OPERATIONS ELEMENTAIRES SUR LES LIGNES OU LES COLONNES D'UNE MATRICE - APPLICATIONS

OPERATIONS ELEMENTAIRES SUR LES LIGNES OU LES COLONNES D'UNE MATRICE - APPLICATIONS

NOTATIONS : K désignera un corps.

) (K

M_n désignera une matrice carrée d'ordre n sur K.

) (K

M_np désignera une matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K.

On notera

p j

n i j

Ei

≤

≤≤

≤ 1

)1

( la base canonique de M_np(K). I_n désignera la matrice identité de M_n(K). Pour n entier naturel non nul, N_n désignera tous les entiers naturels inférieurs ou égaux à n.

1) Opérations élémentaires

définition (matrice d'affinité)

Soit n∈N^*. A tout élément (i,α)∈N_n×K^*, on associe la matrice d'affinité )

1 ,..., 1 , , 1 ,..., 1 ( )

(α =diag α

D_i où α est en i ème position.

propriétés

(i) ∀(i,α)∈N_n×K^*, )D_i(α)∈GL(n .

(ii) Pour i donné, α6D_i(α) est un morphisme de groupes de (K^*,×) dans GL(n).

démonstration

(i) det D_i(α)=α∈K^* donc D_i(α)∈GL(n). (ii) Soient α,β∈K^*

) ( ) ( ) 1 ,..., 1 , , 1 ,..., 1 ( )

1 ,..., 1 , , 1 ,..., 1 ( )

1 ,..., 1 , , 1 ,...

1 ( )

(αβ = αβ = α × β = _i α × _i β

i diag diag diag D D

D

théorème

Pour tous A∈M_np(K),i∈N_n,α∈K^*, D_i(α)A se déduit de A en multipliant la i ème ligne de a par α (on note l_i →αl_i).

démonstration

p k

n j k

aj

A

≤

≤ ≤

= ≤ 1

)1

( et

n k

n j k j

i d

D

≤

≤≤

= ≤

α

1

)1

( )

( .

⎪⎩

⎪⎨

⎧

α

=

≠

=

≠

=

i i

j j

k j

d

i j si d

k j si d

1 0

) ( )

( A M K

D_i α ∈ _np . notons

p k

n j k j

i A b

D

≤

≤≤

= ≤

α

1

)1

( )

( .

∑

=

= ⁿ

p

k p p j k

j d a

b

1

.

k j j j k

j d a

b = car d_jp =0 si j≠ p.

Si j≠i,b_jk =a_jk Si j=i,b_ik =αa_ik

théorème

Pour tous A∈M_pn(K),i∈N_n,α∈K^*, AD_i(α) se déduit de A en multipliant la i ème colonne de A par α (on note c_i →αc_i).

démonstration : analogue à celle concernant les lignes

définition (matrice de transvection)

Soit n∈N^*.A tout élément (i,j,λ)∈N_n×N_n×K tel que i≠ j, on associe la matrice de transvection U_ij(λ)=I_n +λE_ij.

propriétés

(i) ∀(i,j,λ)∈N_n×N_n×K tel que i≠ j, )U_ij(λ)∈SL(n .

(ii) Pour (i,j) donné avec i≠ j, λ6U_ij(λ) est un morphisme de groupes de (K,+) dans SL(n).

démonstration

(i) 1detU_ij(λ)= donc U_ij(λ)∈SL(n). (ii) U_ij(λ+ξ)=I_n+(λ+ξ)E_ij

j i n

j i j

i j i n j i n j i n j

i j

i U I E I E I E E E I E

U (λ) (ξ)=( +λ )( +ξ )= +ξ +λ +λξ ² = +(λ+ξ) car E_ij² =0.

théorème

Pour tous A∈M_np(K),(i,j)∈N_n², tel que i≠ j,λ∈K,U_ij(λ)A se déduit de a par l_i →l_i+λl_j. démonstration

p s

n r s

ar

A

≤

≤≤

= ≤ 1

)1

( et

n s

n r s r j

i u

U

≤

≤≤

= ≤

λ

1

)1

( ) (

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= λ

=

≠

≠

=

) , ( ) , ( 1

) , ( ) , ( 0

j i s r si

s r si

j i s r et s r si u_rs

Notons

p s

n r s r j

i a b

U

≤

≤≤

= ≤

λ

1

)1

( )

( .

∑

=

= ⁿ

q

s q q r s

r u a

b

1

Si r≠i, b_rs =u_rra_rs =a_rs.

