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fermeture

Yoan Renaud

To cite this version:

Yoan Renaud. Quelques aspects algorithmiques sur les systèmes de fermeture. Algorithme et struc-

ture de données [cs.DS]. Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand II, 2008. Français. �NNT :

2008CLF21897�. �tel-00731341�

N˚ d’ordre : D.U. 1622 EDSPIC : 341

Universit´ e Blaise Pascal Clermont-Ferrand II

Eole Dotorale

Sienes Pour l'Ingénieur de Clermont-Ferrand

TH` ESE

pr´ esent´ ee par

Yoan RENAUD

pour obtenir le grade de

Doteur d'Université

Sp´ ecialit´ e :

Informatique

Quelques aspects algorithmiques sur les syst` emes de fermeture

Soutenue publiquement le 8 d´ ecembre 2008 devant le jury : Pr. Bernard MONJARDET Rapporteur et Examinateur Dr. Vincent DUQUENNE Rapporteur et Examinateur Pr. Alain QUILLIOT Examinateur

Pr. Michel HABIB Examinateur

Pr. Jean-Francois BOULICAUT Examinateur

Dr. Sylvie GUILLAUME Examinateur

Pr. Lhouari NOURINE Directeur de Th` ese

Remeriements

La onlusion d'une thèse se fait généralement par les remeriements, 'est de ou-

tume.Mais plus qu'une outume, ela permet de mettre en évidene le fait qu'une thèse

ne peut être menée à bon terme sans les diérentes personnes qui nous entoure tout au

long de es années.

Dans un premier temps, je tiens à remerier Lhouari Nourine qui m'a permis de traiter

des problèmes divers dans des domaines variés de l'informatique tous aussi intéressants

lesuns que lesautres.

Jevoudrais aussi remerier Vinent Duquenne et Bernard Monjardet pour avoiraepté

d'êtrerapporteurde mathèse ainsiquepourleurs divers onseilsetremarques quifurent

très enrihissants. Mes remeriements se dirigent aussi vers les diérents membres qui

ontomposés mon jury: MihelHabib, Jean-FrançoisBouliaut,Alain QuilliotetSylvie

Guillaume.

Durantmathèse,j'aiaussi puotoyerdiverses personnes. Lespremièrespersonnesque je

voudraisremerier sontlesdiérentsmembresde l'équipeave laquellej'aieu leprivilège

de travailler. Raoul Medina et Olivier Raynaud m'ont ainsi aueilli haleureusement et

m'ont aidé à m'intégrerdans e groupede travail.Ils ont toujours répondu présent pour

m'aiderdans mes diérentstravauxde reherhe etd'enseignement.

Diérentes renontres ont jalonné mes reherhes qui ont permis un enrihissement tant

sur leplan personnel queprofessionnel etje remerie toutes es personnes. Ainsi,je tiens

pluspartiulièrementàremerier RokiaMissaouiave qui j'aitravaillésur des probléma-

tiques de ma thèse. Les diérentes séanes de travail et disussions que nous avons pues

avoirm'ont permis d'atteindre une ertaine maturitédans mon travail.Ce fut aussi très

agréablede travaillerave ellede part sadisponibilitéet sagentillesse.

Bien sur, il est indispensable de remerier mes ollègues et amis de bureau. Le bureau

D009 fut pour moi ma deuxième maison durant es années de thèse. Je tiens ainsi à re-

merierlesdiérentsloatairesdee bureau.Meri àJulienPonge,AlainGély(partivers

de nouveaux horizons à Metz) et OlivierCoupelon. Les divers moments que nous avons

passésont été très enrihissants.Ce fut très agréablede travailler(maisaussi sedivertir)

ave des personnes ave qui le ourant est tout de suite passé. Bien sur je n'oublie pas

Pierre Colomb et Ramy Ragab du bureau B118 qui nous rendent visite régulièrement à

notrebureauetavequij'aipasséde superbesmomentstantpourletravailqu'endehors.

La vie au laboratoire n'aurait pas été e qu'elle a été sans Béatrie Bourdieu, Françoise

Toledo et Rose Séguy qui ont toujours répondues présentes tout au long de ma thèse.

Il ne fautpas oublieraussi qu'une thèsen'arrive qu'aprèsinq annéesde ursus universi-

taire.Ainsi,jetiensàremeriertouteslespersonnesquej'aiputoyerdurantesdiverses

années. Mesremeriementsvontaulub des inq en lespersonnes de SylvainVaheron,

CédriMasson,ThomasBusy etCédriLéonardetmoimêmeave lesquelsj'aipassémes

diérentes années à la fa ave grand plaisir et beauoup de moments uniques pendant

eten dehors des ours (Aunota par exemple). Jevoudrais remerier aussi Bibine,Stouf,

Bahelor et tous les autres qui se reonnaîtront qui ont jalonnés mon parours universi-

taire.

Enn, mes derniers remeriements, mais pas des moindres, vont à ma famille et à mes

prohes.UnGRANDMERCIàmonpèreetmamèreLuetJeannettequim'onttoujours

épaulés dans mes hoixet soutenus dans lesmoments diiles. Biensur, e grandmeri

va aussi à masoeur Stéphanie et toute sa petite famille : Manu, Tess et Ilonapour tout

e qu'ils ont pus faire pour moi depuis des années. Je nirais par les personnes qui me

sont hères et prohes dans mon entourage. Un gros meri à Jaques qui m'a épaulé et

soutenu toutaulong de e travail.Ungrandmeri àMihelle etGilles,Serge,Martine et

Lola,Sylvainet Nathalie ainsi que toutes les autres personnes qui me sont prohes pour

leur présene et leur soutien.

L'informatique n'est pas plus lasiene des ordinateurs

quel'astronomie n'estelle des télesopes.

Computer siene isno more about omputers

than astronomy isabout telesopes.

Edsger Dijkstra.

I Introdution 1

II Systèmes de fermeture et théories de Horn : Dénitions et

relations 9

1 Systèmes de fermeture 11

1.1 Ordre partielet treillis . . . 11

1.2 Systèmes de fermeture . . . 13

1.3 Treillisdes systèmes de fermeture . . . 15

1.4 Représentation des systèmes de fermeture . . . 17

1.4.1 Contextes formels . . . 17

1.4.2 Systèmes d'impliations . . . 19

1.5 Réapitulatif . . . 23

2 Théories de Horn : Relation ave les systèmes de fermeture 27 2.1 Dénitions. . . 27

2.2 Formes Normales . . . 29

2.3 Fontionsde Horn . . . 30

2.3.1 FNC de Hornet bases d'impliations . . . 30

2.3.2 Modèles aratéristiqueset éléments inf-irrédutibles . . . 31

III Diérentes opérations sur les systèmes de fermeture 35 Introdution 37 3 Borne inférieure de systèmes de fermeture 43 3.1 Eléments inf-irrédutibles . . . 43

