Contribution à l analyse vibratoire des treillis par une nouvelle formulation en éléments finis

ــــــــــعلا مـــــــــيلــــــعـــــــــــــتلا ةرازو يــــــــــــمــــــلـــــــــــعلا ثحـــــــــــبلاو يلاـــــــــ

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

ةديعس ةعماـــــــــــــج –

رهاطلا يلاوم .د

UNIVERSITÉ DESAÏDA - DrMOULAY TAHAR

Faculté de technologie

Département de génie civil et de l’hydraulique

PROJET DE FIN DE CYCLE

Présenté pour l’obtention du diplôme de master en génie civil

Spécialité : Structures

Contribution à l’analyse vibratoire des treillis par une nouvelle formulation en éléments finis

Présenté par : ALLAOUI Sofiane

Soutenu le 29 / 09 / 2021, devant le jury composé de :

DrREZGANILaid Université de Saida Président

Dr BELABED Zakarya Université de Naama Encadreur

Dr. TOUIL Brahim Université de Saida Co-Encadreur

Dr BENTAHAR Mohamed Université de Saida Examinateur

Année universitaire 2020/2021

• A toute la famille ALLAOUI qui m’a soutenir et encourage durant ces années d’études qu’elle trouve ici le témoignage de ma profonde reconnaissance.

• A tous mes amis qui m’ont toujours encouragé , et à qui je souhaite plus de succès.

• A tous ceux qui me sont chers ceux qui partagé avec moi tous les moments d’émotion lors de la réalisation de ce travail, ils m’ont chaleureusement supporté et encouragé tout au long de mon parcours

A tous ceux que j’aime

Sofiane

Résumé

La modélisation des structures par éléments finis fait l’intérêt principal de plusieurs chercheurs dans le domaine de la mécanique des structures. L’objectif de notre travail est l’évaluation d’une nouvelle formulation en éléments finis pour étudier la vibration libre des treillis.

Contrairement à la méthode des éléments finis classique, cette formulation ne dépend pas sur une discrétisation raffinée pour obtenir des résultats précis. En se basant sur la méthode des éléments finis classique en conjonction avec des paramètres supplémentaires, la nouvelle formulation ne possède pas un nombre élevé de degrés de liberté ou maillage raffiné pour obtenir des résultats fiables. A travers les résultats obtenus et en comparaison avec la méthode des éléments finis classique, il a été constaté que la nouvelle formulation est d’un grand apport vu sa simplicité et son efficacité.

Mots clés : Treillis, modélisation numérique, éléments finis, élément fini à haute précision, vibration libre

hosts a reduced number of degree of freedom and therefore the meshing refinement is not necessary to obtain efficient results. Stated with obtained results and comparing them with the classical finite element method, it was found that the new formulation is of great benefit due to its simplicity and efficiency.

Key words: Truss, numerical modeling, finite element, accuracy finite element method, free vibration analysis

م ــــــــــ ل

ـــــــــ خ ــــــــــــــــــــــــــ ص

ةجذمن لكايه

رصانعلا ةدودحملا

وه مامتهلاا يسيئرلا

ديدعلل نم

نيثحابلا يف

لاجم كيناكيملا

ةيئاشنلإا فدهلا .

نم انلمع وه مييقت ةغايص رصنع

ودحم د ديدج ةساردل زازتهلاا

رحلا تاكبشلل .

ىلع سكع ةقيرط رصانعلا

ةدودحملا ةيكيسلاكلا

، لا دمتعت هذه ةغيصلا ىلع

ريدقت قيقد لوصحلل

ىلع جئاتن ةقيقد اًدانتسا .

ىلإ ةقيرط رصانعلا

ةدودحملا ةيكيسلاكلا

اًبنج ىلإ بنج عم لعملا و تام

ةيفاضلإا

، لا عتمتت هذه ةغيصلا ةديدجلا

دعب د ريبك نم تاجرد ةيرحلا

وأ ةكبشلا ةرركملا

لوصحلل

ىلع جئاتن ةقوثوم نم .

للاخ جئاتنلا يتلا

مت لوصحلا اهيلع

و ب ةنراقملا عم

ةقيرط رصانعلا

ةدودحملا ةيكيسلاكلا

، نيبت دجن اهتءافكو اهتطاسبل ارظن اريبك اماهسإ مهست ةديدجلا ةغايصلا نأ

ةيلاحلا ةغيصلا ةءافكو ةطاسب .

