Quasi-neutralité, fréquence plasma

TD n°1 : Physique des plasmas (session du 17/09/10) Exercice 1 (variante du problème proposé en TD) :

Gaine de plasma, longueur de Debye et notion d’écrantage.

Un « demi-plasma » occupe initialement le demi-espace gauche (x≤0). Lorsqu’on laisse les électrons se mouvoir, ils ont tendance à occuper l’espace situé à droite x>0 de la frontière initiale (interface plasma-vide) du fait de l’agitation thermique. Si on suppose qu’une couche électronique d’épaisseur x se déplace d’une distance x, il se forme un champ E

r

au bord du plasma.

a) Que vaut le champ électrique

b) Que vaut l’énergie potentielle à la distance x ?

c) Pour quelle valeur de x cette énergie est égale à l’énergie thermique ?

Correction :

a) Le problème est unidimensionnel.

ex E n en dx

E dE ^{e e}

0 0

0 ε ε

ερ _{⇒ =− ⇒ =}

=

∇r r

b) La force d’interaction dérive d’un potentiel.

2 0

2

0 2

2e x U n

e x eE n

U

F _p ^e _p ^e

ε

ε ^{⇒ =}

−

=

−

=

−∇

r =

d) On en déduit la longueur de Debye :

2 2 0

2 1

e n

T x k

T k U

e B B

p

=ε

= ⇒

2 0

e n

T k

e B D

λ = ε

La longueur de Debye λ_D est l’échelle spatiale caractérisant l’hypothèse de quasi- neutralité et les phénomènes d’écrantage électrique.

Exercice 4 :

Quasi-neutralité, fréquence plasma

Dans un plasma d’hydrogène infini homogène, la quasi-neutralité implique quen_e0 =n_i0 =cste. Supposons qu’on établisse un défaut de quasi-neutralité sur une

couche infinie d’épaisseur L où à l’intérieur de la couche ( x <L/2^{) on a} , 0

0 _{i i}

e n n

n = = (Pour x >L/2^{, on a} ne0 =ni0.

a) Calculer le champ électrique maximal dans la couche. Calculer la différence de potentiel entre x=0 et x=L 2. Application numérique : L = 1mm et n_i0 =10²⁰m⁻³. Commenter.

b) Ecrire l’équation du mouvement pour un électron de masse m_e se trouvant en ) 2

0

(t L

x = = avec une vitesse initiale nulle. Que représente le terme

e i

m n e

0 0 2

ε ^.

c) Nous allons effectuer le calcul complet de la fréquence plasma. Pour cela, on se place dans le cadre de petites oscillations de plasma autour de l’équilibre sous la forme d’ondes planese^i(ωt−kx). En utilisant les équations de quantité de mouvement, les équations de continuité pour les électrons et les ions ainsi que l’équation de Poisson, vous démontrerez que la fréquence plasma peut s’écrire sous la formeω²_p =ω²_pe +ω²_pi^.

Correction :

a) Le problème est symétrique par rapport à l’axe Oy et par conséquent le champ E r

est nul sur cet axe. On obtient donc

en x x E

c x

E

c x E

E

i x

x

x

0 0 0

0 0

0 0

) 0

( ερ ε

ε ρ ε

ρ

=

=

= ⇒

= ⇒

=

+

=

= ⇒

∇r r

Calcul du potentiel électrique :

V V

AN

L Edx en

dl E

V ⁱ

L

5

0 2 0 2

/

0

10 . 26 . 2 :

8

−

=

∆

−

=

−

=

−

=

∆

∫

∫

On remarque que les grandeurs sont considérables pour une couche de seulement 1 mm d’épaisseur. Ceci est dû à l’amplitude de la force électrique où, avec des densités de charges relativement faible, on obtient des champs électriques énormes. Il est donc difficilement imaginable d’avoir un plasma où les différences de potentiel sont à ce point élevées et dans la mesure où le plasma est constitué d’électrons et ions il va évoluer rapidement de manière à satisfaire à la quasi-neutralité.

b) L’équation du mouvement d’un électron soumis à la force de cette couche peut s’écrire :

0

0

0 2 0

2 2

2

0 2 0 2

2

>

=

= +

⇔

−

=

−

=

= ω ε

ε ω

e i p

p i

x x

e

m e n

dt x x x d

e eE n

dt F x m d

Solution harmonique :

) sin(

) cos(

)

(t A t B t

x = ω_p + ω_p

Les conditions initiales nous donnent A=L/2,B=0 ) 2cos(

)

( L t

t

x = ω_p

La particule a donc un mouvement harmonique de fréquence

π ω

2

f = p . Cette grandeur s’appelle la fréquence plasma électronique. L’onde correspondante (onde Langmuir) peut se propager dans des plasmas non-magnétisés.

c) Calcul complet de la fréquence plasma : Pour chaque espèce α :