3.2 Based'impliations . . . 46

3.3 Opérateurde fermeture . . . 48

3.4 Conlusion . . . 49

4 Borne supérieure de systèmes de fermeture 51 4.1 Eléments inf-irrédutibles . . . 51

4.2 Based'impliations . . . 53

4.2.1 Cas partiulier : bases d'impliationsdiretes . . . 54

4.2.2 Cas général . . . 57

4.3 Opérateurde fermeture . . . 58

4.4 Conlusion . . . 59

5 Diérene de deux systèmes de fermeture 61 5.1 Eléments inf-irrédutibles . . . 61

5.2 Based'impliations . . . 64

5.3 Opérateurde fermeture . . . 65

5.4 Conlusion . . . 66

IV Problème de génération des bases d'impliations

mixtes 69

Introdution 71

6 Dénitions et Problématique 75

6.1 Dénitions etnotations . . . 75

6.1.1 Contexte omplémentaire etapposition de ontextes . . . 75

6.1.2 Impliationspositives, négativeset mixtes . . . 76

6.2 Problématique . . . 78

7 Génération d'impliationsmixtes 83 7.1 Propriétés et règles d'inférene sur les impliationsmixtes . . . 84

7.1.1 Propriétés . . . 84

7.1.2 Règles d'inférene . . . 86

7.1.3 Réapitulatif . . . 89

7.2 Complétude de la générationdes impliationsmixtes . . . 90

7.3 Cas partiulier : Contexte réduit . . . 92

7.3.1 Contexte omplet . . . 93

7.3.2 Nouvellerègle d'inférene . . . 95

7.3.3 Complétude de la génération d'impliationsmixtes . . . 96

7.3.4 Exemple omplet . . . 100

7.4 Conlusion . . . 102

V Conlusion 103

8 Conlusion et Perspetives 105

Bibliographie 109

Introdution

Depuis des millénaires, l'homme a herhé à résoudre de nombreux problèmes. La

onlusionde es reherhes était, laplupartdu temps,infrutueuse etles objetifs durs,

voir impossibleà atteindre sans méthode rigoureuse. L'être humain a ainsiréé etutilisé

desoutilsl'aidantàaluleretàautomatiserdiversestâhes and'aboutiràunesolution

oude montrer que elle-in'est pas atteignable.

Ainsilalogique afaitson apparition,etonaassisté àun développement fulgurantde

l'approhe mathématique et informatique de la logique au ourant du vingtième sièle.

L'életronique et l'apparition de l'ordinateur permirent ainsi d'automatiser les diérents

aluls à eetuer et d'aélerer onsidérablement le temps menant à la résolution d'un

problème.

Mais malgrè les avanées tehnologiques et l'augmentation permanente de puissane

des mahines, ertains problèmes néessitent toujours un temps de alul qui n'est

pas envisageable en terme de traitement pratique. Un des fateurs prépondérants est

l'augmentationinessante de lataille des données qui doivent être traitées. C'est e que

l'on appelle l'explosion ombinatoire. Il sut de onsidérer un ensemble de données de

ardinalité n pour onstater que l'ensemble des parties omporte

2 ⁿ

^{éléments e qui}

représente un nombre exponentiel de ongurations possibles et don un ensemble très

largede possibilitésde réponse etde solutionsà tester.

De e fait, de nombreux problèmes de reherhe restent enore à e jour ouverts, 'est à

dire ne possèdent pas d'algorithmeeae permettant d'arriverà lasolution souhaitée.

Les herheurs étudient es problèmes à la reherhe de méthodes et de strutures

mathématiques permettant d'aboutir à des algorithmes pertinents ou bien au ontraire

de démontrer que le problème étudién'est pas traitable.

Depuis plus d'un demi siéle, les études sur les strutures d'ordres [24℄ et la logique

se sont multipliées an de modéliser et traiter les problèmes dans divers domaines

tel que l'intelligene artiielle, les bases de données ou enore le datamining pour ne

iter qu'eux. Elles sont devenues prépondérantes dans la validation et la résolution de

beauoup de problèmes.

Lestreillis etlessystèmes de fermeture représentent des strutures algébriqueset ombi-

natoiresqui sont des outils de modélisationnaturels [14, 17,18, 25, 26, 28, 54, 75, 101℄.

Nous retrouvons fréquemment en informatique des relations sur les objets qui peuvent

ainsi être modéliséespar es outils.

systèmesdefermeturemaisaussipour qu'ilssoientun outileaedansdiversdomaines.

Parmi elles-i, nous pouvons distinguer l'opérateur de fermeture assoié à un système

de fermeture

F

^{, qui, appliqué à un ensemble A, renvoie le plus petit ensemble fermé de}

F

^{ontenant A. L'ensemble des éléments} inf-irrédutibles d'un système de fermeture le aratérisede lamêmemanière.Ainsiunsystèmede fermeturepeutêtreonstruitàpartir

de la fermeture par intersetion de ses éléments inf-irrédutibles. Une autre représenta-

tion, très importante de par ses appliations, est le système d'impliations omplet ou

based'impliations,liéàunsystèmedefermeture. Cettebased'impliationsassoiéeàun

systèmede fermeturepermetde reonstituerlesensembles fermésetmetaussien relation

deauseàeetlesélémentsde l'ensemblesurlequel estonstruitlesystèmedefermeture.

Nous nous sommes ainsi intéressés pendant ette thèse aux aspets algorithmiques

et struturelles sur les systèmes de fermeture et aux réperussions sur leurs diérentes

représentations.

Un premier travail fut réalisé au début de ette thèse ave la ollaboration de Alain

Gély. Le but de e travail était de aratériser la famille des systèmes de fermeture

partageantlemêmeensembled'impliationsnon unitaires(impliationsdu types

X → Y

tel que

|X| ≥ 1

^{) dans leur base de Guigues Duquenne. Nous avons aratérisé le plus}

grand système de fermeture partageant les mêmes impliations non unitaires dans

leur base d'impliations de Guigues-Duquenne [38℄. Nous avons ainsi déni l'opération

d'atomisationquipermetd'obtenir un telsystèmede fermeture. Ce travailavaitfaitétat

d'une publiation à la onférene ICFCA05 [57℄. Nous ne le développerons pas dans e

manusrit puisqu'il a déjà été traité dans le manusrit de thèse de Alain Gély. Divers

travaux autour des aspets algorithmiques sur les systèmes de fermeture ont ainsi été

eetués ausein de notre équipede reherhe [76, 82, 83℄.

Nous avons ontinué nos travaux sur diérents aspets et représentations des sys-

tèmesde fermeture. Cemanusritde thèsesedéompose entrois grandesparties quisont

détailléesi-dessous.

II. Systèmes de fermeture et fontions de Horn : Dé-

nitions et relations

La deuxièmepartie(hapitre1et 2)est uneintrodutiongénérale sur lessystèmes de

Le hapitre 1 donne les dénitions sur les systèmes de fermeture et présente les

diérentes représentationsquipeuvent luiêtreassoiées.Ilsedéomposeen inqsetions.

Dans la première setion, nous donnons les dénitions des ordres partiels et des

treillis.

Les systèmes de fermeture et les treillis sont des strutures mathématiques fortement

liées. Nousdonnons ainsi les diérentes dénitions sur les systèmes de fermeture dans la

deuxièmesetion etdénissons le treillis des systèmes de fermeture dans lasetion 3.

La quatrième setion présente diérentes représentations des systèmes de fermeture en

s'attardant plus partiulièrementsur lesbases d'impliations.

Enn une dernière setion rappelle les diérents liens qui existent entre les diérentes

notionsexposées préédemment.

Le hapitre 2 traite des théoriesde Horn en logique propositionnelle et de leurs liens

ave les systèmesde fermeture.

