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Cas général

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3.4 Conlusion

4.2.2 Cas général

Nousavons vu quedans le as général, ilest impossiblede aluleren temps

polyno-mialune base d'impliationsde laborne supérieure de systèmesde fermeturereprésentés

sous leur forme impliationnellemême si nous ne onsidérons que deux systèmes de

fer-meture. Kautz and Selman ont donné dans [91℄ un algorithme qui résout le problème

équivalent dans sa formulation logique. Nous dérivons ainsi et algorithme retransrit

sur lessystèmes de fermeture.

Remarque : Kautz et Selman ont proposé et algorithme dans le adre de la

gé-nération d'une enveloppe de Horn assoiée à une fontion booléenne en forme normale

onjontive quelonque quiest un as plus général du problème que nous étudions.

Notation 1 Soit

Σ 1 , Σ 2 , ..., Σ k

des basesd'impliations respetives pour

F 1 , F 2 , ..., F k

.

On note :

R = {X 1 X 2 ...X k → x 1 ∨ x 2 ∨ ... ∨ x k |X i → x i ∈ Σ F i , i ∈ {1..k}}

Nous pouvons voir que toutes les règles de

R

sont satisfaites par tous les ensembles appartenant à

F Σ 1 ∪ F Σ 2 ∪ ...∪ F Σ k

.

Nous déomposons ainsi

R

en deux ensembles de règles. Le premier ensemble ontient

ainsilesrèglesd'impliationstandisqueledeuxièmeontienttoutesellesquine sontpas

desrèglesimpliatives'estàdirequiontiennentunoulogique (

)dansleuronlusion.

R H

={

X 1 X 2 ...X k →

x

| X i → x i ∈ Σ i i ∈ {1..k}

}

R H ¯

={

X 1 X 2 ...X k → x 1 ∨

...

∨ x k | X i → x i ∈ Σ i i ∈ {1..k}

}

Théorème 14 [91℄ L'algorithme 4aluleune base d'impliationspour

F 1 ∨ F 2 ∨ ... ∨ F k

.

Exemple 17 Considérons les basesde Guigues Duquenne des systèmes de fermeture de

l'exemple 10 et appliquons l'algorithme 4. Nous obtenons ainsi l'ensemble de règles

R H

and

R H ¯

suivants :

R H

= {ade

, be

d}

R H ¯

= {ab

d, de

d}

Après appliation de l'algorithme , nous obtenons :

Σ

={ade

,be

d, abe

, abe

d}

Algorithme 4 :Borne supérieure:base d'impliations

Données :

R H

,

R H ¯

ensemblede règlesdéduites de

R

Résultat :

Σ

une base d'impliationsde

F 1 ∨ F 2 ∨ ... ∨ F k

début

tant que un tel hoix est possible faire

Essayer de trouverun ouple(

r 1 , r 2

),

r 1 ∈ R H

et

r 2 ∈ R H ¯

telque

r 1

=(

xX

→ a

) et

r 2

= (

Y → W l

i =1 x i ∨ x

)qui n'ai pas été onsidéré

si un tel ouple existe alors

r

=

XY → a ∨ W l

i=1 x i ∨ x

si

r

est une règle d'impliation alors

R H

=

R H ∪ XY → a

Dans ette setion,lebut est de dénir un opérateurde fermetureorrespondantà la

borne supérieurede systèmesde fermeturen'ayantpour informationsur eux-iqueleurs

éléments inf-irrédutiblesrespetifs.

Nousdénissonsainsi un opérateur

φ

()quenous démontronsêtre unopérateurde

ferme-ture. Nous déduisons ensuite que

φ

() dénit l'ensemble des éléments fermés de la borne

supérieure des systèmes de fermeture onsidérés.

Dénition 34 Soit

φ

(A) =

T

{B

∈ S k

i =1 M

(

F i

))

|

A

B}

Proposition 11

φ

est un opérateur de fermeture.

Preuve.Soit A

G.

Théorème 15 Soit

F 1

,

F 2

, ...,

F k

des systèmes defermeture sur G.Alors

W k

i =1 F i

={F

∈ 2 G |

F =

φ

(F)}.

Preuve. Il nous fautmontrer que

W k

i =1 F i ⊆

{F

∈ 2 G |

F=

φ

(F)}. Soit F

∈ W k i =1 F i

.