) .(

0 ) (

) .(

) .(

0

Continuité v

t n n

Newton E

t q m v

Poisson E

=

∇

∂ +

∂

∂ =

∂

=

∇

α α α

α α

α

ε ρ

r r r r r r

Perturbation du système :

1 1

1 0

E E

v v

n n n

=

= +

=

Linéarisation :

0 ) (

0 ) (

) (

1 0 1

1 0 1

1 1

1 1

0 1 1 1

=

∇

∂ +

∂

=

∇

∂ +

∂

∂ =

∂

−

∂ =

∂

− −

=

∇

i i i

e e e

i i

e e

i e

v t n

n

v t n

n

E t Ze m v

E t e

m v

e Zn E n

r r r r r r r r r r

ε

0 ) (

0 ) (

0 1 1 2 0

1 2 1

2 0 1

2 ∇ − − =







−

∂ +

⇒ ∂

− =

∇

∂ +

∂

ε ⁱ

e e

e e e

e

e n Zn

m n e t

n m

E n e

t

n r r

r

(1)

0 ) (

0 ) (

0 1 1 2 0

1 2 1

2 0 1

2 ∇ − − =





 + 

∂

⇒ ∂

=

∇

∂ +

∂

ε ⁱ

e e

i i i

i

i n Zn

m n Ze t

n m

E n Ze

t

n r r

r

(2)

En posant α =n_e1 −Zn_i1 et en effectuant (1) – Z×(2) :

2 0

2 + =

∂

∂ α ω α

t p avec

i i e e pi pe

p m

e Z n m

e n

0 2 2 0 0

2 0 2 2 2

ε ω ε

ω

ω = + = +

Exercice 2 : Mouvement d’une particule chargée

Partie 1 : Mouvement d’une particule chargée dans des champs E et B croisés uniformes Considérons une particule de charge q soumise à un champ magnétique et à un champ électrique constants et uniformes et perpendiculaires l’un à l’autre. On décompose la vitesse vr

de la particule suivant vr vr_D vr_c

+

= , où vr_D

est la vitesse de dérive électrique.

a) Montrer analytiquement, à partir de l’équation du mouvement, que vr_c

représente le mouvement qu’aurait la particule dans le champ magnétique seul.

Partie 2 : Mouvement d’une particule chargée dans un champ B statique et un champ E variant lentement dans le temps

b) Considérons le mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique statique B uniforme et constant, et dans un champ électrique E uniforme, dirigé perpendiculairement à B et variant lentement dans le temps. Nous notonsvr

, la vitesse de la particule.

c) Montrer qu’en exprimant la vitesse vr

selon les trois vecteurs vitesses suivants vr vr_D vr_c vr_P

+ +

= ^{, où} vr_D

est la vitesse de dérive électrique et

t E qB v_P m

∂

= ∂

r r

2 (dérive de polarisation), que vr_c

et vr_P

obéissent alors à l’équation du mouvement :

) (v B dt q

v md dt

v

md ^{c P} _c

r r r

r

×

= +

d) Considérer que E(t) varie de façon périodique avec une pulsation ω. Montrer que si la pulsation du champ ω est petite devant la pulsation de giration cyclotronique ω_c, alors la composante vr_c

décrit le mouvement cyclotronique dans le champ B seul.

Correction (partie1) : Equation du mouvement :

)

(E v B

dt q v md

r r r r

× +

= _⊥

B2

B v E

r r r= ^⊥×

Or =0 dt

v dr_D

car E et B constants.

)

( 2 B v B

B B E E

dt q v

md ^c _c

r r r r

r r r

× +

×











 × +

= _⊥ ^⊥

D’où finalement q(v B) dt

v

md ^c _c r r r

×

=

Il s’agit d’un mouvement d’une particule dans le seul champ magnétique.

Partie 2 : méthodologie similaire que partie 1.

Exercice 3 : Dérive gravitationnelle

Déterminer la densité de courant due à la dérive gravitationnelle des ions et des électrons de l’ionosphère dans le champ magnétique terrestre à une altitude de 300 km. On supposera que le vecteur induction magnétique B est perpendiculaire au champ gravitationnel terrestre.

La relation générale pour la force gravitationnelle s’exerçant entre la masse m et la masse M, séparées d’une distance r est :

r2

F_g =−GMm

Où G est la constante de gravitation universelle. Par définition à la surface de la terre (de masse M) une masse m est soumise à la force :

m R g

F_gt =−GMm₂ =− ₀ (R : rayon de la terre et M masse localisée au centre de la terre).

AN : on considère des ions O+ de densité 1,8×10¹²m⁻³, densité égale à celle des électrons ;

=1

B gauss. Le rayon terrestre est

π 2

10 4× ⁷

mètres et le champ de gravitation à la surface de la terre vaut g₀ =9.8m.s⁻².

Correction : voir session TD