Dans un premier temps, nous donnons les dénitions en logique propositionnelle nées-

sairesan d'appréhender lesthéories de Horn. Puis nous exposons la bijetion quiexiste

entre lesthéories de Horn etles systèmesde fermeture.

III. Diérentes opérations sur les systèmes de fermeture

Lapartie 3(hapitre 3à 6)présente trois opérationsensemblistes sur lessystèmes de

fermeture.

Laborne inférieure de systèmes de fermeture.

Laborne supérieure de systèmes de fermeture.

Ladiérene de deux systèmes de fermeture.

Outre un intéret théorique, es trois opérations sont appliqués et appliquables dans dif-

férentsdomaines telque l'intelligene artiielle, lalogique, lesbases de données et bien

d'autres. Les représentations des systèmes de fermeture onsidéréés peuvent ainsi être

diérentes selon les problèmes auquels nous les rattahons. Nous étudions don es trois

opérationssur trois représentations des systèmes de fermetureque sont :

Leséléments inf-irrédutible.

Labase d'impliations.

Lebutde ettepartieest dond'étudieres troisopérationsenonsidérantlesdiérentes

représentations des systèmes de fermeture évoquées i-dessus.

L'introdution de ette partie expose es trois opérations et les met en relation ave

leurs problèmes équivalents étudiés sur les théories de Horn en logique propositionnelle

[41, 42, 44℄.

Dans le hapitre 4, nous étudions l'opération de borne inférieure de systèmes de ferme-

ture. Cetteopérationest équivalenteàl'opérationd'intersetion sur lesthéoriesde Horn.

Nous transrivons ainsi les rèsultats exposés dans [42℄ sur lessystèmes de fermeture. De

plus, nousdénissons unopérateurde fermetureassoiéàlaborneinférieurede systèmes

de fermeture qui utilise uniquement les opérateurs de fermeture de haque système de

fermeture onsidéré.

Le hapitre 5 traite de l'opération de borne supérieure de systèmes de fermeture. Nous

avons ainsiremarquéqueetteopérationestéquivalenteaualulde l'enveloppede Horn

de ladisjontiondethéoriesde Hornquiaété étudiédans [41℄.Nousexposons ainsileurs

résultatsen lesexprimantsur lessystèmes de fermeture. Nousnous attardons plus parti-

ulièrementsur lareprésentation des systèmes de fermeture par les bases d'impliations.

Ilaétémontrédans[41℄qu'iln'existepasd'algorithmepolynomialpermettantdealuler

une base d'impliations de la borne supérieure de systèmes de fermeture étant données

leurs bases d'impliations respetives. Une ontribution de ette thèse est d'avoir mon-

tré que e problème est polynomial si nous onsidérons que les bases d'impliations des

systèmes de fermeture onsidérés sontdiretes. L'algorithmequi en déoule afait l'objet

d'une publiationlors de la onférene MCO'08 [89℄.

Le hapitre 6 traite de l'opération de la diérene de deux systèmes de fermeture. Ce

problème étant équivalent au problème de diérene de deux théories de Horn qui a été

étudié dans [44℄, nous avons retransrit leurs résultats sur les systèmes de fermeture.

Cette dernière opération n'est pas déni sur les systèmes de fermeture mais peut avoir

des appliations dans divers domaines.

IV. Problème de génération des bases d'impliations

mixtes

Enn, la quatrième partie de ette thèse (hapitre 6 et 7) porte sur le problème de

génération des bases d'impliations mixtes. Nous avons vu qu'une base d'impliations

est une représentation des systèmes de fermeture très utilisée dans diérents domaines.

de ette partie est d'étudier les bases d'impliations prenant en ompte à la fois la

présene et l'absene d'éléments dans les impliations. Nous appelons es impliations

des impliationsmixtes.

Le hapitre 6 présente ainsi les notations et les dénitions que nous allons utiliser pour

les bases d'impliations mixtes. Nous introduisons une méthode naïve de générations

des impliations à partir d'un ontexte formel. Nous regardons ensuite diérentes pro-

blématiques liées à la génération des bases d'impliations purement positives, purement

négatives etmixtes.

Dans le hapitre 7, nous nous onentrons plus partiulièrement sur le problème de la

génération d'une base d'impliations mixtes à partir des bases d'impliations purement

positives et purement négatives assoiées à un ontexte formel R. Nous verrons ainsi,

qu'à partir de ette information,nous n'avons auune garantie d'obtenir une base d'im-

pliations mixtes ompléte pour un ontexte R onsidéré. Cependant, nous exhiberons

un ertain nombre de propriétés et de règles d'inférene qui nous permettent de déduire

ertaines impliations mixtes de R. Ce travail a fait état d'une publiation lors de la

onférene ICFCA08 [78℄.

Nous montrerons aussi que dans le as partiulier d'un ontexte réduit, nous obtenons

une nouvelle règle d'inférene quinous permetde démontrer lajustesse et laomplétude

de la base d'impliationsmixtes déduite de toutes les règles d'inférenes que nous avons

trouvées etei uniquement à partirdes bases d'impliationspositivesetnégatives.

Ennun hapitrede onlusionpermettrade fairelebilande ettethèseetproposera

quelques perspetives de reherhe.

Systèmes de fermeture et théories de

Horn : Dénitions et relations

Systèmes de fermeture

Sommaire

1.1 Ordre partiel et treillis . . . 11

1.2 Systèmes de fermeture . . . 13

1.3 Treillis des systèmes de fermeture . . . 15

1.4 Représentation des systèmes de fermeture . . . 17

1.4.1 Contextesformels . . . 17

1.4.2 Systèmesd'impliations . . . 19

1.5 Réapitulatif . . . 23

1.1 Ordre partiel et treillis

Dans ette setion, nous rappelons quelques dénitions sur les ordres partiels et les

treillis.Lesdiérentes notations etdénitions quenous utilisonssonttirées des diérents

ouvragesonnussur es notions [28, 54, 24℄.

Dénition 1 Ordre partiel

Soit

G

^{un ensemble. Un ordre partiel sur}

G

^{est une relation binaire}

≤

^sur

G

^{telle que,}

pour tout

x, y, z ∈ G

^,

(i)

x ≤ x

^{(réexivité)}

(ii)

x ≤ y

^et

y ≤ x

^implique

x = y

(antisymétrie) (iii)

x ≤ y

^et

y ≤ z

^implique

x ≤ z

(transitivité) Unordre partiel sur un ensemble

G

^{est noté}

(G, ≤)

^.

Dénition 2 Relation de ouverture

Soit

(G, ≤)

^{un ordre partiel et}

x, y ∈ G

^{. On dit que}

x

^estouvertpar

y

^(ou

y

^ouvre

x

^{) et}

on note

x ≺ y

^si

x < y

^et

x ≤ z < y

^implique

z = x

^{. Autrement dit, il n'existe pas}

z ∈ G

ave

x < z < y

^.

Dénition 3 Idéal et ltre

Soit

(G, ≤)

^{un ordre partiel et}

A ⊆ G

^,

A

^{est un idéal si, pour tout}

x ∈ A

^,

y ∈ G

^et

y ≤ x

^{, on a}

y ∈ A

^.

A

^{est un ltre si, pour tout}

x ∈ A

^,

y ∈ G

^et

y ≥ x

^{, on a}

y ∈ A

^.

Pour

j ∈ G

^{, onnotera l'idéal(resp. leltre) prinipalde}

j

^par

↓ j = {x ∈ G | x ≤ j}

(resp.

