• c’est un parallélogramme ;
• ses diagonales ont la même longueur ( et le même milieu ) ;
• il a un centre de symétrie et deux axes de symétrie (médiatrices des côtés).
• Comment reconnaître un rectangle
Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle.
Alors :
EFGH est un rectangle.
Si : EFGH est un
parallélogramme
droit, est
Fˆ angle l'
dont
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un
rectangle.
Alors :
ABCD est un rectangle.
Si :
• AC = BD et
• [AC] et [BD] ont le même milieu,
b) Le losange
• Propriétés
Si un quadrilatère est un losange, alors :
• il a 4 côtés de même longueur ;
• c’est un parallélogramme ;
• ses diagonales sont perpendiculaires ( et ont le même milieu ) ;
• il a un centre de symétrie et deux axes de symétrie (ses diagonales).
• Comment reconnaître un losange
Si un parallélogramme a 2 côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange.
Alors :
EFGH est un losange.
Si :
EFGH est un parallélogramme et EF = FG,
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.
Alors :
ABCD est un losange.
Si :
• AC BD et
• [AC] et [BD] ont le même milieu,
c) Le carré
• Propriétés
Un carré est à la fois un rectangle et un losange.
Il a donc toutes les propriétés de ces deux quadrilatères.
• Comment reconnaître un carré
Pour démontrer qu’un quadrilatère est un carré, il faut prouver que c’est à la fois un rectangle et un losange.
Alors :
ABCD est un carré.
Si :
• [AC] et [BD] ont le même milieu;
• AC = BD;
• (AC) (BD).
3) Aire d’un parallélogramme
a) Exemple
b) Formule
a) Exemple
Soit un parallélogramme tel que :
Côté = 1O cm
Hauteur = 5 cm
En le découpant suivant les pointillés, on obtient la figure suivante :
C’est un rectangle.
Son aire est 5 10 = 50 cm ².
Donc l’aire de ce parallélogramme est de 5O cm ².
Côté = c
Hauteur = h
Aire d’un
parallélogramme
= côté x hauteur correspondante
= c x h
b) Formule
Pour calculer l’aire d’un parallélogramme, on multiplie la longueur d’un côté par la hauteur relative à ce côté.