ا تاملكل ةيسيئرلا

: ت ور س

، ةجذمنلا

، ةيددعلا رصانع

،ةدودحم رصنع

ددحم يلاع ةقدلا

،

زازتهلإا

. رحلا

صخلم iii

Liste des Figures ^vii

Liste des Tableaux ^viii

Notations& Abréviations ^ix

Introduction Générale ¹

Chapitre 01 Généralités sur les structures en treillis 4

1.1 Introduction

1.2 L’utilisation des treillis dans le domaine de génie civil

1.3 Les structures en treillis

1.3.1 Définition d’un treillis

1.3.2 Types des treillis

1.3.3 Les assemblages dans les treillis

1.3.4 Les avantages de l’utilisation des structures en Treillis

1.4 Les éléments constitutifs d’un treillis

1.4.1 Les éléments

1.4.2 Les nœuds

1.5 Comportement d’une barre en acier

1.5.1 Aspects normatifs des aciers

1.5.2 Relation contrainte-déformation

1.6 Méthodes de calculs

1.6.1 Méthode des nœuds

1.6.2 Méthode énergétique

1.6.3 Méthode des sections ou de Ritter

1.6.4 Méthode graphique de Crémona

1.7 Méthode de la résolution analytique des problèmes de vibration des barres

16

1.8 Etude en vibration libre

1.9 Conclusion

Chapitre 02 Formulation par MEF de l’analyse vibratoire des treillis

23

2.1 Introduction

2.2 Méthode des éléments finis en analyse structurelle

2.2.1 Historique

2.2.2 Principe de la méthode des éléments finis

2.2.3 Discrétisation de l’élément barre

2.3 Analyse en vibration libre

2.4 Equation gouvernante

2.4.1 Variation de l’énergie de déformation

2.4.2 Variation de l’énergie cinétique

2.4.3 Résumé des relations fondamentales du mouvement

2.6 Conclusion

vibratoire des treillis

36

3.1 Introduction

3.2 Discrétisation nodale

3.3 Nouvelle formulation de la matrice de rigidité et de masse d’un élément de type barre

39

3.3.2 Formulation de la matrice masse

3.3.3 Transformation dans le repère global

3.4 Conclusion

Chapitre 04 Validation et evaluation 46

4.1 Introduction

4.2 Présentation du code de calcul

4.3 Exemple de validation

4.4 Etude paramétrique

4.4.1 Treillis trapézoïdale à 07 barres (exemple 1)

4.4.2 Treillis trapézoïdale à 15 barres (exemple 2)

4.5 Commentaires sur les résultats obtenus

4.6 Conclusion

Conclusion générale 65

Bibliographie 68

Fig 4.14 Amplitude maximale de la structure (e) Mode 4 60 Fig 4.15 Amplitude maximale de la structure (e) Mode 5 61 Fig 4.16 Amplitude maximale de la structure (e) Mode 6 62

Fig 1.5 Type d’assemblage des treillis. 09

Fig 1.6 Forme géométrique et section des treillis 10

Fig 1.7 classification des sections en fonction de leur modèle de comportement (Eurocode3).

11

Fig 1.8 Réalisation pratique d’un nœud. 13

Fig 1.9 Présentation géométrique des nœuds. 13

Fig 1.10 Barre en traction. 14

Fig 1.11 Diagramme contrainte–déformation d’un essai de traction. 15 Fig 1.12 Organigramme des étapes de calculs en vibration libre. 18

Fig 1.13 Géométrie des barres en vibration. 18

Fig 2.1 Discrétisation d’une structure en nœuds et éléments. 25 Fig 2.2 Repère global et repère local d’une barre dans le plan. 28

Fig 2.3 Principales étapes utilisé dans cette étude. 29

Fig 4.1 Organigramme du programme développé sous MATLAB. 48

Fig 4.2 Modélisation de la barre encastrée-Libre. 49

Fig 4.3 Description géométrique de la structure en treillis à 7 barres. 51

Fig 4.4 Amplitude maximale de la structure (e) Mode 1 53

Fig 4.5 Fig 4.6 Fig 4.7 Fig 4.8 Fig 4.9 Fig 4.10 Fig 4.11 Fig 4.12 Fig 4.13

Amplitude maximale de la structure (e) Mode 2 Amplitude maximale de la structure (e) Mode 3 Amplitude maximale de la structure (e) Mode 4 Amplitude maximale de la structure (e) Mode 5 Amplitude maximale de la structure (e) Mode 6

Description géométrique de la structure en treillis à 15 barres Amplitude maximale de la structure (e) Mode 1

Amplitude maximale de la structure (e) Mode 2 Amplitude maximale de la structure (e) Mode 3

53 53 54 54 54 55 57 58 59

N° Titre Page 1.1 Classification des sections selon la résistance et le type d’analyse

(Eurocode3). 11

1.2 Classification des sections et le modèle de comportement (Eurocode3). 12

3.1 Coordonnées en repères local et global. 41

4.1 Les caractéristiques de l’acier. 49

4.2 Le rapport d’erreur commis entre les deux méthodes. 50 4.3 Comparaison de la pulsation en Hz de la structure en treillis à 7 barres 52

(10 et 16paramètres supplémentaires).

4.4 Comparaison de la pulsation en Hz de la structure en treillis à 7 barres 52 (4 et 8 paramètres supplémentaires).

4.5 Comparaison de la pulsation en Hz de la structure en treillis à 7 barres 56 (10 et 16 paramètres supplémentaires).

4.6 Comparaison de la pulsation en Hz de la structure en treillis à 7 barres 56 (4 et 8 paramètres supplémentaires)

[] : Matrice MEF: Méthode des éléments finis []^T : Matrice transposée

< >: Vecteur ligne {} : Vecteur colonne

{}^T : Transposé d’un vecteur d f: Dérivée de f

Minuscules grecques Majuscules grecques

σ : contrainte ∑ : Somme

∂ : Dérivée partielle ∏: Produit

ε : déformation

Ф

ρ: masse volumique Ω domaine de l’élément

υ: coef de poisson

θ angle de transformation de la géométrie w pulsation

λ pulsation adimensionnelle ξ dimension paramétrique

Minuscules romaines Majuscules romaines

u fonction de déplacement L: longueur de la barre

h : hauteur de la barre N : Fonction d’interpolation

f: fréquence L : Polynômes de Lagrange

t : Temps K : Matrice de rigidité

v élément de volume M : Matrice Masse

Q: charge répartie W: Travail virtuel S ou A: Surface X déplacement spatial U énergie de déformation K énergie cinétique J jacobien

Introduction

Générale

problèmes complexes au comportement linéaire ou non-linéaire. Ces avantages l’ont classés par rapport à d’autres méthodes numériques ou expérimentales qui ont des applications limités à cause de leurs principes de formulation ou le type de l’acquissions utilisées.

Actuellement, Il y a des codes a titre commercial et à accès libre incluant la modélisation par éléments finis en mécanique des structures et même des codes spécifiques pour simuler numériquement des problèmes à haute prédiction tels que : Ansys, Abaqus , SAP2000 et Robot Millenium etc. Toutefois, ces codes de calcul basés sur la méthode des éléments finis sont disponibles sur des grands systèmes informatiques et incorporent l'analyse des problèmes de la mécanique des structures avancés et complexes. La modélisation numérique de ces problèmes a connu une progression rapide, et de grands codes de calculs ont inclus les problèmes de la mécanique des structures comme un composant auxiliaire (notamment Ansys). Il existe actuellement plusieurs publications et travaux en relation avec la modélisation des problèmes de la mécanique des structures spécifiques ou/et très avancés tels les problèmes d’interaction fluide- structure, problèmes nonlinéaires, dynamique non linéaire.