↑ j = {x ∈ G | x ≥ j}

^{). Pour}

A ⊆ G

^{, on notera}

↓ A = S

j∈A ↓ j

^(resp.

↑ A = S

j∈A ↑ j

^{) l'idéal(resp. leltre) assoié à}

A

^.

Dénition 4 Borne supérieure, borne inférieure

Considérons un ordre partiel

(G, ≤)

^{. Un élément}

x ∈ G

^{est la borne supérieure (ou su-}

premum) de

y, z ∈ G

^{si les deux propriétés suivantes sont vériées :}

1.

y ≤ x

^et

z ≤ x

^{, et}

2. Pour tout

t ∈ G

^{tel que}

y ≤ t

^et

z ≤ t

^{, on a}

x ≤ t

^.

On dénit de façon duale la borne inférieure (ou inmum).

On note par

x ∨ y

^(resp.

x ∧ y

^{)le supremum (resp. l'inmum)de x ety.}

Dénition 5 Demi-treillis et treillis

Soit

T = (G, ≤)

^{un ordre partiel non vide. T est un} inf-demi-treillis si toute paire {x,y}

deseséléments admetun inmum x

∧

^{y. C'estun} sup-demi-treillissitoute paire{x,y}de seséléments admet un supremum x

∨

^{y. T est un treillis s'il est à lafois} inf-demi-treillis et sup-demi-treillis.

Un treillis

T

^{possèdeun plusgrand élément,noté}

⊤

^{, ainsiqu'un pluspetit élément,noté}

⊥

^.

Lagure1.1 présentediérentsordrespartiels.Lagurea)représenteun treillispuisque

toutepaire deses éléments

{x, y}

^{admetun inmum}

x ∨ y

^{etun suprémum}

x ∧ y

^{. L'ordre}

partielb) n'estdon pas un treillispuisque qu'iln'admet pas es propriétés. Enrevanhe

l'ordre partiel) représente un inf-demi-treillispuisque tout ouple d'éléments admet un

inmum.

a) b) c)

Fig. 1.1 a)Treillis, b) Unordre partiel, )Un demi-treillis

Les éléments ouverts par

⊤

^{se nomment les o-atomes du treillis.}

Les éléments qui ouvrent

⊥

^{se nomment les atomes du treillis.}

j ∈ T

^estdit

∨

-irrédutible siquels quesoient

x, y ∈ T

^,

x ∨ y = j ⇒ x = j

^ou

y = j

^.

m ∈ T

^{est dit}

∧

-irrédutible si quels que soient

x, y ∈ T

^,

x ∧ y = m ⇒ x = m

^ou

y = m

^.

On peut aussi noter que les éléments

∨

-irrédutibles sont les éléments qui ouvrent un seul élémentet leséléments

∧

-irrédutiblessont lesélémentsqui sontouverts par un seul élément.

1.2 Systèmes de fermeture

Nous allons voir à présent les diérentes dénitions sur les systèmes de fermeture.

Nousmontrons que les systèmes de fermetures, lesopérateurs de fermeture etles treillis

sont des struturesmathématiquesfortement liées.Unsystème de fermetureordonnépar

inlusionest un treillis.Deplus, àtouttreillisorrespond un systèmede fermetureetpar

onséquent un opérateurde fermeture.

Dénition 7 Système de fermeture

Soit G un ensemble d'éléments. Une famille d'ensembles

F

^{sur G est un système de}

fermeture si :

a) G

∈ F

^.

b) X, Y

∈ F

^{implique X}

∩

^Y

∈ F

^.

SiF

∈ F

^{, alors Fest dit}

F

^{-fermé ou simplementfermé.}

Remarque : Une famille qui vérie la propriété b) de la dénition 7 est appelée

une théorie de Horn en logique. Si elle respete les deux propriétés, elle est appelée

fontion de Horn strite(pour plus de détails, seréférer au Chapitre 2).

LetermefamilledeMoore est aussiusuellementutilisépourun systèmede fermeture.

Considérons l'exemplesuivant d'un système de fermeture :

Exemple 1 Soit G={a,b,,d} un ensemble d'éléments. Alors la famille d'ensembles

F

^={

∅

^{, a, b, ,ab,ad, b, abd} estun système de fermeture sur Gpuisquetout ensemble}

peut être obtenu par intersetion des ensembles le ontenant.

Il existe une orrespondane entre lanotion de système de fermetureet elled'opéra-

teur de fermeture dénie ommesuit :

Dénition 8 Opérateur de fermeture

Soit G un ensemble d'éléments.L'appliation

ϕ

^:

2 ^G → 2 ^G

^{est un opérateurde fermeture}

si les onditions suivantes sont vériées :

X

⊆ ϕ

^(X) (extension)

X

⊂

^Y

⇒ ϕ

^(X)

⊆ ϕ

^(Y) (monotonie)

ϕϕ

^{(X) =}

ϕ

^(X) (idempotene)

Un ensemble X

⊆

^{G est dit fermé si X =}

ϕ(X)

^{. L'ensemble des fermés par}

ϕ

^dénit

ainsi un système de fermeture[28℄.

On notera qu'un ensemble d'éléments inf-irrédutiblesest une représentation du système

de fermeture assoié. Lafermeture de

M(F)

^par intersetion est ainsi ègale à

F

^sahant

quel'ensembleGappartientà

F

^{.Demanièreplusformelle,nouspouvonsledéniromme}

suit :

Proposition 1 Soit

F

^{unsystèmede fermeturesurG.Alorslafamilledes fermésdénis}

par l'opérateur

ϕ F

^{(A) =}

T

{M

∈ M(F ) |

^A

⊆

^{M} est égale à}

F

^.

On notera par

ϕ F

l'opérateur de fermeture assoiéausystème de fermeture

F

^.

Proposition 2 Soit

ϕ

^{un opérateur de fermeture.}

F ϕ = {X ⊆ G|X = ϕ(X)

^{} est un}

système de fermeture.

Proposition 3 Soit

F

^{un système de fermeture sur G. Alors (}

F

^,

⊆

^{) est un treillis ave :}

X

∧

^{Y = X}

∩

^Y

X

∨

^{Y =}

ϕ F

^(X

∪

^{Y) =}

T

{F

∈ F |

^X

∪

^Y

⊆

^F}

0 0 1 1 0 0

1 1 0 0 1 1

0 0 1 1

0 0 1 1 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 0 1 1

0 0 1 1

0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000

1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111

000 000 000 000 000 000 000 000 000

111 111 111 111 111 111 111 111 111

0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000

1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 000 000

000 000 000 000 000 000

111 111 111 111 111 111 111 111

000 000 000 000 000 000 000 000

111 111 111 111 111 111 111 111 000 000 000 000 000 000 000 000 000

111 111 111 111 111 111 111 111 111

000 000 000 000 000 000 000 000 000

111 111 111 111 111 111 111 111 111

00 00 00 00 00 00 00 00 00

11 11 11 11 11 11 11 11 11 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000

1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111

000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000

111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 000 000 000 000 000 000 000 000 000 111 111 111 111 111 111 111 111 111

00 00 00 00 00 00 00 00

11 11 11 11 11 11 11 11

00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00

11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

b e

a c

ad ab

abd

abce abcde

Fig. 1.2Treillisorrespondant ausystème de fermeturede l'exemple 2.

