Partie B : Étude d’une expérience aléatoire

Pour le lundi 10 novembre 2014 BCPST 951 - 952 - 953

Devoir 05 à la maison

Problème I

Partie A : Un calcul de somme

Soitx∈]0 ; 1[. Pour tout couple (n, k)de N², on pose : S_n,k =

n

X

i=0

k+i k

xⁱ. 1. Calculer, pour toutnde N, la sommeSn,0. En déduire lim

n→+∞Sn,0. 2. a. Montrer : ∀(i, k)∈(N^∗)²,

k+i k

−

k+i−1 k

=

k+i−1 k−1

. b. En déduire : ∀n∈N, ∀k∈N^∗, (1−x)S_n,k=S_n,k−1−

k+n k

xⁿ⁺¹. 3. Soitk∈N. Déterminer les limites de n^kxⁿ puis dek+n

k

xⁿ lorsque ntend vers l'inni.

4. En raisonnant par récurrence surk, montrer : ∀k∈N, lim

n→+∞Sn,k= 1 (1−x)^k+1. 5. En déduire que, pour toutk de N, la sérieX

n>k

n k

xⁿ converge et que l'on a :

+∞

X

n=k

n k

xⁿ= x^k (1−x)^k+1.

Partie B : Étude d’une expérience aléatoire

On dispose d'une pièce de monnaie amenant pile avec une probabilitép(p∈]0 ; 1[). On lance cette pièce un nombre aléatoire de fois, voire pas du tout. Les lancers sont supposés indépendants. À chaque pile obtenu, on gagne 1e.

Pour tousnetkde N, on dénit les événements

Ln : on lance exactementnfois la pièce et Gk : on gagne exactementke, et on poseun =P(Ln).

On admet que si la sérieX

k>0

kP(Gk)converge, alors la somme

+∞

X

k=0

kP(Gk)est égale au gain moyen obtenu.

1. Justier la convergence de série X

n>0

u_n. Que vaut la somme ?

2. a. Calculer, pour tout(n, k)de N², la probabilité conditionnellePL_n(Gk). (Séparer les cas k∈[[0 ;n]] etk > n) b. En déduire, pour toutkde N, une expression deP(Gk)en fonction dek,pet des termes de la suite(un)_n∈N. 3. Soitλ∈R^+∗. Dans cette question, on suppose que, pour toutnde N,un= e^−λλⁿ

n!. a. Montrer que, pour toutkde N,P(Gk) = e^−λp(λp)^k

k! . b. Justier la convergence de la sérieX

k>0

P(Gk)et calculer sa somme. Commenter le résultat obtenu.

c. Justier la convergence de la sérieX

k>0

kP(Gk)et calculer le gain moyen.

Lycée du Parc - BCPST 951 - 952 - 953

- Devoir 05 à la maison - 2

4. On poseq= 1−p. Dans cette question, on suppose que, pour toutnde N^∗,un=qⁿ⁻¹p. a. Calculer la probabilitéu0 de ne pas lancer la pièce.

b. CalculerP(G₀)puis, en utilisant la partie A., montrer que, pour toutkde N^∗,P(G_k) = q^k−1 (1 +q)^k+1. c. Justier la convergence de la sérieX

k>0

kP(G_k)et calculer le gain moyen.

Problème II

Soit(c_n)_n∈N^∗ une suite d'entiers naturels non nuls. On eectue dans une urne, contenant initialement une boule blanche et une boule noire, une suite de tirages de la façon suivante :

ä on tire une première boule :

- si la boule obtenue est blanche, elle est replacée dans l'urne avec en plusc₁ autres boules blanches, puis on procède au tirage suivant

- si la boule obtenue est noire, on s'arrête dénitivement ;

ä pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, si lesn−1premiers tirages ont tous donné une boule blanche, on procède au n-ième tirage :

- si la boule obtenue est blanche, elle est replacée dans l'urne avec en plusc_n autres boules blanches - si la boule obtenue est noire, on s'arrête dénitivement.

Pour tout entiernde N^∗, on dénit les événements :

En : on s'arrête d'eectuer des tirages à l'issue du n-ième tirage F_n : on obtient une boule blanche à chacun desnpremiers tirages et on pose : pn=P(En), et qn =P(Fn).

Enn, on dénit l'événementG: on s'arrête d'eectuer des tirages et on s'intéresse à la probabilité deG. Dans tout le problème, on pourra utiliser l'encadrement(∗)suivant : ∀x∈[0 ; 1], x

2 6ln(1 +x)6x.

Partie A : Expression de P(G)

1. Justier que la série X

n∈N^∗

p_n converge et que l'on a : P(G) =

+∞

X

n=1

p_n. 2. a. Montrer que la suite(q_n)_n∈N^∗ est décroissante.

b. En déduire que la suite(qn)n∈N^∗ converge vers une limite`avec`∈h 0 ;1

2 i.

3. a. Exprimer, pour tout entiernde N^∗, l'événementFn à l'aide des événements Ek pourk∈N^∗. b. En déduire : P(G) = 1−`.

Partie B : Étude de plusieurs cas particuliers

1. Premier exemple : Dans cette question, on suppose que, pour toutnde N^∗,cn = 1. a. Montrer que, pour tout entiernde N^∗,p_n= 1

n− 1 n+ 1. b. En déduireP(G).

2. Deuxième exemple : Soitc∈N^∗. Dans cette question, on suppose que, pour toutnde N^∗,cn =c. a. Calculer, pour tout entiernde N^∗,q_n.

b. Montrer, pour toutnde N^∗ : −ln(qn) =

n−1

X

k=0

ln

1 + 1 1 +kc

puis −ln(qn)> 1 2c

n

X

k=1

1 k. c. En déduire la limite de la suite(qn)n∈N^∗, puisP(G).

Lycée du Parc - BCPST 951 - 952 - 953

- Devoir 05 à la maison - 3

3. Troisième exemple : Dans cette question, on suppose que,c1= 2et pour toutnde N\ {0,1},cn= 2n+ 1. a. Calculer, pour tout entiernde N^∗,

n

X

k=1

ck.

b. Montrer que, pour tout entiernde N^∗,q_n= n+ 1

4n . En déduireP(G).

4. Quatrième exemple : Dans cette question, on suppose que, pour toutnde N^∗,cn= 2ⁿ⁻¹. a. Montrer que, pour tout entiernde N^∗,q_n=

n−1

Y

k=0

2^k 1 + 2^k. b. En déduire : ∀n∈N^∗, −ln(q_n)62.

c. Montrer alors queP(G)<1.

Partie C : Étude du cas général

On dénit la suite(u_n)_n∈N par : u₀= 1 et ∀n∈N^∗, u_n= 1 +

n

X

k=1

c_k = 1 +c₁+· · ·+c_n. 1. En utilisant l'encadrement(∗), montrer que les séries X

n∈N

1

un et X

n∈N

ln 1 + 1

un

sont de même nature.

2. Montrer que la suite ln(qn)

n∈N^∗ converge si et seulement si la série X

n∈N

1

un converge.

3. En déduire queGest un événement quasi-certain si et seulement si la série X

n∈N

1

un diverge.

• FIN •

Lycée du Parc - BCPST 951 - 952 - 953