La plupart des problèmes de l’ingénierie liés à la mécaniques des structures n'ont pas des solutions numériques exactes, Il s’agit souvent de solutions approximatives, mais représentatives.

La méthode des éléments finis est la méthode d’approximation la plus efficace pour obtenir des résultats plus fiables. Cette méthode est l’outil numérique le plus puissant et disponible aujourd'hui pour prédire l'analyse statique et dynamique avec une haute exactitude d’un grand nombre de variété des structures. Dans la formulation et l’analyse de tout modèle mathématique d'un processus physique ou mécanique, nous devrions inclure tous les détails appropriés. Cependant, la représentation des propriétés matérielles (constantes physiques ou mécaniques) est inévitablement celle qui demande des mesures physiques bien définies. Une approximation de quelques paramètres et la représentation exacte de ces derniers ne mène pas à une modélisation réaliste et fiable du problème réel.

D’une façon générale, la méthode des éléments finis classique nécessite un raffinement du maillage pour obtenir des résultats corrects, donc un taux de calculs élevé est effectué pour exploiter les résultats obtenus. Récemment, il y a plusieurs contributions dans le contexte d’améliorer la

formulation en éléments finis. Dans ce cadre, nous notons les formulations h , p et hp , ces formulations se basent sur l’augmentation des dégrées de liberté des éléments formulés et/ou le raffinement du maillage. Mais le problème se présente lors de la définition des conditions aux limites et aussi l’interprétation des erreurs commises. Généralement, ces contributions ont une formulation lourde et difficile à représenter numériquement. Dans cet esprit, notre travail consiste à améliorer la formulation classique en éléments finis afin d’atteindre des résultats précis sans le recours vers le raffinement du maillage ou ajouter des inconnus supplémentaires. En effet, l’élément de barre classique à deux nœuds est généralement conçu pour modéliser les treillis dans le cas de l’analyse dynamique, pour augmenter la précision de cet élément, nous avons intégrer des paramètres supplémentaires dans les fonctions de forme de cet élément pour augmenter la précision de l’interpolation de l’élément formulé, avec un taux faible de calculs. Cette nouvelle formulation conduit comme on pourra le constater, à la résolution des problèmes de très grande échelle. Avec les ordinateurs de plus en plus puissants que l'on dispose de nos jours, il est maintenant possible de résoudre des problèmes d'une telle ampleur, notamment sur les comportements mécaniques très compliqués (non linéairité géométrique et matérielle, dynamique non linéaire, etc...).

I.2 Méthodologie

L'objectif de ce mémoire est de présenter d’abord les généralités sur les structures en treillis et de présenter le modèle numérique pour étudier le comportement mécanique des treillis. Ensuite de mettre en exergue, des aspects très importants concernant la modélisation tels que les descriptions analytiques, les outils d'analyses effectives et l'évaluation d'approches pour la formulation et l’évaluation à l’aide de la simulation numérique en mécanique des structures.

Nous allons nous baser sur les aspects fondamentaux de la modélisation par la méthode des éléments finis classique dans le domaine de la mécanique des structures pour formuler un nouvel élément fiable pour résoudre le problème de vibrations libres des treillis . Les résultats obtenus sont comparés avec quelques tests choisis dans la littérature pour examiner la performance de notre formulation en éléments finis et le code développé pour les problèmes traités.

I.3 Organisation du mémoire

 Dans le premier chapitre nous présentons une introduction à la mécanique des systèmes treillis avec présentation de quelques définitions et terminologies utilisées dans ce domaine de la modélisation des structures en treillis. les méthodes existantes pour l’analyse des problèmes des treillis sont aussi discutées notamment l’étude en vibration libre.

formulation, et les résultats numériques obtenus par le code #34 sur divers exemples en étude paramétrique.

 La conclusion résume les différents résultats obtenus et quelques recommandations pour des travaux futurs.

Chapitre 01

Généralités sur les structures en

treillis

construction métallique en treillis. L’acier non allié ou faiblement allié est le métal de base en charpente métallique, du fait que ses caractéristiques mécaniques répondent aux exigences de conception et de résistance. La logique de construire avec l’acier est une logique d’assemblage et de montage. L’ossature se constitue par des éléments porteurs de type poteau poutre sur les quels viennent se griffer les autres éléments principaux et secondaires.

1.2-L’utilisation des treillis dans le domaine de génie civil

Les structures des bâtiments, des ponts et chalets sont souvent constitués en plaques, poutres, treillis et charpente métallique assemblées par rivetage, soudage ou coulage (Fig.1.1). Elles sont utilisées pour assurer la stabilité et la résistance structurelle. Le design de ces structures doit remplir la prévention contre le séisme et les vibrations de grandes amplitudes afin d’augmenter leur durée de vie et éviter leur destruction [2].

(a) Structure en charpente métallique (a) Structure d’un pont en arc

Fig. 1.1: Applications dans le domaine du génie civil.

1.3-Les structures en treillis 1.3.1-Définition d’un treillis

Un système à treillis ou système réticulé est un assemblage de barres articuléesentre elles de manière à ce que chacune des barres ne soit sollicitée qu’en traction ou encompression.Lorsque toutes les barres et les forces appliquées sont dans le mêmeplan, le système est un système à treillis plan [1].

La figure 1.3 montre un pont construit par une structure en treillis.

Le modèle d’étude est généralement illustré par une présentation géométrique comme représentée en Fig. 1.4.

Fig. 1.2 : Principe de composition d’un treillis sous charge verticale

(c) Structure en construction bâtiments (d) Structure discrète d’une grue

Fig. 1.3 Structure réelle réalisée en treillis.