Si r=i, b_is =u_iia_is+u_ija_js =a_is +λa_js

théorème

Pour tous A∈M_np(K),(i,j)∈N_n²,i≠ j,λ∈K, AU_ij(λ) se déduit de A par c_i →c_i+λc_j. démonstration : analogue à celle concernant les lignes.

définition (matrice de permutation)

Soit n∈N^*. A tout élément σ de S_n, on associe la matrice de permutation

n j

n i j

mi

M

≤

≤≤

≤ σ =

1

)1

( où

⎩⎨

⎧

≠ σ

=

= σ δ

= _σ

i j si

i j m_{ij i j} si

) ( 0

) ( 1

)

( .

théorème

Pour tous A∈M_np(K),(i,j)∈N_n²,i≠ j, si on désigne par σ la permutation τ_i,j, M_σA se déduit de A en échangeant les lignes i et j (on note l_i ↔l_j).

démonstration

n l

n k l

ak

A

≤

≤ ≤

= ≤ 1

)1

( et

n l

n k l

mk

M

≤

≤ ≤

≤ σ =

1

)1

( où

⎩⎨

⎧

≠ σ

=

= σ

k l si

k l m_kl si

) ( 0

) (

1 .

Notons

n l

n k l

bk

A M

≤

≤≤

≤

σ =

1

)1

( .

∑

=

= ⁿ

q

l q q k l

k m a

b

1

Si ^k∉

{ }

^{i, j} : b_kl =m_kka_kl =a_kl. Si k =i : b_il =m_ija_jl =a_jl. Si k = j : b_jl =m_jia_il =a_il.

théorème

Pour tous A∈M_pn(K),(i,j)∈N_n²,i≠ j, si on désigne par σ la permutation τ_i,j, AM_σ se déduit de A en échangeant les colonnes i et j (on note c_i ↔c_j).

démonstration analogue à celle concernant les lignes.

2) Applications

Soit )A∈M_np(K . Nous allons nous intéresser : - au calcul du rang de A ;

- au calcul de det(A) lorsque n= p;

- à la résolution d'un système du type AX = B où B∈M_n1(K); - au calcul de A⁻¹ lorsque A est une matrice carrée inversible.

On résout facilement ces problèmes si a est une matrice carrée, triangulaire supérieure (c'est-à-dire

n j

n i j

ai

A

≤

≤≤

= ≤ 1

)1

( , 0a_ij =0sii> j,a_ii ≠ ).

Dans ce cas, on a :

• rg(A)=n;

•

∏

=

= ⁿ

i i

ai

A

1

)

det( ;

• AX =B est un système de Cramer triangulaire dont la solution unique (x₁,...,x_n) s'obtient en calculant de proche en proche x_n,x_n−1,...,x₁. On explicite donc la solution X = A⁻¹B, donc la matrice A⁻¹.

Dans le cas général, on se ramène au cas particulier à l'aide d'opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes (ce qui se traduit par des multiplications à gauche et à droite par des matrices du type )D_i(α , M_σ, )U_ij(λ ), en prenant soin d'effectuer les changements nécessaires (permutation d'inconnues ou division du déterminant par un scalaire…).

Lemme du pivot de Gauss

Toute matrice A∈M_np(K) à première colonne non nulle, peut être transformée par une composition de transvections à gauche en une matrice de la forme :

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛α

= 0

' 0

* ...

*

1 1

1 A

A # où

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

≥ +

=

≠ α

≥

≥

∈ _{− −}

2 2

1 ) ' ( ) (

0

2 2

) ( '

1 1

1 , 1 1

p et n si A

rg A rg

p et n si K M

A _{n p}

.

démonstration

• si n=1, A₁= A.

• si n≥2, on se ramène au besoin au cas où a₁₁≠0 en effectuant l'opération l₁→l₁+l_i où l_i est une ligne de A de premier terme non nul (il en existe car la première colonne de A est non nulle). On effectue ensuite les opérations ₁

1 1

1l a l a

l_i → _i− ⁱ , pour 2≤i≤n. On a bien )

' ( 1 )

(A rg A₁

rg = + car parmi les vecteurs lignes de la matrice A₁, le premier vecteur n'appartient pas à vect(e₂,...,e_p) où (e₁,...,e_p) représente la base canonique donc

) ' ( 1 )

(A₁ rg A₁

rg = + . De plus, les matrices de transvection étant inversibles, on a )

( )

(A rg A₁

rg = .