Deux as sont alors possibles :

Soit F

∈ S k

i =1 F i

. Alors F appartient au moins à l'un des systèmes de fermeture.

Or

φ

(F) =

T

Exemple 18 Si nous onsidérons l'exemple 10, nous voulons obtenir l'ensemble fermé

assoié à l'ensemble {ab} dans

F 1 ∨ F 2

. Nous appliquons alors l'opérateur de fermeture obtenu sur et ensemble :

φ

(ab) =

T

{B

∈ M

(

F 1

)

∪ M

(

F 2

)

|

ab

B} = abd

ab

abd=ab.

L'opérateur de fermeture déni pour la borne supèrieure de systèmes de fermeture

onsidère l'uniondes ensembles d'élémentsinf-irrédutibles de haque système de

ferme-ture. Le aul de la fermeture d'un ensemble donné se fait don en temps polynomial

parrapportauxensembles des élémentsinf-irrédutiblesde haquesystème de fermeture

onsidéré.

4.4 Conlusion

Nousavons vupour l'opérationde borneinférieure sur les systèmesde fermetureque

ladiulté de alul dière selon la représentation prise en ompte. Si nous onsidérons

la représentation par les ensembles d'éléments inf-irrédutibles, l'opération de borne

in-férieure est une opération diile. A l'inverse, si nous onsidérons l'opération de borne

de l'entrée qui permet de la réaliser.

De manière duale, si nous onsidérons la représentation des systèmes de fermeture par

lesbases d'impliations,l'opérationde borne inférieuresefait en temps polynomialalors

que l'opération de borne supérieure peut engendrer, dans le as général, une explosion

ombinatoire. Nous nous sommesainsi intéressés àune lasse partiulière de bases

d'im-pliations quesont les bases d'impliationsdiretes. Nous proposons, dans e as préis,

un algorithmeen temps polynomial permettant de résoudre l'opération de borne

supé-rieure de systèmes de fermeturereprésentés sous formeimpliationnelle.

Le problème de génération d'une base d'impliations de laborne supérieure de systèmes

de fermeture représentés sous forme impliationnelle a été réemment lassé [45℄. Il a

ainsi été montrer qu'il n'existe pas d'algorithme polynomial pour résoudre e problème

en temps total polynomial hormissi P = NP.

Il existe des algorithmes permettant de générer une base d'impliations direte à partir

d'unebase d'impliationsquelonque. Cesalgorithmesrestentexponentielsenla taillede

l'entrée etde lasortie mais ont de bonnes propriétés en pratique.

Nous pouvons ainsi adapter l'algorithme sur les bases d'impliations diretes au as

gé-néral. Il sut pour ela d'appliquer un algorithme de génération de bases d'impliations

diretes à partir de bases d'impliations quelonques et d'appliquer l'algorithme 2 pour

répondre au problème 5. Il serait ainsi intéressant de tester, de manière pratique,

l'algo-rithmeainsiobtenuestdeomparersesperformanesavelesautresalgorithmesexistants.

Diérene de deux systèmes de

fermeture

Sommaire

5.1 Eléments inf-irrédutibles . . . 61

5.2 Base d'impliations . . . 64

5.3 Opérateur de fermeture . . . 65

5.4 Conlusion . . . 66

Nous allons voir dans ette setion l'opérationde diérene de deux systèmes de

fer-metureselonlareprésentationquenousonsidéronsendonnée dedépart.Cetteopération

n'estpasdénieformellementsur lessystèmes defermeture. Ladiéreneentre deux

sys-tèmesde fermeture

F 1

et

F 2

, notée

F 1 \F 2

,onsiste àonstruire la familledes ensembles

appartenant à

F 1

qui n'appartiennent pas à

F 2

. Il est lair ii que la diérene de deux

systèmes de fermeture n'est pas toujours un système de fermeture. Nous onsidérerons

donii leplus petit système de fermeture quiontient lesensembles de ladiérenedes

deuxsystèmes defermeture. Ce problèmeorrespond aualulde l'enveloppede Hornde

ladiérene de deux théories de Horn en logique. La gure 5 montre ainsi le système de

fermetureobtenuen faisantladiérenedes systèmesde fermeture

F 1

et

F 2

de l'exemple

10.