1.3.2-Types des treillis

Les fermes de toiture servent a supporter les éléments de la couverture et a encaisser les charges et surcharges exercées sur celles-ci. Le rôle fondamental de la toiture consiste à protéger le local contre les intempéries (neige, vent, pluie, etc.). Dans la plus part des cas les fermes prennent appui sur des poteaux en acier ou en béton armé[3].

Les fermes les plus courantes sont les suivantes :

• Fermes à membrures parallèles ou «poutre à treillis »

Fig. 1.4 : Présentation géométrique des treillis.

Fermes à simple versant :

Fermes trapézoïdales :

Fermes triangulées :

1.3.3-Les assemblages dans les treillis

Les fermes sont généralement constituées par des cornières assemblées par des goussets. Les barres de triangulation doivent,autant que possible, concourir à l’axe neutre des profils constitutifs.Il est cependant d’usage courant, dans la construction rivée, de faire concourir les lignes de trusquinages (c’est à dire les lignes desrivées d’attache). Cette méthode facilite le traçage en atelier.

Onn’a pas les mêmes raisons d’opérer ainsi dans les fermes soudées,où il est préférable de faire concourir les axes neutres. On diminue ainsi les efforts secondaires.

Les barres sont donc reliées entre elles par les extrémités : cesjoints de liaison sont appelés nœuds.

Généralement les membrures de fermes sont élancées et supportenttrès mal les charges latérales : pour cette raison, les charges doiventêtre appliquées aux nœuds seulement et non aux membrures elles mêmes.Dans le cas où il existe de charges entre les nœuds des membrures(présence de monorail etc.), les barres travaillent à la flexion composée, et seront réalisées afin de renforcer leurs rigidités[4].

Les fermes à treillis sont constituées de barres rectilignes, situées dans un même plan, assemblées entre elles selon des triangles (d’où leur appellation de systèmes triangulés)

Elles sont composées :

 D’une membrure supérieure (arbalétrier)

 D’une membrure inférieure (entrait)

 D’une âme à treillis, constituée d’éléments verticaux (montants) ou obliques (diagonales) Elles ne sont plus guère utilisées de nos jours, car leur coût est supérieur aux profils à âme pleine.

Elles sont pourtant beaucoup plus performantes techniquement que des profils pleins, leur rendement est assez proche de 1 et elles consomment un minimum d’acier. Mais elles exigent des temps de main-d’œuvre importants pour le découpage des éléments et des goussets, le perçage et le boulonnage des nombreux assemblages, qui ne les rendent plus compétitives que pour :

- Les grandes portées.

- Les bâtiments légers standardisés, produit en série.

1.3.4-Les avantages de l’utilisation des structures en Treillis On peut citer plusieurs avantages tels que :

 La possibilité de fabriquer intégralement les éléments d’ossature en atelier avec une grande précision et une grande rapidité, le montage sur site sera effectuée soit par soudage ou par boulonnage.

Fig. 1.5 : Type d’assemblage des treillis

 La grande résistance de l’acier à la compression et la traction ce qui permet de réaliser des éléments de grandes portées

 La légèreté qui réduit les charges sur le sol, qui entraîne une économie de fondation.

 L’adaptation plastique offre une grande sécurité.

 Démontabilité : le métal est facilement démontable, on peut même modifier un bâtiment par simple démontage de certains éléments sans immobiliser l’ensemble du bâtiment.

 possibilités architecturales plus étendues par rapport aux constructions en béton armé.

Les structures métalliques présentent également certains inconvénients on peut citer :

 Mauvaise tenue de l’acier au feu cela exige des mesures de protections délicates.

 Nécessité d’entretien régulier des éléments contre la corrosion [2].

1.4-Les éléments constitutifs d’un treillis 1.4.1- Les éléments

Les fermes en treillis sont composées d’éléments jumelés généralement, afin d’éviter toutedissymétrie et de se prémunir contre des sollicitations de flexion gauche, de torsion et de déversement.

Les membrures, montants et diagonales sont constitués de doubles cornières, simples ou renforcées de plats, de double U, de T ou de profils creux (ronds ou rectangulaires)[4].

L’Eurocode 3 (EC3) a introduit un nouveau et très important concept de classes des sections transversales. Cette classification permetde préjuger de leur résistance ultime en flexion et/ou compression compte tenu du risque de voilement local.

Fig. 1.6 : Forme géométrique et section des treillis

Fig. 1.7 Classification des sections en fonction de leur modèle de comportement (Eurocode3).

Cette classification des sections permet :

 De guider le choix de l’analyse globale de la structure : Analyse plastique ou analyse élastique.

 De fixer les critères de résistance des sections et des éléments.

Tableau 1.1 Classification des sections selon la résistance et le type d’analyse (Eurocode3).

Les classes des sections sont fonction des critères suivants :

• Elancement des parois.

• Limite d’élasticité de l’acier fy.

• Diagrammes des contraintes normales à l’E.L.U.

• Conditions d’appui de la paroi.

Ainsi, les quatre classes de sections transversales ont été définies comme suit (voir Tableau 1.2) :

• Classe 1 : Sections massives pour lesquelles la résistance plastique est atteinte et qui présentent une capacité de déformation importante avant voilement local pour permettre une redistribution plastique des efforts dans le reste de la structure. La plupart des profilés laminés de type IPE et HE fléchis appartiennent à cette classe. Cette classe de sections autorise donc la formation et la rotation d’une rotule plastique.

• Classe 2 : Sections pour lesquelles la résistance plastique est atteinte sans problème mais présentant une capacité de déformation avant voilement beaucoup plus limitée. La formation d’une rotule plastique est possible, mais en principe sans rotation.

L’Eurocode 3 permet cependant une redistribution de 15% du moment plastique.

• Classe 3 : Sections pour lesquelles la résistance élastique est atteinte sans problème mais le risque de voilement local pouvant survenir avant la résistance plastique.

• Classe 4 : Sections élancées pour lesquelles le risque de voilement local peut survenir avant même d’avoir atteint la résistance élastique de la section.

