Méthode des éléments finis en analyse structurelle .1 Historique

La méthode des éléments finis est apparue vers 1960, en même temps que les ordinateurs puissants.

D’abord appliquée au calcul des structures et solides, elle a pris, dès [1965], une extension fantastique, quand on a réalisé qu’elle représentait, en fait, une méthode générale de résolution numérique des problèmes aux limites.

Tout phénomène physique, dont la modélisation conduit à des équations différentielles avec conditions aux limites, lui devenait accessible : structure, solide, chaleur, fluide, combustion, électromagnétisme, acoustique…

Les bases théoriques de la M.E.F reposent d’une part sur la formulation énergétique de la mécanique des structures et d’autre part sur les méthodes d’approximation. Après la deuxième guerre mondiale on assiste, dans l’industrie aéronautique, au développement de méthodes matricielles permettant de traiter des problèmes de structures assez complexes, parmi les

Il faut alors utiliser des techniques d’approximation appropriées. Dans le cadre de la M.E.F, on étudie un modèle discret du continuum. Ce modèle est basé sur la subdivision du domaine continu en sous domaines de forme géométrique simple que l’on appellera « éléments finis » interconnectés en des points remarquables appelés « nœuds » (Fig. 2.1).

Fig. 2.1 Discrétisation d’une structure en nœuds et éléments.

De plus, on définit dans chaque élément une approximation adéquate de la solution permettant de résoudre le problème en fonction uniquement des valeurs de la solution aux nœuds.

La méthode s’est généralisée dans plusieurs secteurs et s’applique à la majorité des problèmes rencontrés dans la pratique: problèmes stationnaires ou non stationnaires, linéaire ou non linéaire, définis dans un domaine géométrique quelconque à une, deux ou trois dimensions. De plus elle s’adapte très bien aux milieux hétérogènes souvent rencontrés dans la pratique par l’ingénieur.

Au même titre que son évolution (MEF), les techniques de calcul des structures ont connu ces quarante dernières années un développement considérable, motivé par les besoins des industries de pointes et soutenu par les progrès réalisés dans le domaine des ordinateurs [6].

Ainsi la méthode des éléments finis est communément utilisée aujourd’hui pour l’analyse des problèmes structuraux dans de nombreux secteurs de l’industrie : aérospatial, nucléaire, génie civil, construction mécanique, etc…

Par ailleurs, il est intéressant de remarquer que la M.E.F appliquée en domaine de structure est une technique à caractère pluridisciplinaire, car elle met en œuvre les connaissances de trois disciplines de base :

 Mécanique des structures : analyse statique, dynamique, flambement et les modes mixtes.

 L’analyse numérique : l’interpolation, intégration numérique, résolution des systèmes linéaires, résolution des systèmes non linéaires, des problèmes aux valeurs propres….

 L’informatique appliquée : techniques de programmation et algorithmiques.

2.2.2 Principe de la méthode des éléments finis

La méthode des éléments finis est la méthode la plus utilisée actuellement, son champ d’application ne cesse de s’élargir. Le succès de la méthode est que sa formulation utilise des procédés standards qui se répètent au cours de la résolution de problèmes de nature différentes.

La méthode utilise une formulation intégrale de type Galerkin. Les fonctions de base de la méthode de Galerkin sont remplacées par des fonctions de forme standard.

Le domaine  est discrétisé géométriquement en un nombre fini de sous domaines. La forme intégrale est alors construite sur ces sous domaines qu’on appelle éléments finis. Ces éléments ont des formes standard. On a donc une bibliographie d’éléments connus. Les fonctions de forme deviennent alors spécifiques à ces éléments. Les éléments sont formés par un certain nombre de points appelés points nodaux qui interconnectent les éléments. Le domaine global est formé de l’union des éléments finis interconnectés entre eux par les nœuds.

L’approximation ~^e est propre à chaque élément. C’est une interpolation de la solution exacte aux points nodaux de l’élément. La transformation des équations différentielles en système d’équations algébriques se fait au niveau de chaque élément fini. A cette étape on parle de calcul élémentaire.

Une technique d’assemblage permet d’obtenir alors le système d’équation algébrique sur le domaine global. Les inconnues sont les variables nodales. L’incorporation des conditions limites au niveau des équations algébriques permet de trouver la solution représentée par le vecteur nodal global [10].

 Formation de la matrice de rigidité et de masse de la structure tout entière en vue d’écriture des équations d’équilibre aux nœuds.

 Formulation du vecteur des inconnus nodaux.

 Introduction des conditions aux limites imposées de la structure.

 Résolution des équations d’équilibre pour déterminer le vecteur des déplacements (inconnus nodaux), les modes propres et pulsations [11].

2.2.3 Discrétisation de l’élément barre

Les éléments barres sont classés parmi les éléments finis en une dimension (1D). Une barre est un élément de structure rectiligne dont les dimensions transversales sont petites par rapport à la longueur et qui ne travaille qu'en traction-compression le long de son axe. Une barre est définie par ses deux extrémités, chaque nœud possédant un degré de liberté de translation (u), et deux degrés de liberté dans le plan (u et v) ou trois degrés de liberté dans l'espace (u, v et w).

i) Notion de degré de liberté

Un degré de liberté (ddl) dans une structure est un déplacement indépendant d’un nœud.

Pour un élément barre horizontale à deux forces, on évoque seulement des déplacements nodaux et puisque chaque nœud peut mouvoir seulement le long de l’axe x, chaque nœud a un degré de liberté. Donc chaque élément possède deux déplacements soit deux degrés de liberté.

ii) Elément barre en plan

L’élément barre peut être discrétisé unidimensionellement en élément à deux nœuds, avec deux degrés de liberté par nœuds dans un plan XY (Fig. 2.2).

Fig. 2.2 Repère global et repère local d’une barre dans le plan.

Le déplacement usuivant l’axe local x de la barre s’exprime en fonction des déplacements U et V suivant les axes globaux notés X et Y par l’intermédiaire des cosinus directeurs de la barre.

u₁=U₁.Cos θ + V₁ .Cos θ

u₂ = U₂.Cos θ + V₂.Cos θ

Avec u1 et u2 les déplacements dans le repère local aux nœuds 1 et 2, et U1, V1, U2,V2 les déplacements dans le repère global aux nœuds 1 et 2.

soit sous forme matricielle:

{u} = [T].{U}

ou [T] est appelée la matrice de transformation du système local dans le système global. Cette matrice sera définit ultérieurement.

Le meme raisonnement est utilisé pour la transformation des forces appliquées aux nœuds du repere local au repère global.