5.1 Eléments inf-irrédutibles

Nous voulons voir ii omment aluler les éléments inf-irrédutibles de la fermeture

de la diérene de deux systèmes de fermeture à partir de leurs ensembles d'éléments

inf-irrédutiblesrespetifs.

00

Fig. 5.1 a)Famille d'ensembles

F 1 \F 2

,b) Systèmede fermetureassoiéàla fermeture

de

F 1 \F 2

.

Problème 6 :DIFFERENCE :INF

Données : Ensembles d'éléments inf-irrédutibles

M(F 1 )

et

M(F 2 )

des système de

fer-meture

F 1

et

F 2

.

Résultats : L'ensembledes éléments inf-irrédutibles de la fermeture de

F

=

F 1 \F 2

.

Leproblème6aété étudiédans saformulationlogiquedans[44℄.Lesauteursontainsi

montré quee problème peut être résolu en temps polynomial.Nousretransrivons ainsi

e résultatsous saformulationbasée sur les systèmes de fermeture.

Dénition 35 Soit

M(F 1 )

et

M(F 2 )

les ensemblesd'éléments inf-irrédutibles respeti-vement aux systèmes de fermeture

F 1

et

F 2

. On dénit :

S

=

M(F 1 ) ∪

{M

M'

|

M, M'

∈ M(F 1 )

}

et

S 1

={S

∈ S |

S

6∈ F 2

}

S 2

=

S\S 1

Théorème 16 [44℄ Soient

M(F 1 )

et

M(F 2 )

les ensembles d'éléments inf-irrédutibles respetivement aux systèmes de fermeture

F 1

et

F 2

. Alors

S 1

est un sur-ensemble des inf-irrédutibles de la fermeture de la diérene de

F 1

et

F 2

.

Corollaire 2 [44℄Soient

M(F 1 )

et

M(F 2 )

lesensemblesd'élémentsinf-irrédutibles res-petivementaux systèmes de fermeture

F 1

et

F 2

. Alors l'ensemble des inf-irrédutiblesde lafermeturede ladiérenede

F 1

et

F 2

peut être aluléen temps polynomialen lataille

de

M(F 1 )

et

M(F 2 )

.

Preuve. Lespreuves de es théorèmes sont donnés dans [44℄.

L'algorithme5présentelaméthodepouralulerl'ensembledesélémentsinf-irrédutibles

delafermeturede ladiérenededeuxsystèmesdefermetureétantdonnésleurséléments

inf-irrédutibles respetifs. La fontion Réduire() supprime les ensembles pouvant être

obtenus par intersetion d'autres ensembles.

Exemple 19 Considérons l'exemple 10. En appliquant l'algorithme 5 nous obtenons les

ensembles

S

et

S 1

suivants :

S = {abcd, acde, bcde, abc, bde, be, bcd, acd, cde, bc, ac, b, e}

S 1 = {abc, bde, be, bc, b}

L'appliationdelaproédureRéduire() supprimeii l'élément

b

de

S 1

puisque

b = {bc}∩

{be}

. Nous obtenons ainsi l'ensemble d' éléments inf-irrédutibles suivants pour

F 1 \F 2

:

M(F 1 \F 2 ) = {abc, bde, be, bc}

.

Algorithme 5 :Diérene :représentation par les inf-irrédutibles

Données :

M(F 1 )

et

M(F 2 )

lesensembles d'élémentsinf-irrédutiblesde

F 1

et

F 2

Résultat :

M(F 1 \F 2 )

l'ensembledes éléments inf-irrédutiblesde

F 1 \F 2

.

début

S

=

M(F 1 ) ∪

{M

M'

|

M, M'

∈ M(F 1 )

}

S 1

={S

∈ S |

S

6∈ F 2

}

M(F 1 \F 2 )

= Réduire(

S 1

)

retourner

M(F 1 \F 2 )

n

5.2 Base d'impliations

Dans ettesetion,nous voyons ommentsetraduitladierenede deux systèmes de

fermeture sinous onsidérons leurs représentations sous formede bases d'impliations.

Problème 7 DIFFERENCE :IMPLICATION

Données :

Σ 1

,

Σ 2

deux bases d'impliations respetives par rapport aux système de fer-meture

F 1

et

F 2

.

