Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
Exemple :
Les droites (AB) et (DC) sont parallèles.
Les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Propriétés
Un parallélogramme a un centre de symétrie qui est le point d'intersection de ses diagonales.
Exemple :
Soit ABCD un parallélogramme de centre O.
• O est le centre de symétrie du parallélogramme ABCD.
• [AB] et [CD] sont symétriques par rapport à O.
• [AD] et [BC] sont symétriques par rapport à O.
• Les angles opposés sont symétriques par rapport à O.
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
Exemple :
Soit ABCD un parallélogramme de centre O.
Donc ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu, O.
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur.
Exemple :
Soit ABCD un parallélogramme.
Ses côtés opposés ont la même longueur, donc AB = CD et AD = BC.
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont la même mesure.
Exemple :
Soit ABCD est un parallélogramme.
Ses angles opposés ont la même mesure, donĉABC= ̂ADC et̂BAD= ̂BCD.
G4 • Parallélogrammes
130
Parallélogrammes
1
A
B
Propriété 1
Propriété 3
Propriété 4
A B
D
C
Propriété 2 Définition
A B
D C
O
A B
D C
O
A B
D C
11 24
A B
D C
Parallélogrammes particuliers
2 54
Reconnaitre un parallélogramme
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.
Exemple :
Les diagonales du quadrilatère ABCD se coupent en O, qui est le milieu des diagonales [AC] et [BD].
Donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme.
Exemple :
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles et AB = CD.
Les côtés opposés [AB] et [CD] du quadrilatère ABCD sont parallèles et ont la même longueur.
Donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur, alors c'est un parallélogramme.
Exemple :
AB = CD et AD = BC
Le quadrilatère ABCD a ses côtés opposés de même longueur.
Donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Remarque :
Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, on peut également utiliser la définition du parallélogramme et démontrer que ses côtés opposés sont parallèles.
Le rectangle
Un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits.
Si un quadrilatère est un rectangle, alors c'est un parallélogramme.
Démonstration :
Soit ABCD un rectangle. Il a donc quatre angles droits.
(AB) et (CD) sont perpendiculaires à la même droite (BC), elles sont donc parallèles entre elles.
(AD) et (BC) sont perpendiculaires à la même droite (DC), elles sont donc parallèles entre elles.
Donc ABCD est un parallélogramme.
Remarque : Un rectangle a donc toutes les propriétés d'un parallélogramme.
Parallélogrammes • G4 131
A C
Propriété 1
Propriété 2
Définition Propriété 3
A B
D
C O
A B
D C
A B
D
C
A B
D
C
Propriété 1
45
Si un quadrilatère est un rectangle,
alors ses diagonales se coupent en leur milieu et ont la même longueur.
Exemple :
Soit ABCD un rectangle.
Donc ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu et ont la même longueur : OA = OB = OC = OD et AC = BD.
Reconnaitre un rectangle
Si un quadrilatère possède trois angles droits, alors c'est un rectangle.
Cette propriété a été démontrée à l'exercice 13, page 102.
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle.
Cette propriété est démontrée à l'exercice 60, page 140.
Exemple :
Soit ABCD un parallélogramme tel que AC = BD.
Donc le parallélogramme ABCD est un rectangle.
Si un parallélogramme a un angle droit, alors c'est un rectangle.
Démonstration :
ABCD est un parallélogramme dont l'anglêDAB est droit.
(AB) et (CD) sont parallèles et, comme (AD) est perpendiculaire à (AB), (AD) est également perpendiculaire à (DC).
Donc l'anglêADC est droit également.
Les angleŝABC et̂BCD sont droits également.
Donc le parallélogramme ABCD est un rectangle.
Le losange
Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur.
AB = BC = CD = DA ABCD est un losange.
Si un quadrilatère est un losange, alors c'est un parallélogramme.
Démonstration :
En effet, les côtés opposés du losange ont la même longueur, donc c'est un parallélogramme.
Remarque : Un losange a donc toutes les propriétés d'un parallélogramme.
G4 • Parallélogrammes
Propriété 1
Propriété 2
Propriété 3
C
A B
D
C
B
Propriété 2
Définition
A B
D
C O
A
C D B
A B
D
C O
Propriété 1
132
Si un quadrilatère est un losange,
alors ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
Exemple :
Soit ABCD un losange.
Donc ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires : OA = OB = OC = OD et (AC) ⊥ (BD).
Reconnaitre un losange
Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un losange.
Démonstration :
ABCD est un parallélogramme et de plus AB = BC.
Ses côtés opposés ont donc la même longueur, AB = CD et BC = AD. Donc AB = BC = CD = AD.
Le quadrilatère ABCD a ses quatre côtés de même longueur, c'est donc un losange.
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange.
Cette propriété est démontrée à l'exercice 61.
Exemple :
Soit ABCD un parallélogramme.
Ses diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires.
Donc le parallélogramme ABCD est un losange.
Le carré
Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.
Exemple :
Soit ABCD un carré.
AB = BC = CD = AD
(AB) ⊥ (BC) ; (BC) ⊥ (CD) ; (CD) ⊥ (DA) ; (DA) ⊥ (AB)
Remarques :
Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange.
Un carré a donc toutes les propriétés d'un parallélogramme, d'un rectangle et d'un losange.
Reconnaitre un carré
Si un losange a un angle droit, alors c'est un carré.
Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un carré.
Parallélogrammes • G4
E
Propriété 2 Propriété 1
F D
Propriété 2
A
C D B
A
C D B
Définition
Propriété 1 Propriété 2
A
C D B
B
D C
A
133