Tableau 1.2 Classification des sections et le modèle de comportement (Eurocode3).

1.4.2- Les nœuds

Un nœud est une articulation entre plusieurs barres tels que:

- poids des barres négligeable devant les autres sollicitations,

- sollicitations extérieures ne sont que des efforts appliqués sur les nœuds, - liaisons avec l’extérieur sont des appuis fixes ou des appuis mobiles.

Fig. 1.8:Réalisation pratique d’un nœud

Les systèmes triangulés (ou treillis) ont été pendant longtemps le type classique de la construction métallique et de la charpente en bois.

Un système triangulé est un système composé de barres droites articulées à leurs extrémités.

La longueur des barres est grande par rapport à leurs dimensions transversales>> (a ou b)

Fig. 1.9:Présentation géométrique des nœuds

1.5-Comportement d’une barre en acier

1.5.1 Aspects normatifs des aciers

Les barres constituant les treillis sont des produits à base du matériau acier, dont il est composé d’un alliage Fer- Carbone. Toutefois, l’acier contient des impuretés telles que le Phosphore, Soufre…

Aussi, l’acier contient des éléments d’addition (Manganèse, Molybdène, Chrome, Nickel, Tungstène…..) pour améliorer ses caractéristiques mécaniques.

Les propriétés du matériau acier sont couvertes par l’EC3, on doit prendre en compte dans nos calculs les valeurs suivantes:

• Module d’élasticité longitudinale E = 210 000 MPa

• Module d’élasticité transversale = 81 000 MPa

• Coefficient de Poisson  = 0,3

• Coefficient de dilatation  = 12 . 10^{- 6} par °C

• Masse volumique  = 7850 Kg / m3

1.5.2Relation contrainte-déformation

Rappelons qu’un treillis est une structure constituée d’un assemblage de barres articulées aux nœuds. Elles sont sollicitées uniquemententractionouencompression, les efforts intérieurs dans le cas d’une barre en traction sont représentés sur la figure 1.10.

On appelle effort intérieur



N l’action de la partie droite sur la partie gauche (suivant l’orientation



x ),

En écrivant l’équilibre de la partie droite :

 F^N^ ^0 F = N ;

Donc l’effort normal N est égal à l’effort appliqué F.

par convention :

 Si N< 0 la barre est en traction.

 Si N< 0 la barre est en compression.

Généralement, la réponse d’une barre en acier est étudiée selon l’essai expérimental de traction, le diagramme contrainte-déformation est schématisé dans la figure1.11.

Fig. 1.10 : Barre en traction

Fig. 1.11 Diagramme contrainte–déformation d’un essai de traction.

Ainsi, on peut définir quatre domaines :

-Domaine élastique : souvent utilisé dans nos calculs, il est régit par la fameuse loi de Hooke :

 = E .

Avec E : Module d'élasticité longitudinale.

 : Contrainte normale.

: Déformation linéique.

Il est important de souligner que dans la méthode des éléments finis, ce domaine est très utilisé afin de prédire la réponse sous sollicitations statique comme en dynamique

-Palier d’écoulement -Domaine d’écrouissage -Domaine de striction

1.6-Méthodes de calculs

Les calculs des poutres à treillis sont établis sur la base d’hypothèses simplificatrices, notamment : Les barres considérées comme rigides et indéformables. En fait les allongements ou raccourcissement des barres. Leur cumule consiste la flèche totale de la ferme.

Les barres sont considérées comme articulé, sans frottement, aux nœuds.

Les axes neutres des barres sont supposés concourants aux nœuds où elles convergent (axes neutres et linges de trusquinage).

Les forces extérieures sont supposées être situées dans le plan du système ce qui conduit exclusivement, à des efforts normaux dans les barres (compression ou traction).

Du fait de la faible inertie des barres, les charges sont appliquées directement sur les nœuds.



O

Déformation permanente

^y ^p ^u ^r

Les calculs sont effectués en élasticité seule[5].

Calcul des efforts dans les barres :

La détermination des efforts dans les barres peut s’effectuer selon :

 La méthode des nœuds de CREMONA - La méthode des sections de RITTER.

- La méthode des composantes de CULMANN - La méthode des éléments finis.

Dans l’étude d’un système à treillis, il s’agit de déterminer:

- des réactions d’appuis - des tensions dans les barres - les allongements des barres - le déplacement des nœuds

1.6.1- Méthode des nœuds: il s’agit d’écrire les équations d’équilibre statique desforces et des réactions appliquées à chaque nœud.

1.6.2- Méthode énergétique: il s’agit de calculer l’énergie de déformation du système et d’appliquer les théorèmes énergétiques classiques.

1.6.3- Méthode des sections ou de Ritter: Il s’agit de couper virtuellement lesystème en deux au moyen d’une section (S) et d’exprimer l’équilibre de lapartie gauche en utilisant l’équation d’équilibre du moment résultant enchoisissant judicieusement le point de sorte à avoir une seule inconnue dansl’équation.

1.6.4- Méthode graphique de Crémona:c’est la traduction graphique de la méthodedes nœuds en associant à chaque nœud le polygone des forces qui lui sontappliquées.

1.7- Méthode de la résolution analytique des problèmes de vibration des barres

La dynamique des constructions est l’étude des vibrations de systèmes physiques - tels que bâtiments, ouvrages d’art, assemblages mécaniques - sous l’effet de sollicitation dépendant du temps. Ces vibrations pouvant entraîner une gêne, une détérioration progressive, voire l’effondrement brutal, il est essentiel de pouvoir les caractériser par le calcul, au stade de la conception, afin d’en empêcher ou d’en réduire les conséquences fâcheuses.Le cours aborde l’aspect théorique des systèmes à comportement linéaires. Les problèmes, si complexes soient-ils,

en insistant sur le "bon usage" permettant, par des choix appropriés de modélisation et de discrétisation, d’obtenir des résultats réalistes, avec la précision nécessaire, à un coût et dans des délais acceptables.

