L2-entrée A Mécanique Analytique 2005-2006 TD #5 Révision Correction
Mahdi Ben Jelloul
1 Essieu libre sur un plan incliné (Liaisons non holo- nômes)
Un essieu CC0, sans masse maintient deux roues identiques, de centre C et C' et de rayonR, dans des plans normaux à celui-ci et distants deL=CC0. Ces roues , dont l'essieu est un axe de révolution, ont une massem, et trois moments d'inertieI, I (dans le plan de la roue) etI3(le long deCC0).
Le système mécanique considéré est l'ensemble de l'axe et des deux roues. On étudie le roulement sans glissement de ce système sur un plan incliné faisant un angle αavec l'horizontale. Pour des roues solidaires, le mouvement est celui d'un cylindre, c'est-à-dire un mouvement uniformément accéléré.
Le but de ce problème est l'étude du mouvement lorsque les deux roues tournent de façon indépendante.
On choisit un système d'axes perpendiculaires dans le plan incliné: xx0 horizontal et yy0 une ligne de plus grande pente ascendante. On repère le centreO de l'essieu par ses coordonnéesXetY dans ce repère d'origineAquelconque. La directionCC0fait un angle θavec l'horizontalexx0. On désigne parφetφ0les angles qui repèrent les rayons vecteurs de chaque valve avec la perpendiculaire au plan incliné.
1. Faire un schéma représentant la situation. Il existe quatre relations scalaires de contraintes dues au roulement sans glissement pour chacune des roues. En fait, deux des contraintes sont identiques. Donner les trois relations de contraintes indépen- dantes et montrer que l'une est holonôme et les deux autres ne le sont pas.
2. En introduisant les multiplicateurs de Lagrangeλ1,λ2etλ3écrire les cinq équations de Lagrange contraintes. On admettra que le moment d'inertie de l'essieu selon la verticale au plan incliné vaut2(I+mL2/4).
3. Interpréter, en terme de forces de contact, les trois multiplicateurs de Lagrange.
4. Pour résoudre les huit équations (5 eq. de Lagrange et 3 eq. de contrainte), on intro- duira les variablesσ= (φ+φ0)/2etδ=φ−φ0. Réécrire les équations de Lagrange avec ces nouvelles variables. On supposera qu'à l'instant initial l'essieu est lancé dans la
1
pente avec une vitesseV0, l'essieu étant lui même horizontal et possédant une vitesse angulaireθ(0) = 0. Étudier, selon les conditions initiales, les types de comportement˙ observés pour l'essieu.
5. Calculer, dans ce cadre, les forces de réaction.
Solution:
1. Les contraintes hétéronômes découlent des conditions de roulement sans glissement sur le plan incliné :
2 ˙X−R( ˙φ+ ˙φ0) sinθ= 0, (1) 2 ˙Y +R( ˙φ+ ˙φ0) cosθ= 0. (2) La contrainte holonôme découle de la loi de composition des vitesses couplées au conditions de roulement sans glissement pour la barre:
Lθ˙+R( ˙φ−φ˙0) = 0. (3) 2. Les équations du mouvement découlent des équations de Lagrange pour le lagrangien
L=1
2m( ˙X2+ ˙Y2) + (I+mL2/4) ˙θ2+I3
2( ˙φ2+ ˙φ02)−mgY sinα. (4) Il vient donc :
mX¨=λ1, (5)
mY¨=λ2−mgsinα, (6) 2
I+mL2
4
θ¨=Lλ3, (7)
I3φ¨=R(−λ1sinθ+λ2cosθ+λ3), (8) I3φ¨0=R(−λ1sinθ+λ2cosθ−λ3), (9) 3. λ1 est la force de contact s'opposant au déplacement latéral de l'essieu.λ2 est la force de contact s'opposant au déplacement de l'essieu dans la pente.λ3est la force s'opposant à la rotation de l'essieu.
4. On obtient:
θ=ω0t, (10)
δ=δ0−L ω t
R , (11)
σ=σ0− 4Γ
Rω2cos(ωt)−V0
Rt, (12)
X=V0
ω
cos(ωt)−1 + Γ
V0ω(2ωt−sin(2ωt))
, (13)
Y =V0 ω
sin(ωt) + Γ
V0ω(cos(2ωt)−1)
, (14)
2
oùΓ = mgR2sinα
4(I3+mR2).
5. Les forces de réactions valent alors:
λ1=m[−ωV0cos(ωt) + 4Γ sin(2ωt)], (15) λ2=m[−ωV0sin(ωt)−4Γ cos(2ωt) +gsinα], (16)
λ3= 0. (17)
3