Résultats :

Σ

une base d'impliations pour lafermeture de la diérene entre

F 1

et

F 2

.

Il a été montré dans [44℄, que le problème équivalent en logique 'est à dire le alul

de l'enveloppe de Horn de la diérene de deux théories de Horn, est o-NP diile.

Par e résultat, il parait don évident qu'il y a peu de hane qu'il existe un algorithme

polynomial permettantde résoudre e problème.

Cei est dû au fait que la taille de la nouvelle base peut être exponentielle en la taille

des deux bases d'impliations prises en entrée. De plus, le problème de déision assoié

est lui mêmeo-NP-omplet.

Problème 8 DECISION DIFFERENCE :IMPLICATION

Données :

Σ 1

,

Σ 2

, des basesd'impliations respetives par rapport aux systèmes de fer-meture

F 1

et

F 2

.

Σ

une base d'impliations

Résultats :

F Σ

= fermeture de

F Σ 1 \ F Σ 2

.

Théorème 17 [44℄Etantdonnées

Σ 1

,

Σ 2

,desbasesd'impliationsrespetivesparrapport aux systèmes de fermeture

F 1

et

F 2

et

Σ

une base d'impliations,déider si

Σ

représente

une base d'impliations pourla fermeture de ladiérene de

F 1

et

F 2

est o-NP-omplet.

Lethéorème suivant en est ainsi déduit:

Théorème 18 [44℄ Etant donné

Σ 1

,

Σ 2

deux bases d'impliations, il n'existe pas d'al-gorithme en temps total polynomial permettant de aluler une base d'impliations de la

fermeture de la diérene des systèmes de fermeture hormis si P = NP.

Ce théorèmeaété prouvédans [44℄ sur leproblèmeéquivalenten logique

proposition-nellepour l'enveloppe de Hornde ladiérene de deux théoriesde Horn.

5.3 Opérateur de fermeture

Nous allons voir à présent l'opérateur de fermeture que l'on peut dénir à partir des

éléments inf-irrédutibles des deux systèmes de fermeture pris en onsidération pour la

fermeturede la diérene.

Nous dénissons ainsi un opérateur

ψ

et nous démontrons qu'il représente un opérateur

defermeture. Nousmontronsensuitel'équivaleneentre lafamilled'ensemblesferméspar

ψ

etlesensembles fermésde ladiérenedes deux systèmesde fermeturepris enompte.

Pour ei nous nous servons des ensembles

S

et

S 1

dénis dans la setion5.1 onernant

la représentation par les éléments inf-irrédutibles. L'opérateur de fermeture ainsi déni

permet un alul en temps polynomialde lafermeture d'un ensemble donné par rapport

auxéléments inf-irrédutiblesde haque système de fermeture.

Dénition 36 Soit

ψ

(A) =

T

{B

∈ S 1 |

A

B}.

Proposition 12

ψ()

est un opérateur de fermeture.

Preuve. Soit A

G.

A

⊆ ψ(A)

par dénition de

ψ

().

SoitA

D. Nousavons

ψ

(A) =

T

{B

∈ S 1 |

A

B} et

ψ

(D) =

T

{B

∈ S 1 |

D

B}.Cela implique que

A ⊆ ψ(A)

et

D ⊆ ψ(D)

.Nous avons don

φ(A) ⊆ ψ(D)

.

ψ(ψ(A))

=

ψ( T

{B

∈ S 1 |

A

B}) =

T

{B

∈ S 1 |

A

B} =

ψ(A)

.

Théorème 19 Soient

F 1

et

F 2

deux systèmes de fermeture sur G. Alors

F 1 \ F 2

= {F

∈ 2 G |

F =

ψ

(F)}.

Preuve.Nous savons par dénition que

F 1 \ F 2

=

{F ∈ G|F = T

{M ∈ M(F 1 \F 2 ) |

F

M}.

D'après le théorème 16,nous avons

S 1

est un sur-ensemble des éléments inf-irrédutibles de

F 1 \F 2

.

Nousavons don

F 1 \ F 2

= {F

∈ 2 G |

F=

ψ

(F)}.

Exemple 20 Considérons l'exemple 10. Nous voulons obtenir l'ensemble fermé de {b}

dans

F 1 \ F 2

. Nous appliquons alors l'opérateur de fermeture obtenu sur et ensemble :

ψ(b) = T

{B ∈ S 1 |{b} ⊆ B} = {be} ∩ {bc} ∩ {b} = {b}

.