Exemple 2 Soient G ={a,b,,d,e} et lesystème de fermeture sur G suivant :

F

^={

∅

^{,{a}, {b},{}, {e},{ab}, {ad}, {abd}, {abe}, {abde}}.}

Nous avons alors l'ensemble des éléments inf-irrédutibles de

F

^:

M

⁽

F

^{) = {b, , e, ad,}

abd, abe} et l'ensemble des éléments sup-irrédutibles de

F

^:

J

⁽

F

^{) ={a, b, ,e, ad}.}

Le treillis orrespondant à e système de fermeture est présenté dans lagure 1.2.

1.3 Treillis des systèmes de fermeture

Nous avons vu préédemment la notion de système de fermeture et de treillis. Nous

nous intéressons à présent à l'ensemble de tous les systèmes de fermeture dénis sur un

ensembleGquel'onnote

K

^{.Cet ensembledénitainsi luimêmeun systèmedefermeture}

mais ette fois-isur l'ensemble 2

G

.

Proposition 4

K

^{= {}

F ⊆ 2 ^G | F

^{est un système de fermeture} est un système de}

fermeture ave

ϕ K

⁽

F

^{) =}

T

{

F ^′ ∈ K | F ⊆ F ^′

^{}, où}

F

^{est une famille arbitraire sur G.}

Corollaire 1 (

K

^,

⊆

^{) est un treillis ave pour tout}

F

^,

F ^′ ∈ K

^{on a :}

F ∧ F ^′

⁼

F ∩ F ^′

^.

F ∨ F ^′

⁼

ϕ K (F ∪ F ^′ )

^={F

∩

^{F' : F,F'}

∈ F ∪ F ^′

^}.

La gure 1.3 illustre les opérations de l'inmum et du suprémum de deux systèmes de

Fig. 1.3 Opérationssur lessystèmes de fermeture.

1.4 Représentation des systèmes de fermeture

Nous allons voir dans ette setion les diérentes représentations les plus utilisées

pourles systèmesde fermeture. Nousavons déjàvu danslasetion1.2laorrespondane

entre lessystèmesde fermetureetlesopérateurs de fermetureainsi quelesensembles des

élémentsinf-irrédutiblesassoiés.Nousnousintéressons àprésent àlareprésentationdes

systèmes de fermeturepar lesontextes formels et par lesbases d'impliations.

1.4.1 Contextes formels

La notion de ontexte formel est une notion basique en analyse de onepts formels

initiéepar Ganter etWille[54℄.

On note par R = (G, M, I) un ontexte formeloù G représente l'ensemble des objets et

M l'ensemble des attributs du ontexte. I exprime la relation entre G et M. Dans le but

d'exprimer le fait qu'un objet g

∈

^{G est en relation I ave un attribut m}

∈

^{M, on note}

gImou(g,m)

∈

^{I quiest interprété ommel'objetg ontientl'attributm . LarelationI}

estainsiappeléerelationd'inidenedu ontexteformel.On noteralesobjetsdu ontexte

par des nombres (1,2, 3,...) etles attributspar des lettres(a, b,,....).

Dénition 9 Soit R=(G,M,I) un ontexte formel.

On dénit :

f :

2 ^G → 2 ^M

^{, f(X) = X' = {a}

∈

^M

| ∀

^x

∈

^{X, xIa}}

g :

2 ^M → 2 ^G

^{, g(Y) = Y' ={y}

∈

^G

| ∀

^a

∈

^{Y, yIa}}

Dénition 10 Unonept formeld'unontexte R=(G, M, I)est une paire(A,B) ave

A

⊆

^{G, B}

⊆

^{M, A' = B et B' =A.}

On note par

C(R)

^{l'ensemble de tous les onepts formels que l'on peut extraire d'un}

ontexte formelR. Ces onepts sont ainsi partiellement ordonnés par :

(X 1 , Y 1 ) ≤ (X 2 , Y 2 ) ⇔ X 1 ⊆ X 2 , Y 2 ⊆ Y 1 .

Untreillisdes onepts assoiéàun ontexte Rest ainsi un treillisomplet(

C (R)

^,

≤

^)que

l'on noterapar

B(R)

^.

Proposition 5 Soit R= (G,M,I) un ontexte.

ϕ 1

^{: 2}

G →

²

^G

^ave

ϕ 1

^{(A) = f}

◦

^{g(A) est}

unopérateurdefermeture sur

G

^et

ϕ 2

^{: 2}

M →

²

^M

^ave

ϕ 2

^{(A) =g}

◦

^{f(A) estun opérateur}

de fermeture sur

M

^{. Les systèmes de fermeture assoiés sont ainsi les suivants :}

1.

F G

^={A

| ϕ 1 (A) = A

^}

2.

F M

^={B

| ϕ 2 (B) = B

^}

Nous pouvons voir sur la gure 1.4un ontexte formelreprésenté sous formematriielle

ainsi quelesreprésentations des systèmesde fermetureassoiés sur les ensembles MetG

du ontexte R.

R a b d

1 1 1 0 1

2 1 0 1 1

3 0 1 0 1

4 0 1 1 0

1)R =(G, M, I)

Fig. 1.4 1)Un ontexte formel R, 2)Treillisreprésentant le système de fermeture

F M

^,

3) Treillisreprésentant le système de fermeture

F G

^.

Dénition 11 Un ontexte R =(G,M,I) est dit réduit si tout objet g de G ne peut être

obtenu par intersetion d'autres objets et si tout attribut m de M ne peut être obtenu par

intersetion d'autres attributs.

Remarque :Nous onsidérons, dans la suite de e manusrit, qu'un ontexte réduit ne

ontientpas d'objet omposé de tous lesattributs du ontexte.

Proposition 6 [54℄ SoientR un ontexteformel etR' son ontexteréduit assoié. Alors

les treillis assoiés à R et R' sont isomorphes.

1.4.2 Systèmes d'impliations

Une des représentations possibles pour un système de fermeture est une base d'im-

pliations. Nous allons voir dans ette setion les diérentes notations et dénitions sur

lesbases d'impliationsainsi que lesrelationsexistantes entre les notionsde systèmes de

fermetureet de bases d'impliations.

Impliations

Dénition 12 Soit

G

^{un ensemble} d'éléments. Un ouple

(X, Y ) ∈ 2 ^G × 2 ^G

^{, noté}

X → Y

^{est dit une impliation sur}

G

^.

X

^{est appelé la prémisse de} l'impliation (ou enore l'antéédent), et

Y

^{laonlusion.On notera}

Σ

^{une famille} d'impliations sur

G

^.

Dénition 13 Soient

X → Y

^{une impliation et}

F

^un sous-ensemble de

G

^{. On dit que}

l'impliation

X → Y

^{estsatisfaitepour}

F

^(ouenoreque

F

^satisfaitl'impliation

X → Y

⁾

siet seulement si :

X ⊆ F ⇒ Y ⊆ F

Plus généralement, on dira qu'une famille d'impliations est satisfaite pour un ensemble

F ⊆ G

^{si et seulement si}

F

^{satisfait toutes les} impliations de

Σ

^.

Dans leas où un ensemble

F

^{satisfait lafamille} d'impliations

Σ

^{, ondira que}

F

^{est un}

ensemble

Σ

^{-fermé. Dans le as où}

F

^{ne satisfait pas la famille} d'impliations

Σ

^{, le plus}

petit ensemble

Σ

^{-fermé ontenant}

F

^{est appelé lafermeture de}

F

^par

Σ

^{, notée}

F ^Σ

^.