De façon générale, les vibrations correspondent aux oscillations d’un système mécanique autour d’une de ses positions d’équilibre. Souvent considérées comme perturbatrices, les vibrations peuvent être, dans certains cas, la cause d’imprécision et critiques pour des raisons de sécurité (instabilités aérodynamiques des avions et ouvrages d’art, …), de confort (niveaux de rayonnement acoustique dans les véhicules, avions et dans le bâtiment,…) ou de performance (endommagement des matériaux, usure prématurée et de fatigue des composants, des appareils, des machines ou installations).

Néanmoins, il arrive que les vibrations soient aussi utilisées dans certaines machines telles que les vibreurs mécaniques, les polisseurs à vibrations…

Qu’elles soient utiles ou nuisibles, on est souvent amené à analyser, par la modélisation théorique et/ou les mesures expérimentales, les origines possibles de ces vibrations et les atténuer voire les supprimer ou au contraire les améliorer selon les besoins, en un mot les contrôler.

L’environnement vibratoire des structures est donc un point essentiel dans la conception des systèmes complexes.

L’analyse des vibrations dans les structures mécaniques devra ainsi porter sur trois points essentiels :

- L’environnement vibratoire (les forces excitatrices) - la structure elle-même

- la réponse de la structure due aux forces extérieures.

Ainsi l’étude du comportement vibratoire d’une structure quelconque présente dans la plupart des cas deux étapes principales :

1. Etude des vibrations libres i.e la détermination des caractéristiques dynamiques de la structure (fréquences et modes propres de vibrations)

2. Etude des vibrations forcéesi.e l’analyse en fréquence ou temporelle de la réponse de la structure suite à un environnement (forces d’excitation extérieure).

Pour rester dans le contexte du mémoire, seul l’étude en vibration libre sera exposée par la suite.

1-8 Etude en vibration libre

Un système est en vibration libre si l’excitation dynamique extérieure est nulle durant le mouvement.

La démarche à suivre est consigné dans l’organigramme suivant:

Fig. 1.12 Organigramme des étapes de calculs en vibration libre.

Fig. 1.13 Géométrie des barres en vibration.

Écriture des équations de mouvement en terme de déplacement

Écriture du système d’équations algébriques linéaires

Détermination des pulsations propres et modes propres associés

Détermination de la solution générale













C.L géométriques et naturelles

Solution non triviale

principe de superposition

Nous avons l’équation d’équilibre local:

𝑑𝑁

𝑑𝑥

= 𝜌𝑆

𝜕𝑡²

Soit:

𝜕

𝜕𝑥

(𝑠

𝜕𝑥

) =

𝐸 𝜕𝑡²

Soit pour une section constante:

𝜕²𝑢

𝜕𝑥²

=

𝐶²

𝜕²𝑢

𝜕𝑡² Avec

(𝐶

=

𝜌

)

Cette équation présente l’équation d’amplitude des vibrations libres longitudinales. Pour résoudre cette équation analytiquement, il faut définir les conditions aux limites possibles :

1- Déplacement imposé nul :

2- Effort normal imposé nul:

Donc l’énergie Potentielle est donnée par:

Et l’Énergie Cinétique:

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

Le principe de la résultante dynamique appliqué à l’élément de la barre donne : dm. (G)

Fext  



Si on projette L'équation (1) sur l’axe

y 

, alors on obtient :

Résolution avec la méthode de séparation de variables:

Cette méthode consiste à écrire la fonction déplacement u(x,t) qui est en fonction de l’abscisse x et du temps t en produit de deux fonctions U(x) qui ne dépend que de x et Ф(t) qui ne dépend que du temps t, c-à-d. :

) ( ) ( )

(x U x t

u  

L’équilibre recherché est l’égalité de deux fonctions de variables indépendantes : Cte

dt d c dx

U d

U  

²

² 1

²

1 ^{2 2}

Donc ,

















 





0

² ²

² 0

²

²

²

²

2 2



 

dt d

c U dx

U d C^te c

Donc la résultante de cette séparation des variables fournit un système des équations différentielles ordinaires, d’où la solution analytique est donnée par :

















) cos(

) sin(

) (

) cos(

) sin(

) (

t D t C t

c x B c x A x U









Les constantes A, B, C et D sont calculées à partir des conditions aux limites et les conditions initiales.

Exemple : Barre libre aux deux extrémités Les conditions aux limites:

1.9

1.10

1.11

1.12

1.13

1.14

1.15

 

  



 cos( ) sin( L) Csin( t) Dcos( t) 0 B c

cL

c A  

Solution non triviale









 0 ) sin(

0 c L A

Finalement, les modes possibles de vibration sont donc caractérisés

  i c L

Les « pulsations propres » de vibration sont donc:





  ^E

iL L

c i 



Et les modes propres associés:

) cos(

)

( x

L x i

U _ 

La solution générale du problème des vibrations longitudinales d’une barre libreaux deux extrémités est donc:





) cos(

) , (

1

t D

t C L x t i

x

u _{i i i i}

i



  _







1.18

1.19

1.20

1.21

1.22

1.9- Conclusion

Dans ce chapitre, une introduction générale sur les structures en treillis a été présentée, l’objectif principal est de faire une définition sur ce type des structures, leurs compositions ainsi les méthodes utilisées pour étudier les treillis. L’équation de mouvement de vibrations linéaires libres des barres a été détaillée et aussi la résolution analytique. La technique de séparation des variables a été exposée pour obtenir les fréquences et les modes propres. Il a été également démontré que ces modes propres sont orthonormés ce qui permettra de les utiliser comme base de fonctions cinématiquement admissibles dans la résolution du problème des vibrations libres des barres et treillis par la méthode des éléments finis dans le chapitre suivant.