La méthode de Gauss

Soit )A∈M_np(K à première colonne non nulle. A peut être transformée par composition de transvection à gauche en une matrice du type :

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

α α

=

h h h

A A

' 0

* 0

*

*

*

1 *

% , où

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

>

+

= α

>

>

∈ _{− −}

h p et h n si A rg h A rg

nuls non sont les

h p et h n si M

A

h i

h p h n h

) ' ( )

(

' _,

.

La construction s'arrête lorsque h atteint la valeur k telle que k =n ou k = p ou A' est à première _k colonne nulle.

construction

La construction se fait par récurrence à partir de A₁ . Lorsque l'on obtient la matrice A_h : si cette matrice est de la forme A_k, on s'arrête

sinon on applique le lemme précédent à la sous matrice A' de _h A_h.

exemple de calcul de rang

Dans R⁵, on considère les vecteurs suivants :

) 1 , 1 , 3 , 2 , 1 (

) 1 , 0 , 1 , 1 , 1 (

) 1 , 2 , 3 , 1 , 1 (

) 1 , 1 , 3 , 2 , 1 (

4 3 2 1

−

−

=

−

=

−

−

−

=

−

−

=

u u u u

Soit

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

−

−

−

−

=

1 1 1 1

1 0 2 1

3 1 3 3

2 1 1 2

1 1 1 1

A . On a rg(A)=rg(u₁,...,u₄).

Appliquons la méthode de Gauss :

On effectue les opérations l₂ →l₂ +2l₁, l₃ →l₃−3l₁, l₄ →l₄+l₁,l₅ →l₅ −l₁. On obtient :

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

−

2 0 2 0

0 1 3 0

0 2 6 0

0 1 3 0

1 1 1 1

Donc α₁=1 et

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

=

2 0 2

0 1 3

0 2 6

0 1 3 '₁

A .

Sur A'₁, on effectue les opérations : l₂ →l₂+l₁, _{3 3 1 4 4 1} 3 ,l l 2l l

l

l → − → + . on obtient :

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛−

3 2 0 2

0 0 0

0 0 0

0 1 3

Donc α₂ =−3 et

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

= 3 2 2

0 0

0 0 '₂

A . on effectue sur A'₂ l'opération l₁→l₁+l₃ afin

d'obtenir un coefficient non nul à la première ligne, première colonne, ce qui donne :

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

= 3 2 2

0 0 3 2 2

"₂

A .

Sur A"₂, on effectue l₃ →l₃−l₁, ce qui donne :

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

0 0

0 0 3 2 2

Donc 3 2

3 =

α et ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛ 0 '₃ 0

A . on s'arrête. on a donc obtenu la matrice

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

=

0 0 0 0

0 0 0 0

3 2 0 2 0

0 1 3 0

1 1 1 1

A3 .

On a donc rg(A) = rg(A'₃)+3=3.

proposition

Toute matrice A∈GL(n) peut être transformée par transvections à gauche en une matrice inversible, triangulaire supérieure, c'est-à-dire en une matrice du type :

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

α α

=

n

T %

1 *

, avec 0

1

≠

∏

α

= n

i

i . on a donc

∏

=

α

=

= ⁿ

i

T i

A

1

) det(

)

det( .

démonstration

On utilise la méthode de Gauss. on s'arrête lorsque h atteint la valeur k telle que k=n, ou A' est à _k première colonne nulle.

Supposons que l'on s'arrête lorsque h atteint la valeur k telle que A' est à première colonne nulle. _k on a obtenu une matrice de la forme :

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

α α

=

h h

A T

0

1 *

% , avec A_h∈M_n−h(K), A_h à première colonne nulle.

On alors det(A)=det(T)=α₁×...×α_h×det(A_h) (développements successifs suivant la première colonne). Mais det(A_h)=0 car A_h est à première colonne nulle, donc det(A)=0, ce qui est impossible. On s'arrête donc lorsque h atteint la valeur n. On a alors obtenu une matrice de la forme annoncée.

proposition

Toute matrice A∈GL(n) peut être transformée par transvections à gauche en une matrice inversible diagonale.

démonstration

Par transvections à gauche on transforme A en une matrice de la forme

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

α α

=

n

T %

1 *

.

Notons

n j

n i j

ti

T

≤

≤≤

= ≤ 1

)1

( . on effectue les opérations _n

n n k k

k t l

l

l → −α pour 1≤k ≤n−1. on obtient une matrice de la forme : _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= α

n

T T 0

0 '₁

1 , où T'₁ est une matrice triangulaire supérieure inversible (sinon A ne serait pas inversible car det(A)=det(T₁)), )T'₁∈M_n−1(K si n≥2.