Étantdonnéun ensemble

F

^{,ilexiste des}algorithmespermettantde alulersafermeture en temps linéairepar rapport à la taillede

Σ

^{[9, 71℄. La taille d'une base} d'impliations est dénie par

|Σ|

^{qui orrespond au nombre} d'impliationsdans

Σ

^.

Soit

Σ

^{un ensemble}d'impliationssur

G

^{.Lafamilledes ensembles}

Σ

^{-fermés onstitueun}

système de fermeture, noté

F Σ = {F ^Σ | F ⊆ G}

^.

Dansleasoùplusieurssystèmesdefermetures

F

^,

F ^′

^,

F ^′′

^{sontmanipulésenmêmetemps,}

onnotera

Σ F

^,

Σ F ^′

^,

Σ F ^′′

^{les familles}d'impliationsvériéesorrespondantes.

Propriété 1 Soient

Σ

^{une famille} d'impliations sur

G

^et

X → Y

^une impliation. On dira que

X → Y

^{dérive de}

Σ

^{(ou, de façon} équivalente, que

Σ

^infère

X → Y

^{, ou enore}

que

Σ

^{implique logiquement}

X → Y

^{),si et seulement si}

Y ⊆ X ^Σ

^.

On notera

Σ ⊢ X → Y

l'impliationlogique de

X → Y

^par

Σ

^.

De la même façon qu'une impliation dérive d'une famille d'impliations

Σ

^{, on}

dira qu'une famille d'impliations

Σ ^′

^{dérive de}

Σ

^(noté

Σ ⊢ Σ ^′

^{) si et seulement si, pour}

tout

X → Y ∈ Σ ^′

^,

Σ ⊢ X → Y

^.

Dénition 14 Deux famillesd'impliations

Σ

^et

Σ ^′

^sontéquivalentessiet seulement si:

Σ ^′ ⊢ Σ

^et

Σ ⊢ Σ ^′

ou

F Σ = F Σ ^′

Aunsystèmed'impliations,onpeutassoierdefaçonuniqueunsystèmedefermeture.En

revanhe, un système de fermeture peut orrespondre à plusieursfamillesd'impliations.

Dans e as, es famillesd'impliationssont toutes équivalentes.

Base d'impliations

Dénition 15 Soit

F

^{un système de fermeture. On dira que}

Σ

^{est une base d'implia-}

tions pour

F

^ssi

F = F Σ

^{. On note par}

ϕ Σ

l'opérateur de fermeture assoiéà

F Σ

^.

Les bases d'impliationspour un système de fermeturepeuvent être de tailleexpone-

nielleparrapportàlareprésentationquenousavonsdusystèmedefermetureauquelnous

pouvons l'assoier(parexemplelesélémentsinf-irrédutiblesde esystèmedefermeture).

Il est alors plus intéressant de se foaliser sur les plus petites d'entre elles en terme de

nombre d'impliationsouelles quiont de bonnespropriétés.

Dénition 16 Soient

F

^{un système de fermeture et}

Σ

^{une base} d'impliations de

F

^{. On}

dira que

Σ

^est

1. Non redondante, si pour tout

X → Y ∈ Σ

^,

Σ \ {X → Y } 6⊢ X → Y

^.

2. Minimum, si pour tout

Σ ^′

^{une base} équivalente à

Σ

^{, on a}

|Σ ^′ | ≥ |Σ|

^{, où}

|Σ|

^{est le}

ardinalde

Σ

De la dénition i-dessus, on déduit qu'une base minimum est une base non redon-

dante, mais une base non redondante n'est pas forément minimum.

Propriété 2 Axiomes d'Armstrong

Unebased'impliationsomplètesassoiéeàunsystèmedefermeturesurGestunsystème

d'impliations qui vérie les axiomes suivants :

1.

∀ A, B, C ⊆

^G,

A → B

^et

B → C

^impliquent

A → C

(transitivité)

2.

∀ A, B, Z ⊆

^G,

A → B

^implique

AZ → BZ

(augmentation) 3.

∀ A, B ⊆

^G,

A ⊆ B

^implique

B → A

^. (réexivité)

Les axiomes d'Armstrong [5℄ permettent ainsi de dériver toutes les impliations qui

sont satisfaites par un système de fermeture

F

^{à partir d'une base} d'impliations de e système de fermeture.

Parmi lesdiérentes basesd'impliationsonnues, nousnous intéressons pluspartiu-

lièrementàtrois bases d'impliationsquesont labase des générateursminimauxou base

générique[85℄,labasedesprémisses propres[101℄etlabaseanoniqueplusommunément

appelée la base de Guigues Duquenne [38℄ ou bien enore la "stem base" dans [54℄. Les

deux premières bases d'impliations évoquées sont des bases d'impliationsdiretes. On

diraqu'unebased'impliationsestdiretesipourtoutensembleA

⊆

^{G,ilsutd'unseul}

passage de

Σ

^{pour obtenir}

ϕ Σ (A)

^{. La base des} générateurs minimaux est ainsi une base d'impliationsdirete et la base des prémisses propres a la partiularité d'être une base

direteminimale.

Base des générateurs minimaux (générique)

Labase desgénérateurs minimauxest onstruite àpartird'ensembles partiuliersque

sont lesgénérateurs minimaux.Elleest uniquementdénie mais n'a pas de propriété sur

sataille. De plus, ette base d'impliationspeut être redondante.

Dénition 17 Soit

F

^{un système de fermeture sur G. On appelle B un générateur mi-}

nimal d'un ensemble fermé F

∈ F

^si

6 ∃

^B'

⊂

^{F tel que}

ϕ F

^{(B') = F.}

Théorème 1 Soit

F

^{un système de fermeture sur G. Alors}

Σ F

^{= {B}

→

^F

\

^B

|

^B

⊂

^G

|

B est un générateurminimal} est une base d'impliations pour

F

^.

Exemple 3 Si nous onsidérons le système de fermeture de l'exemple 2, la base des gé-

nérateurs minimaux assoiée à e système de fermeture est lasuivante :

Σ F

^{= { d}

→

^{a, bd}

→

^{a, a}

→

^{be, b}

→

^{ae, ae}

→

^{b, be}

→

^a,e

→

^ab,d

→

^abe,de

→

^ab}

Nous pouvons voir dans l'exemple 3,que ette base d'impliations est redondante. Si

nous onsidérons les régles d

→

^{a et bd}

→

^{a, nous remarquons que bd}

→

^{a est redondante}

par rapport àd

→

^{a.En général,ette base n'est don pas forément minimum.}

Bases des prémisses propres [101℄

Cette base d'impliations est basée sur des éléments partiuliers appelés "prémisses

propres". Nous verrons que ette base est dénie de manière unique et peut être redon-

dante.

Dénition 18 Soit un ensemble A

⊆

^{G, on note par :}

A

•

=

ϕ

^(A)

\

^(A

∪ S

x∈A

ϕ

^(A

\

^{x}))

l'ensemble des éléments de

ϕ(A)

^qui n'appartiennent ni à A ni à la fermeture d'auun sous ensemble propre de A. On appelle A une prémisse propre si

A ^• 6= ∅

^{, 'est à dire :}

ϕ(A) 6=

^A

∪ S

x∈A

ϕ

^(A

\

^{x})

En partiulier,

∅

^{est une prémissepropre si}

ϕ(∅) 6= ∅

^.