Chapitre 02

Formulation par MEF de l’analyse

vibratoire des

treillis

2.1 Introduction

Les structures discrètes en treillis ont une grande importance dans le domaine d’application de la mécanique, l’aéronautique et le génie civil. Leur analyse statique et dynamique est aussi importante pour leur assurer un bon dimensionnement et éviter leur fissuration, leur rupture et leur désastre due à des conditions extérieures durant leur fonctionnement et ainsi d’augmenter leur durée de vie.

Cependant, cette analyse reste aussi complexe que la complexité d’assemblage de ces structures surtout les structures spatiales tridimensionnelles vu leur dimensionnement, l’orientation de leurs éléments et leur condition aux limites. En effet, la méthode des éléments finis (abrégé M.E.F) est une méthode utilisée pour analyser et calculer ces types de structures par modélisation durant un temps d’exécution minimum.

En conséquence, par sa parfaite adaptation à l’outil informatique, la méthode des éléments finis est généralement considérée comme l’outil le plus puissant à l'analyse linéaire dans la conception des structures, même si, pour des raisons pratiques (résistance, esthétique…), on limite souvent le domaine de fonctionnement normal des structures à des déplacements faibles, de sorte que des calculs linéaires suffisent à prédire leur comportement.

Notre travail consiste en l’utilisation de la méthode des éléments finis pour l’analyse dynamique des structures mécaniques en treillis sous différentes conditions aux limites. A cet effet, une revue sur le principe de la méthode des éléments finis est exposée suivi de la discrétisation de l’élément barre avec une formulation explicite des matrices de rigidité et masse dans le repère local puis transformées en repère global.

2.2 Méthode des éléments finis en analyse structurelle 2.2.1 Historique

La méthode des éléments finis est apparue vers 1960, en même temps que les ordinateurs puissants.

D’abord appliquée au calcul des structures et solides, elle a pris, dès [1965], une extension fantastique, quand on a réalisé qu’elle représentait, en fait, une méthode générale de résolution numérique des problèmes aux limites.

Tout phénomène physique, dont la modélisation conduit à des équations différentielles avec conditions aux limites, lui devenait accessible : structure, solide, chaleur, fluide, combustion, électromagnétisme, acoustique…

Les bases théoriques de la M.E.F reposent d’une part sur la formulation énergétique de la mécanique des structures et d’autre part sur les méthodes d’approximation. Après la deuxième guerre mondiale on assiste, dans l’industrie aéronautique, au développement de méthodes matricielles permettant de traiter des problèmes de structures assez complexes, parmi les

Il faut alors utiliser des techniques d’approximation appropriées. Dans le cadre de la M.E.F, on étudie un modèle discret du continuum. Ce modèle est basé sur la subdivision du domaine continu en sous domaines de forme géométrique simple que l’on appellera « éléments finis » interconnectés en des points remarquables appelés « nœuds » (Fig. 2.1).

Fig. 2.1 Discrétisation d’une structure en nœuds et éléments.

De plus, on définit dans chaque élément une approximation adéquate de la solution permettant de résoudre le problème en fonction uniquement des valeurs de la solution aux nœuds.

La méthode s’est généralisée dans plusieurs secteurs et s’applique à la majorité des problèmes rencontrés dans la pratique: problèmes stationnaires ou non stationnaires, linéaire ou non linéaire, définis dans un domaine géométrique quelconque à une, deux ou trois dimensions. De plus elle s’adapte très bien aux milieux hétérogènes souvent rencontrés dans la pratique par l’ingénieur.

Au même titre que son évolution (MEF), les techniques de calcul des structures ont connu ces quarante dernières années un développement considérable, motivé par les besoins des industries de pointes et soutenu par les progrès réalisés dans le domaine des ordinateurs [6].

Ainsi la méthode des éléments finis est communément utilisée aujourd’hui pour l’analyse des problèmes structuraux dans de nombreux secteurs de l’industrie : aérospatial, nucléaire, génie civil, construction mécanique, etc…

Par ailleurs, il est intéressant de remarquer que la M.E.F appliquée en domaine de structure est une technique à caractère pluridisciplinaire, car elle met en œuvre les connaissances de trois disciplines de base :

 Mécanique des structures : analyse statique, dynamique, flambement et les modes mixtes.

 L’analyse numérique : l’interpolation, intégration numérique, résolution des systèmes linéaires, résolution des systèmes non linéaires, des problèmes aux valeurs propres….

 L’informatique appliquée : techniques de programmation et algorithmiques.

2.2.2 Principe de la méthode des éléments finis

La méthode des éléments finis est la méthode la plus utilisée actuellement, son champ d’application ne cesse de s’élargir. Le succès de la méthode est que sa formulation utilise des procédés standards qui se répètent au cours de la résolution de problèmes de nature différentes.

La méthode utilise une formulation intégrale de type Galerkin. Les fonctions de base de la méthode de Galerkin sont remplacées par des fonctions de forme standard.

Le domaine  est discrétisé géométriquement en un nombre fini de sous domaines. La forme intégrale est alors construite sur ces sous domaines qu’on appelle éléments finis. Ces éléments ont des formes standard. On a donc une bibliographie d’éléments connus. Les fonctions de forme deviennent alors spécifiques à ces éléments. Les éléments sont formés par un certain nombre de points appelés points nodaux qui interconnectent les éléments. Le domaine global est formé de l’union des éléments finis interconnectés entre eux par les nœuds.

L’approximation ~^e est propre à chaque élément. C’est une interpolation de la solution exacte aux points nodaux de l’élément. La transformation des équations différentielles en système d’équations algébriques se fait au niveau de chaque élément fini. A cette étape on parle de calcul élémentaire.

Une technique d’assemblage permet d’obtenir alors le système d’équation algébrique sur le domaine global. Les inconnues sont les variables nodales. L’incorporation des conditions limites au niveau des équations algébriques permet de trouver la solution représentée par le vecteur nodal global [10].

 Formation de la matrice de rigidité et de masse de la structure tout entière en vue d’écriture des équations d’équilibre aux nœuds.

 Formulation du vecteur des inconnus nodaux.

 Introduction des conditions aux limites imposées de la structure.