On itère le procédé sur T'₁… jusqu'à obtenir une matrice T' à un élément. On a ainsi obtenu une _n matrice diagonale inversible.

Calcul du déterminant d'une matrice

On utilise la méthode de Gauss. Multiplier à gauche par une matrice de transvection ne change pas le déterminant car les matrices de transvection sont de déterminant 1.

Calculons le déterminant de la matrice

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

= −

0 4 1 2

1 1 0 1

3 2 3 2

1 1 2 1

A .

On effectue les opérations élémentaires l₂ →l₂−2l₁, l₃ →l₃+l₁, l₄ →l₄+2l₁. on obtient :

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

2 6 3 0

1 2 2 0

1 0 1 0

1 1 2 1

On effectue les opérations élémentaires l₃ →l₃+2l₂, l₄ →l₄ +3l₂. On obtient :

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

5 6 0 0

2 2 0 0

1 0 1 0

1 1 2 1

.

On effectue l'opération élémentaire l₄ →l₄−3l₃. On obtient la matrice

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

= −

1 0 0 0

2 2 0 0

1 0 1 0

1 1 2 1

B .

par conséquent, det(A)=det(B)=1×(−1)×2×(−1)=2.

calcul de l'inverse d'une matrice Principe : A∈GL(n). AA⁻¹ =I_n.

On multiplie à gauche par des matrices de transvection que l'on notera T₁,..,T_q en utilisant la méthode précédente pour avoir T₁...T_qA soit une matrice diagonale inversible de la forme

) ,...,

( _{1 n}

diag

B= α α avec 0

1

≠

∏

α

= n

i

i . On a alors BA⁻¹=T₁...T_qI_n. on multiplie à gauche par

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟ α

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

α Dⁿ _n

D 1

1 ....

1

1 . Comme _n

n

n B I

D

D ⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟ α

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ α

.... 1 1

1

1 , on a _q

n

n T T

D D

B 1 ...

1 ...

1 1

1 ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟ α

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= α

Exemple : Calculons l'inverse de la matrice

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

= −

0 4 1 2

1 1 0 1

3 2 3 2

1 1 2 1

A . On sait qu'elle est inversible

d'après l'exemple précédent car son déterminant est non nul.

Il suffit donc d'effectuer les mêmes opérations élémentaires sur A et la matrice identité

Opérations élémentaires Effets sur la matrice A Effets sur la matrice identité

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

0 4 1 2

1 1 0 1

3 2 3 2

1 1 2 1

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 4 4

1 3 3

1 2 2

2 2 l l l

l l l

l l l

+

→ +

→

−

→

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

2 6 3 0

0 2 2 0

1 0 1 0

1 1 2 1

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

1 0 0 2

0 1 0 1

0 0 1 2

0 0 0 1

2 4 4

2 3 3

3 2 l l l

l l l

+

→ +

→

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

5 6 0 0

2 2 0 0

1 0 1 0

1 1 2 1

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

1 0 3 4

0 1 2 3

0 0 1 2

0 0 0 1

3 4

4 l 3l

l → −

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

1 0 0 0

2 2 0 0

1 0 1 0

1 1 2 1

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

1 3 3 5

0 1 2 3

0 0 1 2

0 0 0 1

4 3 3

4 2 2

4 1 1

2l l l

l l l

l l l

+

→ +

→ +

→

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 1 0

0 1 2 1

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

−

−

−

−

1 3 3 5

2 5 4 7

1 3 2 3

1 3 3 6

3 1

1 2

1l l l → −

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 1 0

0 0 2 1

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

−

−

−

−

1 3 3 5

2 5 4 7

1 3 2 3

2 0 1 1 2 5

2 1

1 l 2l

l → +

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

−

−

−

−

1 3 3 5

2 5 4 7

1 3 2 3

2 2 5 13 2

17

4 4

3 3

2 2

3 1 l l

l l

l l

−

→

→

−

→

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

−

−

1 3 3 5

2 1 2 5 7

1 3 2 3

2 2 5 13 2

17

Donc A⁻¹ =

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

−

−

1 3 3 5

2 1 2 5 7

1 3 2 3

2 2 5 13 2

17

.

Résolution de système d'équaiotns linéaires On perfectionne la méthode de Gauss.

lemme

Toute matrice A∈M_np(K) non nulle, peut être transformée à l'aide d'opérations élémentaires en une matrice de la forme :

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛α

= 0

' 0

* ...