Théorème 2 Soit

F

^{un système de fermeture sur G. Alors}

Σ F

^={A

→ A ^• |

^{A est une}

prémisse propre} est une base d'impliations pour

F

^.

Exemple 4 Si nous onsidérons le système de fermeture de l'exemple 2, labase des pré-

misses propres assoiée à e système de fermeture est lasuivante :

Σ ^F

^{= { d}

→

^{a, a}

→

^{be, b}

→

^{ae, ae}

→

^{b, be}

→

^{a, e}

→

^ab,d

→

^be,de

→

^b}

Nous pouvons voir dans et exemple que l'ensemble des premisses propres de ette base

d'impliations est un sous-ensemble de l'ensemble des générateurs minimaux assoié au

même système de fermeture.

Base de Guigues Duquenne [38℄

La base de Guigues Duquenne [38℄ est onstruite sur des éléments partiuliers appe-

lés ensembles pseudo-fermés qui sont basés sur la dénition des ensembles quasi-fermés.

Elle est uniquement dénie et a la propriété d'être minimum. En revanhe, il n'est pas

toujours possiblede alulerlafermetured'un ensemble en un seul passagede ette base

d'impliations.

Dénition 19 Unensemble

Q ⊆ G

^{estun ensemble} quasi-fermé sietseulementsi

F ∪Q

est un système de fermeture.

Propriété 3 [38℄ Soit un ensemble

Q ⊂ G

^{. Q est} quasi-fermé ssi pour tout

A ⊂ Q

^,

A ^{Σ F} = Q ^{Σ F}

^ou

A ^{Σ F} ⊂ Q

^.

Enn, à partir de la dénition d'ensemble quasi-fermé, on peut donner la dénition

d'ensemble pseudo-fermé.

Dénition 20 Unensemblequasi-fermé

P

^{estun ensemble} pseudo-fermés'iln'existepas d'ensemblequasi-fermé

Q

^ave

Q ⊂ P

^et

Q ^{Σ F} = P ^{Σ F}

^.

Exemple 5 Si nous onsidérons le système de fermeture de l'exemple 2, la base de

Guigues Duquenne assoiée à e système de fermeture est lasuivante :

Σ ^F

^={d

→

^{a, ae}

→

^b,be

→

^{a, e}

→

^{ab, a}

→

^{be, b}

→

^ae}.

L'ensemble des pseudo-fermés permet ainsi de dénir la base d'impliations de Guigues

Duquenne.

Théorème 3 Base minimum de Guigues-Duquenne[38℄.

Soit

F

^{unsystèmede fermeture,l'ensemble}

Σ ^F = {P → P ^{Σ F} | P

^{estun ensemblepseudo-}

fermé

}

^{est une base} d'impliations minimum pour

F

^.

Deplus,àpartird'unebased'impliationsquelonque,ilexisteunalgorithmepermettant

de trouver la base de Guigues Duquenne assoiée. Cet algorithme a été déouvert par

Mayerpuis Shok l'asimplié[92℄.

Algorithme 1 : MINIMUM

(Σ)

Données :

Σ

^{une base} d'impliations de

F

Résultat:

Σ min

^{une base minimum} d'impliationsde

F

début

pour haque

X → Y ∈ Σ

^faire

Remplaer

X → Y

^par

X → X ^Σ

^;

pour haque

X → X ^Σ ∈ Σ

^faire

si

X ^{Σ F \{X →X Σ F }} ∈ F

^alors

Σ \ {X → Y } → Σ

n

1.5 Réapitulatif

Dansettesetion,nousrappelonsdemanièrebrèvelesdiérentsliensentrelesnotions

déniesdans e hapitre.

Soit

F

^{un système de fermeture sur}

G

^{. Alors}

l'opérateur de fermeture

ϕ : 2 ^G → 2 ^G

^ave

ϕ(X) = T

{F ∈ F | X ⊆ F }

^{ou enore}

ϕ(X) = T

{F ∈ F | F ∈ M(F ), X ⊆ F }

^{orrespond ausystème de fermeture}

F

^.

F

^{est isomorphe à la fermeture par} intersetion de la olletion

M(F ) ∪ G

^{. Les}

éléments de

M(F)

^{peuvent don servir à}représenter le treillis.

(F, ⊆)

^{estuntreillis.Notonsquepouruntreillis,onpeutassoierplusieurssystèmes}

de fermeture.

Notons qu'on peut assoier à

F

^{plusieurs bases} d'impliations équivalentes, mais une seule est sous laforme de Guigues-Duquenne et une seule est sous laforme de

base de générateursminimaux.

F

^{est égal à l'ensemble des ensembles}

Σ

^{-fermés où}

Σ

^{est une base de}

F

^{. Notons}

qu'unebaseminimumd'impliationspour

F

^{peutêtrealuléeentempspolynomial}

à partirde

F

^{. Par ontre à partir de}

M(F )

^{,e problème reste ouvert.}

Les diérentes représentations que nous avons vu dans e hapitre sont don très liés

ausystèmede fermetureorrespondant. Malheureusement lepassageentrees diérentes

représentations reste, en général, assez diile à eetuer. Le alul d'un opérateur de

fermeture pour un système de fermeture est une tahe faile si nous onsidérons son en-

sembled'élémentsinf-irrédutiblesoubienunebase d'impliationsassoiée.Enrevanhe,

onernant les autres représentations que nous avons étudiées, il n'existe pas à e jour

de méthode eae permettant de passer de l'une à l'autre.Nous exhibons es diérents

liens sur lagure 1.5 et regardons lesproportions sur les tailles des représentations d'un

système de fermeture dans le pire des as sur latable 1.1.

M(F ) Σ F F

|M(F )| = m m 2 ^m 2 ^m

|Σ F | = m 2 ^m m 2 ^m

|F | = m m |G| × m m

Tab. 1.1 Tailledes diérentes représentations d'un système de fermeture

F

^{sur G au}

pire des as.

Fig. 1.5 Passage entre lesdiérentes représentations des systèmes de fermeture

Théories de Horn : Relation ave les

systèmes de fermeture

Sommaire

2.1 Dénitions . . . 27

2.2 Formes Normales . . . 29

2.3 Fontions de Horn . . . 30

2.3.1 FNCde Hornetbases d'impliations . . . 30

2.3.2 Modèles aratéristiquesetélémentsinf-irrédutibles . . . . 31

Il existe une forte relation entre les systèmes de fermerture et les fontions de Horn

en logique propositionnelle. Dans e hapitre, nous donnons les dénitions et les nota-

tions néessaires pour dénir les fontions de Horn. Ensuite, nous nous intéressons plus

partiulièrement aux relations qui existe entre les fontions de Horn et les systèmes de

fermeture.

2.1 Dénitions

On note par

{0, 1} ⁿ

^{le produit artésien}

Π ⁿ _i =1 {0, 1}

^{. Un tuple v}

∈ {0, 1} ⁿ

^{sera noté}

v = (x 1 , ..., x n )

^et

v i

^{représente la i-éme omposante, 'est à dire}

x i

^{. Sinous onsidérons}

un ensemble Gtelque

|G|

^{=n, ily a une bijetion entre}

{0, 1} ⁿ

^et

P (G)

^{, l'ensembledes}

partiesde G.