5.4 Conlusion

L'opération de diérene entre deux systèmes de fermeture est la dernière opération

étudiée dans ette partie. Nous voyons ii, de la même manière que les opérations

préédentes, que les diultés de alul ne sont pas les mêmes selon les représentations

que nous onsidérons des systèmes de fermeture.

Tout d'abord, nousvoyons quele alulde l'ensembledes éléments inf-irrédutiblesde la

fermeture de la diérene de deux systèmes de fermeture s'eetue en temps polynomial

à partirdes élémentsinf-irrédutibles de haund'entre eux.

Enrevanhe, ettemêmeopérations'avère diilesinousonsidéronsunereprésentation

impliationnelle des systèmes de fermeture. Plus formellement, il n'existe pas

d'algo-rithme en temps total polynomial permettant de aluler une base d'impliations de la

fermeture de ladiérene des systèmes de fermeturehormis siP = NP.

Si nous regardons à présent, de manière globale, l'ensemble des opérations de ette

partie, nous remarquons que les diultés de alul ne sont pas liées à lareprésentation

onsidéréedes systèmesde fermeture. Sinous onsidéronsl'opérationdeborneinférieure,

nous voyons que pour la représentation par les éléments inf-irrédutibles, l'opération

est diile tandis que si nous onsidérons la représentation impliationnelle,l'opération

se fait en temps polynomial. A l'inverse, pour les opérations de borne supérieure et de

diérene, la diulté porte sur le alul sur la représentation impliationnelle tandis

que pour la représentation par les éléments inf-irrédutibles, ette opération se fait en

temps polynomial.

Borneinférieure Bornesupérieure Diérene

Inf-irrédutibles NP-diile Polynomial Polynomial

Basesd'impliations Polynomial o-NP-diile o-NP-diile

Basesd'impliationsdiretes Polynomial Polynomial ouvert

Opérateur de fermeture Polynomial Polynomial Polynomial

Tab. 5.1 Réapitulatif des omplexités des diérentes opérations sur les systèmes de

fermetureselon leur représentation.

données que nous onsidérons. Les omplexités de haque opération par rapport à leurs

diérentes représentations sont exposées dans la table 5.1

Problème de génération des bases

d'impliations mixtes

Nous avons vu dans la partie préédente qu'une base d'impliations est une

re-présentation ompate d'un ensemble de données. La génération de telles bases a été

très étudiée et reste toujours un problème d'atualité. Cette étude est ainsi présente

dans de nombreux domaines de l'informatique tel que le data mining, la théorie des

graphes, la logique... Ainsi le problème d'extration de règles d'assoiation à partir d'un

ensemble de données [2℄ est un des domaines oùette reherhe est toujours d'atualité.

Une règle d'assoiation est une impliation de la forme X

Y [sup,onf℄, X et Y

sont des sous-ensembles d'attributs (appelés itemsets) tel que X

Y =

et tel que onf

représente laonane etsup représente lesupport. Le supportd'une règle est dénipar

laprobabilité qu'un ensemble d'objets posséde X etY tandis que laonane représente

laprobabilité que Yappartienne à un objetsahant que X appartient à et objet.

Uneapproheintéressantefutl'utilisationde l'analysedeoneptsformelsandealuler

un ensemble réduit de règles d'assoiations. De e fait, plusieursétudes ont onduit à la

génération de représentations onises de es ensembles de règles telles que la base des

générateursminimaux (ou base générique) [85℄ et la base de Guigues-Duquenne[38, 54℄.

Les deux dernières bases de règles d'assoiations ont la propriété d'être omposées

uniquement de règles dont laonane est égale à1 quel'on nommerègles exates.Elles

orrespondent ainsi àdes bases d'impliations.

La plupart de es études ont été développées an de trouver des assoiations positives

entre les diérents éléments onsidérés. Si nous prenons l'exemple bien onnu du panier

delaménagère,uneassoiationpositivepossibleserait:Lesonsommateursquiahètent

de la bière et du whisky, ahètent aussi des aahuètes.