 Résolution des équations d’équilibre pour déterminer le vecteur des déplacements (inconnus nodaux), les modes propres et pulsations [11].

2.2.3 Discrétisation de l’élément barre

Les éléments barres sont classés parmi les éléments finis en une dimension (1D). Une barre est un élément de structure rectiligne dont les dimensions transversales sont petites par rapport à la longueur et qui ne travaille qu'en traction-compression le long de son axe. Une barre est définie par ses deux extrémités, chaque nœud possédant un degré de liberté de translation (u), et deux degrés de liberté dans le plan (u et v) ou trois degrés de liberté dans l'espace (u, v et w).

i) Notion de degré de liberté

Un degré de liberté (ddl) dans une structure est un déplacement indépendant d’un nœud.

Pour un élément barre horizontale à deux forces, on évoque seulement des déplacements nodaux et puisque chaque nœud peut mouvoir seulement le long de l’axe x, chaque nœud a un degré de liberté. Donc chaque élément possède deux déplacements soit deux degrés de liberté.

ii) Elément barre en plan

L’élément barre peut être discrétisé unidimensionellement en élément à deux nœuds, avec deux degrés de liberté par nœuds dans un plan XY (Fig. 2.2).

Fig. 2.2 Repère global et repère local d’une barre dans le plan.

Le déplacement usuivant l’axe local x de la barre s’exprime en fonction des déplacements U et V suivant les axes globaux notés X et Y par l’intermédiaire des cosinus directeurs de la barre.

u₁=U₁.Cos θ + V₁ .Cos θ

u₂ = U₂.Cos θ + V₂.Cos θ

Avec u1 et u2 les déplacements dans le repère local aux nœuds 1 et 2, et U1, V1, U2,V2 les déplacements dans le repère global aux nœuds 1 et 2.

soit sous forme matricielle:

{u} = [T].{U}

ou [T] est appelée la matrice de transformation du système local dans le système global. Cette matrice sera définit ultérieurement.

Le meme raisonnement est utilisé pour la transformation des forces appliquées aux nœuds du repere local au repère global.

2.3 Analyse en vibration libre

Dans ce qui va suivre, nous nous intéressons aux formulations intégrales (ou variationnelles) des équations de comportement a la vibration libre des structures en barre, puis à travers la matrice de transformation de repère, nous déterminons les matrices élémentaires dans le repère global. La méthode des éléments finis, discrétise une formulation intégrale pour conduire à un système d'équations algébriques qui fournit une solution approchée du problème (Fig 2.3).

Système global X,U

x,u y,v

Système local 2

1

θ x

Fig. 2.3 : Principales étapes utilisé dans cette étude

STOP raisonnables.

Concevez un modèle initial à

l’aide des éléments finis

Pré-procession : préparez le modèle

Procession :Résoudre les équations du modèle proposé

Post-procession : affichez les résultats obtenus suite au roulage

LOGICIEL

Les résultats sont-ils raisonnables, Les erreurs estimées sont petites ?

NON

STOP

OUI

Pensez à réviser le modèle en améliorant le modèle déjà

existant

2.4- Equation gouvernante

Les équations du mouvement sont obtenues à partir du principe de Hamilton et sont exprimées par la forme variationelle suivante [12] :

 



^T U K dt

0

0  

Dans cette expression,U,  K représentent, respectivement, la variation d’énergie de déformation et la variation d’énergie cinétique Variation de l’énergie de déformation :

2.4.1- Variation de l’énergie de déformation

A partir la présente théorie, la variation de l’énergie de déformation pour une Barre est définie par :

 



 ^



V x x V

ij

ij dV dV

U    

 2

1 2

1

En parallèle nous avons :

) ( )

(x E _x x

x 

  et

x x x u

x 

 ( ) )

 (

D’où , σ et ε présentent respectivement la contrainte et la déformation axiales , E c’est le module d’Young .

Sous forme variationnelle en formulation déplacement ;

  _





L V

x

x dx

x x u x

x E u A dV

U ( ) ( )

2 1 2

1   



2.4.2- Variation de l’énergie cinétique



 V

i

i dV

t u t ) u z 2 (

K 1  i1,2,3

En respectant les hypothèses cinématiques de déformation des structures en Barres, l’énergie cinétique de la barre pour un déplacement virtuel (δu), s’écrit :





L A

 

 ( )

2

1   

  

Nous considérions que la masse est uniforme le long de la barre, et nous intégrons par partie cette expression, nous trouvons :

 

L

dx x u u A

K ( )

2

1   



(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

cette équation représente la forme forte de l'intégral (l'ordre de la dérivée) , L'intégration par parties permet de transformer une forme intégrale faible de manière à diminuer les conditions imposées au fonction δu.

La résultante finale de cette transformation est donnée par : ) 0 ( )

( ) (

2 2





 







 



 

















L L

t dx x dx u

x x u x

x E u

u 



2.5- Formulation de la matrice de rigidité et de masse d’un élément isoparamétrique de type barre

La formulation faible s’écrit en prenant l’intégration par parties du premier terme, on fait le choix sur un élément droit avec deux nœuds sous forme isoparamétrique [13] :

2.5.1 Matrice de rigidité

Dans un repère local, l’élément barre à deux nœuds, donc deux degrés de liberté.

élément réel élément de référence L'interpolation des déplacements sur l'élément est linéaire [13].

u(x) = a1 + a2x

soit u(x) = N1(x).x1 + N2(x).x2 = Ni(x).xi

x1 et x2 sont respectivement les déplacements aux nœuds 1 et 2.

N₁ et N₂ sont les fonctions d’interpolation (géométriques) aux nœuds 1 et 2.

Il apparaît donc que les fonctions de base ainsi définies dépendent de l'élément. Cette dépendance rend difficilement programmable de tel fonctions, à chaque longueur d'élément correspond deux fonctions de base. Ce problème est résolu en utilisant l’élément de référence.

x1 x2

L

-1 1 ξ

(2.9)