Dénition 21 Fontion booléenne

On appelle fontion booléenne à n variables (ou fontion logique) toute appliation de la

forme :

f : {0, 1} ⁿ → {0, 1}

(x 1 , ..., x n ) → f(x 1 , ..., x n

⁾

On peut dérire une fontion booléenne par une table de vérité ou bien utiliser des

formules mathématiques à base d'opérateurs logiques. Ainsi le

∧

^{représente le ET,}

∨

représentele OU et

¯

^{représente le NON.}

L'étude des fontions booléennes sur n variables est équivalente à l'étude de l'ensemble

des parties de

{0, 1} ⁿ

^{que l'on notera}

B n

^{. On a de e fait que}

|B n | = 2 ^{2 n}

^où

|B n |

représentele nombre de fontions possibles sur n variables.

Nous pouvons ainsi représenter une famille

F

d'ensembles de G par sa fontion aratéristique

f F

^{omme suit :}

f _F (M) =

( 1 si M ∈ F 0 sinon

De lamêmemanière,onpeut assoier àunefontion booléennef dans

{0, 1}

^{,une famille}

d'ensembles sur Gque l'on nomme lesmodèles de f.

F f = {M ⊆ G|f(M ) = 1}

La bijetion entre une fontion booléenne et une famille d'ensembles s'exprime de la

manièresuivante :

B n → 2 ^{2 G}

Ainsi es deux notations sont éhangeables.

Dénition 22 Littéral :

Un littéralest une fontion booléenne dela forme

p

^{(littéralpositif) ou}

p ¯

^{(littéralnégatif),}

où p est une variable.

Dénition 23 Modèle et théorie :

Une théorie

T

^{est un} sous-ensemble de

{0, 1} ⁿ

^{. Les éléments de}

T

^{sont appelés modèles.}

Les modèles

(0, 0, ..., 0)

^et

(1, 1, ..., 1)

^seront respetivementnotés par 0et 1.

Deux modèles

v

^,

w

^{sont dits omparables(noté}

v ≤ w

^{)sipourtout i}

∈ {1, .., n}

^,

v i ≤ w i

ave

0 ≤ 1

^.

Dénition 24

T (f)

^:

Soit f une fontion booléenne,

T (f ) = {v ∈ {0, 1} ⁿ | f(v) = 1}

^{représente l'ensemble de}

On dira quedeux fontions booléennes

f 1

^et

f 2

^sontéquivalentes si etseulementsi

T (f 1 )

=

T (f 2 )

^.

Exemple 6 La fontion

f = (a ∧ ¯ b) ∨ c

^{est une fontion booléenne à trois variables.}

T (f )

⁼

{(0, 0, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}

^.

La fontion

f ^′ = (a ∨ c) ∧ (¯ b ∨ c)

^est équivalente à la fontion f puisque

T (f )

⁼

T (f ^′ )

2.2 Formes Normales

Enlogique,lesformesnormalessontunenormalisationdesfontionslogiques.Ilexiste

ainsi plusieurstypes de formes normales. Nous nous intéressons iiplus partiulièrement

àla formenormaleonjontiveet à laformenormale disjontive.

Dénition 25 Clause et FNC :

Unelause est une fontion de laforme =

l 1 ∨ .... ∨ l n

^,

n ≥ 0

^{, où haque}

l i

^{est un}

litteral.

Unefontionbooléenneestdite enformenormale onjontive(FNC)sietseulement

sielle est de la forme

c 1 ∧ ... ∧ c m

^,

m ≥ 0

^{, où haque}

c i

^{est une lause.}

Dénition 26 Terme et FND :

Un terme est une fontion de la forme t=

l 1 ∧ .... ∧ l n

^,

n ≥ 0

^{, où haque}

l i

^{est un}

litteral.

Unefontionbooléenneest diteenforme normaledisjontive(FND) sietseulement

sielle est de la forme

t 1 ∨ ... ∨ t m

^,

m ≥ 0

^{, où haque}

t i

^{est un terme.}

Nous noterons la lause vide (

n = 0

^{) par}

⊥

^{et le terme vide par}

⊤

^{. L'ensemble des}

littéraux positifs d'une lause sera noté

P (c)

^{et l'ensemble des littéraux négatifs par}

N(c)

^.

Théorème 4 Soit

f

^{une fontion booléenne.}

Il existe une fontion

f 1

^{en FND telle que}

f 1

^est équivalente à

f

^.

Il existe une fontion

f 2

^{en FNC telle que}

f 2

^est équivalente à

f

^.

Le théorème 4 exprime le fait que l'on peut transformer une fontion

f

^{quelonque en}

une fontion ne ontenant qu'une onjontion de lauses (FNC) oubien une fontion ne

ontenantqu'une disjontion de termes.

Dénition 27 Un terme t est un impliquant d'une fontion booléenne f si t implique f,

'està dire

∀ v ∈ {0, 1} ⁿ

^,

t(v) ≤ f (v)

^{. Il est impliquant premier si tout} sous-ensemble de

Dénition 28 Une lause est un impliqué d'une fontion booléenne f si f implique ,

'est à dire

∀ v ∈ {0, 1} ⁿ

^,

f (v ) ≤ c(v )

^{. Il est impliqué premier si tout} sous-ensemble de disjontion de littéraux de n'est pas un impliqué premier de f.

Exemple 7 Si nous onsidérons la fontion booléenne suivante :

f = (

x 1 ∧ x 3 ) ∨ (x 2 ∧ x 4 ) ∨ (x 3 )

nous avons :

(

x 1 ∧ x 3 )

^,

(x 2 ∧ x 4

^{) et}

x 3

^{sont des} impliquants (

x 1 ∧ x 3 )

^{n'est pas un impliquant premier.}

De lamême manière,si nous onsidérons la fontion booléennequi suit :

f' =(

x 1 ∨ x 3 ) ∧ (x 2 ∨ x 4 ) ∧ (x 3 )

^.

(

x 1 ∨ x 3 )

^,

(x 2 ∨ x 4 )

^et

(x 3 )

^{sont des impliqués.}

(

x 1 ∨ x 3 )

^{n'est pas un impliqué premier.}

2.3 Fontions de Horn

Il existe des lasses partiulières pour les fontions booléennes. Les fontions boo-

léennes de Horn forment ainsi une lasse ayant des propriétés intéressantes que nous

allonsvoirdansettesetion.Il existe uneforterelationentrelesfontionsde Hornetles

systèmes de fermeture. Plus exatement, lessystèmes de fermeturesur un ensemble

G

^et

lesfontionsdeHornstrites('estàdirequipeuventêtrereprésentée paruneonjontion

de lauses strites) sonten bijetion.

2.3.1 FNC de Horn et bases d'impliations

Dénition 29 Une lause de Horn est une lause omportantau plus un littéral positif.

La dénomination"lause de Horn" vient du nom du logiien Alfred Horn qui mit en

évidene l'intérêt de telles lauses en 1951 [60℄.

Il existe ainsi deux typesde lausesde Horndistints quinous intéressent :

Les lauses de Horn strites (ou pures) : elles omportent un littéral positif

etau moins un littéralnégatif.

Les lauses de Horn négatives : elles ne ontiennent quedes littérauxnégatifs.

L'exemple 8illustre ainsi lesdiérents types de lauses de Horn.

Exemple 8