*

1 1

1 A

A # où

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

≥ +

=

≠ α

≥

≥

∈ _{− −}

2 2

1 ) ' ( ) (

0

2 2

) ( '

1 1

1 , 1 1

p et n si A

rg A rg

p et n si K M

A _{n p}

.

démonstration

Si A est à première colonne non nulle, le résultat est déjà prouvé.

Sinon : soit c_i la première colonne non nulle de A (il en existe car A est non nulle). On effectue ci

c₁↔ et on est ramené au cas précédent.

La méthode de Gauss devient :

Soit )A∈M_np(K non nulle. A peut être transformée à l'aide d'opérations élémentaires en une matrice du type :

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

α α

=

h h h

A A

' 0

* 0

*

*

*

1 *

% , où

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= α

>

>

=

∈ _{− −} h A rg

nuls non sont les

h p et h n si A

et M

A

i

h h p h n h

) (

0 '

' _,

.

La construction s'arrête lorsque h atteint la valeur k telle que k =n ou k = p ou A' est nulle. _k construction

La construction se fait par récurrence à partir de A₁ . Lorsque l'on obtient la matrice A_h : si cette matrice est de la forme A_k, on s'arrête

sinon on applique le lemme précédent à la sous matrice A' de _h A_h.

Exemple de résolution d'un système d'équations linéaires :

Résoudre le système suivant :

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

= + +

− +

−

= +

−

− +

=

−

− +

−

−

= + +

− +

−

= + +

− +

2 3 3

3

4 9

3 3 5

5 4 6 9 4 3

1 3 5 6 3 2

2 2

3 2

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

.

Ce système s'écrit matriciellement : AX=B, avec

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

3 1 3 3 1

9 3 3 5 1

4 6 9 4 3

3 5 6 3 2

2 1 3 2 1

A ,

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

=

5 4 3 2 1

x x x x x

X et

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

= 2

4 5 1 2

B .

Nous allons appliquer la méthode de Gauss améliorée à la matrice A, en prenant soin d'effectuer les modifications nécessaires sur B. C'est la raison pour laquelle nous allons travailler avec la matrice

(

^A#B

)

^.

Opérations élémentaires Effet sur

(

A#^B

)

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

2 3 1 3 3 1

4 9 3 3 5 1

5 4 6 9 4 3

1 3 5 6 3 2

2 2 1 3 2 1

1 5 5

1 4 4

1 3 3

1 2 2

3 2

l l l

l l l

l l l

l l l

−

→

−

→ +

→

−

→

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

−

−

−

−

4 1 0 0 1 0

2 7 4 0 3 0

1 2 3 0 2 0

5 1 3 0 1 0

2 2 1 3 2 1

2 5 5

2 4 4

2 3 3

3 2 l l l

l l l

l l l

+

→ +

→ +

→

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

9 0 3 0 0 0

13 4 5 0 0 0

9 0 3 0 0 0

5 1 3 0 1 0

2 2 1 3 2 1

4

3 c

c ↔ , ce qui entraîne une permutation des inconnues x₃ et x₄ :

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

5 3 4 2 1

x x x x x

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

9 0 0 3 0 0

13 4 0 5 0 0

9 0 0 3 0 0

5 1 0 3 1 0

2 2 3 1 2 1

3 5 5

3 4

4 3

5 l l l

l l l

−

→

−

→

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

−

0 0 0 0 0 0

2 4 0 0 0 0

9 0 0 3 0 0

5 1 0 3 1 0

2 2 3 1 2 1

5

4 c

c ↔ , ce qui entraîne une permutation des inconnues :

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

3 5 4 2 1

x x x x x

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

−

0 0 0 0 0 0

2 0 4 0 0 0

9 0 0 3 0 0

5 0 1 3 1 0

2 3 2 1 2 1

On s'arrête. On obtient le système suivant :

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

=

=

=

− +

−

−

=

− + + +

2 4

9 3

5 3

2 3

2 2

5 4

5 4 2

3 5 4 2 1

x x

x x x

x x x x x

On obtient directement les valeurs de x₅,x₄,x₂ : 2

1

5 =−

x ; x₄ =3 ; 2 9

2 = x .

La première équation donne alors x₁−3x₃ =−13 donc x₁=3x₃−13, x₃ ayant une valeur arbitraire.

l'ensemble des solutions du système est donc

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ α− α − ), α∈K 2

, 1 3 , 2, ,9 13 3

( .