D'autres règles peuvent être intéressantes si nous onsidérons la négation sur les

éléments. Nous appellerons ii es règles règles mixtes. Cette négation peut ainsi

permettre d'obtenir de nouvelles informations pertinentes que ne permettent pas les

règles d'assoiations positives. Si nous reprenons l'exemple du panier de la ménagère,

une assoiation ave négationpourra être du typeles onsommateursqui ahètent de la

bière et du whisky, ahètent aussi des aahuètes mais n'ahètent pas de ouhe ulotte.

L'ajoutdans l'impliationdu non ahat desouhes ulottesrajouteune informationqui

permet de faire de nouvelles dédutions et d'étayer les analyses faites sur les données

onsidérées.

Diérents travaux ont ainsi été ménés sur e sujet. La notion d'assoiation négative

entre itemsets fut étudiée en premier par Brin et al. [20℄. Le manque d'expressivité des

règles d'assoiations positives onduit ainsi à la reherhe de nouvelles informations que

peut amener lesrègles d'assoiation mixtes. L'introdutionde la négationdans lesrègles

d'assoiationspeut ainsiêtreutilepourl'identiationd'exeptions[93℄etdeorrelations

négatives[3,90℄.Elleapermisd'aboutiràdiérentesperspetivesdanslalittératureetse

révèleêtre un dé importantdanslesdiérentsdomaines évoqués. Diérentes tehniques

etmesures de qualité sont explorées dans divers travaux de reherhe réents [19, 102℄.

Malheureusement, il n'existe que très peu d'algorithmes de génération eaes

permet-tant d'obtenir un ensemble valide etomplet de règles d'assoiation mixtes àpartir d'un

ensemble de données (La validité d'un ensemble de règles d'assoiation représente lefait

que toutes les règles d'assoiation satisfont l'ensemblede données etla omplétude d'un

ensemble de règles d'assoiation le fait que toutes les règles d'assoiation qui satisfont

un ensemble de données peuvent être déduites de l'ensemble de règles d'assoiation

généré). Dans ette partie, nous nous intéressons don auproblème de génération d'une

base d'impliations mixtes ('est à dire prenant en ompte la présene et l'absene des

attributs dans le ontexte) à partir d'un ontexte formel R = (G,M,I). Ce problème est

ainsi équivalent àla générationde règles d'assoiation dontla onane est égale à 1.

Nous verrons ainsi les diérentes problématiques qui peuvent exister sur es bases

d'im-pliations selon le hoix de données de départ que nous onsidérons. Nous regarderons

ainsi la faisabilitéet laomplexité de haune.

Nousnous foaliserons plus partiulièrementsur leproblème de la générationd'une base

d'impliations mixtes à partir des bases d'impliations purement positives et purement

négativesassoiées à un ontexte R.

Cette partie est struturée omme suit :

Le hapitre 6 présente les notations et les dénitions que nous allons utiliser pour

les bases d'impliations mixtes. Nous introduisons une méthode naïve de génération

des règles d'impliations à partir d'un ontexte formel R = (G,M,I). Nous regardons

ensuitediérentesproblématiquesliées àlagénérationdes basesd'impliationspurement

positives, purement négatives et mixtes. Nous verrons que la plupart des problèmes

évoqués sont à e jour enoreouverts.

Dans le hapitre 7, nous nous onentrons plus partiulièrement sur le problème

de la génération d'une base d'impliations mixtes à partir des bases d'impliations

génériques purement positives et purement négatives assoiées à un ontexte R. Nous

verrons ainsi, qu'à partir de ette information, nous n'avons auune garantie d'obtenir

une base d'impliationsmixtes omplète pour un ontexte Ronsidéré. Cependant, nous

exhiberons un ertain nombre de propriétés et de règles d'inférene qui nous permettent

de déduireun ertainnombre d'impliationsmixtes de R.

Nous montrerons aussi que dans le as partiulier d'un ontexte réduit, nous obtenons

une nouvelle règle d'inférene qui nous permet de montrer la validité et la omplétude

de la base d'impliations mixtes déduite pour un ontexe à partir des règles d'inférenes

que nous avons trouvées en onsidérant en données les bases d'impliations génériques

positives et négatives de e ontexte. Un ontexte partiulier, que l'on nomme ontexte

omplet sera traité indépendemment pour arriver àe résultat.

Dénitions et Problématique

Sommaire

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